高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)微專題——拋物線焦點(diǎn)弦相關(guān)性質(zhì)作業(yè)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖在直線與拋物線的位置關(guān)系中，高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容是直線與拋物線的相交問題，而直線與拋物線的相交問題中，過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線的關(guān)系尤其重要，直線過拋物線焦點(diǎn)與拋物線相交于兩點(diǎn)，則弦稱為拋物線的焦點(diǎn)弦。有關(guān)拋物線的焦點(diǎn)弦問題是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，拋物線焦點(diǎn)弦有很多重要性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)對(duì)解決焦點(diǎn)弦問題有很大益處，通過對(duì)這些性質(zhì)的應(yīng)用，可以很大程度上提高學(xué)生的解題能力與技巧，達(dá)到事半功倍的效果。我設(shè)計(jì)這份拋物線焦點(diǎn)弦相關(guān)性質(zhì)作業(yè)，試圖通過有效的練習(xí)作業(yè)，讓學(xué)生理清知識(shí)脈絡(luò)，熟練應(yīng)用拋物線焦點(diǎn)弦相關(guān)性質(zhì)解決焦點(diǎn)弦問題，避免直線與拋物線的繁瑣計(jì)算，讓學(xué)生提高解題的效率，增強(qiáng)解題的信心，提高對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生的復(fù)習(xí)備考更有針對(duì)性，讓我們的教學(xué)更具實(shí)效性。作業(yè)目標(biāo)1.理解和掌握拋物線的定義，并用于解決焦點(diǎn)弦的相關(guān)問題；2.理解數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想與方法；3.經(jīng)歷分析、探求、類比、歸納猜想論證的數(shù)學(xué)探究過程，發(fā)揮數(shù)學(xué)創(chuàng)新的能力；4.體驗(yàn)用聯(lián)系的辨證的觀點(diǎn)分析、判斷和解決數(shù)學(xué)問題。5.活用數(shù)學(xué)結(jié)論，提升數(shù)學(xué)解題能力、技巧。知識(shí)梳理1.拋物線定義：2.通徑：，3.焦點(diǎn)弦的定義：直線過拋物線焦點(diǎn)與拋物線相交于兩點(diǎn)，則弦稱為拋物線的焦點(diǎn)弦。4.若傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于兩點(diǎn)（A點(diǎn)在軸上方），則(1)焦半徑。(2)焦點(diǎn)弦長且。(3)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))。上述結(jié)論源于教材，是教材例題、習(xí)題的深化，是破解直線與拋物線相交有關(guān)問題的利器。作業(yè)類型一、焦點(diǎn)弦長的應(yīng)用；二、焦點(diǎn)弦長的應(yīng)用；三、焦半徑的應(yīng)用；四、的應(yīng)用；五、拋物線焦點(diǎn)弦相關(guān)性質(zhì)綜合應(yīng)用；六、拋物線焦點(diǎn)弦相關(guān)性質(zhì)開放性作業(yè)。作業(yè)展示類型一焦點(diǎn)弦長的應(yīng)用1.過拋物線的焦點(diǎn)斜率為2的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，求線段的長。2.過拋物線的焦點(diǎn)斜率為2的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且線段，則實(shí)數(shù)=________。3.過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，問何時(shí)最短？并求此時(shí)的長。4.如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若F是AC的中點(diǎn)，且|AF|＝4，則線段AB的長為()A．5B．6C.eq\f(16,3)D.eq\f(20,3)類型二焦點(diǎn)弦長的應(yīng)用5.已知拋物線C：y2＝16x，傾斜角為的直線l過焦點(diǎn)F交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則＝________。6.斜率為eq\r(3)的直線過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則＝________。7.過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＝2|BF|，則等于()A．4B.eq\f(9,2)C．5D．6類型三焦半徑的應(yīng)用8.拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F且交拋物線于A，B(點(diǎn)A在x軸下方)兩點(diǎn)若eq\o(BF,\s\up6(→))＝3eq\o(FA,\s\up6(→))，則直線l的斜率＝________。9.過拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＝2|BF|，則＝________。10.過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且|AF|＝3|BF|，則直線AB的斜率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.－eq\r(2) D.－eq\r(3)11.設(shè)拋物線E：y2＝6x的弦AB過焦點(diǎn)F，|AF|＝3|BF|，過A，B分別作E的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別是A′，B′，則四邊形AA′B′B的面積等于()A.4eq\r(3)B.8eq\r(3)C.16eq\r(3) D.32eq\r(3) 類型四應(yīng)用12.已知拋物線C：y2＝16x，傾斜角為的直線l過焦點(diǎn)F交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△ABO的面積為_______。13.設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為()A.eq\f(3\r(3),4)B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32) D.eq\f(9,4)類型五拋物線焦點(diǎn)弦相關(guān)性質(zhì)綜合應(yīng)用14.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F和拋物線上一點(diǎn)的直線l交拋物線于另一點(diǎn)，則等于()A.1∶2 B.1∶3 C.1∶eq\r(2) D.1∶eq\r(3)15.拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F，其斜率k>0，且交拋物線于A，B(點(diǎn)A在x軸下方)兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為m，AA1⊥m于A1，BB1⊥m于B1，下列結(jié)論正確的是()A.若eq\o(BF,\s\up6(→))＝3eq\o(FA,\s\up6(→))，則k＝eq\r(3) B.eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝1C.若k＝1，則|AB|＝2 D.∠A1FB1＝90°16.已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線l的斜率為eq\r(3)且經(jīng)過點(diǎn)F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，若|AF|＝8，則以下結(jié)論正確的是()A．p＝4 B.eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝417.(2019·全國Ⅰ卷)已知拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，斜率為eq\f(3,2)的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P。(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直線l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|。類型六拋物線焦點(diǎn)弦相關(guān)性質(zhì)開放性作業(yè)【結(jié)論的探索】18.過拋物線焦點(diǎn)的動(dòng)直線，交拋物線于兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，連接，設(shè)直線的傾斜角為，(1)求證：(2)求證：軸平分【結(jié)論的應(yīng)用】19.已知拋物線:的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，過作傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)，若，則。20.已知拋物線:的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，過作傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)，若，則。21.已知直線與拋物線:交于兩點(diǎn)，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，則。作業(yè)點(diǎn)評(píng)1.直線與拋物線相交問題和直線與橢圓、雙曲線相交問題類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系，這是常規(guī)解法；2.直線與拋物線相交問題，重點(diǎn)關(guān)注直線是否過拋物線的焦點(diǎn)。如果直線過拋物線焦點(diǎn)，我們就可以規(guī)避直線與拋物線的繁瑣計(jì)算，靈活應(yīng)用焦點(diǎn)弦相關(guān)性質(zhì)解決焦點(diǎn)弦問題，提高解題效率；3.本作業(yè)設(shè)計(jì)的拋物線都是開口向右的拋物線，所以相關(guān)的焦點(diǎn)弦性質(zhì)只適用開口向右的拋物線，開口向左、向上、向下的拋物線焦點(diǎn)弦相關(guān)性質(zhì)表達(dá)式不同，需要學(xué)生課后自行推導(dǎo)，這點(diǎn)必須對(duì)學(xué)生講清楚，以免誤用；4.通過高考真題的演練，讓學(xué)生體會(huì)靈活應(yīng)用焦點(diǎn)弦相關(guān)性質(zhì)解決問題的高效快捷，提高實(shí)戰(zhàn)能力;5.通過開放性作業(yè)的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來研究問題，以訓(xùn)練學(xué)生的的發(fā)散思維，學(xué)會(huì)多角度思考問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探索的數(shù)學(xué)精神以及嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的科學(xué)態(tài)度。備注作業(yè)答案【類型一】1.42.3.當(dāng)時(shí)，為拋物線通徑最短，此時(shí)4.C【解析】如圖，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AD⊥l交l于點(diǎn)D，由拋物線的定義知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中點(diǎn)，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x。設(shè)則所以又所以所以?！绢愋投?.646.7.【解析】不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸的上方，如圖，設(shè)A，B在準(zhǔn)線上的射影分別為D，C，作BE⊥AD于點(diǎn)E，設(shè)|BF|＝m，直線l的傾斜角為θ，則|AF|＝2m，|AB|＝3m，由拋物線的定義知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cosθ＝eq\f(|AE|,|AB|)＝eq\f(1,3)，所以sin2θ＝eq\f(8,9).由y2＝4x，知2p＝4，故利用弦長公式得|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)＝eq\f(9,2).【類型三】8.9.910.11.【解析】設(shè)直線AB的傾斜角為，不妨令A(yù)在x軸上方，得|AF|＝eq\f(p,1－cosα)＝eq\f(3,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)＝eq\f(3,1＋cosα)，由|AF|＝3|BF|，得eq\f(3,1－cosα)＝3×eq\f(3,1＋cosα)，解得cosα＝eq\f(1,2)，因?yàn)棣痢蔥0，π)，所以α＝eq\f(π,3)，由拋物線的定義，得|AA′|＝|AF|＝eq\f(3,1－cos\f(π,3))＝6，|BB′|＝|BF|＝eq\f(3,1＋cos\f(π,3))＝2，所以|A′B′|＝(|AF|＋|BF|)sinα＝8sineq\f(π,3)＝4eq\r(3)，于是四邊形AA′B′B的面積S＝eq\f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)·|A′B′|＝eq\f(1,2)×(6＋2)×4eq\r(3)＝16eq\r(3)?！绢愋退摹?2.6413.【類型五】14.【解析】,,由,得即,所以。15.【解析】對(duì)于A，設(shè)直線AB的傾斜角為，由得，即，，，，A正確。由焦半徑公式，易知eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)＝1，B正確。設(shè)直線AB的傾斜角為θ，∵k＝1，∴θ＝eq\f(π,4)，∴|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)＝8，故C錯(cuò)誤。易知∠BB1F＝∠B1FB，∠AA1F＝∠A1FA，∴∠B1FB＋∠A1FA＝eq\f(1,2)×180°＝90°，從而∠A1FB1＝180°－90°＝90°，D正確。16.【解析】法一，如圖，分別過點(diǎn)A，B作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，M，連接EF.設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)P，則|PF|＝p，由直線l的斜率為eq\r(3)，可得其傾斜角為60°.∵AE∥x軸，∴∠EAF＝60°.由拋物線的定義可知，|AE|＝|AF|，則△AEF為等邊三角形，∴∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，A正確。法二，由直線l的斜率為eq\r(3)，可得其傾斜角為60°，代入得，即。∵|AE|＝2|PF|，PF∥AE，∴F為AD的中點(diǎn)，則eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))，B正確。又∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|，C正確。由C選項(xiàng)知|BF|＝eq\f(1,3)|DF|＝eq\f(1,3)|AF|＝eq\f(8,3)，D錯(cuò)誤．故選ABC。17.【解析】設(shè)直線l的方程為y＝eq\f(3,2)x＋t，。(1)由題設(shè)得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，故。又|AF|＋|BF|＝4，所以。由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，其中Δ＝144(1－2t)>0，則。從而－eq\f(12（t－1）,9)＝eq\f(5,2)，得t＝－eq\f(7,8)(滿足Δ>0)。所以l的方程為y＝eq\f(3,2)x－eq