二項分布與泊松分布

n重貝努利試驗在同一條件下獨立重復(fù)n次試驗，每次試驗只有兩個可能的對立結(jié)果，A與非A,如成功與失敗,其概率P（A）=π,(0<π<1),則稱這一系列獨立重復(fù)試驗為n重貝努利試驗（貝努利試驗序列）。n重貝努利試驗的三個條件（1）每次試驗只有兩個可能的對立結(jié)果，A與非A（2）每次試驗的條件不變，即每次試驗中，結(jié)果A發(fā)生的概率P（A）=π（3）各次試驗獨立，即任一次試驗結(jié)果與其它次試驗結(jié)果無關(guān)。二項分布（binomialdistribution）貝努利試驗列中成功次數(shù)k的概率為：P(X=k)=Cnk

πk(1-π)n-k(0<π<1)，k=0,1,…，n，而Cnk

πk(1-π)n-k二項式恰好是牛頓展開式((π+(1-π))n的項，故又稱為二項分布。二項分布是一種重要的離散型分布，由瑞士數(shù)學(xué)家J.Beknoulli1713年提出，故亦稱Beknoulli分布，記作X~B(n,π)，(n,π)為參數(shù)。二項分布的性質(zhì)若X~B(n,π)則1、X的均數(shù)

X的方差

X的標(biāo)準(zhǔn)差2、當(dāng)π=0.5時，二項分布呈對稱狀態(tài);當(dāng)n足夠大，且π不太靠近0或1時，二項分布逼近正態(tài)分布，；當(dāng)n足夠大，但π很小時，如n≥100而π<0.1或π>0.9時，二項分布近似于泊松分布。樣本率p的總體均數(shù)樣本率p的總體標(biāo)準(zhǔn)差樣本率p的總體標(biāo)準(zhǔn)差但π常未知，而用p作為π的估計值，因此反映樣本率抽樣誤差的統(tǒng)計量為正態(tài)近似當(dāng)n足夠大，π與1-π均不太小，如nπ≥5且n(1-π)≥5P~N（,

），

則二項分布的應(yīng)用總體率的區(qū)間估計樣本率與總體率的比較兩樣本率比較Poisson分布（poissondistribution）

一種重要的離散型分布，由法國數(shù)學(xué)家S.D.Poisson1837年提出，故稱為Poisson分布。Poisson分布有如下情形：（1）貝努利試驗中稀有事件出現(xiàn)次數(shù)近似服從參數(shù)為λ=np的poisson分布，其中n是試驗次數(shù)，p是事件的概率；（2）泊松隨機(jī)質(zhì)點流中，在長為t的時間段上出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)服從參數(shù)為λt的Poisson分布，其中λ是平均單位時間內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)，稱作“質(zhì)點流的強(qiáng)度”；（3）泊松隨機(jī)質(zhì)點場中，在體積（或面積）為τ的區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)服從參數(shù)的λτ的Poisson分布，λ是平均單位體（面）積內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)，稱作“質(zhì)點場的密度”。其概率函數(shù)P(X=k)=

k=0,1,2,…

P(X=k)>0，且poisson分布的性質(zhì)1、數(shù)學(xué)期望E（X）=方差D（X）=λ；2、當(dāng)λ足夠大（如λ≥50）時，Poisson分布逼近于正態(tài)分布；3、如果相互獨立的m個隨機(jī)變量都服從Poisson分布，則它們之和仍服從Poisson分布，且其均數(shù)為k個隨機(jī)變量的均數(shù)之和，這一性質(zhì)稱為Poisson分布的可加性。醫(yī)學(xué)中Poisson分布單位時間（空間、面積）內(nèi)某稀有事件發(fā)生次數(shù)的分布。如研究細(xì)菌、某些血細(xì)胞、粉塵等在單位面積或容積內(nèi)計數(shù)結(jié)果的分布，放射性物質(zhì)在單位時間內(nèi)放射出質(zhì)點數(shù)的分布，在單位空間中某些野生動物或昆蟲數(shù)的分布，在