微積分前期史1微積分前期史1開篇：

微積分，或者數(shù)學(xué)分析，是人類思維的偉大成果之一。它外于自然科學(xué)與人文科學(xué)之間的地位，使它成為高等教育的一種特別有效的工具。遺憾的是，微積分的數(shù)學(xué)方法有時流于機械，不能體現(xiàn)出這門學(xué)科乃是撼人心靈的智力奮斗的結(jié)晶；這種奮斗已經(jīng)經(jīng)歷了兩千五百多年之久，它深深根扎于人類活動的許多領(lǐng)域，并且，只要人們認識自己和認識自然的努力一日不止，這種奮斗就將繼續(xù)不已。R.柯朗22開篇：微積分，或者數(shù)學(xué)分析，是人類思維的偉大成果之一。它外開篇：

課本的字斟句酌的敘述，未能表現(xiàn)出創(chuàng)造過程中的斗爭、挫折，以及在建立一個可觀的結(jié)構(gòu)之前，數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的艱苦漫長的道路。學(xué)生一旦認識到這一點，他將不僅獲得真知灼見，還將獲得頑強地追究他所攻問題的勇氣，并且不會因為他自己的工作并非完美無缺而感到沮喪。實在說，敘述數(shù)學(xué)家如何跌交，如何在迷霧中摸索前進，并且如何零零碎碎地得到他們的成果，應(yīng)能使搞研究工作的任一新手鼓起勇氣。M.克萊因33開篇：課本的字斟句酌的敘述，未能表現(xiàn)出創(chuàng)造過程中的斗爭、挫開篇：

學(xué)習(xí)微積分概念的發(fā)展將使我們受益良多。微積分的創(chuàng)立是為了解決以下四類問題：運動問題切線問題極值問題求積問題44開篇：學(xué)習(xí)微積分概念的發(fā)展將使我們受益良多。44§12.1積分學(xué)的早期史：12.1.1歐多克索斯的窮竭法古希臘巧辯家安提豐(約公元前500年)提出圓面積由內(nèi)接多邊形逼近。歐多克索斯(Eudoxus公元前400-公元前350年)假定量是無限可分的，并以下述命題為基礎(chǔ)：5§12.1積分學(xué)的早期史：12.1.1歐多克索斯的窮竭法12.1.1歐多克索斯的窮竭法：命題1 如果從任一量中減去不小于它的一半的部分，從余量中再減去不小于它的一半的另一部分，如此繼續(xù)下去，則最后留下一個小于任何給定的同類量的量。命題2 圓的內(nèi)接相似正多邊形面積之比等于圓的直徑的平方之比。命題3 圓與圓的面積之比等于其直徑平方之比。612.1.1歐多克索斯的窮竭法：命題1 如果從任一量中減去12.1.1歐多克索斯的窮竭法：歐多克索斯還證明了棱錐體積是同底同高的棱柱體積的三分之一,以及圓錐體積是同底同高的圓柱體積的三分之一。但他沒有明確的極限思想。712.1.1歐多克索斯的窮竭法：歐多克索斯還證明了棱錐體積12.1.2阿基米德的平衡法：阿基米德(Archimedes，約公元前287～212)古希臘物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，靜力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人。除了牛頓和愛因斯坦，再沒有一個人象阿基米德那樣為人類的進步做出過這樣大的貢獻。即使牛頓和愛因斯坦也都曾從他身上汲取過智慧和靈感。他是“理論天才與實驗天才合于一人的理想化身”，文藝復(fù)興時期的達芬奇和伽利略等人都拿他來做自己的楷模。812.1.2阿基米德的平衡法：阿基米德(Archimede在阿基米德《論球和柱體》一書中，第一次出現(xiàn)了球和球冠的表面積，球和球缺的體積的正確公式。命題１圓面積是圓周長與其半徑之積的一半．命題２半徑為r的球的體積是12.1.2阿基米德的平衡法：9在阿基米德《論球和柱體》一書中，第一次出現(xiàn)了球和球冠的表面積TNSAB圖12-210TNSAB圖12-210命題2的證明11命題2的證明11命題2的證明12命題2的證明12第一個推廣阿基米德方法的是德國的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家刻卜勒（JohannKepler1571-1630)他在1615年寫了《酒桶的新立體幾何》，書中包含了用無窮小元素法求面積和求體積的許多問題，其中有87種新的旋轉(zhuǎn)體的體積?？滩防展ぷ鞯闹苯永^承者是卡瓦列里（B.Cavalieri1598-1647),他在1635年發(fā)表了專著《不可分素幾何學(xué)》12.1.3不可分素方法：13第一個推廣阿基米德方法的是德國的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家刻卜勒（Jo卡瓦列里說：“要決定平面圖形的大小可以用一系列平行線；我們設(shè)想在這些圖形上畫了無窮多的平行線”。他用同樣的方式處理了立體圖形，用的不是一系列平行線，而是一系列平行平面。這些直線和平面就是不可分素?？ㄍ吡欣镉貌豢煞炙氐姆椒ń鉀Q了整數(shù)冪的積分問題。也即，他算出了下面的積分：12.1.3不可分素方法：14卡瓦列里說：“要決定平面圖形的大小可以用一系列平例 求橢圓的體積。12.1.3不可分素方法：15例 求橢圓的體積。12.1.3不可分素方法：15例 求半徑為r的球的體積。12.1.3不可分素方法：16例 求半徑為r的球的體積。12.1.3不可分素方法：1612.1.4劉徽的貢獻：劉徽（約225-295），中國數(shù)學(xué)史上偉大的數(shù)學(xué)家，活動于魏晉年間。中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基者之一。他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是我國最可寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。1712.1.4劉徽的貢獻：劉徽（約225-295），中國數(shù)學(xué)12.1.4劉徽的貢獻：劉徽對積分學(xué)的貢獻主要有兩點：1）他創(chuàng)造性地運用極限思想證明了求圓面積公式和給出了計算圓周率的方法。他用割圓術(shù)，從直徑為2尺的圓內(nèi)接正六邊形開始割圓，依次得正12邊形、正24邊形……，割得越細，正多邊形面積和圓面積之差越小，用他的原話說是“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”他得到的圓周率為3927/1250=3.1416。他提出的計算圓周率的科學(xué)方法，奠定了此后千余年中國圓周率計算在世界上的領(lǐng)先地位。1812.1.4劉徽的貢獻：劉徽對積分學(xué)的貢獻主要有兩點：1812.1.4劉徽的貢獻：2）關(guān)于解決體積問題的設(shè)想。他指出了《九章算術(shù)》內(nèi)求球體積公式的錯誤。他在正方體內(nèi)作了兩個相互垂直的圓柱，并稱兩圓柱公共部分為“牟合方蓋”，他雖未完成球體積的推導(dǎo)，但他正確的指出，“牟合方蓋”與其內(nèi)切球體積之比為4：，在算法理論和數(shù)學(xué)思想方面都給后人以很大的啟發(fā)。1912.1.4劉徽的貢獻：2）關(guān)于解決體積問題的設(shè)想。1912.1.5祖暅原理：祖暅，字景爍，南北朝時南朝著名數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家。著名數(shù)學(xué)家祖沖之之子?！毒Y術(shù)》就是他們父子共同完成的數(shù)學(xué)杰作。在推導(dǎo)“牟合方蓋”體積的過程中，祖暅提出了“冪勢既同，則積不容異”的原理，后來被稱為“祖暅原理”。用現(xiàn)代語言來說即“若兩立體在等高處具有相同的截面面積，則這兩立方體的體積相等”。2012.1.5祖暅原理：祖暅，字景爍，南北朝時南朝著名數(shù)學(xué)家12.1.5祖暅原理：“祖暅原理”也即卡瓦列里原理，但比卡瓦列里早了一千年。根據(jù)“祖暅原理”可將“牟合方蓋”的體積化成一個正方體和一個四棱錐的體積之差。由此求出“牟合方蓋”的體積等于。并由此得到求的球的體積。2112.1.5祖暅原理：“祖暅原理”也即卡瓦列里原理，但比卡圖12-8祖暅原理動畫演示22圖12-8祖暅原理動畫演示22§12.2微分學(xué)的早期史：積分學(xué)的歷史比較長，相對來講微分學(xué)要短一些。在17世紀，數(shù)學(xué)家伽利略和刻卜勒的一系列發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致數(shù)學(xué)從古典數(shù)學(xué)向現(xiàn)代數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折。伽利略發(fā)現(xiàn)了許多有關(guān)物體在地球引力場中運動的基本事實?？滩防赵?691年前后歸納出著名的行星運動三定律。微分學(xué)主要來源于兩個問題的研究：一個是作曲線切線問題，一個是求函數(shù)的最大最小值問題。23§12.2微分學(xué)的早期史：積分學(xué)的歷史比較長，相對來講微12.2.1費馬以前的工作從一般意義上討論曲線的切線問題由法國數(shù)學(xué)羅貝瓦爾（G.P.deRoberval1602-1675）他認為，曲線是由運動的點生成，點的運動又可以分解成兩個已知的運動。兩個已知的運動的速度向量給出曲線的切線。如：拋物線的切線。（離開準線和離開焦點運動的和力）意大利物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家托里拆利(Torricelli1608-1647)也持有這種觀點。2412.2.1費馬以前的工作從一般意義上討論曲線的切線問題由法12.2.2費馬求極大極小值的方法屬于微分方法的第一個真正值得注意的先驅(qū)工作是1629年費馬給出的，他的方法如下： 設(shè)f(x)在x處有極大值或極小值，并設(shè)e是一個很小的量，那么f(x+e)的值幾乎等于f(x)的值。因此我們可以先假定它們相等f(x+e)=f(x)，然后讓e等于0，等式仍相等，消去e，得一方程，這個方程的根就是使f(x)取極大值或極小值的x.例：將一個常量M分成兩部分，使其乘積最大。2512.2.2費馬求極大極小值的方法屬于微分方法的第一個真正值12.2.3費馬求切線的方法費馬還創(chuàng)造了求切線的方法，他的方法是先求該點的次切線，次切線指的是x軸上兩點間的一個線段PA。圖12-102612.2.3費馬求切線的方法費馬還創(chuàng)造了求切線的方法，他的方12.2.3費馬求切線的方法K/e=y/tk+y=y(1+e/t)C點坐標為（x+e,y(1+e/t))費馬暫時認為這一點也在曲線上，于是有：f（x+e,y(1+e/t))=0。然后解此方程，另e=0,就可解出t。圖12-102712.2.3費馬求切線的方法K/e=y/tk+y=y12.2.4費馬在積分學(xué)方面的貢獻費馬給出了卡瓦列里法則的幾種證明。在1644年前，他也發(fā)現(xiàn)了關(guān)于分數(shù)冪的“拋物線”的求面積，體積及其重心的方法。在費馬求面積過程中，看到了定積分概念與運算的大部分的主要內(nèi)容。他把曲線的面積分割為小的面積元素，利用矩形和曲線的解析方程，求出這些和的近似值，以及在元素個數(shù)無限增加，每個元素面積無限小時，將表達式表示為和式極限的方式。費馬的貢獻在于他第一次采用了相當(dāng)于今天的定積分的方法，但是費馬沒有發(fā)現(xiàn)微分學(xué)和定積分的聯(lián)系。2812.2.4費馬在積分學(xué)方面的貢獻費馬給出了卡瓦列里法則的幾12.2.5巴羅的貢獻巴羅（1630-1677），1630年生于倫敦，畢業(yè)于劍橋大學(xué)。他在物理、數(shù)學(xué)、天文和神學(xué)方面都有造詣。1673年被任命為劍橋三一學(xué)院院長。主要著作是《光學(xué)和幾何學(xué)講義》，1677年逝世于劍橋。巴羅的方法R2912.2.5巴羅的貢獻巴羅（1630-1677），1630年12.2.5巴羅的貢獻求f(x,y)=0在點P(x,y)處的切線，只要確定T的位置。作三角形PQR,當(dāng)e很小時，三角形PQR相似于三角形PTM。從而TM/PM=e/aTM=e*y/aOT=OM-TM=OM-PM*QR/RP=x-e*y/aR3012.2.5巴羅的貢獻求f(x,y)=0在點P(x,y)處的12.2.5巴羅的貢獻3112.2.5巴羅的貢獻3112.2.5巴羅的貢獻巴羅求切線的方法非常接近我們在微積分中所用的方法，字母e和a相當(dāng)于我們的符號dx和dy，而費馬只用了一個無窮小量e。而且，巴羅的方法非常適合隱函數(shù)。但是，巴羅的方法沒有極限的概念，邏輯上也不夠嚴密。巴羅在微分和積分上都取得了進展，應(yīng)該說，他已經(jīng)走到了微積分基本定理的大門口。3212.2.5巴羅的貢獻巴羅求切線的方法非常接近我們在微積分中12.2.6微積分前期史小結(jié)在前人一系列工作的基礎(chǔ)上，在積分學(xué)和微分學(xué)中都得到了大量的結(jié)果。如在積分學(xué)中關(guān)于求面積、體積、弧長、曲面面積及質(zhì)心定位的結(jié)果；在微分學(xué)中，費馬給出了一個統(tǒng)一的無窮小方法，用以解決求最大、最小值問題和作曲線的切線問題。巴羅在這兩類問題中間搭成了一座橋梁。萊布尼茨說：在這樣的科學(xué)成就之后，所缺少的只是引出問題的迷宮的一條線，即依照代數(shù)樣式的解析計算法。創(chuàng)建微積分還需要多少事情要做呢？1）需要以一般形式建立新計算法的基本概念及其相互聯(lián)系，創(chuàng)立一套一般的符號體系，建立計算的正規(guī)程序和算法。2）為這門學(xué)科建立邏輯上一致的、嚴格的基礎(chǔ)。3312.2.6微積分前期史小結(jié)在前人一系列工作的基§12.3牛頓和萊布尼茨17世紀后期出現(xiàn)了一個嶄新的數(shù)學(xué)分支—數(shù)學(xué)分析或微積分，它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中占據(jù)著主導(dǎo)地位。這種新數(shù)學(xué)成功的運用了無限過程的運算，其中微分和積分這兩個過程則構(gòu)成了微分學(xué)和積分學(xué)的核心。如果把數(shù)學(xué)看做一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)就是它的根，而微積分是它的樹干，它的樹杈則是眾多的分支。微積分的系統(tǒng)發(fā)展通常歸功于兩位偉大的科學(xué)先驅(qū)牛頓——萊布尼茨。34§12.3牛頓和萊布尼茨17世紀后期出現(xiàn)了一個嶄新的數(shù)學(xué)伊薩克.牛頓(IsacNewton1643-1727),1643年1月4日生于英格蘭的烏蘭索普鎮(zhèn)，1660年進入劍橋大學(xué)學(xué)習(xí)，1665年畢業(yè)于該校并獲得學(xué)士學(xué)位，1668年獲得碩士學(xué)位，1669年繼承了巴羅的職位。12.3牛頓和萊布尼茨35伊薩克.牛頓(IsacNewton1643-1727),12.3牛頓和萊布尼茨1687年，牛頓的主要著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》出版，在原理中第一次有了地球和天體主要運動現(xiàn)象的完整的動力學(xué)體系和完整的數(shù)學(xué)公式。1665-1666年寫出了《曲線求積論》。1670年寫出了《流數(shù)術(shù)和無窮級數(shù)方法及其對幾何曲線的應(yīng)用》。牛頓在這兩部著作中和在牛頓同時代人萊布尼茨的著作中，建立和完成無窮小量的經(jīng)典分析，也就是建立和完成了微積分學(xué)。3612.3牛頓和萊布尼茨1687年，牛頓的主要著作《自然哲學(xué)12.3牛頓和萊布尼茨牛頓是人類歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。像萊布尼茨這樣作出了杰出貢獻的人也評價道：“在從世界開始到牛頓生活的年代的全部數(shù)學(xué)中，牛頓的工作超過一半”。拉格朗日稱他是歷史上最有才能的人，也是最幸運的人，因為宇宙體系只能被發(fā)現(xiàn)一次。英國著名詩人波普這樣來描述這位偉大的數(shù)學(xué)家“自然和自然的規(guī)律,沉浸在一片混沌之中，上帝說，生出牛頓，一切都變得明朗?！?712.3牛頓和萊布尼茨牛頓是人類歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。12.3牛頓和萊布尼茨牛頓本人卻很謙遜,他說：我不知道在別人看來，我是什么樣的人；但在我自己看來，我不過就象是一個在海濱玩耍的小孩，為不時發(fā)現(xiàn)比尋常更為光滑的一塊卵石或比尋常更為美麗的一片貝殼而沾沾自喜，而對于展現(xiàn)在我面前的浩瀚的真理的海洋，卻全然沒有發(fā)現(xiàn)。

——牛頓3812.3牛頓和萊布尼茨牛頓本人卻很謙遜,他說：3812.3牛頓和萊布尼茨戈特弗里德?威廉?萊布尼茨(GottfriendWilhelmLeibniz)，（１６４６－１７１６）1646年6月21日出生于德國萊比錫，父親是萊比錫大學(xué)的道德哲學(xué)教授，萊布尼茨15歲進入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，在答辯了邏輯的論文之后得到哲學(xué)學(xué)位。1966年寫了論文《論組合的藝術(shù)》完成了他在阿爾特道夫大學(xué)的博士論文。1670-1671年寫了第一篇力學(xué)論文，1672年出差到巴黎接觸到數(shù)學(xué)和自然科學(xué)家激起了他對數(shù)學(xué)的興趣。3912.3牛頓和萊布尼茨戈特弗里德?威廉?萊布尼茨(Gott12.3牛頓和萊布尼茨萊布尼茨在研究了巴羅的著作后意識到微分和積分的互逆關(guān)系。萊布尼茨從1684年起發(fā)表微積分論文，在1684年的《博學(xué)學(xué)報》上發(fā)表了一篇題為《一種求極大值與極小值和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙的計算》。這是歷史上最早公開發(fā)表的關(guān)于微分學(xué)的文獻。1675年，萊布尼茨引入了現(xiàn)代的積分符號，用拉丁字summa(求和)的第一個字母s拉長了表示積分，他是數(shù)學(xué)史上最偉大的符號學(xué)者。萊布尼茨還是一位中西文化交流的倡導(dǎo)者。4012.3牛頓和萊布尼茨萊布尼茨在研究了巴羅的著作后意識到微12.3牛頓和萊布尼茨綜上所述，二人研究微積分學(xué)的基礎(chǔ)都達到了同一目的，但各自的方法不同。牛頓主要是從力學(xué)的概念出發(fā)，而萊布尼茨作為哲學(xué)家和幾何學(xué)家對方法本身感興趣。牛頓接近最后的結(jié)論比萊布尼茨早一些，而萊布尼茨發(fā)表自己的結(jié)論早于牛頓。4112.3牛頓和萊布尼茨綜上所述，二人研究微積分學(xué)的基礎(chǔ)都達§

12.4光輝的誕生微積分的誕生具有劃時代的意義，是數(shù)學(xué)史上的分水嶺和轉(zhuǎn)折點。關(guān)于微積分的地位，恩格斯這樣評價：“在一切理論成就中，未必再有什么象17世紀下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績那正是在這里。”42§12.4光輝的誕生微積分的誕生具有劃時代的意義，是數(shù)學(xué)史微積分前期史43微積分前期史1開篇：

微積分，或者數(shù)學(xué)分析，是人類思維的偉大成果之一。它外于自然科學(xué)與人文科學(xué)之間的地位，使它成為高等教育的一種特別有效的工具。遺憾的是，微積分的數(shù)學(xué)方法有時流于機械，不能體現(xiàn)出這門學(xué)科乃是撼人心靈的智力奮斗的結(jié)晶；這種奮斗已經(jīng)經(jīng)歷了兩千五百多年之久，它深深根扎于人類活動的許多領(lǐng)域，并且，只要人們認識自己和認識自然的努力一日不止，這種奮斗就將繼續(xù)不已。R.柯朗4444開篇：微積分，或者數(shù)學(xué)分析，是人類思維的偉大成果之一。它外開篇：

課本的字斟句酌的敘述，未能表現(xiàn)出創(chuàng)造過程中的斗爭、挫折，以及在建立一個可觀的結(jié)構(gòu)之前，數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的艱苦漫長的道路。學(xué)生一旦認識到這一點，他將不僅獲得真知灼見，還將獲得頑強地追究他所攻問題的勇氣，并且不會因為他自己的工作并非完美無缺而感到沮喪。實在說，敘述數(shù)學(xué)家如何跌交，如何在迷霧中摸索前進，并且如何零零碎碎地得到他們的成果，應(yīng)能使搞研究工作的任一新手鼓起勇氣。M.克萊因4545開篇：課本的字斟句酌的敘述，未能表現(xiàn)出創(chuàng)造過程中的斗爭、挫開篇：

學(xué)習(xí)微積分概念的發(fā)展將使我們受益良多。微積分的創(chuàng)立是為了解決以下四類問題：運動問題切線問題極值問題求積問題4646開篇：學(xué)習(xí)微積分概念的發(fā)展將使我們受益良多。44§12.1積分學(xué)的早期史：12.1.1歐多克索斯的窮竭法古希臘巧辯家安提豐(約公元前500年)提出圓面積由內(nèi)接多邊形逼近。歐多克索斯(Eudoxus公元前400-公元前350年)假定量是無限可分的，并以下述命題為基礎(chǔ)：47§12.1積分學(xué)的早期史：12.1.1歐多克索斯的窮竭法12.1.1歐多克索斯的窮竭法：命題1 如果從任一量中減去不小于它的一半的部分，從余量中再減去不小于它的一半的另一部分，如此繼續(xù)下去，則最后留下一個小于任何給定的同類量的量。命題2 圓的內(nèi)接相似正多邊形面積之比等于圓的直徑的平方之比。命題3 圓與圓的面積之比等于其直徑平方之比。4812.1.1歐多克索斯的窮竭法：命題1 如果從任一量中減去12.1.1歐多克索斯的窮竭法：歐多克索斯還證明了棱錐體積是同底同高的棱柱體積的三分之一,以及圓錐體積是同底同高的圓柱體積的三分之一。但他沒有明確的極限思想。4912.1.1歐多克索斯的窮竭法：歐多克索斯還證明了棱錐體積12.1.2阿基米德的平衡法：阿基米德(Archimedes，約公元前287～212)古希臘物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，靜力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人。除了牛頓和愛因斯坦，再沒有一個人象阿基米德那樣為人類的進步做出過這樣大的貢獻。即使牛頓和愛因斯坦也都曾從他身上汲取過智慧和靈感。他是“理論天才與實驗天才合于一人的理想化身”，文藝復(fù)興時期的達芬奇和伽利略等人都拿他來做自己的楷模。5012.1.2阿基米德的平衡法：阿基米德(Archimede在阿基米德《論球和柱體》一書中，第一次出現(xiàn)了球和球冠的表面積，球和球缺的體積的正確公式。命題１圓面積是圓周長與其半徑之積的一半．命題２半徑為r的球的體積是12.1.2阿基米德的平衡法：51在阿基米德《論球和柱體》一書中，第一次出現(xiàn)了球和球冠的表面積TNSAB圖12-252TNSAB圖12-210命題2的證明53命題2的證明11命題2的證明54命題2的證明12第一個推廣阿基米德方法的是德國的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家刻卜勒（JohannKepler1571-1630)他在1615年寫了《酒桶的新立體幾何》，書中包含了用無窮小元素法求面積和求體積的許多問題，其中有87種新的旋轉(zhuǎn)體的體積?？滩防展ぷ鞯闹苯永^承者是卡瓦列里（B.Cavalieri1598-1647),他在1635年發(fā)表了專著《不可分素幾何學(xué)》12.1.3不可分素方法：55第一個推廣阿基米德方法的是德國的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家刻卜勒（Jo卡瓦列里說：“要決定平面圖形的大小可以用一系列平行線；我們設(shè)想在這些圖形上畫了無窮多的平行線”。他用同樣的方式處理了立體圖形，用的不是一系列平行線，而是一系列平行平面。這些直線和平面就是不可分素?？ㄍ吡欣镉貌豢煞炙氐姆椒ń鉀Q了整數(shù)冪的積分問題。也即，他算出了下面的積分：12.1.3不可分素方法：56卡瓦列里說：“要決定平面圖形的大小可以用一系列平例 求橢圓的體積。12.1.3不可分素方法：57例 求橢圓的體積。12.1.3不可分素方法：15例 求半徑為r的球的體積。12.1.3不可分素方法：58例 求半徑為r的球的體積。12.1.3不可分素方法：1612.1.4劉徽的貢獻：劉徽（約225-295），中國數(shù)學(xué)史上偉大的數(shù)學(xué)家，活動于魏晉年間。中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基者之一。他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是我國最可寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。5912.1.4劉徽的貢獻：劉徽（約225-295），中國數(shù)學(xué)12.1.4劉徽的貢獻：劉徽對積分學(xué)的貢獻主要有兩點：1）他創(chuàng)造性地運用極限思想證明了求圓面積公式和給出了計算圓周率的方法。他用割圓術(shù)，從直徑為2尺的圓內(nèi)接正六邊形開始割圓，依次得正12邊形、正24邊形……，割得越細，正多邊形面積和圓面積之差越小，用他的原話說是“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”他得到的圓周率為3927/1250=3.1416。他提出的計算圓周率的科學(xué)方法，奠定了此后千余年中國圓周率計算在世界上的領(lǐng)先地位。6012.1.4劉徽的貢獻：劉徽對積分學(xué)的貢獻主要有兩點：1812.1.4劉徽的貢獻：2）關(guān)于解決體積問題的設(shè)想。他指出了《九章算術(shù)》內(nèi)求球體積公式的錯誤。他在正方體內(nèi)作了兩個相互垂直的圓柱，并稱兩圓柱公共部分為“牟合方蓋”，他雖未完成球體積的推導(dǎo)，但他正確的指出，“牟合方蓋”與其內(nèi)切球體積之比為4：，在算法理論和數(shù)學(xué)思想方面都給后人以很大的啟發(fā)。6112.1.4劉徽的貢獻：2）關(guān)于解決體積問題的設(shè)想。1912.1.5祖暅原理：祖暅，字景爍，南北朝時南朝著名數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家。著名數(shù)學(xué)家祖沖之之子?！毒Y術(shù)》就是他們父子共同完成的數(shù)學(xué)杰作。在推導(dǎo)“牟合方蓋”體積的過程中，祖暅提出了“冪勢既同，則積不容異”的原理，后來被稱為“祖暅原理”。用現(xiàn)代語言來說即“若兩立體在等高處具有相同的截面面積，則這兩立方體的體積相等”。6212.1.5祖暅原理：祖暅，字景爍，南北朝時南朝著名數(shù)學(xué)家12.1.5祖暅原理：“祖暅原理”也即卡瓦列里原理，但比卡瓦列里早了一千年。根據(jù)“祖暅原理”可將“牟合方蓋”的體積化成一個正方體和一個四棱錐的體積之差。由此求出“牟合方蓋”的體積等于。并由此得到求的球的體積。6312.1.5祖暅原理：“祖暅原理”也即卡瓦列里原理，但比卡圖12-8祖暅原理動畫演示64圖12-8祖暅原理動畫演示22§12.2微分學(xué)的早期史：積分學(xué)的歷史比較長，相對來講微分學(xué)要短一些。在17世紀，數(shù)學(xué)家伽利略和刻卜勒的一系列發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致數(shù)學(xué)從古典數(shù)學(xué)向現(xiàn)代數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折。伽利略發(fā)現(xiàn)了許多有關(guān)物體在地球引力場中運動的基本事實?？滩防赵?691年前后歸納出著名的行星運動三定律。微分學(xué)主要來源于兩個問題的研究：一個是作曲線切線問題，一個是求函數(shù)的最大最小值問題。65§12.2微分學(xué)的早期史：積分學(xué)的歷史比較長，相對來講微12.2.1費馬以前的工作從一般意義上討論曲線的切線問題由法國數(shù)學(xué)羅貝瓦爾（G.P.deRoberval1602-1675）他認為，曲線是由運動的點生成，點的運動又可以分解成兩個已知的運動。兩個已知的運動的速度向量給出曲線的切線。如：拋物線的切線。（離開準線和離開焦點運動的和力）意大利物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家托里拆利(Torricelli1608-1647)也持有這種觀點。6612.2.1費馬以前的工作從一般意義上討論曲線的切線問題由法12.2.2費馬求極大極小值的方法屬于微分方法的第一個真正值得注意的先驅(qū)工作是1629年費馬給出的，他的方法如下： 設(shè)f(x)在x處有極大值或極小值，并設(shè)e是一個很小的量，那么f(x+e)的值幾乎等于f(x)的值。因此我們可以先假定它們相等f(x+e)=f(x)，然后讓e等于0，等式仍相等，消去e，得一方程，這個方程的根就是使f(x)取極大值或極小值的x.例：將一個常量M分成兩部分，使其乘積最大。6712.2.2費馬求極大極小值的方法屬于微分方法的第一個真正值12.2.3費馬求切線的方法費馬還創(chuàng)造了求切線的方法，他的方法是先求該點的次切線，次切線指的是x軸上兩點間的一個線段PA。圖12-106812.2.3費馬求切線的方法費馬還創(chuàng)造了求切線的方法，他的方12.2.3費馬求切線的方法K/e=y/tk+y=y(1+e/t)C點坐標為（x+e,y(1+e/t))費馬暫時認為這一點也在曲線上，于是有：f（x+e,y(1+e/t))=0。然后解此方程，另e=0,就可解出t。圖12-106912.2.3費馬求切線的方法K/e=y/tk+y=y12.2.4費馬在積分學(xué)方面的貢獻費馬給出了卡瓦列里法則的幾種證明。在1644年前，他也發(fā)現(xiàn)了關(guān)于分數(shù)冪的“拋物線”的求面積，體積及其重心的方法。在費馬求面積過程中，看到了定積分概念與運算的大部分的主要內(nèi)容。他把曲線的面積分割為小的面積元素，利用矩形和曲線的解析方程，求出這些和的近似值，以及在元素個數(shù)無限增加，每個元素面積無限小時，將表達式表示為和式極限的方式。費馬的貢獻在于他第一次采用了相當(dāng)于今天的定積分的方法，但是費馬沒有發(fā)現(xiàn)微分學(xué)和定積分的聯(lián)系。7012.2.4費馬在積分學(xué)方面的貢獻費馬給出了卡瓦列里法則的幾12.2.5巴羅的貢獻巴羅（1630-1677），1630年生于倫敦，畢業(yè)于劍橋大學(xué)。他在物理、數(shù)學(xué)、天文和神學(xué)方面都有造詣。1673年被任命為劍橋三一學(xué)院院長。主要著作是《光學(xué)和幾何學(xué)講義》，1677年逝世于劍橋。巴羅的方法R7112.2.5巴羅的貢獻巴羅（1630-1677），1630年12.2.5巴羅的貢獻求f(x,y)=0在點P(x,y)處的切線，只要確定T的位置。作三角形PQR,當(dāng)e很小時，三角形PQR相似于三角形PTM。從而TM/PM=e/aTM=e*y/aOT=OM-TM=OM-PM*QR/RP=x-e*y/aR7212.2.5巴羅的貢獻求f(x,y)=0在點P(x,y)處的12.2.5巴羅的貢獻7312.2.5巴羅的貢獻3112.2.5巴羅的貢獻巴羅求切線的方法非常接近我們在微積分中所用的方法，字母e和a相當(dāng)于我們的符號dx和dy，而費馬只用了一個無窮小量e。而且，巴羅的方法非常適合隱函數(shù)。但是，巴羅的方法沒有極限的概念，邏輯上也不夠嚴密。巴羅在微分和積分上都取得了進展，應(yīng)該說，他已經(jīng)走到了微積分基本定理的大門口。7412.2.5巴羅的貢獻巴羅求切線的方法非常接近我們在微積分中12.2.6微積分前期史小結(jié)在前人一系列工作的基礎(chǔ)上，在積分學(xué)和微分學(xué)中都得到了大量的結(jié)果。如在積分學(xué)中關(guān)于求面積、體積、弧長、曲面面積及質(zhì)心定位的結(jié)果；在微分學(xué)中，費馬給出了一個統(tǒng)一的無窮小方法，用以解決求最大、最小值問題和作曲線的切線問題。巴羅在這兩類問題中間搭成了一座橋梁。萊布尼茨說：在這樣的科學(xué)成就之后，所缺少的只是引出問題的迷宮的一條線，即依照代數(shù)樣式的解析計算法。創(chuàng)建微積分還需要多少事情要做呢？1）需要以一般形式建立新計算法的基本概念及其相互聯(lián)系，創(chuàng)立一套一般的符號體系，建立計算的正規(guī)程序和算法。2）為這門學(xué)科建立邏輯上一致的、嚴格的基礎(chǔ)。7512.2.6微積分前期史小結(jié)在前人一系列工作的基§12.3牛頓和萊布尼茨17世紀后期出現(xiàn)了一個嶄新的數(shù)學(xué)分支—數(shù)學(xué)分析或微積分，它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中占據(jù)著主導(dǎo)地位。這種新數(shù)學(xué)成功的運用了無限過程的運算，其中微分和積分這兩個過程則構(gòu)成了微分學(xué)和積分學(xué)的核心。如果把數(shù)學(xué)看做一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)就是它的根，而微積分是它的樹干，它的樹杈則是眾多的分支。微積分的系統(tǒng)發(fā)展通常歸功于兩位偉大的科學(xué)先驅(qū)牛頓——萊布尼茨。76§12.3牛頓和萊布尼茨17世紀后期出現(xiàn)了一個嶄新的數(shù)學(xué)伊薩克.牛頓(IsacNewton1643-1727),1643年1月4日生于英格蘭的烏蘭索普鎮(zhèn)，1660年進入劍橋大學(xué)學(xué)習(xí)，1665年畢業(yè)于該校并獲得學(xué)士學(xué)位，1668年獲得碩士學(xué)位，1669年繼承了巴羅的職位。12.3牛頓和萊布尼茨77伊薩克.牛頓(IsacNewton1643-1727),12.3牛頓和萊布尼茨1687年，牛頓的主要著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》出版，在原理中第一次有了地球和天體主要運動現(xiàn)象的完整的動力學(xué)體系和完整的數(shù)學(xué)公式