此卷只裝訂不密封班級姓名此卷只裝訂不密封班級姓名準考證號考場號座位號數(shù)學（B）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若復數(shù)(為虛數(shù)單位，)為純虛數(shù)，則的值為（）A． B． C．3 D．5【答案】A【解析】，因為該復數(shù)為純虛數(shù)，所以，，所以，故選A．2．已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，集合，可得，因為，所以，解得，故選B．3．已知直線與，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，則，解得，則可得“”是“”的必要不充分條件，即“”是“”的必要不充分條件，故選B．4．已知正三角形的邊長為4，是邊上的動點（含端點），則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】以中點為原點，且令A在軸正半軸上，建立如圖坐標系，則，，，設，，則，，，所以，由，知，故的取值范圍是，故選B．5．圓上任意一點到直線的距離大于的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設圓心為，圓心到直線的距離，如圖，取，過作交圓于，可知滿足條件的點在劣弧上（不包括A，B），在中，，，所以，，即，因為符合條件的點所在弧長所對圓心角為，由幾何概型可知，故選C．6．函數(shù)與(且)在同一坐標系中的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】當時，有圖象如下：當時，有圖象如下：故選A．7．有一種細菌和一種病毒，每個細菌在每秒中殺死一個病毒的同時將自身分裂為3個，現(xiàn)在有一個這樣的細菌和110個這樣的病毒，問細菌將病毒全部殺死，至少需要（）A．4秒鐘 B．5秒鐘 C．6秒鐘 D．7秒鐘【答案】B【解析】1秒時，新被殺死的病毒為1個，自身新增長3個；2秒時，新被殺死的病毒為3個，自身新增長個；3秒時，新被殺死的病毒為個，自身新增長個；…以此類推n秒時，新被殺死的病毒為個，自身新增長個，故累計殺死病毒數(shù)為，由，得，，解得正整數(shù)，故選B．8．多項式展開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】原式，所以展開式中含的項包含中項為SKIPIF1<0，和中的項為，這兩項的系數(shù)和為，故選C．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知正方體的棱長為4，是棱上的一條線段，且，點是棱的中點，點是棱上的動點，則下面結(jié)論中正確的是（）A．與一定不垂直 B．二面角的正弦值是C．的面積是 D．點到平面的距離是常量【答案】BCD【解析】對A，當與重合時，，故A錯誤；對B，由于是棱上的動點，是棱上的一條線段，故平面也是平面，平面，則，，則即為二面角的平面角，，，，則，則，故B正確；對C，由于是棱上的動點，是棱上的一條線段，且，則，的距離即為三角形的高，平面，，則即為三角形的高，，故C正確；對D，由于是棱上的動點，是棱上的一條線段，，則平面，則點到平面的距離為常量，故D正確，故選BCD．10．設表示不超過的最大整數(shù)，給出以下命題，其中正確的是（）A．若，則B．C．若，則可由解得的范圍是D．若，則函數(shù)的值域為【答案】ABD【解析】由題意時，，．A．設，則，若，則，∴，即，A正確；B．由的定義，時，，，同理時，，時，，時，，∴，B正確；C．，，若，則，，，滿足題意，但也滿足題意，C錯；D．，定義域是，則，即，是奇函數(shù)；設，，，則，時，，，時，，，∴函數(shù)的值域為，D正確，故選ABD．11．曲率半徑是用來描述曲線上某點處曲線彎曲變化程度的量，已知對于曲線SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0上點處的曲率半徑公式為，則下列說法正確的是（）A．對于半徑為R的圓，其圓上任一點的曲率半徑均為RB．橢圓上一點處的曲率半徑的最大值為aC．橢圓上一點處的曲率半徑的最小值為D．對于橢圓上一點處的曲率半徑隨著a的增大而減小【答案】AC【解析】圓：，，曲率半徑為，A正確；在橢圓上，，∴，，B錯誤，C正確；，令，，，∴在上隨增大而增大，D錯誤，故選AC．12．定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且，則對任意、，其中，則下列不等式中一定成立的有（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】由，知，令，則，∴在上單調(diào)遞減，即，當時，；當時，．A：，有，，所以；B：由上得成立，整理有；C：由，所以，整理得；D：令且時，，，，有，，所以無法確定，的大小，即無法確定與的大小，故選ABC．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．將5個不同的小球全部放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，若每個盒子中所放的球的個數(shù)不大于其編號數(shù)，則共有_________種不同的放法．【答案】535【解析】四個盒子放球的個數(shù)如下：1號盒子：{0，1}2號盒子：{0，1，2}3號盒子：{0，1，2，3}4號盒子：{0，1，2，3，4}結(jié)合由5個不同的小球全部放入盒子中，不同組合下放法：5=1+4：種5=2+3：種5=1+1+3：種5=1+2+2：種5=1+1+1+2：種∴5個相同的小球放入四個盒子方式共有535種，故答案為535．14．下列說法：①線性回歸方程必過；②命題“，”的否定是“，”；③相關系數(shù)越小，表明兩個變量相關性越弱；④在一個列聯(lián)表中，由計算得，則有的把握認為這兩個變量間有關系．其中正確的說法是__________．(把你認為正確的結(jié)論都寫在橫線上）本題可參考獨立性檢驗臨界值表：【答案】①④【解析】線性回歸方程必過，故①正確；命題“，”的否定是“，”，故②錯誤；相關系數(shù)r絕對值越小，表明兩個變量相關性越弱，故③錯誤；在一個列聯(lián)表中，由計算得，則有的把握認為這兩個變量間有關系，故④正確，故答案為①④．15．設實數(shù)x、y滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為__________．【答案】【解析】不等式組對應的可行域如圖陰影部分所示，表示的幾何意義為可行域中的動點到直線的距離，由，可得，同理，到直線的距離為，到直線的距離為，故，故答案為．16．在中，，則__________；點是上靠近點的一個三等分點，記，則當取最大值時，__________．【答案】，【解析】因為，所以，即，又因為，所以．設，，，則，，由正弦定理可得，，又，由，得．因為，所以SKIPIF1<0，因為，所以，所以當時，取得最大值，此時，所以，，答案為，．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知數(shù)列的前項和為，且，．（1）求；（2）設，求使得成立的最小正整數(shù)．【答案】（1）；（2）100．【解析】（1）由，得，則有，即，又因為，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以．（2）由，得，所以，由，解得，故使得不等式成立的最小正整數(shù)．18．（12分）已知中角，，所對的邊分別為，，，滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（1）求；（2）若點為上一點，，，平分交于點，，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴．（2）∵，，，∴．在中，設，由余弦定理得，即，解得(舍負)．在中，．由正弦定理得，∴．19．（12分）如圖．在三棱錐中，為正三角形，為的重心，，，．（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點，使得直線平面？若存在，求出的值；若不存在．說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，．【解析】（1）設，則，在中，由余弦定理，得．因為，所以．因為，，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）如圖所示：取的中點，連接，，則點在上，在平面內(nèi)過點作的平行線交于點．因為，平面，平面，所以平面．因為為的重心，所以，又，所以，所以在棱上存在點，使得直線平面，此時．20．（12分）某醫(yī)藥公司研發(fā)生產(chǎn)一種新的保健產(chǎn)品，從一批產(chǎn)品中隨機抽取盒作為樣本，測量產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，該指標值越高越好．由測量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖：（1）求a，并試估計這盒產(chǎn)品的該項指標值的平均值；（2）①由樣本估計總體，結(jié)合頻率分布直方圖認為該產(chǎn)品的該項質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布，計算該批產(chǎn)品該項指標值落在上的概率；②國家有關部門規(guī)定每盒產(chǎn)品該項指標值不低于均為合格，且按該項指標值從低到高依次分為：合格、優(yōu)良、優(yōu)秀三個等級，其中為優(yōu)良，不高于為合格，高于為優(yōu)秀，在①的條件下，設該公司生產(chǎn)該產(chǎn)品萬盒的成本為萬元，市場上各等級每盒該產(chǎn)品的售價(單位：元)如表，求該公司每萬盒的平均利潤．等級合格優(yōu)良優(yōu)秀售價附：若，則，．【答案】（1），；（2）①；②(萬元)．【解析】（1）由，解得，則平均值，即這200盒產(chǎn)品的該項指標值的平均值約為200．（2）①由題意可得，，則，則該批產(chǎn)品指標值落在上的概率為．②設每盒該產(chǎn)品的售價為X元，由①可得X的分布列為X102030P則每盒該產(chǎn)品的平均售價為，故每萬盒的平均利潤為(萬元)．21．（12分）在平面直角坐標系中，，兩點的坐標分別為，，直線，相交于點且它們的斜率之積是，記動點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點作直線交曲線于兩點，且點位于軸上方，記直線，的斜率分別為．①證明：為定值；②設點關于軸的對稱點為，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）①證明見解析；②．【解析】（1）設點坐標為，則直線的斜率分別為，依題意知，化簡得．（2）①設直線的方程為，，則，又，消得，得，因此，故為定值．②坐標為，則直線方程為，令，解得，即