321單調(diào)性與最大（小）值一、函數(shù)的單調(diào)性1、單調(diào)函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)九%）的定義域為I.如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值%，當(dāng)再＜%2時，都有了（西）＜于（h），那么就說函數(shù)/㈤在區(qū)間D上是單調(diào)遞增函數(shù)。當(dāng)當(dāng)＜%2時，都有了區(qū)）＞于。2），那么就說函數(shù)#到在區(qū)間D上是單調(diào)遞減函數(shù)。2、單調(diào)性的圖形趨勢（從左往右）上升趨勢下降趨勢3、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間假設(shè)函數(shù)y=/閏在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)廁稱函數(shù)y二/⑴在這一區(qū)間上具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y二;㈤的單調(diào)區(qū)間.【注意】（1）函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個區(qū)間上的性質(zhì)，單獨一點不存在單調(diào)性問題，故單調(diào)區(qū)間的端點假設(shè)屬于定義域，那么區(qū)間可開可閉，假設(shè)區(qū)間端點不屬于定義域那么只能開.（2）單調(diào)區(qū)間。1定義域/.（3）遵循最簡原那么，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大；（4）單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開，不能用，可以用“和”來表示；二、函數(shù)的最大（?。┲?、最大值：對于函數(shù)y二八尤）,其定義域為D,如果存在xo^D,?￥）=M,使得對于任意的工￡D,都有,那么，我們稱M是函數(shù)y=段）的最大值，即當(dāng)％二功時是函數(shù)y=段）的最大值，記作'max=1Ax0）.2、最小值：對于函數(shù)y=Ax）,其定義域為D,如果存在為（）￡￡＞,八%）=M，使得對于任意的工￡D,都有段巨M,那么，我們稱M是函數(shù)y=段）的最小值，即當(dāng)％=%o時憂沏）是函數(shù)y=/）的最小值，記作ymin二段0）.3、幾何意義：一般地，函數(shù)最大值對應(yīng)圖像中的最高點，最小值對應(yīng)圖像中的最低點，它們不一定只有一個.三、單調(diào)性定義的等價形式：（1）函數(shù)"%）在區(qū)間［。㈤上是增函數(shù)：

<=>任取Xi，%且再V%O任取號工且X]O<=>任取Xi，%且再V%O任取號工且X]O任取X1,%24。,“，且XI都有/(再)-/(%)<。；/(%J-7(%2))0.X]-x2(X-％)[〃M)—"%)]>°；<=>任取X],%2/且X]w%>0fM-fM<=>任取%,％2㈤,且再</，都有/(%)-/(%2)>0/o任取玉,馬￡口㈤，且七w占，/(*)—"%)<0;-X|一12O任取%1，%2￡口㈤，且七W9，(七一工2)[/(%)一/(%)]<。；O任取X1,%2,且X]<0四,定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟①取值：設(shè)X],X2為該區(qū)間內(nèi)任意的兩個值，且O任取X1,%2,且X]<0②作差變形：做差f(Xl)-f(X2),并通過通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差值符號的方向變形③定號：確定差值的符號，當(dāng)符號不確定時，可以分類討論④判斷：根據(jù)定義做出結(jié)論。五.函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)假設(shè)函數(shù)/(X)與g(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性，那么在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：/(%)與〃%)+c(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.(2)/(%)與-/(%)的單調(diào)性相反.(3)當(dāng)。>0時，af(x)與/(%)單調(diào)性相同；當(dāng)。<0時，af(x)與/(%)單調(diào)性相反.(4)假設(shè)/'(?K),那么/(%)與乂而具有相同的單調(diào)性.(5)假設(shè)恒為正值或恒為負值，那么當(dāng)，〉。時，/(x)與W具有相反的單調(diào)性；/(X)當(dāng)〃<。時，/(X)與4T具有相同的單調(diào)性./(X)(6)(%)與g(%)的和與差的單調(diào)性(相同區(qū)間上)：簡記為：/+/=/;(2)\+\=\;(3)7-\=7;(4)\-7=\.

函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b(kw0函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b(kw0)

反比例函數(shù)y=K(攵wo)

x二次函數(shù)y=cue+bx+c(aw0)當(dāng)左>0時，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)左<0時，在R上單調(diào)遞減.當(dāng)左>()時，在(-8,0)和(0,y)上單調(diào)遞減；當(dāng)人<0時，在(-8,。)和(O,y)上單調(diào)遞增.當(dāng)。>0時，在1-8,-上單調(diào)遞減，在［-3,+oo］上單調(diào)遞增;TOC\o"1-5"\h\z、2a」\2aJ(hn(h\當(dāng)〃<0時，在-OO,-2上單調(diào)遞增，在-2,+8上單調(diào)遞減.<2〃」\2aJ題型一單調(diào)性定義的理解［例1］假設(shè)函數(shù)/⑴的定義域為R,且滿足</⑶，那么函數(shù)小)在(。,心)上()A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.不能確定【變式MJ設(shè)函數(shù)>="%)在區(qū)間A上有意義，任意兩個不相等的實數(shù)a，beA,以下各式中，能夠確定函數(shù)在區(qū)間A上單調(diào)遞增的是()A.(?-/?)［/(?)-/(/?)］>0B.(6z-Z?)［/(a)-/(Z?)］<0C.〃“)—［(”)>0D./(?)-/(^)<0a-b【變式1-2］假設(shè)函數(shù)在［?；厣鲜窃龊瘮?shù)，對于任意的巧，x2e［a,b］(石氣),那么以下結(jié)論不正確的選項是()A.’(?［)-〃玉)〉oB.C./(?)</(^)</(x2)</(Z?)D.⑸【變式1-3］定義在R上的函數(shù)〃力對任意兩個不相等的實數(shù)。，b,總有/(“)一［8)>0,a-b那么必有()A.函數(shù)〃”先增后減B.函數(shù)〃%)是H上的增函數(shù)C.函數(shù)/(%)先減后增D.函數(shù)/(%)是R上的減函數(shù)【變式1-4］以下說法中正確的個數(shù)為()①定義在(。,0)上的函數(shù)/(%),如果有無窮多個％I，%w(a,b),當(dāng)％?<%時，有/(王)</(工2)/那么/(%)在(〃/)上為增函數(shù)；②如果函數(shù)/(X)在區(qū)間(上為減函數(shù),在區(qū)間人上也為減函數(shù)，那么在區(qū)間乙UA上就一定是減函數(shù)；③對任意的玉,乙￡(〃/)，且x尸羽，當(dāng)以止g＜。時，〃幻在(〃力)上是減函數(shù)；X]-x2④對任意的％I，%2w(a，b)，且玉w%，當(dāng)(%1-％2)[/(玉)-/(%2)]＞。時,/(%)在(。力)上是增函數(shù)(A)1(B)2(C)3(D)4題型二定義法證明函數(shù)的單調(diào)性[例2]證明/("=正在其定義域上是增函數(shù).【變式2-1]求證：函數(shù)"0=x+,在[1,+W上是增函數(shù).X九2【變式2-2】函數(shù)/(x)=\(X￡R，且1。2)判斷并證明/⑴在區(qū)間(0,2)上的單調(diào)性;x-2【變式2-3]利用單調(diào)性的定義，證明函數(shù)、=二1在(-1,內(nèi))上是減函數(shù).JvI1題型三求函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間【例3】定義在區(qū)間-2,2]上的函數(shù)/⑴的圖象如下圖,那么/(幻的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.[-2,-1]B.[-1,1]C.[-2,0]D.[-1,2]【變式3-1]求函數(shù)y=V-/+4%+5的單調(diào)遞增區(qū)間.【變式3-2]求函數(shù)y=3x-工的單調(diào)區(qū)間.x【變式3-3】函數(shù)式%)=-次-2|的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.(y,2]B.[2,+s)C.[0,2]D.[0,+8)【變式3-4】函數(shù)=F的單調(diào)增區(qū)間是.1—X【變式3-5】以下有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的說法，不正確的選項是()A.假設(shè)4%)為增函數(shù)，g(%)為增函數(shù),那么〃%)+g(x)為增函數(shù)B.假設(shè)〃力為減函數(shù)，g(%)為減函數(shù)，那么〃x)+g(%)為減函數(shù)C.假設(shè)/(%)為增函數(shù)，g(%)為減函數(shù)，那么〃x)+g(x)為增函數(shù)D.假設(shè)/(%)為減函數(shù)，乳%)為增函數(shù)，那么〃x)-g(x)為減函數(shù)題型四單調(diào)性求參數(shù)范I【例4】函數(shù)的圖象如下圖假設(shè)在同"+1]上單調(diào)遞增那么用的取值范圍為.【變式4-1】函數(shù)y=1)%+6在R上是減函數(shù).那么()A.m>—B.m<—C.m>--D.m<-—2222【變式4-2]假設(shè)函數(shù).f(x)=f一如+i()在(一2,1)上是增函數(shù)，那么實數(shù)加的取值范圍是()A.[2,+oo)B.[-4,+S)C.(一8,2]D.(-oo,-4]【變式4-3】/(可=f+2%+3在(-9,4)為單調(diào)函數(shù)，那么。的取值范圍為()A.(-oo,-l)B.(-00，—1]C.(一9，一1)D.(-9,-1]【變式4-4]函數(shù)/(%)=『—2：，：：是r上的增函數(shù)，那么實數(shù)。的取值范圍是()(2、(2~A.0,-B.0,-C.(0,1)D.(0,1]、5)\3_【變式4-5】函數(shù)/⑴二]/2,假設(shè)對任意.々gR(x尸4),都有.”[)]區(qū))<。成X—Zlc/-rlJX-rA<ZAj一人2立，那么實數(shù)。的取值范圍為()A.(-a),1]B.(1,5)C.[1,5)D.[1,4]【變式4-6】函數(shù)八1—%)=%+」一.假設(shè)對于任意13<々<2,都有"‘一"~)<-1,那么。的Cl—X%—九2取值范圍是()A.(^0，-1]0[0^-^)B.[0,+“)C.(―1，0)D.題型五利用單調(diào)性解不等式【例5】假設(shè)函數(shù)尸/⑺在R上單調(diào)遞增，H/(2m-3)>/(-m),那么實數(shù)加的取值范圍是()A.(-oo,-l)B.(-l,4w)C.(1，佟)D,(一°°，1)【變式5-1])=/(%)在定義域(T,l)上是減函數(shù)，且,貝卜的取值范圍為()A.(0,1)B.(-2,1)C.(O,0)D.(0,2)【變式5-2】函數(shù)/(x)在(一口)上單調(diào)遞減，假設(shè)/⑴=-1那么滿足的工的取值范圍是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[1,3]D.[0,4]【變式5-3】偶函數(shù)/(%)的定義域為R,當(dāng)工?。收)時,=f，那么〃1)<1的解集—00—2J(3—,+oo12【變式5-4]定義在(。，+8)上的函數(shù)〃上滿足一卬二"伍)<0,且/[]=3，/⑶=9,那么不—00—2J(3—,+oo12等式〃x)>3x的解集為()A.A.(3,zo)A.(3,zo)B.A.(3,zo)B.(0,3)1—,+oo2【變式5-5]函數(shù)/⑴對S、"R，總有，假設(shè)不等式“3〃-x)4/(x+/)對立?〃_聞恒成立，那么實數(shù)。的取值范圍是()A.[-12]B.[0,1]C.(e,0]U[Ly)題型六利用單調(diào)性比擬大小A.[-12]B.[0,1]C.(e,0]U[Ly)【例6】定義域為R的函數(shù)/⑺滿足:對任意的x1,x2&R,有(％—巧>(/(為)一/(芍))>°，那么有()A./(-2)</(I)</(3)B./⑴v/(-2)</(3)C./⑶</(—2)</(I)D./⑶</⑴</(-2)【變式6-1]函數(shù)/(%)=x2-2x+m,當(dāng)1"<X2時，[/(七)-/(5)](42-5”。恒成立,設(shè)(n”f方，八〃2)，。=〃3),那么。，b,。的大小關(guān)系為()A.b<a<cB,c<b<aC,b<c<aD,a<b<c【變式6-2】設(shè)函數(shù)/(%)是(-8，+8)上的減函數(shù)，假設(shè)…，那么()A./(m)>/(2m)B./(m2)>/(m)C./(m2+l)</(m)D./(m2+l)>/(m)【變式6-3]函數(shù)/(%)=/+雙-l(awR)，假設(shè)不<%2<%3<。，貝114^,小。,小。的大小Xj*^2*^3關(guān)系是()a/(5)</(工3)/(*2)r于(%)/(々)于(毛)%]x3X2X]x2x3Cf(?)</(/)</(一)D『("2)</(%3)<"xj'X3x2X1?x2X3X]題型七函數(shù)的最值問題【例7】函數(shù)》=/(%)