第第5頁共5頁安慶師范學(xué)院《常微分方程》A卷（ ）2、函數(shù)yc21

一、判斷題（8分，每題2分）得分1、n 階常微分方程的通解包含了它的所有解。得分e2xc2是微分方程yy2y0的通解（ ）n階線性齊次微分方程的

n個解

x(t),x1

(t), ,xn

(t)在[a,b]上線性無關(guān)的充要條件是W(t)0,t[a,b]。 （ ）(t)XA(tX的基解矩陣，則(t)為其基解矩陣n階常數(shù)矩陣C(t)(t)C。 （ ）得分二、選擇題（10分，每題2分）得分1、微分方程y(y)2y4cosy是 （ 。A 三階非線性方程 B 三階線性方程C 四階非線性方程 D 四階線性方程2、下列方程中為齊次方程的是 （ 。Ayxy(y) B xyyxtanxC yxyf(y) D cosydxcosxdy3、n階齊次線性微分方程的所有解構(gòu)成一個（ ）維線性空間。A n B n1 C n1 D n24、Lipschitz條件是一階微分方程初值問題存在唯一解的（ ）條件。A充分條件B必要條件C充分必要條件D既不是充分也不是必要條件dxdt

(0,0)5.方程 的奇dyxdt

的類型是 （ ?？伎忌痤}不得超此線A 結(jié)點(diǎn) B 焦點(diǎn) C 中心 D 鞍點(diǎn)得分三、填空題（12分，每空2分）得分1、向量函數(shù)X1(t),X2(t), ,Xn(t)是線性方程組XA(t)X的基本解組的充要條件是：（） （2） 。2、方程M(xy)dxN(xy)dy0y有關(guān)而與x無關(guān)的積分因子的充分必要條件是 。y3、方程dyydxdy4、伯努利方程dx

的奇解是 。P(xyQ(xynn0,1)通過變量替換可化為線性方程。5、歐拉方程x2yxyy0的通解為 。得分 四、求下列方程的通解（40分，每題10分）1、xy2yx3cosx.、2 (sinyysinx1)dx(xcosycosx1)dy0.、) 34、

x y(yx)dx(yx)dy0 x1 1 4 1此 得分過得分五、計(jì)算與證明題（30分，每題10分）超dy得 1、試用皮卡逐步逼近法求方程dxx2y通過點(diǎn)(1,0)的第二次近似解。不2、已知方程xaxx2cost 的一個解為x不1

(t)sint,試求此方程的通解。題 3、設(shè)曲線L位于XOY平面的第一象限內(nèi)，L上任一點(diǎn)M處的切線與y軸總相交，交點(diǎn)記為A，已知33答|MA||OA|且L過點(diǎn)( , )，求L的方程.答22生考(安慶師范學(xué)院《常微分方程》A卷（本答案僅供參考，若有多種解法，則按相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)酌情評分）一、判斷題（8分，每題2分）1、錯；2、錯；3、對；4、錯二、選擇題（10分，每題2分）1、A；2、B ；3、A ；4、A；5、C三、填空題（12分，每空2分）11）X(t),X(t), ,X(t)是方程組的解（2）X(t),X(t), ,X(t)線性無關(guān)；1 2 n 1 2 nMN2、 M

y；3y0；4zy1n；5ycclnx)x(其中c

為任意常數(shù))1 2 1 2四、求下列方程的通解（40分，每題10分）1、xy2yx3cosx.2解：改寫方程為:yx

yx2cosx先求齊次線性方程

y2

y0

dy 2的通解,分離變量得:

3分x y x積分得通解為ycx2 5分再利用常數(shù)變易法求非齊次線性方程的通解,令yc(x)x2,代入得: c(x)x2x2cosx,積分得c(x)sinxc 8從而所求通解為y(csinx)x2(其中c為任意常數(shù)). 10分(sinyysinx1)dx(xcosycosx1)dy0.2、 x yM解:由于

cosysinx

N，所以原方程是恰當(dāng)方程--4分y x原方程可化為1(sinydxxdsiny)(ydcosxcosxdy)1dx dy0.1x y或 d(xsinyycosxlnxy)0 8分x

yycosxlnxyc，其中c為任意常數(shù).3、yx)dxyx)dy0

10分解：原方程化為：ydxxdyxdxydy0xdxydyxdyydx（2分）xdyydx xdxydyx2y2

x2y2 x2y2即：

(arctan

y)1d(lnx2

y2

(7分)x 2化簡得： x2y

2arctanyx （C）故原方程的通解為： x2y

2arctanx

（10分）注：用其他方法解得正確結(jié)果給滿分。x1 1x.4、 4 1解：特征方程為

A14

11

0

2230，所以特征根為1

3，2

313 1 a

013對應(yīng)特征向量應(yīng)滿足 1 11a 1

4 13

0可確定出

1 61b 21

a 12 同樣可算出

對應(yīng)的特征向量為

8222所以，原方程組的通解為

b 2x e3t et 1c c

10分2x 12e3t2

22et五、計(jì)算與證明題（30分，每題10分）1、解: (x)0, 3分0(x)xs2ds1x31, 61 1 1 1 (x)x(s2

(s))ds

1x4 x3 x

7. 102 1

12 3 3 122、解：將x1

(t)sint代入原方程得sintacostsint2cost即a2.從而原方程化為x2xx2cost , 4對應(yīng)齊次方程的特征值為x

1（二重） --6分ct)etsint.cc為任意常數(shù).--10分1 2 1 23LXOY平面的第一象限內(nèi)，LMY知MAOA且L過點(diǎn)(3,3)，求L的方程。2 2解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,則切線MA的方程為：Yyy(Xx) （2分）X0，則YyxyA的坐標(biāo)為：(0yxy)(x0)2(yyxy)2由MAOA， (x0)2(yyxy)2化簡后得：

2yyy2x

x

（5分）令zy2，