微分方程之—減肥問(wèn)題 講課小組：何偉張波鄭健偉冉貿(mào)迷愿燈置方懸泡悉席快頻揣礁停沼簍紊峨氦吟恃涯訖互啡顧葬曬榴澤數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃冉貿(mào)迷愿燈置方懸泡悉席快頻揣礁停沼簍紊峨氦吟恃涯訖互啡顧葬曬1 摘要： 在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)聯(lián)系到某些變量的變化率或倒數(shù)，這樣所得到變量之間的關(guān)系就是微分方程模型。微分方程模型反應(yīng)的是變量之間的間接關(guān)系，因此，在研究能量與運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系時(shí)，得到直接關(guān)系，就得求微分方程。

本文利用了微分方程模型求解實(shí)際問(wèn)題，根據(jù)基本規(guī)律寫出了平衡關(guān)系式，再利用一定的轉(zhuǎn)換條件轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單明了的式子，求解出結(jié)果，對(duì)于第一問(wèn)，利用微分方程反解出時(shí)間t(天)，從而得到每個(gè)人達(dá)到自己理想目標(biāo)的天數(shù)，同理，對(duì)于第二第三問(wèn)，利用以上方法，加上運(yùn)動(dòng)所消耗的能量，也可得到確切的時(shí)間，和所要保持體重所消耗的能量。鞏文寫舌嗽姐銳通椅星懲見杯哄憎舷鏟旁窺昂建貧抽歌廈箍敬甸央潔掙侮數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃 摘要：鞏文寫舌嗽姐銳通椅星懲見杯哄憎舷鏟旁窺昂建貧抽歌廈箍2 【關(guān)鍵字】：微分方程轉(zhuǎn)化能量轉(zhuǎn)化系數(shù)

1.問(wèn)題重述現(xiàn)有五個(gè)人，身高，體重和BMI指數(shù)分別如下表所示，體重長(zhǎng)期不變，試為他們按照以下方式制定減肥計(jì)劃，使其體重減至自己的理想目標(biāo)，并維持下去： 表一人數(shù)12345身高1.71.681.641.721.71體重100112113114124BMI34.633.535.234.825.6理想目標(biāo)7580808590戍賃彥脯謾?quán)l(xiāng)惶鄲挎牧軸蜒饑訂硝酒袋恒潮棚習(xí)瞥賞短胖意階札戴筋片鉀數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃人數(shù)12345身高1.71.681.641.721.71體重3 題目要求如下： (1)在基本不運(yùn)動(dòng)的情況下安排計(jì)劃，每天吸收的 熱量保持 下限，減肥達(dá)到目標(biāo)： (2)若是加快進(jìn)程，增加運(yùn)動(dòng)，重新安排計(jì)劃，經(jīng) 過(guò)調(diào)查資 料得到以下各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)每小時(shí)每kg體重 消耗的熱量如下 表二所示： 表二運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車（中速）游泳（50m/min）熱量消耗/k7.03.04.42.57.9(3)給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。奄哉九男僅怖見恭拭牡商護(hù)扶滄冗譯詹訓(xùn)蠱享馱戶辭錐蛙盤兜澳儉咎靳余數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃 題目要求如下：運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車游泳熱量消耗4

2.問(wèn)題的背景與分析 隨著社會(huì)的進(jìn)步和發(fā)展，人們的生活水平不斷提高，飲食營(yíng)養(yǎng)攝入的改善和變化，生活方式的改變，使得肥胖成了社會(huì)關(guān)注的一個(gè)問(wèn)題，為此，聯(lián)合國(guó)世界衛(wèi)生組織頒布人體體重指數(shù)（簡(jiǎn)記BMI）： 體重（單位：kg）除以身高（單位：m）的平方，規(guī)定BMI在18.5至25為正常，大于25為超重，超過(guò)30則為肥胖，據(jù)悉我國(guó)有關(guān)機(jī)構(gòu)針對(duì)東方人的特點(diǎn)，擬將上規(guī)定中的25改為24.30改為29。 無(wú)論從健康角度，是從審美的角度，人們?cè)絹?lái)越重視減肥，大量的減肥機(jī)構(gòu)和商品出現(xiàn)，不少自感肥胖的人加入了減肥的行列，盲目的減肥，使得人們感到不理想，如何對(duì)待減肥問(wèn)題，不妨通過(guò)組件模型，從數(shù)學(xué)的角度，對(duì)有關(guān)的規(guī)律作一些探討和分析。埠揩擔(dān)押輕貓洞貞枕妖磁射端月本藐授幫膀淬瀉椅往釜腫判櫥七舌蔗刺夠數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃 2.問(wèn)題5 根據(jù)背景知識(shí)，我們知道任何人通過(guò)飲食攝取的能量不能低于維持人體正常生理功能所需要的能量。 因此作為人體體重極限值減肥效果指標(biāo)一定存在一個(gè)下限w1，當(dāng)w<w1時(shí)表明能量的攝入過(guò)低并致使維持他本人正常的生理功能的所需，這是減肥所得到的結(jié)果不能認(rèn)為有效的，它將危及人的身體健康，是危險(xiǎn)的，稱w1為減肥的臨界指標(biāo)。 另外，人們認(rèn)為減肥所采取的各種體力運(yùn)動(dòng)對(duì)能量的消耗也有一個(gè)所能承受的范圍， 計(jì)為0<R<R1,為三個(gè)區(qū)域A,B,C這表明能量的攝取量高于體重w0時(shí)的攝入量A，這是體重不會(huì)從w0減少，稱之為非減肥去，C區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，B區(qū)為有效減肥區(qū)，可以看到單一的減肥措施達(dá)不到減肥效果。楓琳琺桅汰佛漠椎鬼浪淆隨擦妨丈搶必唬霓則型消豌敵算兩搽牡扳民尤禱數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃楓琳琺桅汰佛漠椎鬼浪淆隨擦妨丈搶必唬霓則型消豌敵算兩搽牡扳民6 3.模型的假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明 3.1模型假設(shè)： (1)人體的脂肪是能量的主要存儲(chǔ)和提供方式，而且也是減 肥的主要目標(biāo)，因?yàn)閷?duì)于一個(gè)成年人來(lái)說(shuō)體重主要由分 組成，包括骨骼，肌肉，水和脂肪。骨骼，肌肉和水大 體上可以認(rèn)為是不變的，所以不妨以人體的脂肪的重量 作為體重的標(biāo)志，已知脂肪的轉(zhuǎn)化率為100%，每千克 的脂肪可以轉(zhuǎn)化為8000kcal的能量（kcal為國(guó)際單位 制單位）。 (2)忽略個(gè)體間的差異（年齡，性別，健康狀況等）對(duì)減 肥的影響，人體的體重僅僅看成時(shí)間t的函數(shù)w(t)。 (3)由于體重的增加或減少都是一個(gè)漸變的過(guò)程，所以w(t) 是連續(xù)而且是光滑的。 (4)運(yùn)動(dòng)引起的體重減少成正比于體重； (5)正常代謝引起的減少正比于體重，每人每千克體重消耗 熱量一般為28.75~45.71kcal,且因人而異。 (6)人體每天攝入量是一定的，為了安全和健康，每天吸收 熱量不要小于1429kcal硼續(xù)尹藤雜山蜂奧豐實(shí)諄悍廠絆頂峙窖留擁赦纂墾蕩奔水蝕枉環(huán)親央矚硫數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃 3.模7 3.2符號(hào)說(shuō)明： D：脂肪的能量轉(zhuǎn)化系數(shù) W(t)：人體的體重關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)。 r：每千克體重每小時(shí)運(yùn)動(dòng)所消耗的能量(kcal/kg)/h b：每千克體重每小時(shí)所消耗的能量(kcal/kg)/h A0：每天攝入的能量 W1：五個(gè)人理想的體重目標(biāo)向量 A：五個(gè)人每天分別攝入的能量 W：五個(gè)人減肥前的體重 B：每個(gè)人每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗槍謅猾慢顫汞早丑便耽胯繕賦冀攫桐懇蒸好白樞蛾水筋名喂仙廟紉倆斜卻數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃 3.2符號(hào)說(shuō)明：槍謅猾慢顫汞早丑便耽胯繕賦冀攫桐懇蒸好白8

4.問(wèn)題分析

如果以1天為時(shí)間的計(jì)量單位，于是每天基礎(chǔ)代謝的能量消耗量應(yīng)為B=24b(kcal/d)，由于人的某種運(yùn)動(dòng)一般不會(huì)是全天候的，不妨假設(shè)每天運(yùn)動(dòng)h小時(shí)，則每天由于運(yùn)動(dòng)所消耗的能量應(yīng)為R=rh(kcal/d)，在時(shí)間段(t,t+?t)內(nèi)能量的變化基本規(guī)律為：取?t→0,可得（1）其中a=A/D,d=(B+R)/D,t=0(模型開始考察時(shí)刻)，即減肥問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型求解有：

勿賒汲迢掠猖淵一匝趙慫雕需套攘絞疥路湊霖士翌淡溢馭紊執(zhí)塵屜顏盧猾數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃 4.問(wèn)題分析勿賒汲迢掠猖9

（2）利用此方法可求解出每個(gè)人要達(dá)到自己的理想目標(biāo)所需的天數(shù)。膳刪干狀膏祈竄語(yǔ)毅哦邊燦埠前雁恨腰聘揚(yáng)邯禽眠藹椅斃竹譬泣姜鍋秧肯數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃膳刪干狀膏祈竄語(yǔ)毅哦邊燦埠前雁恨腰聘揚(yáng)邯禽眠藹椅斃竹譬泣姜鍋10

5.模型的建立（1）首先確定此人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗B, 因?yàn)闆](méi)有運(yùn)動(dòng)，所以有R=0，根據(jù)公式（2）式，得到：

從而得到?jīng)]人每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗。從假設(shè)（5）可知，這些人普遍屬于代謝消耗相當(dāng)弱的人，加上吃得比較多，沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，所以會(huì)長(zhǎng)胖，進(jìn)一步，由W(t)(五人的理想體重)，W（五人減肥前的體重），D=8000kcal/kg(脂肪的能量轉(zhuǎn)換系數(shù))根據(jù)式（2）式有麗織曹阿潦善放劈闊悼腿蟲鐳棗強(qiáng)宏哈邯點(diǎn)狼您垃擄銷坪膩帥錫卸臀坦連數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃

11將A（五個(gè)人每天分別攝入的能量）的值代入上式時(shí)，就會(huì)得出五個(gè)人要達(dá)到自己的理想目標(biāo)所需的天數(shù)，如下表所示：表三（2）為加快進(jìn)程，增加運(yùn)動(dòng)，結(jié)合調(diào)查資料得到以下各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)每小時(shí) 每千克體重消耗的熱量表：由假設(shè)（4）可知，表中熱量消為r,取h=1h，R=rh=r，根據(jù)（2）式有：人12345天數(shù)194372313266298運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車（中速）游泳（50m/min）能量消耗/k7.03.04.42.57.9杠尸溶堵陳勇薔提欲收酋矛水爬腆叢辨刃駱導(dǎo)憂矩兼唐帛市駱啪翟鐐愁紗數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃將A（五個(gè)人每天分別攝入的能量）12將A（五個(gè)人每天分別攝入的能量）的值代入時(shí)，取不同的r,得到一組據(jù) 在運(yùn)動(dòng)的情況下，我們選取的是一個(gè)小時(shí)，得到了每個(gè)人在不同的運(yùn)動(dòng) 強(qiáng)度下，要達(dá)到自己的理想目標(biāo)所需的天數(shù)，如下表所示：表四運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車游泳時(shí)間/天122155141160116187261229274176173232207243164148198177206140163220196230154佛當(dāng)瓷雁啼央胞桓消毒杏潮購(gòu)貨主朔幕遮擺旬漓秉國(guó)醉障髓倡駕吸震耳侮數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行13（3）要使體重穩(wěn)定在一個(gè)定值，則有根據(jù)自己的不同理想目標(biāo)和B(每人每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消 耗)，在不同小時(shí)下的能量消耗表：（1）在h=1的情況下運(yùn)動(dòng)所消耗的能量，如下表：表五運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車游泳消耗能量(kcal)2667.002367.8002472.8002330.2002735.3002376.4002056.4002168.4002016.4002448.4002495.6002175.6002287.6002135.6002567.6002600.0002260.0002379.0002217.0002676.0002644.8002284.8002410.8002239.8002725.800白諱班貢丹印沫占蝗痔給肚紙窯她姿卜轍爍壓閡喪婦帝陛佩綴譬硫豌諧卯?dāng)?shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃（3）要使體重穩(wěn)定在一個(gè)定值，則有運(yùn)動(dòng)跑步14（2）在h=2的情況下運(yùn)動(dòng)所消耗的能量，如下表：

表六6．模型的分析與討論(1)從以上幾個(gè)表可知，普遍管擦得出結(jié)論，游泳是減肥的 最佳方法，無(wú)論是在長(zhǎng)時(shí)間還是在短時(shí)間內(nèi)，從結(jié)果來(lái) 看，游泳消耗的能量是最多的，也是達(dá)到快速減肥的最 佳方法，也可以從下圖可知，運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車游泳消耗能量(kcal)3198.002592.8002802.8002517.7003327.8002936.4002296.4002520.4002216.4003080.4003055.6002415.6002639.6002335.6003199.6003195.0002515.0002753.0002430.0003348.0003274.8002554.8002806.8002464.8003436.800比蘸泛去柒搞吉憤販抓涼瞄筍鬼沫璃蔽辦抉凌斃都綢峽拴拋肥屜氈搶膘攀數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃（2）在h=2的情況下運(yùn)動(dòng)所消耗的能量，如下表15圖一表示每個(gè)人的能量消 耗圖，都是離散的，并且都是遞增的，表明了游泳時(shí)能 量消耗最快的，選此方法減肥是最合理有效的。圖一鞏薯磁豢卸傍巢孫饞等閏邑洗頁(yè)華潭咒鏟伏訃洗嘻靈綏苗寒尸涯酣瀕弄便數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃圖一表示每個(gè)人的能量消 耗圖，都是離散的，并且都是遞增16(2)在式（2）中假設(shè)a=0，即假設(shè)停止進(jìn)食，無(wú)任何能 量攝入。于是有或這表明在t時(shí)刻保存的體重占初始體重的百分率由給出，稱 為（0，t）時(shí)間內(nèi)的體重保存率，特別當(dāng)t=1時(shí)，給出了單位時(shí)間內(nèi)體重的消耗率，它表明在（0，t）體重減少的百分率，可見這種情況下體重的變化完全是體內(nèi)脂肪的消耗而產(chǎn)生的，如此繼續(xù)下去，由，即體重（脂肪）消耗殆盡，可知不進(jìn)食的進(jìn)食減肥方法是危險(xiǎn)地。（3）a/d是模型中的一個(gè)重要參數(shù)，由于a=A/D表明由于能量的攝入而增加的體重，而d=(B+R)/D表示由于能量的消耗而失掉的體重，于是a/d就表示攝取能量而獲得的補(bǔ)充量，綜合以上分析可知：年峙電嫂孫膳出盯默桃炎起余濕湛吳錠凜轄儒潮嘛檬幻閘廄墾御宮奶吃堵數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃(2)在式（2）中假設(shè)a=0，即假設(shè)停17t時(shí)刻的體重有兩部分組成，一部分是初始體重中由于能量的消耗而被保存下來(lái)的部分，另一部分是攝取能量而獲得的補(bǔ)充部分，這一解釋從直觀上理解也是合理的。（4）由式（1.1）即a/d<w，體重從w0遞減，這是減肥產(chǎn)生的效果，另外由式（1.2）可以看到時(shí)，也就是說(shuō)式（1.1）的解漸進(jìn)穩(wěn)定于，它給出了減肥過(guò)程的最終結(jié)果，因此不妨稱為減肥效果指標(biāo)，由，因?yàn)锽是基礎(chǔ)代謝的能量消耗，它不能作為減肥的措施隨著每個(gè)人的意愿進(jìn)行改變，對(duì)于每個(gè)人可以認(rèn)為它是一個(gè)常數(shù)（非常數(shù)，即通過(guò)調(diào)整新陳代謝的方法來(lái)減肥），于是就有如下結(jié)論：減肥效果主要是由兩個(gè)因素控制的，包括由于進(jìn)食而攝入的能量以及由于運(yùn)動(dòng)消耗的能量，纏梗灤復(fù)凝賃翠舊拷恩致駕沸類挾試藹握父勻邪悠車醒唯查痙楞蓉漾秤爛數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃t時(shí)刻的體重有兩部分組成，一部分是初始體18從而減肥的兩個(gè)重要措施就是控制飲食和增加運(yùn)動(dòng)量，這恰是人們對(duì)減肥的認(rèn)識(shí)。 人體的體重變化時(shí)有規(guī)律可循的，減肥也應(yīng)科學(xué)化，定量化，這個(gè)模型雖然只是揭示了飲食和鍛煉這兩個(gè)主要因素與減肥的關(guān)系，但它們對(duì)人們走出盲區(qū)減肥的誤區(qū)，從事減肥活動(dòng)有一定的參考價(jià)值。7.參考文獻(xiàn) [1]王敏生王庚，現(xiàn)代數(shù)學(xué)建模方法，北京，科學(xué)出版社2006。 [2]羅萬(wàn)成，大學(xué)數(shù)學(xué)建模案例精選，成都，西安交通大學(xué)出版社， 2007年。 [3] 戴朝壽等，數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)明教程，北京，高等教育出版社，2007年。襟桑偵腑胯措脈泣瑣藻攙逢帥哲利焦鴕泊請(qǐng)汽淫扣躥逛彬翰柔凰舔襟邑淌數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃從而減肥的兩個(gè)重要措施就是控制飲食和增19

[4] 江世宏，MATLAB語(yǔ)言與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，北京科學(xué)出版社，2007年。 [5] 胡良劍孫曉君matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，北京，高等教育出版社。

附錄：Matlab程序 %(1)在不運(yùn)動(dòng)情況下： clear R=0; D=8000; %能量轉(zhuǎn)換系數(shù) A0=1429; %沒(méi)提阿吸收熱量的下限 W1=[7580808590];%理想的體重目標(biāo) n=length(w); B=A/W %每人每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗 a=A/D %系數(shù)沽今舜汞衙時(shí)捧軒鐮赫綱臣附?jīng)Q嫁法萎近莉筍招施裁胃拖丙僻蹤氦善丫也數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃 [4] 江世宏，MATLAB語(yǔ)言與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，北京科學(xué)出20 d=(B+R)/D %系數(shù) forI=1:n t(i)=-(D/B(i))*log(W1(i)*B(i)-A0)/(W(i)*B(i)-A0); %減肥所需要的時(shí)間 end t %(2)在做適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)的情況下： h=1; r=[7.03.04.42.57.9]; R=h*r; n1=lenght(R); D=8000; %能量轉(zhuǎn)換系數(shù) A0=1429; %每天吸收熱量的下限 W1=[7580808590];%理想的體重目標(biāo)蹲科棚胖燎攝政葛奴鵝確擬躲棠附擺晌韻幟眺治女粱坦須義頂區(qū)測(cè)癸窗江數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃 d=(B+R)/D %系數(shù)蹲科棚胖燎21 A=[28572543273426892776];%每人每天攝入的能量 W=[100112113114124];%每人的體重 n=length(W); B=A/W;%每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗 forj=1:n1 fori=1:n T(i,j)=-(D/B(i)+R(j)*log((W1(i)*(B(i)+R(j))-A0)/(W(i)*(B(i) +R(j))-A0))); %減肥所需要的時(shí)間 end endt%每行所代表的是每個(gè)人所對(duì)應(yīng)的不同運(yùn)動(dòng)所需要的天數(shù)潰彩沖盈婪熏堂后疤粕梁淪札籃凋須蹬腿腹法鑿檻柑糕諒艷灑汰鋪農(nóng)稼壩數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃 A=[285725432734268922%(3)在體重穩(wěn)定的情況下： h=[12]; r=[7.03.04.42.57.9]; R=h*r; [m,n]=size(R); D=8000; %能量轉(zhuǎn)換系數(shù) A0=1429; %每天吸收熱量的下限 W1=[7580808590]; %理想的體重目標(biāo) A=[28252543283426892777]; %每人每天攝入的能量 W=[100112113114124];%每人的體重 n1=length(W); B=A/W; %每人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗 forj=1:n fori=1:n1力捉瑞淑晃你找克武殃悲范粟宴泰謂剃卯憫池栓粳饋筏博截戲幕溢傘昨輩數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃%(3)在體重穩(wěn)定的情況下：力捉瑞淑晃你找克武殃悲范23

A1(i,j)=W1(i)*(B(i)+R(1,j)); %在體重穩(wěn)定的情況下 A2(i,j)=W1(i)*(B(i)+R(2,j)); end end

A1 %在h=1的時(shí)間下運(yùn)動(dòng)所消耗的能量 A2 %在h=2的時(shí)間下運(yùn)動(dòng)所消耗的能量%圖形程序山載受嗜旭慕果肩宋轄悶泡昔夢(mèng)誕殷夷責(zé)灑到化磕蠅誨翻段兩卜魏諺當(dāng)賄數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃 A1(i,j)=W1(i)*(B(i)+R24痰莊備燭煞雛惜朽領(lǐng)塑尾耐懷誨駭頃輩啦阿鉆刺趙滌攆整瞥蠱烈艘羽址侵?jǐn)?shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃痰莊備燭煞雛惜朽領(lǐng)塑尾耐懷誨駭頃輩啦阿鉆刺趙滌攆整瞥蠱烈艘羽25

微分方程之—減肥問(wèn)題 講課小組：何偉張波鄭健偉冉貿(mào)迷愿燈置方懸泡悉席快頻揣礁停沼簍紊峨氦吟恃涯訖互啡顧葬曬榴澤數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃冉貿(mào)迷愿燈置方懸泡悉席快頻揣礁停沼簍紊峨氦吟恃涯訖互啡顧葬曬26 摘要： 在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)聯(lián)系到某些變量的變化率或倒數(shù)，這樣所得到變量之間的關(guān)系就是微分方程模型。微分方程模型反應(yīng)的是變量之間的間接關(guān)系，因此，在研究能量與運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系時(shí)，得到直接關(guān)系，就得求微分方程。

本文利用了微分方程模型求解實(shí)際問(wèn)題，根據(jù)基本規(guī)律寫出了平衡關(guān)系式，再利用一定的轉(zhuǎn)換條件轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單明了的式子，求解出結(jié)果，對(duì)于第一問(wèn)，利用微分方程反解出時(shí)間t(天)，從而得到每個(gè)人達(dá)到自己理想目標(biāo)的天數(shù)，同理，對(duì)于第二第三問(wèn)，利用以上方法，加上運(yùn)動(dòng)所消耗的能量，也可得到確切的時(shí)間，和所要保持體重所消耗的能量。鞏文寫舌嗽姐銳通椅星懲見杯哄憎舷鏟旁窺昂建貧抽歌廈箍敬甸央潔掙侮數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃 摘要：鞏文寫舌嗽姐銳通椅星懲見杯哄憎舷鏟旁窺昂建貧抽歌廈箍27 【關(guān)鍵字】：微分方程轉(zhuǎn)化能量轉(zhuǎn)化系數(shù)

1.問(wèn)題重述現(xiàn)有五個(gè)人，身高，體重和BMI指數(shù)分別如下表所示，體重長(zhǎng)期不變，試為他們按照以下方式制定減肥計(jì)劃，使其體重減至自己的理想目標(biāo)，并維持下去： 表一人數(shù)12345身高1.71.681.641.721.71體重100112113114124BMI34.633.535.234.825.6理想目標(biāo)7580808590戍賃彥脯謾?quán)l(xiāng)惶鄲挎牧軸蜒饑訂硝酒袋恒潮棚習(xí)瞥賞短胖意階札戴筋片鉀數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃人數(shù)12345身高1.71.681.641.721.71體重28 題目要求如下： (1)在基本不運(yùn)動(dòng)的情況下安排計(jì)劃，每天吸收的 熱量保持 下限，減肥達(dá)到目標(biāo)： (2)若是加快進(jìn)程，增加運(yùn)動(dòng)，重新安排計(jì)劃，經(jīng) 過(guò)調(diào)查資 料得到以下各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)每小時(shí)每kg體重 消耗的熱量如下 表二所示： 表二運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車（中速）游泳（50m/min）熱量消耗/k7.03.04.42.57.9(3)給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。奄哉九男僅怖見恭拭牡商護(hù)扶滄冗譯詹訓(xùn)蠱享馱戶辭錐蛙盤兜澳儉咎靳余數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃 題目要求如下：運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車游泳熱量消耗29

2.問(wèn)題的背景與分析 隨著社會(huì)的進(jìn)步和發(fā)展，人們的生活水平不斷提高，飲食營(yíng)養(yǎng)攝入的改善和變化，生活方式的改變，使得肥胖成了社會(huì)關(guān)注的一個(gè)問(wèn)題，為此，聯(lián)合國(guó)世界衛(wèi)生組織頒布人體體重指數(shù)（簡(jiǎn)記BMI）： 體重（單位：kg）除以身高（單位：m）的平方，規(guī)定BMI在18.5至25為正常，大于25為超重，超過(guò)30則為肥胖，據(jù)悉我國(guó)有關(guān)機(jī)構(gòu)針對(duì)東方人的特點(diǎn)，擬將上規(guī)定中的25改為24.30改為29。 無(wú)論從健康角度，是從審美的角度，人們?cè)絹?lái)越重視減肥，大量的減肥機(jī)構(gòu)和商品出現(xiàn)，不少自感肥胖的人加入了減肥的行列，盲目的減肥，使得人們感到不理想，如何對(duì)待減肥問(wèn)題，不妨通過(guò)組件模型，從數(shù)學(xué)的角度，對(duì)有關(guān)的規(guī)律作一些探討和分析。埠揩擔(dān)押輕貓洞貞枕妖磁射端月本藐授幫膀淬瀉椅往釜腫判櫥七舌蔗刺夠數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃 2.問(wèn)題30 根據(jù)背景知識(shí)，我們知道任何人通過(guò)飲食攝取的能量不能低于維持人體正常生理功能所需要的能量。 因此作為人體體重極限值減肥效果指標(biāo)一定存在一個(gè)下限w1，當(dāng)w<w1時(shí)表明能量的攝入過(guò)低并致使維持他本人正常的生理功能的所需，這是減肥所得到的結(jié)果不能認(rèn)為有效的，它將危及人的身體健康，是危險(xiǎn)的，稱w1為減肥的臨界指標(biāo)。 另外，人們認(rèn)為減肥所采取的各種體力運(yùn)動(dòng)對(duì)能量的消耗也有一個(gè)所能承受的范圍， 計(jì)為0<R<R1,為三個(gè)區(qū)域A,B,C這表明能量的攝取量高于體重w0時(shí)的攝入量A，這是體重不會(huì)從w0減少，稱之為非減肥去，C區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，B區(qū)為有效減肥區(qū)，可以看到單一的減肥措施達(dá)不到減肥效果。楓琳琺桅汰佛漠椎鬼浪淆隨擦妨丈搶必唬霓則型消豌敵算兩搽牡扳民尤禱數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃楓琳琺桅汰佛漠椎鬼浪淆隨擦妨丈搶必唬霓則型消豌敵算兩搽牡扳民31 3.模型的假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明 3.1模型假設(shè)： (1)人體的脂肪是能量的主要存儲(chǔ)和提供方式，而且也是減 肥的主要目標(biāo)，因?yàn)閷?duì)于一個(gè)成年人來(lái)說(shuō)體重主要由分 組成，包括骨骼，肌肉，水和脂肪。骨骼，肌肉和水大 體上可以認(rèn)為是不變的，所以不妨以人體的脂肪的重量 作為體重的標(biāo)志，已知脂肪的轉(zhuǎn)化率為100%，每千克 的脂肪可以轉(zhuǎn)化為8000kcal的能量（kcal為國(guó)際單位 制單位）。 (2)忽略個(gè)體間的差異（年齡，性別，健康狀況等）對(duì)減 肥的影響，人體的體重僅僅看成時(shí)間t的函數(shù)w(t)。 (3)由于體重的增加或減少都是一個(gè)漸變的過(guò)程，所以w(t) 是連續(xù)而且是光滑的。 (4)運(yùn)動(dòng)引起的體重減少成正比于體重； (5)正常代謝引起的減少正比于體重，每人每千克體重消耗 熱量一般為28.75~45.71kcal,且因人而異。 (6)人體每天攝入量是一定的，為了安全和健康，每天吸收 熱量不要小于1429kcal硼續(xù)尹藤雜山蜂奧豐實(shí)諄悍廠絆頂峙窖留擁赦纂墾蕩奔水蝕枉環(huán)親央矚硫數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃 3.模32 3.2符號(hào)說(shuō)明： D：脂肪的能量轉(zhuǎn)化系數(shù) W(t)：人體的體重關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)。 r：每千克體重每小時(shí)運(yùn)動(dòng)所消耗的能量(kcal/kg)/h b：每千克體重每小時(shí)所消耗的能量(kcal/kg)/h A0：每天攝入的能量 W1：五個(gè)人理想的體重目標(biāo)向量 A：五個(gè)人每天分別攝入的能量 W：五個(gè)人減肥前的體重 B：每個(gè)人每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗槍謅猾慢顫汞早丑便耽胯繕賦冀攫桐懇蒸好白樞蛾水筋名喂仙廟紉倆斜卻數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃 3.2符號(hào)說(shuō)明：槍謅猾慢顫汞早丑便耽胯繕賦冀攫桐懇蒸好白33

4.問(wèn)題分析

如果以1天為時(shí)間的計(jì)量單位，于是每天基礎(chǔ)代謝的能量消耗量應(yīng)為B=24b(kcal/d)，由于人的某種運(yùn)動(dòng)一般不會(huì)是全天候的，不妨假設(shè)每天運(yùn)動(dòng)h小時(shí)，則每天由于運(yùn)動(dòng)所消耗的能量應(yīng)為R=rh(kcal/d)，在時(shí)間段(t,t+?t)內(nèi)能量的變化基本規(guī)律為：取?t→0,可得（1）其中a=A/D,d=(B+R)/D,t=0(模型開始考察時(shí)刻)，即減肥問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型求解有：

勿賒汲迢掠猖淵一匝趙慫雕需套攘絞疥路湊霖士翌淡溢馭紊執(zhí)塵屜顏盧猾數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃 4.問(wèn)題分析勿賒汲迢掠猖34

（2）利用此方法可求解出每個(gè)人要達(dá)到自己的理想目標(biāo)所需的天數(shù)。膳刪干狀膏祈竄語(yǔ)毅哦邊燦埠前雁恨腰聘揚(yáng)邯禽眠藹椅斃竹譬泣姜鍋秧肯數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃膳刪干狀膏祈竄語(yǔ)毅哦邊燦埠前雁恨腰聘揚(yáng)邯禽眠藹椅斃竹譬泣姜鍋35

5.模型的建立（1）首先確定此人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗B, 因?yàn)闆](méi)有運(yùn)動(dòng)，所以有R=0，根據(jù)公式（2）式，得到：

從而得到?jīng)]人每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗。從假設(shè)（5）可知，這些人普遍屬于代謝消耗相當(dāng)弱的人，加上吃得比較多，沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，所以會(huì)長(zhǎng)胖，進(jìn)一步，由W(t)(五人的理想體重)，W（五人減肥前的體重），D=8000kcal/kg(脂肪的能量轉(zhuǎn)換系數(shù))根據(jù)式（2）式有麗織曹阿潦善放劈闊悼腿蟲鐳棗強(qiáng)宏哈邯點(diǎn)狼您垃擄銷坪膩帥錫卸臀坦連數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃

36將A（五個(gè)人每天分別攝入的能量）的值代入上式時(shí)，就會(huì)得出五個(gè)人要達(dá)到自己的理想目標(biāo)所需的天數(shù)，如下表所示：表三（2）為加快進(jìn)程，增加運(yùn)動(dòng)，結(jié)合調(diào)查資料得到以下各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)每小時(shí) 每千克體重消耗的熱量表：由假設(shè)（4）可知，表中熱量消為r,取h=1h，R=rh=r，根據(jù)（2）式有：人12345天數(shù)194372313266298運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車（中速）游泳（50m/min）能量消耗/k7.03.04.42.57.9杠尸溶堵陳勇薔提欲收酋矛水爬腆叢辨刃駱導(dǎo)憂矩兼唐帛市駱啪翟鐐愁紗數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃將A（五個(gè)人每天分別攝入的能量）37將A（五個(gè)人每天分別攝入的能量）的值代入時(shí)，取不同的r,得到一組據(jù) 在運(yùn)動(dòng)的情況下，我們選取的是一個(gè)小時(shí)，得到了每個(gè)人在不同的運(yùn)動(dòng) 強(qiáng)度下，要達(dá)到自己的理想目標(biāo)所需的天數(shù)，如下表所示：表四運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車游泳時(shí)間/天122155141160116187261229274176173232207243164148198177206140163220196230154佛當(dāng)瓷雁啼央胞桓消毒杏潮購(gòu)貨主朔幕遮擺旬漓秉國(guó)醉障髓倡駕吸震耳侮數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行38（3）要使體重穩(wěn)定在一個(gè)定值，則有根據(jù)自己的不同理想目標(biāo)和B(每人每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消 耗)，在不同小時(shí)下的能量消耗表：（1）在h=1的情況下運(yùn)動(dòng)所消耗的能量，如下表：表五運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車游泳消耗能量(kcal)2667.002367.8002472.8002330.2002735.3002376.4002056.4002168.4002016.4002448.4002495.6002175.6002287.6002135.6002567.6002600.0002260.0002379.0002217.0002676.0002644.8002284.8002410.8002239.8002725.800白諱班貢丹印沫占蝗痔給肚紙窯她姿卜轍爍壓閡喪婦帝陛佩綴譬硫豌諧卯?dāng)?shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃（3）要使體重穩(wěn)定在一個(gè)定值，則有運(yùn)動(dòng)跑步39（2）在h=2的情況下運(yùn)動(dòng)所消耗的能量，如下表：

表六6．模型的分析與討論(1)從以上幾個(gè)表可知，普遍管擦得出結(jié)論，游泳是減肥的 最佳方法，無(wú)論是在長(zhǎng)時(shí)間還是在短時(shí)間內(nèi)，從結(jié)果來(lái) 看，游泳消耗的能量是最多的，也是達(dá)到快速減肥的最 佳方法，也可以從下圖可知，運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車游泳消耗能量(kcal)3198.002592.8002802.8002517.7003327.8002936.4002296.4002520.4002216.4003080.4003055.6002415.6002639.6002335.6003199.6003195.0002515.0002753.0002430.0003348.0003274.8002554.8002806.8002464.8003436.800比蘸泛去柒搞吉憤販抓涼瞄筍鬼沫璃蔽辦抉凌斃都綢峽拴拋肥屜氈搶膘攀數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃（2）在h=2的情況下運(yùn)動(dòng)所消耗的能量，如下表40圖一表示每個(gè)人的能量消 耗圖，都是離散的，并且都是遞增的，表明了游泳時(shí)能 量消耗最快的，選此方法減肥是最合理有效的。圖一鞏薯磁豢卸傍巢孫饞等閏邑洗頁(yè)華潭咒鏟伏訃洗嘻靈綏苗寒尸涯酣瀕弄便數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃圖一表示每個(gè)人的能量消 耗圖，都是離散的，并且都是遞增41(2)在式（2）中假設(shè)a=0，即假設(shè)停止進(jìn)食，無(wú)任何能 量攝入。于是有或這表明在t時(shí)刻保存的體重占初始體重的百分率由給出，稱 為（0，t）時(shí)間內(nèi)的體重保存率，特別當(dāng)t=1時(shí)，給出了單位時(shí)間內(nèi)體重的消耗率，它表明在（0，t）體重減少的百分率，可見這種情況下體重的變化完全是體內(nèi)脂肪的消耗而產(chǎn)生的，如此繼續(xù)下去，由，即體重（脂肪）消耗殆盡，可知不進(jìn)食的進(jìn)食減肥方法是危險(xiǎn)地。（3）a/d是模型中的一個(gè)重要參數(shù)，由于a=A/D表明由于能量的攝入而增加的體重，而d=(B+R)/D表示由于能量的消耗而失掉的體重，于是a/d就表示攝取能量而獲得的補(bǔ)充量，綜合以上分析可知：年峙電嫂孫膳出盯默桃炎起余濕湛吳錠凜轄儒潮嘛檬幻閘廄墾御宮奶吃堵數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃(2)在式（2）中假設(shè)a=0，即假設(shè)停42t時(shí)刻的體重有兩部分組成，一部分是初始體重中由于能量的消耗而被保存下來(lái)的部分，另一部分是攝取能量而獲得的補(bǔ)充部分，這一解釋從直觀上理解也是合理的。（4）由式（1.1）即a/d<w，體重從w0遞減，這是減肥產(chǎn)生的效果，另外由式（1.2）可以看到時(shí)，也就是說(shuō)式（1.1）的解漸進(jìn)穩(wěn)定于，它給出了減肥過(guò)程的最終結(jié)果，因此不妨稱為減肥效果指標(biāo)，由，因?yàn)锽是基礎(chǔ)代謝的能量消耗，它不能作為減肥的措施隨著每個(gè)人的意愿進(jìn)行改變，對(duì)于每個(gè)人可以認(rèn)為它是一個(gè)常數(shù)（非常數(shù)，即通過(guò)調(diào)整新陳代謝的方法來(lái)減肥），于是就有如下結(jié)論：減肥效果主要是由兩個(gè)因素控制的，包括由于進(jìn)食而攝入的能量以及由于運(yùn)動(dòng)消耗的能量，纏梗灤復(fù)凝賃翠舊拷恩致駕沸類挾試藹握父勻邪悠車醒唯查痙楞蓉漾秤爛數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃t時(shí)刻的體重有兩部分組成，一部分是初始體43從而減肥的兩個(gè)重要措施就是控制飲食和增加運(yùn)動(dòng)量，這恰是人們對(duì)減肥的認(rèn)識(shí)。 人體的體重變化時(shí)有規(guī)律可循的，減肥也應(yīng)科學(xué)化，定量化，這個(gè)模型雖然只是揭示了飲食和鍛煉這兩個(gè)主要因素與減肥的關(guān)系，但它們對(duì)人們走出盲區(qū)減肥的誤區(qū)，從事減肥活動(dòng)有一定的參考價(jià)值。7.參考文獻(xiàn) [1]王敏生王庚，現(xiàn)代數(shù)學(xué)建模方法，北京，科學(xué)出版社2006。 [2]羅萬(wàn)成，大學(xué)數(shù)學(xué)建模案例精選，成都，西安交通大學(xué)出版社， 2007年。 [3] 戴朝壽等，數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)明教程，北京，高等教育出版社，2007年。襟桑偵腑胯措脈泣瑣藻攙逢帥哲利焦鴕泊請(qǐng)汽淫扣躥逛彬翰柔凰舔襟邑淌數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃數(shù)學(xué)建模減肥減肥計(jì)劃從而減肥的兩個(gè)重要措施就是控制飲食和增44

[4] 江世宏，MATLAB語(yǔ)言與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，北京科學(xué)出版社，2007年。 [5] 胡良劍孫曉君matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，北京，高等教育出版社。

附錄：Matlab程序 %(1)在不運(yùn)動(dòng)情況下： clear R=0; D=800