第五章曲線擬正當(dāng)一、什么是曲線擬合已知要求出一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，使，這類問(wèn)題稱為曲線擬正當(dāng)。xyo曲線擬合和函數(shù)插值區(qū)分：曲線擬正當(dāng)求出函數(shù)p(x)無(wú)須經(jīng)過(guò)給定點(diǎn)，但和給定點(diǎn)很靠近。怎樣衡量靠近程度？第1頁(yè)一、什么是最小二乘原理是衡量靠近程度一個(gè)方法用最小二乘原理進(jìn)行曲線擬合方法稱為最小二乘法。最小二乘原理已知最小。求使由此可見(jiàn)，最小二乘問(wèn)題需要兩個(gè)條件：1.已知一組數(shù)據(jù)2.一個(gè)擬合多項(xiàng)式（經(jīng)驗(yàn)公式）例：已給出j1234567Tj19.125.030.136.040.045.150.0Rj76.3077.8079.2580.8082.3583.9085.10電阻R和溫度T關(guān)系第2頁(yè)畫(huà)草圖χtr1020304050758085χχχχχχ近似為一直線，設(shè)方程為：

r＝p(t)＝a+bt（a,b待定）使最小則∴所求擬合曲線是：r=p(t)=70.57+0.29t

由此得二乘法普通定義第3頁(yè)定義：設(shè)有n對(duì)數(shù)據(jù)（xj,yj)(j=1,2,…n)，從這些數(shù)據(jù)中找一個(gè)m次近似多項(xiàng)式

這里（m<n)，適當(dāng)選取使得為最小值則稱此式為最小二乘擬合多項(xiàng)式，或變量x,y之間經(jīng)驗(yàn)公式。算法：對(duì)ak求偏導(dǎo)數(shù)（k＝0,1…m)化簡(jiǎn)得記寫(xiě)成矩陣形式第4頁(yè)＝此方程組有唯一解∵假如|Sk+i|＝0P(x)有n個(gè)零點(diǎn)，與假設(shè)m個(gè)零點(diǎn)矛盾?！喾匠逃薪猓矣形ㄒ唤?。第5頁(yè)對(duì)于非多項(xiàng)式情況，如指數(shù)函數(shù)：通?；癁榫€性情況來(lái)處理Xi1234yi＝lnPi1.952.402.833.30Xi1234Pi7111727例：求一形如經(jīng)驗(yàn)公式，使它和給出數(shù)據(jù)擬合。解:B=lnAy（x)＝lnp(x)＝第6頁(yè)利用最小二乘原了解超定方程當(dāng)方程組中m>n時(shí)，稱為超定方程。最小用矩陣形式給出即：法方程組思緒例第7頁(yè)用最小二乘法解以下超定方程組近似解＝＝A=解：第8頁(yè)正交多項(xiàng)式曲線擬合一、廣義最小二乘擬合多項(xiàng)式1.）定義：設(shè)函數(shù)族線性無(wú)關(guān)，則其線性組合稱為P(x)基函數(shù)。稱為廣義多項(xiàng)式2.)最小二乘問(wèn)題設(shè)給定一組數(shù)據(jù)求一個(gè)廣義多項(xiàng)式3.)廣義最小二乘原理算法第9頁(yè)寫(xiě)成方程組形式第10頁(yè)二、正交多項(xiàng)式曲線擬合1.)概念：定義1：則稱x,y正交。定義2:設(shè)有一個(gè)函數(shù)族對(duì)其中任意兩個(gè)多項(xiàng)式使得在某一組數(shù)中有稱關(guān)于節(jié)點(diǎn)帶權(quán)正交多項(xiàng)式族，稱為權(quán)函數(shù)，且而稱為關(guān)于節(jié)點(diǎn)帶權(quán)正交多項(xiàng)式。定義3:設(shè)有一個(gè)函數(shù)族其中任意兩個(gè)多項(xiàng)式有下式成立：稱此函數(shù)為在[a,b]內(nèi)關(guān)于權(quán)函數(shù)正交函數(shù)族。第11頁(yè)2.)舉例在區(qū)間[－π，π]上正交。①在點(diǎn)集②3.)勒讓特多項(xiàng)式當(dāng)區(qū)間[-1,1]，權(quán)函數(shù)時(shí)，由所表示多項(xiàng)式，稱勒讓特多項(xiàng)式。如：第12頁(yè)4.)等距節(jié)點(diǎn)上正交多項(xiàng)式設(shè)m次正交多項(xiàng)式含有以下形式：稱為階乘積。假設(shè)節(jié)點(diǎn)為共n+1個(gè)整數(shù)點(diǎn)，現(xiàn)在經(jīng)過(guò)這些節(jié)點(diǎn)去結(jié)構(gòu)一族正交多項(xiàng)式滿足正交條件。使第13頁(yè)等距節(jié)點(diǎn)正交多項(xiàng)式作曲線擬合步驟：1.設(shè)等距節(jié)點(diǎn)作變換：2.取作為正交多項(xiàng)式系數(shù)。3.經(jīng)驗(yàn)公式：其中第14頁(yè)