§7.1直方圖與條形圖從本章開始

介紹數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一些基本內(nèi)容。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用非常廣泛，凡是有隨機(jī)性數(shù)據(jù)出現(xiàn)的問題，都要用到數(shù)理統(tǒng)計(jì)；同概率論一樣，數(shù)理統(tǒng)計(jì)也是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。但是研究的方法與內(nèi)容不相同。例7.1在相同的發(fā)射條件下，測量10分鐘內(nèi)某種型號火箭引擎的推動力（單位：N）?，F(xiàn)觀測到如下30個(gè)數(shù)據(jù)：把30個(gè)數(shù)據(jù)所屬區(qū)間(987,1017]等分成10個(gè)小區(qū)間（稱為組）,分別算出每組中數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)（即頻數(shù)），并列出表7.1999.11003.21002.1999.2989.71006.71012.3996.41000.2995.31008.7993.4998.1997.91003.11002.61001.8996.5992.81006.51004.51000.31014.5998.6989.41002.9999.3994.71007.61000.9表7.1序號j組(a

j

1,a

j

]頻數(shù)

nj頻率

f

j1(987,990]20.0672(990,993]10.0333(99,996]30.1004(996,999]50.1675(999,1002]70.2336(1002,1005]60.2007(1005,1008]30.1008(1008,1011]10.033910(1011,1014]10.0330.033(1014,1017]1根據(jù)表中10個(gè)組及相應(yīng)頻數(shù)，做出下列圖形（稱為直方圖）。21357631

1

1(987,990](990,993](993,996](996,999](999,1002](1002,1005](1005,1008](1008,1011](1011,1014](1014,1017]從數(shù)據(jù)得到的直方圖大致上反映了火箭引擎推動力這個(gè)隨

量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性（即分布）。下面給出繪制直方圖的一般步驟。設(shè)有n個(gè)數(shù)據(jù)x1,,xn

。1in1inx(n)max

xi。STEP1

找出這n個(gè)數(shù)據(jù)最小的x(1)

min

xi

與最大的STEP2選定常數(shù)a（略小于x(1)）與常數(shù)b（略大于x(n)），并把區(qū)間(a,b]等分成m組(a

j

1,a

j

]，j=1,…,m，其中a

a0

a1

am

bm

b

a

為組距，稱j稱

a

aj

1)為組中值。1

(a

a2jj

1當(dāng)數(shù)據(jù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值時(shí)，直方圖較好的反映了數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。在有些問題中，數(shù)據(jù)只可能取有限個(gè)值。這時(shí)一般可采用條形圖。STEP3jn計(jì)算各組相應(yīng)的頻數(shù)

n

j

與頻率

f

nj

，

j=1,…,m。STEP4在平面直角坐標(biāo)系上畫出m個(gè)長方形，各個(gè)長方形以(a

j

1

,a

j

]為底邊，它們的高度與nj

成比例j=1,…,m，這m個(gè)長方形合在一起便構(gòu)成了直方圖。條形圖例7.2

把記錄1分鐘內(nèi)碰撞某裝置的宇宙粒子個(gè)數(shù)看作一次試驗(yàn)，連續(xù)記錄40分鐘，依次的數(shù)據(jù)：3001021011034120203110120210123100210312從這40個(gè)數(shù)據(jù)看到，它們只取0，1，2，3，4這五個(gè)值。列出表7.2條形圖宇宙粒子個(gè)數(shù)j頻數(shù)

f

j頻率nj0130.3251130.325280.200350.125410.025根據(jù)表中頻數(shù)

nj(j=0,…,4)的值做出條形圖。例7.2條形圖，j=1,…,m，那么，稱表7.3為這批數(shù)據(jù)1

m如果n個(gè)數(shù)據(jù)x1,,xn

中有n1

個(gè)x；…；nm

個(gè)x

，其中1x

m

。記頻率x的頻率分布。njnjf

數(shù)據(jù)的取值x1…xm出現(xiàn)的頻率f1…fm表7.3數(shù)據(jù)的頻率分布§7.2總體與樣本在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，通常把研究對象的全體稱為總體(population

)（或）。按照總體所包含的

個(gè)數(shù)不同，總體可分為有限總體與無限總體兩大類。把組成總體的每個(gè)成員稱為

。量時(shí)，稱X隨

量X的分布函數(shù)稱為總體分布函數(shù)。當(dāng)X為離散型隨

量時(shí)，稱X的概率函數(shù)為總體概率函數(shù)；當(dāng)X為連續(xù)型隨的密度函數(shù)為總體密度函數(shù)。正態(tài)分布總體的三種類型稱服從正態(tài)分布的總體X為正態(tài)總體。正態(tài)總體有以下三種類型：（1）

未知，但

2已知；（2）

已知，但

2未知；（3）

與

2均未知。抽樣總體X分布是未知的，因此

往往根據(jù)一些數(shù)據(jù)來推測總體的數(shù)字特征，這些數(shù)據(jù)稱為樣本觀測值，記作x1,,

xn

或(x1,,

xn)。數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)n成為樣本（sample）大?。ɑ驑颖救萘浚?。為了得到樣本觀測值，必須抽取一部分

進(jìn)行觀測，這個(gè)過程稱為抽樣。抽樣前，不知道樣本觀測值究竟取何值，把它看為隨

量，記作。稱n維隨

量

為樣本（子樣）。樣本的值域?yàn)闃颖究臻g。(

X1,,

Xn

)為了使得由樣本所做出的推測比較可靠，樣本應(yīng)該能夠反映總體X取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。為此要求樣本(X1,,Xn

)具有下列兩個(gè)特性：(

X1,,

Xn

)（Ⅰ）代表性應(yīng)該與總體X有相同的分布，i=1，…，n；具有上述兩個(gè)特性的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。每一個(gè)Xi（Ⅱ）獨(dú)立性X1

,,Xn應(yīng)該是相互獨(dú)立的隨量。密度函數(shù)設(shè)總體的密度函數(shù)為f(x)，則樣本X1

,,Xn

的聯(lián)合密度函數(shù)為n例如，在正態(tài)總體X1

,,X

n的聯(lián)合密度函數(shù)為f

(x

)i11

n

if

*

(x

,,

x

)

N

(,

2

)下，樣本f

*

(x

,,

x

)

1

n12n(x

)2

exp

i2

2i122ni1n22n

/

2

1

i1(x

),

x

,,

x

(2)

exp

設(shè)總體的樣本函數(shù)為P(X

ai

)

pi

,i

1,2,今后把它記作f(x)，它規(guī)定為f

(x)

P(

X

x),

x

a1,

a2

,樣本X1

,,Xn

的聯(lián)合概率分布函數(shù)為nf

*

(x

,,

x

)

P(

X

x

,,

X

x

)1

n

1

1

nn

n

P(

Xi

xi

)

f

(xi

)i1

i1§7.3經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)定義7.1定義函數(shù)抽樣后定理7.1設(shè)(X1

,,Xn

是)取自總體X的一個(gè)大小為n的樣本。n

1nnF

(x)

1

{X

,,X

中小于或等于x的個(gè)數(shù))－

x

稱函數(shù)Fn

(x)為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的觀測值。如果樣本觀測值(x1,,xn

)的頻率分布如表所示，數(shù)據(jù)的取值x1…xm出現(xiàn)的頻率f1…fmn

1nnF

(x)

1

{x

,,x

中小于或等于x的個(gè)數(shù))那么經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的觀測值nnjf

0F

(x)

j

1

11x

x*x*

x

x*k k

1,

k

1,,

m

1mx

x*對分段函數(shù)Fn

(x)逐段驗(yàn)證便得到所要證明的結(jié)果。n定理7.1中的j

1jkf

稱為相應(yīng)于x*的累積頻率。定理7.2

設(shè)(

X1,,

Xn)

是取自總體X的一個(gè)樣本，總體分布函數(shù)為F(x)。對任意一個(gè)實(shí)數(shù)x與任意一個(gè)ε>0，n證：

對任意一個(gè)固定的實(shí)數(shù)x，定義隨

量lim

P(|

Fn

(x)

F

(x)

|

)

0iY

1,

Xi

x;0,

X

x,

ii

1,,

nY1,,Yn

是獨(dú)立同分布的隨量，且每一個(gè)Yi

B(1,

p)其中，p

P(Yi

1)

P(

Xi

x)

F

(x)nniY，于是，1ni1由經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的定義知道，F(xiàn)

(x)由

大數(shù)定理推得nF

(x)

P

p

F

(x)§7.4統(tǒng)計(jì)量定義7.2

設(shè)總體是一個(gè)樣本，稱X1

,,

X，ni11nn

Xi樣本均值XS

21i(

X

X

)2i1nn

1樣本方差1

nX

kii1S

S

2

,樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本的K階原點(diǎn)矩

Akni(

X

X

)k

,ni11nknSni1i12

X

)2n1樣本的K階中心矩

Mn1

(

X2的觀測值從抽樣后的立場看，有樣本觀測值(x1,,xn

)可以算出樣本均值X

的觀測值inx

1

n

xi1ii1

x)2n

1n

1

(xs2S

21ni(

X

X

)2n

1i1樣本方差定義7.3

樣本(

X1,,

Xn

)的函數(shù)這個(gè)隨 量稱為統(tǒng)計(jì)量，只要它不包含總體分布中任何未知的參數(shù)。例7.4設(shè)(X1

,X

2

,X

3

,X

4

)是取自正態(tài)總體N

(,

2

)的一個(gè)樣本，其中，μ未知但

2

已知。下面哪些是統(tǒng)計(jì)量？42iXi1313X

2i1

i421i1(

X

X

)2

imax(

X1,

X

2

,

X

3

,

X

4

)4i1i(

X

)2;n定理7.3

設(shè)(

X1,,

Xn

)

是取自總體X的一個(gè)樣本，記E(X)=,D(X)=

2

，那么，

2（ⅰ）

E(X)=,D(X)=2

2

22n（ⅱ）

E(S

)=

,

E(S

)=nn

1

,

n

2;2

2n（ⅲ）

當(dāng)n

時(shí),X

P

,

S

2

P

,

S

P2

.證明：（?。┯捎赬1

,,Xn

是獨(dú)立同分布的隨量，且2iE(Xi

)=E(X)=D(

X

)

D(

X

)

i

1,,

n因此E(X)=1nn

E(

Xi

)=1nn

,221

n2

2

;i11D(X)=ninn

nD(

X

)

i122（ⅱ）由于nniiii1(

X

X

2

2

X

X

)(

X

X

)

i12i2iXXi1nn

n

X

2

2

Xi12iX

nX

2ni1因此，由（?。┩频胣nE(

X

2

)

nE(

X

2

)

i1

i1Ei(

X

X

)2

i2

2ni

i[D(

X

)

(EX

)

]

n[D(

X

)

(E

X

)

]i1

2

)

(n

1)

2

2

n(

2

2

)

n(從而得到22n1niE2E(S

)

(

X

X

)

n

1

i1

2nniE1nnE(S

)

(

X

X

)2

n

1

2i1（ⅲ）由獨(dú)立同分布情形下大數(shù)定律得到PX

，利2iXP

2

2用例5.1的結(jié)果：1nni1于是，由定理5.1及（ⅱ）中得到的等式推出ni1nS

2

i122222nnP2i

Xi11n22(x

nx

)

X

(

)

nnn

1S

2S

2

P

2證畢§7.5三個(gè)常用分布定義7.4

設(shè)X1

,,

Xn

是獨(dú)立同分布的隨量，且都服從n2iXi1Y

N(0,1)。稱隨

量所服從的分布為度為n的

2

分布.記作Y

~

2

(n)n2iY

XY的值域?yàn)?0,∞)，下面來推導(dǎo)

i1Y的密度函數(shù)f

(

y)X1

,,Xn

的聯(lián)合密度函數(shù)為*ni1

n

Xi1f

(x

,,

x

)

1212i

x2

/2nf

(xi

)

n2x

}

n

/2e

(2

)exp{

ii1i1當(dāng)y>0時(shí)，Y的分布函數(shù)FY

(

y)

P(

y

Y

)2n

P(

i

1

n

yi1X

y)

P((

X

,,

X

)

D

)yn1nDn

/2

12

)

exp

i1

i

(2x2

dx

dx2nyx

y

i1

1

n

iD

(x

,,

x

)

:其中是n中以原點(diǎn)為球心、以

y

為半徑的n維超球面所圍成的區(qū)域。

2—分布的密度函數(shù)f(y)曲線0,n

1

y

1

y

2f

(

y)

2n

/2

(n

/

2)e

2

,

y

0y

0

2

—分布的密度函數(shù)f(y)曲線其圖形隨度的不同而有所改變.立同分布的隨道，對每一個(gè)（?。┊?dāng)Y

~

2

(n)時(shí)，E(Y)=n，D(Y)=2n；（ⅱ）（

2分布的可加性）設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且X

~

2

(m)Y

~

2

(n)，那么，X

Y

~

2

(m

n)證：1

n1

n其中，X

,,X是獨(dú)量，且都服從N(0,1)。由例4.19知i

1,nE(

X

2

)

1iE(

X

4

)

31

3i定理7.4（

2分布的性質(zhì)）（ⅰ）按

2分布的定義，Y=X

2

,,X

，2因此，由p110例4.19n2iE(

Xi1E(Y

)

)

n42

2nn2iiiD(

XD(Y

)

)

E(

X

)

[E(

X

)]i1

n(3

12

)

2ni1（ⅱ）按

2

分布的定義，記n2iUX

i1U

2mnY

iim1其中，U1,,Umn是獨(dú)立同分布的隨量，其都服從N(0,1)。于是2i2mnX

Y

i1U

(m

n)證畢定義7.5

設(shè)隨稱隨

量T

的概率密度為2Tt

2nn

12

(

n

1)f

(t)

2

(1

)

, (

t

)n

(

n

)量X與Y相互獨(dú)立，且X

~

N

(0,1)，Y

~

2

(n)XYnT所服從的分布為度為n的t分布（或?qū)W生分布），記做T

~

t(n)T的值域是(,)。t分布的密度函數(shù)圖像f(t)關(guān)于t=0(縱軸)對稱。當(dāng)n

時(shí)f(t)的極限為N(0，1)的密度函數(shù)，即n12

t

2e

2

,

x

lim

f

(t)

(t)

t

p

(n)t(n)分布的p分位數(shù)記作tp

(n)

，即當(dāng)

T

~

t(n)

時(shí)，P(T

t

p

(n))

p其中0<p<1.當(dāng)p>1/2時(shí)，可查?附表6求t

p(n)當(dāng)p<1/2時(shí)，有t

p

(n)

t1

p

(n)t1

p

(n)t

p

(n)F分布定義7.6

設(shè)隨稱隨

量量X與Y相互獨(dú)立，且X

~

2

(m)，Y

~

2

(n)XF

mYn所服從的分布是度為(m,n)的F分布，記作F

~

F

(m,n)F分布的

度是一對有序的正整數(shù)，F(xiàn)的值域是(0,∞),F(m,n)分布的密度函數(shù)為0,mm

/2Fm12(mn)/2

(

m

n

)

2

mn

(

n

)

x

(1

n

x),

x

0f

(x)

(m2

2)(

)x

0。當(dāng)

F

~

F

(m,

n)

時(shí)，

1

~

F

(n,

m)F時(shí)，F(xiàn)(m,n)分布的p分位數(shù)記作

Fp

(m,

n)

，即當(dāng)F

~

F

(m,

n)P(F

Fp(m,

n))

p其中0<p<1。當(dāng)p>1/2時(shí)，可查附表7求Fp

(m,n)，1pF

(n,

m)1

p當(dāng)p<1/2時(shí)，有

F

(m,

n)

§7.6抽樣分布一下正態(tài)總體下的抽統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。這里主要樣分布。一、正態(tài)總體的情形設(shè)(

X

,,

X

)是取自正態(tài)總體N

(,

2

)

的一個(gè)樣本。樣1

n本均值X

與樣本方差S

2是兩個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量。定理7.5本。（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）設(shè)(

X1

,,

Xn

)

是取自正態(tài)總體N

(,

)的一個(gè)樣2X

~

N

(,

2

)n，或等價(jià)的n~

N

(0,；1)X

ni(n

1)S

2nS

2

122

2n(

X

X

)2

~

2

(n

1)i1XS

2與 相互獨(dú)立。本，那么定理7.6

設(shè)

(

X1,,

Xn

)是取自正態(tài)總體

N

(,

2

)

的一個(gè)樣nS

Sn

n

1 ~

t(n

1)X

X

S證：把結(jié)論左端改成n

X

n

X

(n

1)S

2

2(n

1)由定理7.5知道，上式右端分子服從N(0,1)，分母中的且二者相互獨(dú)立，因此，由t分布的定義便知結(jié)果成立。~

2

(n

1)(n

1)S

2

2，（?。áⅲ?

m1

1定義7.7設(shè)(

X

,,

X

)是取自正態(tài)總體

N

(

,

2

)的一個(gè)樣本1

n(Y

,,Y

)2

)是取自正態(tài)總體

2

2

的一個(gè)樣本。N

(

,2m

n

2(

X

Y

)

(1

2

)

~

N

(0,1)1＋222

i

1

~

F

(m,

n)mn(

X

)2(Y

)2n

i1

1

n

i

2

i1

2（ⅲ）其中21

222S

2

1S

2~

F

(m

1,

n

1)1

mXimi1XS

221(

Xi

X

)1mY1ni1

iY2m

11i(Y

Y

)2n

1mi1ni1S

2證明：的一個(gè)樣這兩個(gè)正態(tài)總體方差相等，那么（?。?

n21設(shè)

(

X

,,

X

)

是取自正態(tài)總體N

(

,

))是取自正態(tài)總體1

n定理7.8本，(Y,,Y22N

(

,

)

的一個(gè)樣本，即1

21

1Swm

n(

X

Y

)

(

)~

t(m

n

2)2Sw，其中Sw

1

mwS

2i(

X

X

)2m

n

2

i1(Y

Y

)i2ni1（ⅱ）由于

1S

2S

2~

F

(