3多種多樣的運動形態(tài)。研究磁流體等離子體的運動，首先要從其最簡單的形態(tài)出發(fā)。所以研究了理想磁流體的平衡。從物理上來說，一個系統(tǒng)最容易趨于其能量最低的狀態(tài)。那么，得到的等離子體的平衡狀態(tài)是不是最低能量的（FreeEnegy；說這樣的等離子體平衡是不穩(wěn)定的。如果等離子體回到原來的平衡，則其一定處于最低能量的狀態(tài)，或者說定的。那么怎樣具體地來通過“擾動”研究等離子體平衡的穩(wěn)定性呢？這里主要介紹一種被稱為“能量原理”的方法。能量原首先要強調(diào)：無論是磁流體不穩(wěn)定性還是以后要研究的微觀不穩(wěn)定性，都是對特定的平衡而言：即某一模式的無窮小擾動對一個特定的平衡來說，是增長的還是衰減的。如果是增長的，就說：這一特定平衡對于該特定擾動是不穩(wěn)定的；反之則說：這一特定平衡對于該特定擾動是穩(wěn)定的。這里第一，強調(diào)特定的平衡；第二，強調(diào)特定的擾動。比如，說某一特定參數(shù)下的托卡馬只能說對某一種或者某幾種擾動模式是穩(wěn)定的（或者不穩(wěn)定的。在對某幾種擾動模式都是不穩(wěn)定的情況下，也只關(guān)心發(fā)展最快的那種。因為當其它不穩(wěn)定性可以發(fā)展起來的時候，這種快不穩(wěn)定模式已經(jīng)使得等離子體離開原來的平衡，因此，對于慢模式在原來平衡條件下的穩(wěn)定性已經(jīng)完全不適用了。因為對于線性穩(wěn)定性的來說，該模式的擾動是“無窮小”的概念，而快模式引起的對原來衡的偏離是“任意小”的概念。所以，時空尺度問題（比如“誰快誰慢”的問題）在等離子體物理中是至關(guān)重要的。這也形象地告訴這一哲學道理：“在復基本方法對一組變量f(x,t)來說，如果f1(x,t)是對其平衡f0(x,t)的擾動模式，則可以把諸如fg這樣典型的非線性項寫成形式fgf0g0f1g0f0g1f1g1...。 這里主導解（Leadingordersolution）即為平衡解f0與g0的乘積f0g0。線性穩(wěn)定性問題忽略諸如f1g1的非線性項，而由一階擾動方程求解擾動量f1g0，f0g1；等等研究磁流體（MHD）線性穩(wěn)定性問題有三種基本對一組變量f(x,y,zt)，如果f1(x,y,zt)是對其平衡f0(xt)的擾動，可以寫成f1xy,zt)f(xexpikyykzzt的形式。注意：這里不能對平衡量f0(x,t)空間分布變化方向xFourier展開，只能在多尺度的情況下做“漸，展開”在第9章中會介紹這種方法。這時磁流體方程組約化為關(guān)于空間變量本征值問題，得到本征值。那么在Im()0時，說這平衡是不穩(wěn)定的，其不穩(wěn)定性的增長率是iIm()；反之則是穩(wěn)定的。，磁流體靜態(tài)平衡的穩(wěn)定性研究。是在進行磁約束等離子體穩(wěn)定性研究時最常在等離子體中，總能量KWconst.KW0因此，如果這個“虛位移”引起的勢W0K0，則等離子體是不穩(wěn)定的，因為勢能的減少提供了足夠的能來驅(qū)動等離子體的運動（K0W0K0。則等離子體是穩(wěn)定的，因為勢能的增加需要吸收能從而阻尼等離子體的運動（K0。能量原理首先對磁流體（MHD）方程做線性化處理。由上一章得到的磁流體方m mumm uuup(m 歐姆定律（理想

EuB c

B(u pupp（及B0）可以看出，對靜態(tài)平衡（t0，u0）

(B0)B0 (3-可以得到滿足B00p0B0m0（/t0，u0u0(x)則必須通過求解磁流體方程組的全部方程才能得到其平um1um0

0 (3-t

J

J 1p

1

0 (3-m0 B1(u) (3- p1u pu (3- p0B0（J0cB0/4m0就是已經(jīng)確定的靜態(tài)平衡解態(tài)平衡（t0u0u0x，在特定的p0B0m0u0下，得到的m1

u

0 (3-t

m0

m1 1pJ0B1J1m0 m0(u0u1u1u0)

(3-B1(u

)

B) (3-p1u

p u0p1 (3-顯然，平衡流的分布u0u0x注意：從這里開始，本講義的等離子體平衡，除了專門指明的，都是靜態(tài)平衡。實際上，無論在等離子體還是空間等離子體中，即使在平衡狀態(tài)下也存在著具有一定空間分布特征的等離子體流動，特別是在垂直于流動的方向上有空間分布變化的、被稱為“剪切流”的流動。這種剪切流效應在實際問題中是非常重要的 在等離子體物理專題課程里專門一般來說，對靜態(tài)平衡，如果在任意平衡位置x0存在一個很小的等離子移ξξ(x0,t)xx0，則有：uudξξ

ξξ (3-

(3-(3-

B1ξB0 (3-p1p0ξξp0 (3-再將方程（3-07-09）帶入動量方程（3-04），得

pBBBBB (3- 1 t 或 2ξm0t

F(ξ)

Fξ

(3-這里張量算子（力算符）FFξF(ξ)ξp0p0ξ4B0(ξB0(ξB0B0 (3-很顯然，這個算子只與平衡量p0B0有關(guān)由能量守恒關(guān)系KW0 muKW dx1 2 mu2

B2

(3- 又因為擾動是線性的；則對時間做 展開后的特定模式，可以得WK iξ2 2

2dxmξi2dxmξt22dxξF(ξ) (3- W1dxξF(ξ)1dxξFξ0 或者說F是正定的。反之（W0，力算F是負定的）則是穩(wěn)定性的但是對于穩(wěn)態(tài)平衡（t0u0u0(x)，擾動的一階方程組（3-03’-06’）對于中的磁約束等離子體來說，目前正在運行的裝置中的等離子體平衡狀態(tài)的剪切流還是在“亞聲速”范圍（subsonicregime，相應的時間尺度為磁流體的宏觀空間尺度與亞聲速之比），而理想磁流體不穩(wěn)定性的時間尺度在低beta磁約束等離子體（如托卡馬克等離子體）來說，剪切流效應的時間尺度顯然要遠遠長于理想磁流體不穩(wěn)定性的時間尺度（等離子體beta大約等于聲速平方與W的最小分析等離子體靜態(tài)平衡的穩(wěn)定性的能量原理方法是成。盡管無論對于空間還是等離子體，存在于等離子體平衡狀態(tài)的剪切流的效應都是十分重要知道，等離子體中存在著大量的度和不同的時空尺度（特征時間和這給研究等離子體的不穩(wěn)定性帶來極大。對于一種等離子體平衡來說，可能同時有很多不同的擾動模式都是不穩(wěn)定的。即使調(diào)整參數(shù)使得其中一種不穩(wěn)定性被壓制住，其它的不穩(wěn)定性還有可能長起來。那么到底應該關(guān)心哪模式顯然是穩(wěn)定性的必要條件。這里有一個問題。為了很好地約束等離子體，應該穩(wěn)定性的充分條原來平衡條件下的穩(wěn)定性已經(jīng)完全不適用了；第二，實際上，等離子體中總時間尺度下發(fā)現(xiàn)增長慢一點的不穩(wěn)定性。即使對于未來的先進磁約束位形（如ITER這樣的先進托卡馬克，因為約束時間的變長，一些過去不可能看到的發(fā)展Modes定住。這樣，問題歸結(jié)成在各種可能的能量擾動W中尋找最小的一種。這樣有能量原理方法的另一個原則：在實際問題時將能量原理方法簡化為W的最小化 能量擾動W的性質(zhì)及其最小化的方法。等離子體區(qū)的能量擾動W可以寫成形如 Wp dx 0ξ κpξ J0B0ξ*B pξ*κ (3- 2顯然，平行位移的貢獻只出現(xiàn)在右邊能量積分里的第三 dxp 2 (Wp)||中。為了確定最不穩(wěn)定的擾動位移， 以得到最不穩(wěn)定的||擾動。對(Wp)||做變分，即對于任意||，有(Wp)||0(Wp)||的極小值，必有B0ξ0 (3-如果B00，很容易得到ξ0。這顯然就是不可壓縮條件u0（應有，但ξ取有限值；也就是說，ξ20。則此時對于||

B1Bξ (3- 平行磁場方向的“長波”擾動解kB00如果B0B0||0，性近似下有kB00，即擾動模式是垂直磁力ξξ||ξ||ξ (3-也就是說，最不穩(wěn)定的擾動模式是垂直磁力線的（有k||0，且在平行磁力3.03：有理面上kB00f1(,,,t)f()expimnt kB n R 則條件kB00給出qmn向模數(shù)m，環(huán)向模數(shù)n）的擾動，其不穩(wěn)定性只可能在q()mn給出的特定有03surface模與交換模 根據(jù)上一節(jié)得到的能量擾動W的一些性質(zhì)進一步 流體不穩(wěn)定性的能來源，并基于這種分析對磁流體不穩(wěn)定性進行分類。磁流體不穩(wěn)定模式知道，等離子體的靜態(tài)平衡必滿足關(guān)系pJBc。所以基本上來說存在兩大類磁流體（MHD）不穩(wěn)定性：1．如果一種擾動使得壓強梯度p的作用超過洛侖茲力JB/c動模式為壓強梯度所驅(qū)動，稱這種模式為壓強驅(qū)動不穩(wěn)定性模式，或者交換mode；2動不穩(wěn)定性，或者稱模（KINKmode。交換從等離子體區(qū)的擾動能量積分公式（3- Wp dx 0ξ κpξ J0B0ξ*B pξ*κ

W dxξpξ*κ (3- 動能量來說：如果0（即p0||κ 有W

dxξ

20（即－p0||κ 有W

dxξ

20，則稱平衡是“壞”曲率的；而使得－p0||κ（0，磁力線“凸向”等離子體區(qū)）的磁力線人們通常用流體中的Rayleigh-Taylor不穩(wěn)定性來類比交換模不穩(wěn)定性：即將3.04但對于長波擾動來說，磁力線兩端的等離子體運動如果受到限制（稱其ne-td（比如在托卡馬克磁場位形下的強場側(cè)，這樣的模式就可能被穩(wěn)定住。但是即使在這種情況下，短波擾動仍然有可能發(fā)展起來。對于短波擾動來說，這個模式是非?！熬钟颉钡模淠Ｊ降摹敖Y(jié)構(gòu)”很像一動（line-tied）的模式為“氣球?！被蛘摺皻馀菽！保˙ALOONINGmode圖圖3.05：交換模的“l(fā)ine-（2）還是從（3-15）出發(fā)，另一種擾動可以由其后兩項中的另外一項W1dxJ0B0ξ*BB 2 1

J 1dxJ0||ξ*b?B1 ξ*B

(3-2 c 1 1 （（曲”的特性而產(chǎn)生一個磁場方向上的ξ*B分量。所以稱這種不穩(wěn)定性為 圖圖 內(nèi)模與外模上面了等離子體能激發(fā)的不穩(wěn)定性模式的性質(zhì)。在那些討論中，不明顯地假設了在等離子體的邊界上，擾動位移為零。所以等離子體邊界及外部對等離子體的作用被忽略不計。在這一小節(jié)進一步等離由能量原理（3-14），得W2

dxξF(ξ)

(3-，（INTERmodeEERAmode“外模，如果是壓強驅(qū)動的，稱其為內(nèi)交換模，internalinterchangemode為內(nèi)模，internalkinkmode（外模，externalkinkmode。，WW dSξpξξ

B0B1

Bξ 。 2

對于性近似下，dSdS0，有B0dSB0dS00。則邊界（表面）項可W dSξpξξ B0B1 2 pξξ2 0n 0

B0B1 (3- 邊界條件W dSξpξξ B0B1 2 pξξ2 0n 0

B0B1 (3- 一般來等離子體問題涉及有四種（boundaries）或者（interfaces有關(guān)的等離子體物理專題課程中詳細。下面來這幾種界面上的邊界條件由磁場高斯定理B0，得到nBpBV0。同時，等離子體—真空nBp0nBV (3-B.B4Jc，可以得到nBpBV4Isc（這里Is是流過B1：如果Is0，則界面上電流密度趨向無窮大。為避免在界面上無窮大的洛J||B（適用于無力場（forcefree）位形；或者界面兩側(cè)的壓強有一個跳變。后者很可能與ELMy-H模（具有邊緣局域模的高約（PedB2：如果Is0nBpBV0，即Btp (3-C.總壓強（等離子體+磁場） B2 B2p (3- D.由歐姆定律，EuB/c0， 得到cnEuBn0（因為u和B都在磁面上。且由于在真空區(qū)，EV0，得到EtpEtV0 (3-對線性問題來說，這個邊界就是平衡邊界，是已知的。但是在非線性階段，這個邊界的位置由兩邊的解決定，解出兩邊的解又需要這個邊界上的條件。從而解和邊界必須同時確定。這是是一個典型的邊界問題。由于解的性質(zhì)會影響（如曲率的影響以常常要考慮具體的物理模型。從高斯定理B0nBVnBW0 (3-nBB4 (3- 且有J||BnBp1nBp20 (3-nBp1Bp20，即Btp1Btp2 (3- B2 B2p

p

(3-Etp1Etp20 (3-等離子移的法向分量為零nξn0 (3-磁場的法向分量為零（理想導體時nBpnBW0 (3-磁場的切向分量連續(xù)（如果界面上沒有電流奇異性nBpBW0，即BtpBtW0 (3-EtpEtW0 (3-幾個例子（1）-對于一個-箍縮平衡，有J0J0B2 B2 p0(r) a (3- 此平衡有性質(zhì)：1）J0||0，無電流驅(qū)動；2）κ0

pξ pξ0 (3-Wp dx 0 即此平衡總是理想磁流體（MHD）穩(wěn)定的。所以，對于-對于Z-箍縮來說，有d B2 p (3-dr 8 4，2J0 r B02a2 a2J2 0

rr2

r

(3-p000

a2

r

(3- (3-且有（3- ξ1drik0 r p1rp0 (3-B1ξB0?rr/rB0rB0 (3- 22p Wplasma2L p0 rp (3-0 于是穩(wěn)定性的必要條件（反之為不穩(wěn)定性的充分條件）rp0rp0Bp0B

(3-

（3）對Z-進一步對一般Z-箍縮的平衡分布的擾動的一般形如果擾動是不可壓縮的，ξ0，可以得到平行擾動m||irrikrz (3-mr 2m2B22rp (3-r 0則穩(wěn)定性的必要條件（反之為不穩(wěn)定性的充分條件）2rp0 (3-

換模不穩(wěn)定性。由平衡條件

B0rB0，上述不等式（3-50）rB0

(3- 體柱呈3.07所示一般稱這種m0不穩(wěn)定性為“臘腸模（sausage直柱托卡馬克的一定性螺旋箍縮的不穩(wěn)定螺旋箍縮平衡滿足方程（2-d B2 p z (3-dr 8 4ξ(r,,z,t)r?r(r)?(r)z?z(r)expikzzmt (3- (3-ξb?r?ξb?r?B0zzB0/B0 (3-(r)B1B ξiB ξ/F(r,k) (3- 0 0 這里F(rkkB0kzB0zmB0/r先利用(Wp||0來得到Wp，然后再利用(Wp)0來得 ，最后獲得極小化了的等離子體中的擾動勢WLadrf2g2 (3- r0WLFG2 (3-k4 k4

r其中kk2m2/r21/2，G(r,k)k /r， z rF 2k 1 kf g zp rF FG4k

k

2rk在真空區(qū)arb（rb是真空—導體壁邊界B11且滿足20。假設(r)ei(kzzm)，得 (r)C0Km(kzr)C1Im(kzr) 這里Km(kzr)和Im(kzr)是m-階變形貝塞爾函數(shù)（ModifiedBesselFunction。由真空—導體壁邊界條件(rb)0， 可以確定C1C0Km(kzb)/Im(kzb)。而另一個常數(shù)可以由在等離子體—真空界面ra的邊界條件(ra)iF(a)r(a)來

Lr2F24

2r

(3-

2L 222WLdrf gr 4k2mrFr (3- r局域內(nèi)交換模不穩(wěn)定性度足夠大。擾動 平行磁力線（0）一般（8pB21） 為這時磁力線已經(jīng)不在?方向。但是，最不穩(wěn)定的擾動模式（對應Wp最?。┩瑯邮谴怪贝帕€（FkB00）的，而擾動模式的本征結(jié)構(gòu)則仍具有“平行l(wèi)inebending，所以沿著磁力線的擾動結(jié)構(gòu)是最容易發(fā)展起來的。因此，只要kB00在某一磁面上成立，這樣的不穩(wěn)定模式總會長起來。為了使得這種擾動離開這個磁面，kB00b?0就都不成立了。擾動就被局限在磁面kB00

0磁面鄰域的內(nèi)模是壓強梯度項

k2p000B20 4r

(3-直柱托卡馬克的不穩(wěn)定性 大多仍然成立——只要將軸向的周期條件寫為環(huán)向角z/R0和環(huán)向模數(shù)nkR；及相因子ei(mkzz)ei(mn)；并考慮環(huán)向場是柱坐標z(R,ZRBBz(RB00R0RFkB0mnqB0/r，GmnqB0/r (3- 0其中km2n2r2/R21/2/r，及安全因子q / 0具有磁剪切，可以穩(wěn)定螺旋（模）擾動并將其限制在FkB00的磁面上，(r,,)mn(r)ei(mn的形式，這里不同的（m,n分量在不同的有理面qm/n上激發(fā)相應的模式。但是在qm/n的有理面rmn上，仍會有各個m'n'(rmn)（mmnn）的擾動分量。對于線性階段來說，這些“非”分量與“”分量mn(r相互獨立，線性階段，在某一特定的有理面上rmn上，各個“非 ”模式m'n'(rmn)（mm，到那些“非”模式然后衰減掉。這使得單個有理面上的不穩(wěn)定模式很容易在振模式的空間結(jié)構(gòu)相互（overlap會引起不穩(wěn)定模式間的相互耦合，從而導致這些模式快速的非線性增長（如新經(jīng)典模的磁島之間的相互“”導致的托卡馬克等離子體的大破裂。這些在《環(huán)形等離子體物理專題》中會進一0aR0~ BBzBB0~ 8pB2~2(3-0在O(2)數(shù)量級近似內(nèi)?！睌_動W(2)

rdr

12r22(m21)2 (3-0 q 0如果m2W(2)0——即所有m1對于m1

r

(3-0 r0s這里rr是q1/n的有理面，則W(2)0 s在與（3-65）相同的近擾動勢能的O(4)數(shù)量級修LB2 r4 1W

m2