1第八章振動(dòng)§1

彈性系統(tǒng)的自由振動(dòng)§2

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成§3

彈性系統(tǒng)的阻尼振動(dòng)§4

彈性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)與共振2振動(dòng)與波無(wú)所不在振動(dòng)與波是橫跨物理學(xué)各分支學(xué)科的最基本的運(yùn)動(dòng)形式。運(yùn)動(dòng)方式——平動(dòng)Translational

轉(zhuǎn)動(dòng)Rotational

振動(dòng)Vibrational3簡(jiǎn)述

振動(dòng)：是一種廣泛存在的運(yùn)動(dòng)方式(狀態(tài))。

機(jī)械振動(dòng)(力學(xué))：物體在平衡位置附近往復(fù)作周期性運(yùn)動(dòng)(如吉他弦、鼓皮、單擺振蕩)廣義：一個(gè)物理量在圍繞平衡值做周期性變化(如電磁場(chǎng)、電流、電壓的振蕩)

即宏觀(guān)、微觀(guān)和宇觀(guān)普遍存在的一種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

振動(dòng)是波動(dòng)的基礎(chǔ)，波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播。人類(lèi)生活(浸沒(méi))在波場(chǎng)中——電磁波、光波、聲波。在物理的各個(gè)分支學(xué)科里振動(dòng)和波的具體內(nèi)容不同，但形式上極大相似，描述方式，處理方法乃至結(jié)果的數(shù)學(xué)形式，均可“類(lèi)比”——故本章及波動(dòng)一章的意義不僅限于力學(xué)，為學(xué)好以后內(nèi)容都將打下基礎(chǔ)。但力學(xué)振動(dòng)直觀(guān)、具體、形象，故為切入點(diǎn)。4內(nèi)容架構(gòu)簡(jiǎn)諧振動(dòng)定義(力、方程、運(yùn)動(dòng)學(xué))三個(gè)特征量——運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)振動(dòng)的合成與分解阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)自由振動(dòng)是無(wú)外界策動(dòng)力的振動(dòng)，即無(wú)外界能量補(bǔ)充的振動(dòng)彈性系統(tǒng)自由振動(dòng)：無(wú)阻尼力，內(nèi)無(wú)能量轉(zhuǎn)化；無(wú)外界策動(dòng)力，與外界無(wú)能量交換，僅在內(nèi)部彈性力作用下的振動(dòng)力與能量?jī)蓚€(gè)角度闡述SimpleHarmonicOscillation5§1

彈性系統(tǒng)的自由振動(dòng)一、一維彈簧振子二、廣義彈性力三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)特征量四、雙振子——雙原子分子的振動(dòng)模式費(fèi)曼：我們將要學(xué)習(xí)的簡(jiǎn)諧振子，在很多領(lǐng)域有與之非常相似的對(duì)象。雖然我們從彈簧下懸重物、小擺動(dòng)的單擺或某種其它機(jī)械手段開(kāi)始學(xué)習(xí)某種微分方程。而該方程一再出現(xiàn)于物理學(xué)和其它科學(xué)，且實(shí)際上是如此眾多現(xiàn)象中的要素以至對(duì)它作仔細(xì)的研究是頗有價(jià)值的。6一、一維彈簧振子——諧振動(dòng)的典型模型連接在一起的一個(gè)忽略了質(zhì)量的彈簧和一個(gè)不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)。施力使m至x處自由靜止放手，此后在f力作用下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)簡(jiǎn)述xkfO物體受到的合外力：彈性(線(xiàn)性)回復(fù)力與x成正比，“彈性(線(xiàn)性)”x=0，f=0運(yùn)動(dòng)存在平衡位置“－”表明力指向平衡位置，“回復(fù)”此后再回到此處，從受力分析入手——物體受彈性回復(fù)力，則作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。這是判據(jù)，也是諧振動(dòng)的一種定義。7牛二定律運(yùn)動(dòng)方程令這是一個(gè)x對(duì)t的二階常微分方程。解法有二：

(1)常規(guī)(標(biāo)準(zhǔn))解法

(2)“猜解”求解微分方程即積分求原函數(shù)8方程特點(diǎn)：函數(shù)x對(duì)t微商兩次后還原，即“再現(xiàn)自身”，僅差一個(gè)常系數(shù)并添一個(gè)負(fù)號(hào)，這樣的函數(shù)有應(yīng)用歐拉公式可化為指數(shù)(包括復(fù)指數(shù))形式取驗(yàn)證滿(mǎn)足方程根據(jù)微分方程理論，“初值定解”即A0、0兩個(gè)積分常數(shù)由初位置x0和初速度v0確定為通解9結(jié)論——簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義1.微分方程定義：物體運(yùn)動(dòng)的微分方程可寫(xiě)為形式，則該物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。0是系統(tǒng)性質(zhì)決定的常數(shù)。2.物體受力定義(溯源)：物體在彈性(線(xiàn)性)回復(fù)力f=-kx作用下的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。3.運(yùn)動(dòng)學(xué)定義(位移函數(shù)解定義)：物體位移滿(mǎn)足x(t)=Acos(0t+0)的運(yùn)動(dòng)成為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。0是系統(tǒng)性質(zhì)決定的常數(shù)。三者等效；1、2為動(dòng)力學(xué)定義，3為運(yùn)動(dòng)學(xué)定義；

2為1的“上游”，3為1的“下游”。10

稱(chēng)角頻率，以至簡(jiǎn)稱(chēng)為頻率，也稱(chēng)為固有(本征)頻率，由系統(tǒng)性質(zhì)，彈性k和慣性質(zhì)量m決定，與初條件無(wú)關(guān)。初值決定A和0:兩式平方相加即振幅兩式相除即初相位中學(xué)知識(shí)有振幅A和初相位0

，其物理意義今后再展開(kāi)深化。11二、廣義彈性力1.復(fù)擺：可繞水平固定軸擺動(dòng)的剛體０Ｃ估算：18~0.32rad，取前兩項(xiàng)重力形成的力矩小角近似不足2％即在18擺角下，用sin也僅有2％的誤差。取=18，sin=0.3090218，故有<0.02即2％的誤差12故０Ｃ彈性(線(xiàn)性)回復(fù)力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定理令132.單擺——復(fù)擺特例裝置如圖，rC=l，I=ml2則有143.恒力作用下的彈簧振子Oxx0xO運(yùn)動(dòng)方程自然端點(diǎn)O，平衡時(shí)端點(diǎn)O:解為簡(jiǎn)諧振動(dòng)0不變，平衡點(diǎn)O15三、三個(gè)特征量1.角頻率(固有圓頻率)0、周期T和頻率f差別和特點(diǎn)把握：具有不同的特征量，振幅、角頻率(周期、頻率)及相位和初相位，簡(jiǎn)諧振動(dòng)：有著共同的規(guī)律(動(dòng)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué))形式，

即式中振幅角頻率初相位

運(yùn)動(dòng)學(xué)：最基本特點(diǎn)為其時(shí)間周期性

以單擺為例，經(jīng)歷時(shí)間間隔T，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)復(fù)原，完成一次全振動(dòng)，此后又重復(fù)前述運(yùn)動(dòng)，并周而復(fù)始地運(yùn)動(dòng)下去。16定義：周期T—完成一次全振動(dòng)所用的時(shí)間，單位：s秒頻率f—單位時(shí)間內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)，單位：Hz赫茲根據(jù)周期定義，t時(shí)刻和t+T時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)—位置和速度相同

建立0與T和f的關(guān)系具體為同時(shí)滿(mǎn)足以上兩方程，應(yīng)有單位時(shí)間內(nèi)相位的變化諧振動(dòng)位移函數(shù)可寫(xiě)為以下三種形式17角頻率(固有圓頻率)0的總結(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)含義0=2f為頻率的2倍，反映振動(dòng)快慢。而2對(duì)應(yīng)一個(gè)單位圓(全平面)的平面角，故名圓頻率(角頻率)動(dòng)力學(xué)含義前面已知0由系統(tǒng)性質(zhì)決定，故用“固有”、“本征”的前綴，合成動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)含義，則稱(chēng)固有頻率或本征圓頻率?！獜姆Q(chēng)謂中體會(huì)其物理意義。系統(tǒng)性質(zhì)再認(rèn)識(shí)彈簧振子(水平和豎直)復(fù)擺單擺k及(-kx)彈性回復(fù)力mgrC及(-mgrC)彈性回復(fù)力矩m和I反映系統(tǒng)慣性反映系統(tǒng)彈性慣性導(dǎo)致系統(tǒng)到達(dá)平衡卻不靜止彈性使系統(tǒng)恢復(fù)平衡

彼此銜接聯(lián)合作用形成系統(tǒng)自給和諧的振動(dòng)182.振幅和振動(dòng)能量有x—t圖，標(biāo)出T和AAx(t)t

OT根據(jù)A的運(yùn)動(dòng)學(xué)含義中，偏離平衡位置的最大位移(距離)稱(chēng)為振幅A，A總?cè)≌怠?9動(dòng)力學(xué)含義：以彈簧振子為例，考察系統(tǒng)能量，設(shè)0=0機(jī)械能振子的動(dòng)能和勢(shì)能都隨時(shí)間周期性地變化，且幅值相同，動(dòng)能勢(shì)能互相轉(zhuǎn)化，振子的機(jī)械能守恒。EA2，即振幅標(biāo)志著系統(tǒng)能量，這是A的動(dòng)力學(xué)含義。提供了計(jì)算A的另一種方法，20從Ek、Ep的表達(dá)式知，其周期為x(或)的1/2；或其頻率、圓頻率為x(或)的2倍。T2TT/2T一個(gè)周期T內(nèi)，平均動(dòng)能等于平均勢(shì)能，即一個(gè)周期動(dòng)能和勢(shì)能等分總能量。21證明：＝0同理223.相位(t)和初相位0A、0是諧振動(dòng)的整體性特征量(t)=0t+0

稱(chēng)為相位(位相)，是逐點(diǎn)刻畫(huà)振動(dòng)狀態(tài)的物理量。式中叫初相位，是t=0時(shí)(t)的數(shù)值，且已知下面以諧振子為例，用列表和圖形方式印證相位0t0/2

3/22位移x

A0-A0A速度0-0A0

0A0位置-02A002A0-02A時(shí)間t0T/4T/23T/4

T23Axoxotxo-AxoAxotttt24引入相位后，即可討論相位差——因今后常要與之“打交道”1)同一振動(dòng)不同時(shí)刻的相位差與時(shí)間間隔成正比，時(shí)間變化一個(gè)周期，相位變化2。與t成正比，進(jìn)而t0t參量代換(時(shí)間t變化一個(gè)周期T，相位變化2，運(yùn)動(dòng)復(fù)原)——即簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可以用一個(gè)周期內(nèi)，相位0～2間的變化全面反映出來(lái)。252)同一時(shí)刻兩個(gè)同頻振動(dòng)的相位差等于初相位之差上式表明，同一時(shí)刻兩個(gè)同頻諧振動(dòng)的相位差等于初相位之差。26討論:(a)當(dāng)=2k時(shí)，稱(chēng)兩個(gè)振動(dòng)為同相；txoA1-A1A2-A2x1x2T同相(b)當(dāng)=(2k+1)

時(shí)，稱(chēng)兩個(gè)振動(dòng)為反相；ox2TxA1-A1A2-A2x1t反相(d)當(dāng)<0

時(shí)，稱(chēng)第二個(gè)振動(dòng)落后第一個(gè)振動(dòng)。(c)當(dāng)>0

時(shí)，稱(chēng)第二個(gè)振動(dòng)超前第一個(gè)振動(dòng)；x2TxoA1-A1A2-A2x1t位相差反映了兩個(gè)振動(dòng)不同程度的參差錯(cuò)落，其物理意義是反映兩振動(dòng)的步調(diào)關(guān)系。在振動(dòng)合成，波的疊加，以至波的干涉、衍射問(wèn)題中經(jīng)常涉及，很重要。273)相位可以用來(lái)比較不同物理量變化的步調(diào)，對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移、速度和加速度，存在:速度的相位比位移的相位超前/2，加速度的相位比位移的相位超前。28例1兩根一樣的彈簧(勁度系數(shù)k，自然長(zhǎng)l)連接質(zhì)點(diǎn)m在光滑水平面上，彈簧的一端分別固定在相距2l的墻上。m運(yùn)動(dòng)到墻的中間時(shí)候，突然將質(zhì)量M的質(zhì)點(diǎn)(M粘上前速度為0)。求M粘上前后振動(dòng)系統(tǒng)的圓頻率之比和振幅之比？解：分析彈性力。設(shè)物體向左位移x，其受力如上圖。kkMm2lm-kx-kx得到29說(shuō)明：0——系統(tǒng)固有性質(zhì)，由彈性k和慣性m決定，故分析裝置即可求得。A——初值定解，初值x0和0的求得往往要綜合運(yùn)用其他力學(xué)知識(shí)。粘上M后，彈性元件未變，慣性元件由m變?yōu)閙+M，故兩情況下圓頻率之比為30粘上M前，x01=0，并設(shè)速度為0，則粘上M后為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，x02=0，且水平方向動(dòng)量守恒，則有式中是粘上(M+m)的共同速度，即振動(dòng)系統(tǒng)的初速度，代入A2的計(jì)算公式則有本題也可采用能量方法求解31四、多自由度保守系的振動(dòng)在小角度近似下，耦合擺的動(dòng)力學(xué)方程為12輕彈簧連接的耦合擺分別以懸掛點(diǎn)為參考點(diǎn)，根據(jù)角動(dòng)量定理雙振子-雙原子分子振動(dòng)模式（藍(lán)寶書(shū)8.3節(jié)，圖8-7）32引入兩個(gè)新的參量小角度耦合擺的振動(dòng)是兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加簡(jiǎn)正模normalnode方程變換為33兩個(gè)自由度三個(gè)自由度四個(gè)自由度多自由度的簡(jiǎn)正模34苯基的簡(jiǎn)正振動(dòng)苯的簡(jiǎn)正振動(dòng)前六個(gè)基態(tài)前六個(gè)激發(fā)態(tài)35§2

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的幾何表示——旋轉(zhuǎn)矢量法一長(zhǎng)度等于振幅A

的矢量

M

點(diǎn)在

x

軸上投影點(diǎn)(P點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

0oxp0

t+0M0t=0M0在紙平面內(nèi)繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，其角速度大小與諧振動(dòng)的角頻率0相等這個(gè)矢量稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)矢量。旋轉(zhuǎn)矢量法優(yōu)點(diǎn)：形象、直觀(guān)；表示振動(dòng)合成時(shí)更如此37說(shuō)明：1.旋轉(zhuǎn)矢量的方向:逆時(shí)針?lè)较颍?.旋轉(zhuǎn)矢量和諧振動(dòng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。振動(dòng)相位ωt+φ0的長(zhǎng)度振幅A角頻率ω旋轉(zhuǎn)的角速度與參考方向x

的夾角旋轉(zhuǎn)矢量簡(jiǎn)諧量x方向投影x(t)注意：僅是“對(duì)應(yīng)”而非“是”可逆：簡(jiǎn)諧量有對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量38物理模型與數(shù)學(xué)模型比較A簡(jiǎn)諧振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量t+T振幅初相相位圓頻率諧振動(dòng)周期半徑初始角坐標(biāo)角坐標(biāo)角速度圓周運(yùn)動(dòng)周期393.兩個(gè)諧振動(dòng)的相位差相位之差為采用旋轉(zhuǎn)矢量表示為：40二、同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成(光)波的干涉與衍射合振動(dòng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧分振動(dòng)。

著眼波場(chǎng)——波的疊加著眼各場(chǎng)點(diǎn)——振動(dòng)合成

振動(dòng)合成的背景確定合振動(dòng)即確定其特征量A、、0方法有二矢量圖解法——選用此法三角公式法——自習(xí)41作t=0時(shí)刻的矢量圖，=0同頻，即和“固聯(lián)”故的=0，且大小不變由余弦定理干涉項(xiàng)結(jié)論：合振動(dòng)仍是一個(gè)諧振動(dòng)，振動(dòng)頻率與分振動(dòng)的頻率相同；合振動(dòng)的振幅和初相位由分振動(dòng)的振幅和初相位決定。42討論：振幅中的干涉項(xiàng)1.當(dāng)時(shí)相位：同相位振幅：A＝A1＋A2最大，振動(dòng)加強(qiáng)——干涉極大，亮紋2.當(dāng)時(shí)相位：反相位振幅：A＝|A1

A2|

最小，振動(dòng)減弱；特別是A1＝A2時(shí)，A＝0——干涉相消，暗紋3.當(dāng)為其他值時(shí)，一般情況，即總結(jié)以上結(jié)論：兩振動(dòng)的相位差(初相位差)對(duì)合振動(dòng)的強(qiáng)弱起決定性作用

(再次體會(huì)相位概念的重要)43三、同方向不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成?

拍現(xiàn)象觀(guān)察：音叉音箱的拍音簡(jiǎn)單設(shè)：A1=A2=A，適當(dāng)取t=0，使10=20=0分振動(dòng)為10~1

20~2合振動(dòng)當(dāng)都較大1,2，相差都很小*(也可1,2>>=2-1)，應(yīng)用和差化積公式，合振動(dòng)為差頻和頻低頻高頻振動(dòng)調(diào)制44可以近似地將合振動(dòng)看成振幅按緩慢變化的圓頻率為的準(zhǔn)“簡(jiǎn)諧振動(dòng)”。按照合成x(t)作圖如下xT拍T差T拍T和t2AO(調(diào)制)45式中和圖中出現(xiàn)了幾個(gè)頻率和相應(yīng)的周期，分述如下：1T和是和頻——位移變化的頻率2T差是差頻——差頻對(duì)和頻或說(shuō)低頻對(duì)高頻的調(diào)制頻率3拍頻*——振幅變化的頻率或波包的頻率拍頻是兩個(gè)分振動(dòng)頻率之差拍頻——單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)46拍定義頻率都較大，但兩者相差很小的兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成時(shí)產(chǎn)生的合振動(dòng)的振幅隨時(shí)間周期性變化的現(xiàn)象叫做“拍”。拍頻f＝f2－f147拍現(xiàn)象的應(yīng)用1)測(cè)定頻率：已知標(biāo)準(zhǔn)頻率f2(或f1)，測(cè)定拍頻，應(yīng)用f=f2–f1則可測(cè)定f2(或f1)。低頻f易測(cè)。2)鋼琴校準(zhǔn)：標(biāo)準(zhǔn)音叉發(fā)聲f2，鋼琴發(fā)聲f1，調(diào)整f1，使得f＝f2－f1＝0則校準(zhǔn)。常有盲人調(diào)音師，耳聰目不明，是人的“代償作用”。3)廣播電視技術(shù)：發(fā)射：調(diào)制(混波)解決長(zhǎng)波(低頻)損耗。接收：解調(diào)(檢波)收到聲音、畫(huà)面等音頻、視頻信號(hào)。4)樂(lè)器演奏：雙簧管中發(fā)同一音的兩個(gè)簧片的頻率稍有差別，則可發(fā)出抑揚(yáng)頓挫的聲音。48手風(fēng)琴的中音簧：鍵盤(pán)式手風(fēng)琴(Accordion)的兩排中音簧的頻率大概相差6到8個(gè)赫茲，其作用就是產(chǎn)生“拍”頻。而俄羅斯的“巴揚(yáng)”——紐扣式手風(fēng)琴則是單簧片的，因此沒(méi)有拍頻造成的顫音效果。利用拍頻測(cè)速：從運(yùn)動(dòng)物體反射回來(lái)的波的頻率由于多普勒效應(yīng)要發(fā)生微小的變化，通過(guò)測(cè)量反射波與入射波所形成的拍頻，可以算出物體的運(yùn)動(dòng)速度。這種方法廣泛應(yīng)用于對(duì)衛(wèi)星、各種交通工具的雷達(dá)測(cè)速裝置中。聲振動(dòng)、電磁振蕩和波動(dòng)中是經(jīng)常遇到的。利用拍現(xiàn)象還可以測(cè)定振動(dòng)頻率、校正樂(lè)器和制造差拍振蕩器等等同步鎖模：上面關(guān)于拍頻現(xiàn)象的討論只是數(shù)學(xué)計(jì)算的結(jié)果。這只是問(wèn)題的一種可能。如果這兩個(gè)分振動(dòng)，通過(guò)一定物理?xiàng)l件，使二者發(fā)生了非線(xiàn)性耦合，那么上面那種簡(jiǎn)單的線(xiàn)性疊加就不再成立，而會(huì)出現(xiàn)所謂“同步鎖?！爆F(xiàn)象，即兩個(gè)分振動(dòng)的頻率鎖定在同一頻率上。49四、垂直方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成背景：光的偏振演示李薩如圖1:1x、y兩個(gè)方向分振動(dòng)頻率相同=y-xy振動(dòng)與x振動(dòng)的相位差這是以t為參量的軌道方程；消去t，可得合振動(dòng)的軌道方程為橢圓軌道方程(性狀由相位差決定)——橢圓振動(dòng)50“*”軌道方程的推導(dǎo)(1)/Ax，(2)/Ay平方后相加應(yīng)用cos(+)=coscos－sinsin

。左側(cè)略寫(xiě)，僅寫(xiě)右側(cè)，則有應(yīng)用sin2=1－cos2，則上式為移項(xiàng)，寫(xiě)全51討論1.=0

討論同步變化：x最大，y最大

x＝0，y＝0…Oyx表明為過(guò)原點(diǎn)位于一、三象限的直線(xiàn)S考察直線(xiàn)上一點(diǎn)S合振動(dòng)仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率仍為0，振幅為2.=為表明為過(guò)原點(diǎn)位于二、四象限的直線(xiàn)523.=/2為正橢圓yxO(順時(shí)針)右旋動(dòng)態(tài)分析，當(dāng)x最大時(shí)，由于=/2，y過(guò)平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，故為右旋正橢圓或者4.=3/2為左旋正橢圓(逆時(shí)針)53特例右旋圓1.一、二象限右旋，三、四象限左旋左旋圓=/2=3/2==0總結(jié)2.一、四象限右傾，二、三象限左傾3.=0，退化為直線(xiàn)=/2,3/2

且Ax=Ay退化為圓結(jié)果如圖54五、垂直方向不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成當(dāng)兩個(gè)互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率不同時(shí)，合成的軌道與頻率之比和兩者的相位都有關(guān)系，圖形一般較為復(fù)雜，很難用數(shù)學(xué)式子表達(dá)。當(dāng)兩者的頻率之比是有理數(shù)(簡(jiǎn)單整數(shù)比)時(shí)合運(yùn)動(dòng)是周期運(yùn)動(dòng)，軌道是閉合的曲線(xiàn)或有限的曲線(xiàn)段，這種圖形稱(chēng)為李薩如圖形(Lissajousfigure)x、y兩垂直方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)穩(wěn)定軌道的形狀不僅取決于頻率比與相位差，還與初相位x，y有關(guān)55測(cè)量振動(dòng)頻率和相位的方法李薩如圖56由李薩如圖形求振動(dòng)周期比解I：簡(jiǎn)諧振動(dòng)從1點(diǎn)出發(fā)回到1點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間Tx方向經(jīng)歷的完整振動(dòng)周期(1,2,3)(3,4,5)(5,6,1)y方向經(jīng)歷的完整振動(dòng)周期(1,2,3,4)(4,5,6,1)T＝3Tx＝2Ty或Tx:Ty＝2:3123456解II：每經(jīng)一次振動(dòng)周期x方向振動(dòng)必定與y軸相交兩次。即過(guò)x=0的平衡點(diǎn)兩次。若T＝mTx，在T時(shí)間內(nèi)與y軸相交2m次若T＝nTy，在T時(shí)間內(nèi)與x軸相交2n次Tx:Ty＝m:n=曲線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)數(shù)：曲線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)數(shù)過(guò)交點(diǎn)時(shí)數(shù)目為記為相交次數(shù)Tx:Ty=4:6=2:3Tx:Ty=2:357當(dāng)x

與y

不成整數(shù)比時(shí)，合振動(dòng)的軌跡不再是閉合曲線(xiàn)。當(dāng)相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率之比是無(wú)理數(shù)時(shí)，合成的運(yùn)動(dòng)將永遠(yuǎn)不會(huì)重復(fù)已走過(guò)的路徑，它的軌跡將逐漸密布在由振幅所限定的矩形面積內(nèi)。準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)在結(jié)構(gòu)上不穩(wěn)定，參量稍有變化，例如引入微弱的耦合，構(gòu)成它的兩個(gè)振動(dòng)的頻率就會(huì)被鎖定到一個(gè)相近的有理數(shù)比值上，這是一種同步鎖?，F(xiàn)象。利用李薩如圖形的這些性質(zhì)，可精確判定兩種頻率是否成整數(shù)比，并可據(jù)此由己知頻率確定未知頻率。

58任意周期運(yùn)動(dòng)的分解－傅里葉分析

在數(shù)學(xué)上，一個(gè)周期為T(mén)的函數(shù)x(t),可以被展開(kāi)為一系列不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加－傅里葉展開(kāi)基頻決定音調(diào)

f1稱(chēng)為基頻即原函數(shù)的頻率，其他頻率為基頻的整數(shù)倍，二倍頻，三倍頻等……Cn稱(chēng)為傅立葉系數(shù)，決定于原函數(shù)的形狀。倍頻決定音色

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是最基本最典型的一種振動(dòng)

簡(jiǎn)諧振動(dòng)是各種周期運(yùn)動(dòng)的基元成分59例6

方波60cnnf161方波：x1t0x3t0x5t00ta0Tx0+x1+x3+x5t0Tx2n

=0,n=1,2,3,…ta0/20x0

思考：有時(shí)贊譽(yù)一歌唱家：聲音洪亮音域?qū)拸V音色甜美這各指什么物理因素?

62例7

鋸齒波6364例8

δ函數(shù)定義另一種形式的δ函數(shù)性質(zhì)6566北京大鐘寺內(nèi)的巨鐘的頻譜圖人耳只對(duì)諧頻的振幅敏感，對(duì)相位不敏感0100200300400500f(Hz)67永樂(lè)大鐘

明代永樂(lè)年間北京鑄造的永樂(lè)大鐘，材料為銅、錫、鉛合金，結(jié)構(gòu)合理，鑄造工藝精湛，至今音響依然圓潤(rùn)宏亮，具有明顯的音樂(lè)效果，鐘聲可傳四五十公里，余音達(dá)2分鐘之久。大鐘高6.96米，鐘口直徑3.3米，重46.5噸。鐘上鑄有精美陽(yáng)文楷書(shū)、佛教經(jīng)咒文字約23萬(wàn)個(gè)。永樂(lè)大鐘以精湛的鑄造工藝、第一流的聲學(xué)特性，代表了我國(guó)古代在冶煉鑄造、聲學(xué)等方面的技術(shù)已達(dá)到極高的水平。現(xiàn)藏于北京海淀區(qū)大鐘寺內(nèi)。

永樂(lè)大鐘鐘聲悠揚(yáng)悅耳，經(jīng)專(zhuān)家測(cè)試，其聲音振動(dòng)頻率與音樂(lè)上的標(biāo)準(zhǔn)頻率相同或相似，輕擊時(shí)，圓潤(rùn)深沉；重?fù)魰r(shí)，渾厚洪亮，音波起伏，節(jié)奏明快優(yōu)雅。聲音最遠(yuǎn)可傳90里，尾音長(zhǎng)達(dá)2分鐘以上。68§3

彈性系統(tǒng)的阻尼振動(dòng)一、阻尼振動(dòng)的微分方程自由振動(dòng)是理想情形，其中能量守恒，振幅不隨時(shí)間改變。而實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)當(dāng)沒(méi)有外界的能量補(bǔ)充時(shí)，振幅都要隨時(shí)間逐漸衰減。振幅：存在阻尼力振動(dòng)能量以波的形式向周?chē)鷤鞑ズ?jiǎn)諧振動(dòng)：理想情況，E=C(守恒)阻尼振動(dòng)：實(shí)際情況，E

，振幅AE

：介質(zhì)阻力作負(fù)功，轉(zhuǎn)化為熱能；以波的形式輻射能量69統(tǒng)一表達(dá)成比例系數(shù)叫阻力系數(shù)受力分析：阻尼振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程整理得阻尼因子固有頻率阻尼振動(dòng)的微分方程70二、三種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)阻尼振動(dòng)方程二階常系數(shù)常微分方程弱阻尼：振動(dòng)存在，但周期變長(zhǎng)，振幅隨時(shí)間減小，最終振動(dòng)停止；臨界阻尼：不可能振動(dòng)，但趨于平衡最快；過(guò)阻尼：不可能振動(dòng)，但趨于平衡變慢。根據(jù)微分方程理論，隨著的不同，方程有不同類(lèi)型的解，分別討論711.弱阻尼時(shí),阻尼振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的方程解為阻尼振動(dòng)的角頻率:A00

積分常數(shù)，由初始條件x0

0決定cos(t+0)仍具有時(shí)間周期性，0作用的結(jié)果，則阻尼振動(dòng)的周期顯然，當(dāng)0時(shí)，

=0回到諧振動(dòng)A0e-t

反映阻力作用下振幅的衰減72對(duì)數(shù)減縮：相隔一個(gè)周期前后兩振幅之比的自然對(duì)數(shù)吸引子(attractor)振子機(jī)械能的耗散機(jī)械能的減少是由于阻尼力提供了負(fù)的功率t時(shí)刻振子能量為E，經(jīng)過(guò)一個(gè)周期振子損失的能量為E73弱阻尼振動(dòng)曲線(xiàn)如圖xto

振幅隨時(shí)間t

作指數(shù)衰減近似為簡(jiǎn)諧振動(dòng)阻尼振動(dòng)周期比系統(tǒng)的固有周期長(zhǎng)742.強(qiáng)阻尼

C1和C2由初條件決定。時(shí)，阻尼較大，特征方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，這時(shí)方程的解為

這種強(qiáng)阻尼運(yùn)動(dòng)方式是非周期運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)從開(kāi)始最大位移緩慢回到平衡位置，不再做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。75如單擺放在粘滯的油筒中擺到平衡位置須很長(zhǎng)時(shí)間。763.臨界阻尼時(shí)，方程只有一個(gè)重根，微分方程的解為

即是物體不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)的極限。系統(tǒng)從周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)榉侵芷谡駝?dòng)，稱(chēng)為臨界阻尼。臨界阻尼的回復(fù)時(shí)間最短。

C1和C2由初條件決定77臨界阻尼時(shí)，系統(tǒng)一次性地回到平衡狀態(tài)，但所用的時(shí)間比過(guò)阻尼狀態(tài)要短。達(dá)到平衡位置的時(shí)間最短，但仍不能超過(guò)平衡位置。衰減函數(shù)78三種阻尼振動(dòng)比較臨界阻尼過(guò)阻尼低阻尼過(guò)阻尼：>0臨界阻尼：=0低阻尼：<079靈敏電流計(jì)線(xiàn)圈在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)要產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。因而線(xiàn)圈有感應(yīng)電流通過(guò)。這個(gè)電流與磁場(chǎng)相互作用，會(huì)產(chǎn)生阻止線(xiàn)圈運(yùn)動(dòng)的電磁阻尼力矩M，M的大小與回路電流成正比，與總電阻成反比。當(dāng)R外較大時(shí)，M較小，線(xiàn)圈作振幅逐漸衰減的振動(dòng)，需經(jīng)較長(zhǎng)的時(shí)間才停止在新的平衡位置；——弱阻尼振動(dòng)狀態(tài)當(dāng)R外較小時(shí)，M較大，線(xiàn)圈緩慢地趨向新的平衡位置，而不會(huì)越過(guò)平衡位置；——強(qiáng)阻尼振動(dòng)狀態(tài)當(dāng)R外適當(dāng)時(shí)，線(xiàn)圈能很快達(dá)到平衡位置而不發(fā)生振動(dòng)。

——臨界阻尼振動(dòng)狀態(tài)80三、阻尼振蕩的能量損失和Q值

前面已知，阻力恒作負(fù)功造成振動(dòng)系統(tǒng)能量損失。作定量計(jì)算，以此為基礎(chǔ)定義一個(gè)重要的物理量——品質(zhì)因數(shù)即Q值——此處引入Q值，其物理意義明確。后續(xù)(例如電磁學(xué))講到Q值的多重含義——頻選，電壓分配等，但本處給出本源性定義。81為與振幅區(qū)分

采用W表示功82弱阻尼下有(前有諧振下)總能量平均值因此有一個(gè)周期內(nèi)阻力的功等于系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)的能量損失一個(gè)周期內(nèi)的能量的相對(duì)損失83結(jié)果分析：不同周期和不同，但任意一個(gè)周期內(nèi)能量的相對(duì)損失卻與周期即時(shí)間t無(wú)關(guān)，完全由系統(tǒng)的性質(zhì)(含阻尼)決定：彈性k慣性m阻尼以此為根據(jù)，則可引入一個(gè)由系統(tǒng)性質(zhì)決定，反映儲(chǔ)能效率，從而標(biāo)志振動(dòng)系統(tǒng)的品質(zhì)的物理量，用Q表示，稱(chēng)為品質(zhì)因數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)Q值。84Q值是一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)，反映了振動(dòng)系統(tǒng)能量衰減的快慢。Q值越高能量損耗越小。振動(dòng)系統(tǒng)的優(yōu)劣由品質(zhì)因數(shù)Q描述。諧振系統(tǒng)：0，Q實(shí)際系統(tǒng)：Q值電子設(shè)備的振蕩電路(收音機(jī))～102樂(lè)器(鋼琴弦、小提琴弦)～103石英晶體～105超導(dǎo)微波諧振腔～1011例Q＝100，通常共振態(tài)下更直觀(guān)的反映彈性k慣性m阻尼85Q值的測(cè)定用示波器或記錄儀將x—t圖記錄下來(lái)，找相鄰的兩個(gè)最大位移xa、xb測(cè)出xa、xb就可以算出Q86§4

受迫振動(dòng)和共振一、受迫振動(dòng)xω阻尼振動(dòng)，阻力做功，E減小，振幅衰減，最終振動(dòng)停止。沒(méi)有外部不斷供給能量，耗散系統(tǒng)的振動(dòng)是不能持久的。維持振動(dòng)，需要外界施力，做功，補(bǔ)充能量，即為受迫振動(dòng)。激勵(lì)振動(dòng)的方式主要有兩種：周期力和單向力。受迫振動(dòng)：系統(tǒng)在彈性力和阻尼力外還受到周期性外力的作用，產(chǎn)生振動(dòng)。周期力中簡(jiǎn)諧策動(dòng)力最重要：(1)簡(jiǎn)諧策動(dòng)力最簡(jiǎn)單，也最普遍(2)非簡(jiǎn)諧策動(dòng)力都可以看作簡(jiǎn)諧策動(dòng)力的線(xiàn)性疊加mf(t)f2-kxx87周期性驅(qū)動(dòng)力f(t):Fcost

阻尼力f2:－

恢復(fù)力f1:－kx受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程mf(t)f2-kxx其中方程的通解可分解為下列兩個(gè)方程的通解與特解之和：方程的通解=齊次方程的通解+方程的特解88受迫振動(dòng)的微分方程的求解問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為尋找方程的特解猜測(cè)代入方程兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等89受迫振動(dòng)的微分方程的通解第一項(xiàng)即阻尼振動(dòng)，隨時(shí)間衰減，故稱(chēng)暫態(tài)解第二項(xiàng)不隨時(shí)間衰減，稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)解思考題：策動(dòng)力換為經(jīng)一段時(shí)間受迫振動(dòng)變?yōu)楹?jiǎn)諧振動(dòng)試求受迫振動(dòng)方程的特解90暫態(tài)解與穩(wěn)態(tài)解阻尼振動(dòng)

激勵(lì)振動(dòng)受迫振動(dòng)91從靜止開(kāi)始的受迫振動(dòng)黑線(xiàn)代表策動(dòng)力，藍(lán)線(xiàn)代表從靜止開(kāi)始的受迫振動(dòng)92二、受迫振動(dòng)的重要結(jié)論(與自由振動(dòng)比較)

受迫振動(dòng)的頻率與外來(lái)驅(qū)動(dòng)力的頻率相同，振子

按外來(lái)驅(qū)動(dòng)力即外激勵(lì)的頻率而作受迫振動(dòng)。

受迫振動(dòng)的振幅A與相位0是確定的，由振動(dòng)系統(tǒng)

與驅(qū)動(dòng)力的情況決定。初位移與初速度無(wú)關(guān)，初條件僅影響最初的暫態(tài)過(guò)程，并不影響定態(tài)解。1)自由振動(dòng)的振動(dòng)頻率為固有頻率，由振子系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定；2)自由振動(dòng)的振幅和初相位由初始條件決定；3)受迫振動(dòng)的振幅和初相位與外部驅(qū)動(dòng)力的振動(dòng)頻率

有關(guān)，A＝A(),0＝0()，系統(tǒng)存在共振態(tài)。93三、共振——最強(qiáng)烈的強(qiáng)迫振動(dòng)現(xiàn)象共振現(xiàn)象是受迫振動(dòng)時(shí)外界策動(dòng)頻率與受迫振動(dòng)物體固有頻率相同時(shí)發(fā)生的特殊現(xiàn)象，此時(shí)受迫振動(dòng)物體的振動(dòng)幅度最大。1)位移共振——共振時(shí)振幅最大。2)速度共振——共振時(shí)速度最大。3)能量共振——共振時(shí)能量最大。浪橋94人體共振頻率眼球(20-90Hz)頭(20-90Hz)膝(20Hz)腿(放松2-站立20Hz)牙床(100-200Hz)肩膀(4-5Hz)脊椎(10-12Hz)胸腔(5-10Hz)心(60Hz)腹部(4-8Hz)胃(4-8Hz)手掌(30-50Hz)手鷹嘴骨(16-30Hz)手臂(5-10Hz)95機(jī)械濾波裝置共振演示實(shí)驗(yàn)236145單擺1作垂直于紙面的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，單擺5將作相同周期的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其它單擺基本不動(dòng)。96共振說(shuō)明最早記載—公元前3世紀(jì)《莊子徐無(wú)鬼》“為之調(diào)瑟，廢于一堂，廢于一室，鼓宮宮動(dòng)，鼓角角動(dòng)，音律同矣?！惫?1世紀(jì)宋朝沈括在《夢(mèng)溪筆談》中說(shuō)“予友人家有一琵琶，置之虛室，以管色奏雙調(diào)，琵琶輒有聲應(yīng)之，奏他調(diào)則不應(yīng)。寶之以為異物，殊不知，此乃常理。二十八調(diào)但有聲同者即應(yīng)?！?破除迷信)(1)我國(guó)古代對(duì)“共振”的認(rèn)識(shí)：公元五世紀(jì)《天中記》：蜀人有銅盤(pán)，早、晚鳴如人扣，問(wèn)張華。張華曰：此盤(pán)與宮中鐘相諧，故聲相應(yīng)，可改變其薄厚。97共振演示儀98(2)共振現(xiàn)象的危害1840年法蘭西拿破侖入侵西班牙，在雄壯的口號(hào)聲中過(guò)一個(gè)鐵索橋，只聽(tīng)一聲巨響，橋坍塌，官兵紛紛墜入河中。1906年俄國(guó)一隊(duì)騎兵過(guò)圣彼得堡卡坦卡河上的橋時(shí)，發(fā)生了相同的慘劇。據(jù)說(shuō)1940年，美國(guó)的TocomaNarrowBridge，在風(fēng)中發(fā)生共振坍塌。唯一傷者為一個(gè)記者的長(zhǎng)毛狗，在犧牲前將救它的華盛頓大學(xué)專(zhuān)家咬傷。(該橋曾一度作為休閑好去處。)(重慶薨橋，未振先塌，“豆腐渣”)991940年華盛頓的塔科曼大橋建成

設(shè)計(jì)抗風(fēng)速60m/s自1918年起到1940年，至少有11座懸索橋毀于由平均引起的自激振動(dòng)－風(fēng)振。塔科馬橋在倒塌之前，工程師們以橋在側(cè)面的風(fēng)產(chǎn)生的靜荷載作用下滿(mǎn)足強(qiáng)度要求位設(shè)計(jì)依據(jù)，塔科馬橋倒塌之后，工程師們開(kāi)始注意橋的氣體力學(xué)的形狀。當(dāng)?shù)氐膱?bào)紙對(duì)這場(chǎng)事故的報(bào)道標(biāo)題：損失：一座橋、一輛汽車(chē)、一條狗。同年7月的一場(chǎng)大風(fēng)引起橋的共振主跨度部分破壞落入海中橋被摧毀100飛機(jī)在超音速飛行時(shí)候要避免共振帶來(lái)的危害101隨著聲波頻率的升高，玻璃杯達(dá)到共振，以致破裂小號(hào)發(fā)出的波足以把玻璃杯振碎[MIT開(kāi)放課程.振動(dòng)與波]03102(3)消除A)消極：阻尼器吸收振動(dòng)能量B)積極：共振原理做成機(jī)械濾波裝置，濾掉有害波段。或改變系統(tǒng)和外界驅(qū)動(dòng)力頻率。

(4)利用A)電驅(qū)蚊器B)微波爐C)次聲波武器次聲武器：次聲波是頻率為0.0001～20Hz的聲波，人體的固有頻率正好在次聲波的頻率范圍內(nèi)，一旦大功率的次聲波作用于人體，就會(huì)引起人體強(qiáng)烈的共振，從而造成極大的傷害。D)核磁共振103四、自激振動(dòng)在外部定常激勵(lì)下產(chǎn)生的振動(dòng)(自振)輸電線(xiàn)在大風(fēng)中的尖叫自來(lái)水管出現(xiàn)顫振或嗡嗡長(zhǎng)鳴自振系統(tǒng)：管樂(lè)器、機(jī)械鐘表、心臟104五、非線(xiàn)性振動(dòng)不能用線(xiàn)性微分方程所能描述的運(yùn)動(dòng)。1）彈性系統(tǒng)，當(dāng)振幅過(guò)大，出現(xiàn)非線(xiàn)性恢復(fù)力，即2）描述系統(tǒng)“慣性”的物理量，由于某種原因而不能保持常數(shù)，例如振子的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3）由于振速過(guò)大，使得介質(zhì)阻尼處于非線(xiàn)性狀態(tài)，即這時(shí)

介質(zhì)阻尼為4）策動(dòng)力是非線(xiàn)性的5）自激振動(dòng)上述的非線(xiàn)性因素中只要出現(xiàn)其中一種，系統(tǒng)的振動(dòng)就是非線(xiàn)性的。

非線(xiàn)性系統(tǒng)的本質(zhì)特點(diǎn)是：

疊加原理不成立。105非線(xiàn)性振動(dòng)與混沌

但是在某些非線(xiàn)性系統(tǒng)中，解對(duì)初值的依賴(lài)特別敏感，任何微小的改變都會(huì)引起解的長(zhǎng)期性質(zhì)起變化．因此，解在短期內(nèi)的性質(zhì)雖不會(huì)有定性的變化，但在長(zhǎng)期內(nèi)將不可預(yù)測(cè)。

牛頓力學(xué)被譽(yù)為“確定性理論”。在給定的初值下，解是確定的。法國(guó)的大數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾夸下海口：如果給定宇宙的初始條件，我們就能預(yù)言它的未來(lái)。要把這種系統(tǒng)的解長(zhǎng)期確定下來(lái)，需要無(wú)限精確的初值。

這在數(shù)學(xué)上可以做到，但在物理上，由于測(cè)量誤差等原因，是不可能做到的。106對(duì)初始值的敏感性xf1f2=-0.05k2v線(xiàn)性恢復(fù)力Periodictxx0=3cm,v0=4cm/sx0=3.01cm,v0=4.01cm/sf1=-k1xtxChaoticxt=0.3629xt=0.8471~x0=3cm,v0=4cm/sx0=3.01cm,v0=4.01cm/s非線(xiàn)性恢復(fù)力f1=-k1x3107近代混沌研究的發(fā)端1963年，氣象學(xué)家

EdwardLorentz于《大氣科學(xué)雜志》發(fā)表了一篇”確定性非周期流（Deterministicnon-periodicflow）”的論文：因?yàn)樾?shù)點(diǎn)后的幾位誤差，讓原本的風(fēng)和日麗因?yàn)樾?shù)點(diǎn)后的幾位誤差，讓原本的風(fēng)和日麗，霎時(shí)變成狂風(fēng)暴雨洛倫茲用計(jì)算機(jī)求解仿真地球大氣的13個(gè)方程式，意圖是利用計(jì)算機(jī)的高速運(yùn)算來(lái)提高長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確性。1963年的一次試驗(yàn)中，為了更細(xì)致地考察結(jié)果，他把一個(gè)中間解0.506取出，提高精度到0.506127再送回。而當(dāng)他到咖啡館喝了杯咖啡以后回來(lái)再看時(shí)竟大吃一驚：本來(lái)很小的差異，結(jié)果卻偏離了十萬(wàn)八千里！108原本天真的以為，這世上只要幾條簡(jiǎn)單的動(dòng)力學(xué)方程式再配上電腦的超強(qiáng)運(yùn)算力人類(lèi)便可模擬出自然界的所有現(xiàn)象．．．在氣候中，在海洋湍流中，在野生動(dòng)物種群數(shù)漲落中，在脈搏和大腦的振動(dòng)中，在股票期貨市場(chǎng)的漲跌中。．．．混沌無(wú)處不在參考書(shū)目：《混沌學(xué)傳奇》109混沌與天氣預(yù)報(bào)“很多人說(shuō)假話(huà)，天氣預(yù)報(bào)倒是特別想說(shuō)真話(huà)，可就是說(shuō)不準(zhǔn)?！?/p>

天氣系統(tǒng)是個(gè)典型的混沌系統(tǒng)；在這種系統(tǒng)中“蝴蝶效應(yīng)”大行其道，對(duì)極微小的影響都將極為敏感。在這樣的系統(tǒng)中不確定性將被迅速放大，無(wú)論多么小的影響都會(huì)按指數(shù)律增長(zhǎng)，很快在宏觀(guān)尺度上起作用。只要觀(guān)測(cè)點(diǎn)提供的輸入數(shù)據(jù)多一點(diǎn)點(diǎn)或少一點(diǎn)點(diǎn)信息，計(jì)算機(jī)就會(huì)給出截然不同的預(yù)報(bào)。要預(yù)測(cè)長(zhǎng)期天氣變化，從理論上講，任何一個(gè)細(xì)微之處都不能放過(guò)。110蝴蝶效應(yīng)（Butterflyeffect）關(guān)我什么事？？？？一只小小的蝴蝶在巴西上空煽動(dòng)翅膀，

可能在一個(gè)月后的美國(guó)得克薩斯州會(huì)引起一場(chǎng)風(fēng)暴。END{范例5.7}彈簧振子的阻尼振動(dòng)一彈簧振子的質(zhì)量為m，倔強(qiáng)系數(shù)為k。振子還受到與速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系數(shù)為γ。當(dāng)振子從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，初位移為A。物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是什么？不同的阻尼下的位移曲線(xiàn)和速度曲線(xiàn)有什么差別？[解析]根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，物體運(yùn)動(dòng)的微分方程為取k/m=ω02，γ/m=2β，物體的運(yùn)動(dòng)方程可表示為設(shè)微分方程的解為x=ert，代入上式得特征方程r2-2βr+ω02=0。特征方程的解為設(shè)α可以是實(shí)數(shù)和零以及虛數(shù)，則r1=-β+α，r2=-β–α。ω0就是無(wú)阻尼時(shí)物體的固有角頻率，β是阻尼因子。微分方程的解為其中C1和C2是由初始條件決定的常數(shù)。{范例5.7}彈簧振子的阻尼振動(dòng)當(dāng)t=0時(shí)，x=A，v=0，因此可得A=C1+C2，0=C1(-β+α)+C2(-β-α)如果β≠ω0，即α≠0，解得兩個(gè)常數(shù)分別為因此物體的位移為物體的速度為一彈簧振子的質(zhì)量為m，倔強(qiáng)系數(shù)為k。振子還受到與速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系數(shù)為γ。當(dāng)振子從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，初位移為A。物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是什么？不同的阻尼下的位移曲線(xiàn)和速度曲線(xiàn)有什么差別？物體運(yùn)動(dòng)的速度為{范例5.7}彈簧振子的阻尼振動(dòng)①當(dāng)β>ω0時(shí)，即α是正實(shí)數(shù)，這是過(guò)阻尼的情況，位移按指數(shù)規(guī)律衰減。②當(dāng)β→ω0時(shí)，即α→0，不論用羅必塔法則還是用公式eαt

→1+αt和e-αt

→1-αt，都可得x=A(1+ω0t)exp(-ω0t)。這是臨界阻尼的情況，位移仍然按指數(shù)規(guī)律衰減。討論③當(dāng)β=0時(shí)，則α=iω0，為虛數(shù)單位可得可見(jiàn)：在不計(jì)阻尼的情況下，物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。{范例5.7}彈簧振子的阻尼振動(dòng)討論④當(dāng)0<β<ω0時(shí)，設(shè)則α=iω，利用歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ，e-iθ=cosθ–isinθ，可得位移為或其中這就是欠阻尼的情況，振幅按指數(shù)規(guī)律衰減。物體作準(zhǔn)周期性運(yùn)動(dòng)，ω是其角頻率，準(zhǔn)周期為阻尼因子越大，周期越長(zhǎng)?；蛘哒f(shuō)：阻尼使振動(dòng)變慢了。利用雙曲函數(shù)sinhθ=(eθ-e-θ)/2，coshθ=(eθ+e-θ)/2，位移可表示為用哪一個(gè)位移公式都能計(jì)算，只要取實(shí)部就行了。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移曲線(xiàn)如圖所示，阻尼因子越大，物體達(dá)到靜止所需要的時(shí)間越長(zhǎng)。在臨界阻尼情況下，物體到達(dá)靜止所需要的時(shí)間最短。阻尼因子越小，物體振動(dòng)的準(zhǔn)周期越短，振動(dòng)時(shí)間也越長(zhǎng)。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度曲線(xiàn)如圖所示，物體的速度從零開(kāi)始反方向增大，經(jīng)過(guò)一個(gè)極小值之后再反方向減小。極值所在處的加速度為零。約化阻尼因子大于和等于1時(shí)，速度大小會(huì)逐漸減小為零；阻尼因子比較小時(shí)，物體速度也會(huì)作周期性變化。*{范例5.8}阻尼彈簧振子的受迫振動(dòng)一彈簧振子的質(zhì)量為m，勁度系數(shù)為k，振子除了受到阻力f=-γx之外，還受到周期性的外力的作用F=F0cosΩt，其中是F0驅(qū)動(dòng)力的幅值，Ω是驅(qū)動(dòng)力的圓頻率。(1)當(dāng)物體靜止在平衡位置時(shí)驅(qū)動(dòng)力開(kāi)始作用于物體上，討論物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。(2)受迫振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，討論位移振幅和速度振幅與驅(qū)動(dòng)力頻率的關(guān)系，并討論振子產(chǎn)生共振的條件。根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，物體運(yùn)動(dòng)的微分方程為取k/m=ω02，γ/m=2β，物體的運(yùn)動(dòng)方程可表示為其解等于齊次微分方程的通解x1與特解x2之和。[解析](1)物體在周期性的外力持續(xù)作用下發(fā)生的振動(dòng)稱(chēng)為受迫振動(dòng)，周期性的外力稱(chēng)為驅(qū)動(dòng)力。特解也用復(fù)數(shù)表示代入微分方程得解得復(fù)振幅為特解用復(fù)數(shù)的實(shí)部表示為x2=Acos(Ωt+Φ)為了簡(jiǎn)單地求特解，將驅(qū)動(dòng)力用復(fù)數(shù)表示其中*{范例5.8}阻尼彈簧振子的受迫振動(dòng)取齊次式微分方程的解為x1=e-βt(Ccosωt+C'sinωt)，其中阻尼圓頻率為C和C'是常數(shù)。v=-βe-βt(Ccosωt+C'sinωt)+e-βt(-ωCsinωt+ωC'cosωt)-ΩAsin(Ωt+Φ)當(dāng)物體從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，即當(dāng)t=0時(shí)，有x=0，v=0，可得0=C+AcosΦ，解得C=-AcosΦ，速度為通解為通解為可表示為x1=A1e-βtcos(ωt+φ),x=x1+x2=e-βt(Ccosωt+C'sinωt)+Acos(Ωt+Φ)0=-βC+ωC'-ΩAsinΦ振幅和初相分別為x1是減幅振動(dòng)，x2是等幅振動(dòng)，物體的振動(dòng)是兩個(gè)振動(dòng)的合成。*{范例5.8}阻尼彈簧振子的受迫振動(dòng)物體在作受迫振動(dòng)時(shí)，減幅振動(dòng)的位移隨時(shí)間逐漸衰減為零，如果約化阻尼因子β/ω0為0.1，約化驅(qū)動(dòng)力圓頻率Ω/ω0為2，兩個(gè)振動(dòng)疊加之后，開(kāi)始時(shí)的位移比較復(fù)雜，經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間，減幅振動(dòng)衰減之后，物體作等幅振動(dòng)，其圓頻率等于驅(qū)動(dòng)力的圓頻率。等幅振動(dòng)的圓頻率比減幅振動(dòng)的圓頻率大，如果約化阻尼因子不變，約化驅(qū)動(dòng)力圓頻率Ω/ω0為6，受迫振動(dòng)的振幅隨著減幅振動(dòng)起伏，最后成為等幅振動(dòng)。等幅振動(dòng)的圓頻率比減幅振動(dòng)的圓頻率更大，因而振動(dòng)得更快。等幅振動(dòng)的圓頻率比減幅振動(dòng)的圓頻率小，因而振動(dòng)得比較慢。約化阻尼因子不變，如果約化驅(qū)動(dòng)力圓頻率Ω/ω0取0.6，受迫振動(dòng)開(kāi)始時(shí)受到減幅振動(dòng)的扭曲，最后成為等幅振動(dòng)。等幅振動(dòng)的圓頻率與固有圓頻率相等，與減幅振動(dòng)的圓頻率相近，因而振幅比較大。約化阻尼因子不變，如果約化驅(qū)動(dòng)力圓頻率Ω/ω0取1，受迫振動(dòng)的振幅隨時(shí)間不斷增加，最后成為等幅振動(dòng)。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的圓頻率等于減幅振動(dòng)的圓頻率時(shí)，物體受迫振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定后的振幅最大。*{范例5.8}阻尼彈簧振子的受迫振動(dòng)一彈簧振子的質(zhì)量為m，勁度系數(shù)為k，振子除了受到阻力f=-γx之外，還受到周期性的外力的作用F=F0cosΩt，其中是F0驅(qū)動(dòng)力的幅值，Ω是驅(qū)動(dòng)力的圓頻率。(2)受迫振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，討論位移振幅和速度振幅與驅(qū)動(dòng)力頻率的關(guān)系，并討論振子產(chǎn)生共振的條件。當(dāng)系統(tǒng)的阻尼因子一定時(shí)，振子的振幅由驅(qū)動(dòng)力的圓頻率決定；振子的位移與驅(qū)動(dòng)力并不同相。通常β≠0，當(dāng)Ω→0時(shí)，A→F0/mω02，Φ→0；當(dāng)Ω→∞時(shí)，A→0，Φ→-π。[解析](2)振子在作受迫振動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間，x1→0，x→x2=Acos(Ωt+Φ)，振子的運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)。這種位移振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱(chēng)為位移共振。最大位移振幅的圓頻率范圍在0到ω0之間，而最大位移振幅可以從F0/mω02達(dá)到無(wú)窮大。在位移共振時(shí)，初相為可見(jiàn)：位移共振的初相小于零。x=Acos(Ωt+Φ),*{范例5.8}阻尼彈簧振子的受迫振動(dòng)為了計(jì)算最大振幅，設(shè)A的分母的平方為令dy/dΩ=0，可得容易驗(yàn)證，這就是振幅取極大值的條件，當(dāng)然要求極大值為物體的速度為其中速度振幅為可見(jiàn)：當(dāng)Ω→0時(shí)，速度振幅vm→0。由于x=Acos(Ωt+Φ),可知：當(dāng)Ω→∞時(shí)，速度振幅也有vm→0。當(dāng)Ω=ω0時(shí)，速度振幅最大，最大值為這種速度振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱(chēng)為速度共振。當(dāng)發(fā)生速度共振時(shí)，初相Φ=-π/2；速度和驅(qū)動(dòng)力是同相的，即速度的方向與驅(qū)動(dòng)力的方向總是保持一致的。*{范例5.8}阻尼彈簧振子的受迫振動(dòng)當(dāng)β<0.707ω0時(shí)，物體的位移振幅隨外力圓頻率的增加先增后減。當(dāng)β≥0.707ω0時(shí)，物體的位移振幅隨外力圓頻率的增加而減小。不論阻尼因子是多少，所有曲線(xiàn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)都相同。位移振幅的峰值隨阻尼因子的減小而增加，或者隨外力的圓頻率的增加而增加，峰值分布在0到ω0之間。不論阻尼因子是多少，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的圓頻率很低時(shí)，位移與驅(qū)動(dòng)力就接近同步；位移初相就是位移與驅(qū)動(dòng)力的相差，相差都小于零，表示位移滯后驅(qū)動(dòng)力。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力圓頻率很大時(shí)，位移的初相趨于-π，位移與驅(qū)動(dòng)力反相。隨著驅(qū)動(dòng)力圓頻率增加，位移越來(lái)越滯后驅(qū)動(dòng)力，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力圓頻率等于自由振動(dòng)圓頻率時(shí)，位移比驅(qū)動(dòng)力滯后π/2；位移振幅的峰值所對(duì)應(yīng)的初相在-π/2到0之間。物體的振幅隨外力的圓頻率的增加先增后減。也就是當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的圓頻率等于系統(tǒng)的自由振動(dòng)固有圓頻率時(shí)就會(huì)產(chǎn)生速度共振。不論阻尼因子是多少，所有曲線(xiàn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)都相同，并且速度振幅峰值在一條直線(xiàn)上，130激光李薩如圖演示儀131李薩如圖LissajousFigures132x、y兩垂直方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)不同初相位差的李薩如圖形相鄰的李薩如圖形初相位差為12°133相鄰的李薩如圖形初相位差為12°134相鄰的李薩如圖形初相位差為12°135能量的共振轉(zhuǎn)移和共振吸收（1）外部激勵(lì)頻率為單一時(shí)，為了達(dá)到共振態(tài)，必須

調(diào)整系統(tǒng)的本征頻率0，使得＝0

——調(diào)諧例：收音機(jī)選臺(tái)（2）當(dāng)外部激勵(lì)頻率有一個(gè)頻帶寬度，此時(shí)其中＝0

的激勵(lì)將被系統(tǒng)強(qiáng)烈吸收，產(chǎn)生能量的共振轉(zhuǎn)移共振系統(tǒng)具有選頻功能136人體各部位的振動(dòng)固有頻率

振動(dòng)對(duì)人體的影響及導(dǎo)致的疾病參見(jiàn)/test/doc/xianshi.asp?zflid=6&flid=29&wzid=168

部

位

固有頻率(Hz)

頭部

約25

跟腱

30—80