集合及其表示方法學(xué)案(教師用)集合及其表示方法學(xué)案(教師用)集合及其表示方法學(xué)案(教師用)資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月集合及其表示方法學(xué)案(教師用)版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：1.1.1集合及其表示方法【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】知識(shí)點(diǎn)一集合與元素的定義(1)集合：把一些能夠確定的、不同的對象匯集在一起，就說由這些對象組成一個(gè)集合(有時(shí)簡稱為集)．(2)元素：組成集合的每個(gè)對象都是這個(gè)集合的元素．(3)表示：通常用英文大寫字母A，B，C，…表示集合，用英文小寫字母a，b，c，…表示集合中的元素．知識(shí)點(diǎn)二元素與集合的關(guān)系(1)“屬于”：如果a是集合A的元素，就記作，讀作“a屬于A”．(2)“不屬于”：如果a不是集合A的元素，就記作，讀作“a不屬于A”．知識(shí)點(diǎn)三空集一般地，我們把不含任何元素的集合稱為，記作.知識(shí)點(diǎn)四集合中元素的三個(gè)特性；(2)；(3)．知識(shí)點(diǎn)五集合的分類(1；(2)．知識(shí)點(diǎn)六幾個(gè)常用數(shù)集的固定字母表示知識(shí)點(diǎn)七集合的表示方法集合常見的表示方法有：、、、(以及后面將要學(xué)習(xí)的維恩圖法和數(shù)軸表示法等直觀表示方法)．(1)列舉法：把集合中的元素出來(相鄰元素之間用逗號(hào)分隔)，并寫在內(nèi)，以此來表示集合的方法稱為列舉法．使用列舉法表示集合時(shí)需注意的幾點(diǎn)①元素之間用“，”隔開；②元素不重復(fù)，滿足元素的互異性；③元素?zé)o順序，滿足元素的無序性；④對于含較多元素的集合，如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列舉法，但是必須把元素間的規(guī)律表述清楚后才能用省略號(hào)．(2)描述法：如果屬于集合A的任意一個(gè)元素x都具有性質(zhì)p(x)，而不屬于集合A的元素都不具有這個(gè)性質(zhì)，則性質(zhì)p(x)稱為集合A的一個(gè)．此時(shí)，集合A可以用它的特征性質(zhì)p(x)表示為．這種表示集合的方法，稱為特征性質(zhì)描述法，簡稱為描述法．知識(shí)點(diǎn)八區(qū)間實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為，“∞”讀作“無窮大”，“－∞”讀作“負(fù)無窮大”，“＋∞”讀作“正無窮大”．我們可以把滿足x≥a，x>a，x≤b，x<b的實(shí)數(shù)x的集合分別表示為、、．可以看出，區(qū)間實(shí)質(zhì)上是一類特殊(即由數(shù)軸某一段上所有點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)組成的集合)的符號(hào)表示；例如，大于1且小于10的所有自然數(shù)組成的集合就不能用區(qū)間(1,10)表示.【評價(jià)自測】1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)某校高一年級16歲以下的學(xué)生能構(gòu)成集合．()(2)已知A是一個(gè)確定的集合，a是任一元素，要么a∈A，要么a?A，二者必居其一且只居其一．()(3)對于數(shù)集A＝{1,2，x2}，若x∈A，則x＝0.()(4)對于區(qū)間[2a，a＋1]，必有a<0.()(5)集合{y|y＝x2，x∈R}與{s|s＝t2，t∈R}的元素完全相同．()答案(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√2．做一做(1)下列所給的對象能組成集合的是()A．“金磚國家”成員國 B．接近1的數(shù)C．著名的科學(xué)家 D．漂亮的鮮花(2)用適當(dāng)?shù)姆?hào)(∈，?)填空．0________?，0________{0},0________N，－2________N*，eq\f(1,3)________Z，eq\r(2)________Q，π________R.(3)不等式2x－1≥3的解集可以用區(qū)間表示為________．答案(1)A(2)?∈∈???∈(3)[2，＋∞)【核心素養(yǎng)】題型一集合概念的理解例1下列所給的對象能構(gòu)成集合的是________．①所有的正三角形；②高一數(shù)學(xué)必修第一冊課本上的所有難題；③比較接近1的正數(shù)全體；④某校高一年級的全體女生；⑤平面直角坐標(biāo)系內(nèi)到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)的集合；⑥參加2019年世乒賽的年輕運(yùn)動(dòng)員；⑦a，b，a，c.[解析]①能構(gòu)成集合．其中的元素需滿足三條邊相等．②不能構(gòu)成集合．因“難題”的標(biāo)準(zhǔn)是模糊的，不確定的，故不能構(gòu)成集合．③不能構(gòu)成集合．因“比較接近1”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，所以元素不確定，故不能構(gòu)成集合．④能構(gòu)成集合．其中的元素是“高一年級的全體女生”．⑤能構(gòu)成集合．其中的元素是“到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)”．⑥不能構(gòu)成集合．因?yàn)椤澳贻p”的標(biāo)準(zhǔn)是模糊的，不確定的，故不能構(gòu)成集合．⑦不能構(gòu)成集合．因?yàn)閮蓚€(gè)a是重復(fù)的，不符合集合元素的互異性．[答案]①④⑤【金版點(diǎn)睛】判斷一組對象能否構(gòu)成集合的方法(1)關(guān)鍵：看是否給出一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，使得對于任何一個(gè)對象能按此標(biāo)準(zhǔn)確定它是不是給定集合的元素．(2)切入點(diǎn)：解答此類問題的切入點(diǎn)是集合元素的特性，即確定性、互異性和無序性．【跟蹤訓(xùn)練1】判斷下列說法是否正確？并說明理由．

(1)大于3的所有自然數(shù)組成一個(gè)集合；(2)未來世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個(gè)集合；(3)1,0.5，eq\f(3,2)，eq\f(1,2)組成的集合含有四個(gè)元素；(4)出席2019年全國兩會(huì)的所有參會(huì)代表組成一個(gè)集合．解(1)中的對象是確定的，互異的，所以可構(gòu)成一個(gè)集合，故正確．(2)中的“高科技”標(biāo)準(zhǔn)是不確定的，所以不能構(gòu)成集合，故錯(cuò)誤．(3)中由于0.5＝eq\f(1,2)，不符合集合中元素的互異性，故錯(cuò)誤．(4)中的對象是確定的，所以可以構(gòu)成一個(gè)集合，故正確.題型二元素與集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用例2(1)下列所給關(guān)系正確的個(gè)數(shù)是()①π∈R；②eq\r(3)?Q；③0∈N*；④|－4|?N*.A．1 B．2C．3 D．4(2)集合A中的元素x滿足eq\f(6,6－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素為________．[解析](1)∵π是實(shí)數(shù)，eq\r(3)是無理數(shù)，∴①②正確；∵N*表示正整數(shù)集，而0不是正整數(shù)，故③不正確；又|－4|＝4是正整數(shù)，故④不正確，∴正確的共有2個(gè)．(2)∵eq\f(6,6－x)∈N，x∈N，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(6,6－x)≥0，,x≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6－x>0，,x≥0，))∴0≤x<6，∴x＝0,1,2,3,4,5.當(dāng)x分別為0,3,4,5時(shí)，eq\f(6,6－x)相應(yīng)的值分別為1,2,3,6，也是自然數(shù)，故填0,3,4,5.[答案](1)B(2)0,3,4,5【金版點(diǎn)睛】1.常用數(shù)集之間的關(guān)系2.確定集合中元素的三個(gè)注意點(diǎn)1判斷集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，注意集合中的元素必須滿足互異性.2集合中的元素各不相同，也就是說集合中的元素一定要滿足互異性.3若集合中的元素含有參數(shù)，要抓住集合中元素的互異性，采用分類討論的方法進(jìn)行研究.【跟蹤訓(xùn)練2】(1)用符號(hào)“∈”或“?”填空．①0________N*；②1________N；③1.5________Z；④2eq\r(2)________Q；⑤4＋eq\r(5)________R；⑥若x2＋1＝0，則x________R.(2)設(shè)x∈R，集合A中含有三個(gè)元素3，x，x2－2x.①求實(shí)數(shù)x應(yīng)滿足的條件；②若－2∈A，求實(shí)數(shù)x的值．答案(1)①?②∈③?④?⑤∈⑥?(2)見解析解析(1)①∵0不是正整數(shù)，∴0?N*.②∵1是自然數(shù)，∴1∈N.③∵1.5是小數(shù)，不是整數(shù)，∴1.5?Z.④∵2eq\r(2)是無理數(shù)，∴2eq\r(2)?Q.⑤∵4＋eq\r(5)是無理數(shù)，無理數(shù)是實(shí)數(shù)，∴4＋eq\r(5)∈R.⑥∵滿足x2＋1＝0的實(shí)數(shù)不存在，∴x為非實(shí)數(shù)，∴x?R.(2)①根據(jù)集合元素的互異性，可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠3，,x≠x2－2x，,x2－2x≠3，))即x≠0，且x≠3且x≠－1.②∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，且－2∈A，∴x＝－2.題型三集合中元素的特性例3已知集合A有三個(gè)元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三個(gè)元素：0,1，x.(1)若－3∈A，求a的值；(2)若x2∈B，求實(shí)數(shù)x的值．[解](1)由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3，當(dāng)a－3＝－3時(shí)，a＝0；當(dāng)2a－1＝－3時(shí)，a＝－1.經(jīng)檢驗(yàn)，0與－1都符合要求．得a＝0或－1.(2)當(dāng)x＝0,1，－1時(shí)，都有x2∈B，但考慮到集合元素的互異性，x≠0，x≠1，故x＝－1.【金版點(diǎn)睛】利用集合元素互異性求參數(shù)問題(1)根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出參數(shù)的所有可能值，再根據(jù)集合中元素的互異性對集合中元素進(jìn)行檢驗(yàn)．(也是本講易錯(cuò)問題)(2)利用集合中元素的特性解題時(shí)，要注意分類討論思想的應(yīng)用．【跟蹤訓(xùn)練3】已知集合A包含三個(gè)元素：a－2,2a2＋5a,12，且－3∈A，求a的值．解因?yàn)锳包含三個(gè)元素a－2,2a2＋5a,12，且－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，解得a＝－1或a＝－eq\f(3,2).當(dāng)a＝－1時(shí)，A中三個(gè)元素為：－3，－3,12，不符合集合中元素的互異性，舍去．當(dāng)a＝－eq\f(3,2)時(shí)，A中三個(gè)元素為：－eq\f(7,2)，－3,12，滿足題意．故a＝－eq\f(3,2).題型四集合的分類例4下列各組對象能否構(gòu)成集合？若能，請指出它們是有限集、無限集，還是空集．(1)非負(fù)奇數(shù)；(2)小于18的既是正奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)；(3)在平面直角坐標(biāo)系中所有第三象限的點(diǎn)；(4)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)方程(x2－1)(x2＋2x＋1)＝0的解集；(5)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x＋1＝0，,x＋y＝1))的解構(gòu)成的集合．[解](1)能構(gòu)成集合，是無限集．(2)小于18的質(zhì)數(shù)是2,3,5,7,11,13,17.只有2是偶數(shù)，其余的都是正奇數(shù)，所以能構(gòu)成集合，是有限集．(3)第三象限的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都小于0，能構(gòu)成集合，是無限集．(4)能構(gòu)成集合，注意集合中元素的互異性，集合中的元素是－1，1，是有限集．(5)由x2－x＋1＝0的判別式Δ＝－3<0，方程無實(shí)根，由此可知方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x＋1＝0，,x＋y＝1))無解，能構(gòu)成集合，是空集．【金版點(diǎn)睛】集合的分類方法判斷集合是有限集，還是無限集，關(guān)鍵在于弄清集合中元素的構(gòu)成，從而確定集合中元素的個(gè)數(shù)．【跟蹤訓(xùn)練4】指出下列各組對象是否能組成集合，若能組成集合，則指出集合是有限集、無限集，還是空集．(1)平方等于1的數(shù)；(2)所有的矩形；(3)平面直角坐標(biāo)系中第二象限的點(diǎn)；(4)被3除余數(shù)是1的正數(shù)；(5)平方后等于－3的實(shí)數(shù)；(6)15的正約數(shù)．解(1)中對象能組成集合，它是一個(gè)有限集；(2)中對象能組成集合，它是一個(gè)無限集；(3)中對象能組成集合，它是一個(gè)無限集；(4)中對象能組成集合，它是一個(gè)無限集；(5)中對象能組成集合，它是一個(gè)空集；(6)中對象能組成集合，它是一個(gè)有限集.題型五用列舉法表示集合例5用列舉法表示下列集合：(1)方程eq\f(x2－4,x＋2)＝0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；(2)不大于10的質(zhì)數(shù)集；(3)一次函數(shù)y＝x與y＝2x－1圖像的交點(diǎn)組成的集合．[解](1)方程eq\f(x2－4,x＋2)＝0的實(shí)數(shù)根為2，故其實(shí)數(shù)根組成的集合為{2}．(2)不大于10的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7，故不大于10的質(zhì)數(shù)集為{2,3,5,7}．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝2x－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))故一次函數(shù)y＝x與y＝2x－1圖像的交點(diǎn)組成的集合為{(1,1)}．【金版點(diǎn)睛】用列舉法表示集合應(yīng)注意的三點(diǎn)(1)應(yīng)先弄清集合中的元素是什么，是數(shù)還是點(diǎn)，還是其他元素．(2)集合中的元素一定要寫全，但不能重復(fù)．(3)若集合中的元素是點(diǎn)，則應(yīng)將有序?qū)崝?shù)對用小括號(hào)括起來表示一個(gè)元素．【跟蹤訓(xùn)練5】用列舉法表示下列集合：(1)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－6>0，,1＋2x≥3x－5))的整數(shù)解組成的集合；(2)式子eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)(a≠0，b≠0)的所有值組成的集合．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－6>0，,1＋2x≥3x－5))得3<x≤6，又x為整數(shù)，故x的取值為4,5,6，組成的集合為{4,5,6}．(2)∵a≠0，b≠0，∴a與b可能同號(hào)也可能異號(hào)，則：①當(dāng)a>0，b>0時(shí)，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝2；②當(dāng)a<0，b<0時(shí)，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝－2；③當(dāng)a>0，b<0或a<0，b>0時(shí)，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝0.故所有值組成的集合為{－2,0,2}.題型六用描述法表示集合例6用描述法表示下列集合：(1)坐標(biāo)平面內(nèi)，不在第一、三象限的點(diǎn)的集合；(2)所有被3除余1的整數(shù)的集合；(3)使y＝eq\f(1,x2＋x－6)有意義的實(shí)數(shù)x的集合．[解](1)因?yàn)椴辉诘谝?、三象限的點(diǎn)分布在第二、四象限或坐標(biāo)軸上，所以坐標(biāo)平面內(nèi)，不在第一、三象限的點(diǎn)的集合為{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}．(2)因?yàn)楸?除余1的整數(shù)可表示為3n＋1，n∈Z，所以所有被3除余1的整數(shù)的集合為{x|x＝3n＋1，n∈Z}．(3)要使y＝eq\f(1,x2＋x－6)有意義，則x2＋x－6≠0.由x2＋x－6＝0，得x1＝2，x2＝－3.所以使y＝eq\f(1,x2＋x－6)有意義的實(shí)數(shù)x的集合為{x|x≠2且x≠－3，x∈R}．【金版點(diǎn)睛】用描述法表示集合的注意點(diǎn)(1)用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清集合的屬性，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類型．一般地，數(shù)集用一個(gè)字母代表其元素，而點(diǎn)集則用一個(gè)有序數(shù)對來表示．(2)用描述法表示集合時(shí)，若描述部分出現(xiàn)元素記號(hào)以外的字母，要對新字母說明其含義或取值范圍．(3)多層描述時(shí)，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi)．【跟蹤訓(xùn)練6】試用描述法表示下列集合：(1)方程x2－x－2＝0的解集；(2)大于－1且小于7的所有整數(shù)組成的集合．解(1)方程x2－x－2＝0的解可以用x表示，它滿足的條件是x2－x－2＝0，因此，方程的解集用描述法表示為{x∈R|x2－x－2＝0}．(2)大于－1且小于7的整數(shù)可以用x表示，它滿足的條件是x∈Z，且－1<x<7，因此，該集合用描述法表示為{x∈Z|－1<x<7}.題型七列舉法和描述法的綜合運(yùn)用例7集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一個(gè)元素，試求實(shí)數(shù)k的值，并用列舉法表示集合A.[解]①當(dāng)k＝0時(shí)，原方程為16－8x＝0，∴x＝2，此時(shí)A＝{2}，符合題意．②當(dāng)k≠0時(shí)，由集合A中只有一個(gè)元素，∴方程kx2－8x＋16＝0有兩個(gè)相等實(shí)根．即Δ＝64－64k＝0，即k＝1，從而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．綜上所述，實(shí)數(shù)k的值為0或1.當(dāng)k＝0時(shí)，A＝{2}；當(dāng)k＝1時(shí)，A＝{4}．[條件探究]把本例條件“只有一個(gè)元素”改為“有兩個(gè)元素”，求實(shí)數(shù)k取值范圍的集合．解由題意可知方程kx2－8x＋16＝0有兩個(gè)不等的實(shí)根．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝64－64k＞0，))解得k＜1且k≠0.∴k的取值范圍的集合為{k|k＜1且k≠0}．【金版點(diǎn)睛】分類討論思想在集合中的應(yīng)用(1)①本題在求解過程中，常因忽略討論k是否為0而漏解．②由kx2－8x＋16＝0是否為一元二次方程而分k＝0和k≠0兩種情況，注意做到不重不漏．(2)解答與集合描述法有關(guān)的問題時(shí)，明確集合中的代表元素及其共同特征是解題的切入點(diǎn)．【跟蹤訓(xùn)練7】(1)設(shè)集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(6,2＋x)))∈N)).①試判斷元素1,2與集合B的關(guān)系；②用列舉法表示集合B.(2)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．解(1)①當(dāng)x＝1時(shí)，eq\f(6,2＋1)＝2∈N.當(dāng)x＝2時(shí)，eq\f(6,2＋2)＝eq\f(3,2)?N.所以1∈B,2?B.②∵eq\f(6,2＋x)∈N，x∈N，∴2＋x只能取2,3,6，∴x只能取0,1,4.∴B＝{0,1,4}．(2)由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的兩根為2,3，由根與系數(shù)的關(guān)系，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋3＝a，,2×3＝b，))因此a＝5，b＝6.題型八集合中的新定義問題例8已知集合A＝{1,2,4}，則集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)為()A．3 B．6C．8 D．9[解析]根據(jù)已知條件，列表如下：由上表可知，B中的元素有9個(gè)，故選D.[答案]D【金版點(diǎn)睛】本例借助表格語言，運(yùn)用列舉法求解.表格語言是常用的數(shù)學(xué)語言，表達(dá)問題清晰，明了；列舉法是分析問題的重要的數(shù)學(xué)方法，通過“列舉”直接解決問題或發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律，此方法通常配合圖表含樹形圖使用.【跟蹤訓(xùn)練8】定義A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，設(shè)A＝{1,2}，B＝