Word-9-教育教學(xué)論文|數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生聯(lián)想能力的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)

+4m)=f=f

所以f是周期函數(shù)，其周期為4m。

利用上述例子的分析同學(xué)對(duì)抽象函數(shù)的問題就有了比較好的思量途徑。接著給出下列問題讓同學(xué)思量：

設(shè)f是定義在R上的函數(shù)，對(duì)于隨意x1,x2（0，）。都有f=f*f求f和f.

并讓同學(xué)考慮，按照下面所列函數(shù)的性質(zhì)，聯(lián)想它們可能對(duì)應(yīng)哪些初等函數(shù)（1）f=ff,f=f+f,

f=f-f,這樣幾種常見的函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)了。

在教學(xué)中多舉例讓同學(xué)舉行合理聯(lián)想，使同學(xué)養(yǎng)成愛動(dòng)腦筋，樂觀主動(dòng)發(fā)覺問題的習(xí)慣，對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維本事起到樂觀的推進(jìn)作用。

五、實(shí)踐體味

固然，在教學(xué)實(shí)踐中我深深之體味到，要提升同學(xué)的聯(lián)想本事還存在許多困難，由于：①同學(xué)聯(lián)想意識(shí)不強(qiáng)，未養(yǎng)成愛聯(lián)想的習(xí)慣。②同學(xué)基礎(chǔ)學(xué)問掌控得不牢固，無(wú)想可聯(lián)。③有的同學(xué)思維活潑，可受較靦腆、性格內(nèi)向、想了不敢說(shuō)且不敢繼續(xù)想等心理的影響。我將在今后的工作學(xué)習(xí)中進(jìn)一步提升自己，努力進(jìn)展同學(xué)聯(lián)想本事。

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過(guò)"類比是宏大的引路人'。

在解題過(guò)程中為了尋覓問題的解決線索，往往借助于類比聯(lián)想，以達(dá)到引發(fā)思路的目的，因此，類比聯(lián)想在求解問題中有著廣泛的應(yīng)用。在解題教學(xué)中采納類比教學(xué)，能夠達(dá)到梳理學(xué)問、歸納題型、總結(jié)解題辦法，這樣做既有利于同學(xué)記憶和掌控所學(xué)學(xué)問，又有利于培養(yǎng)同學(xué)聯(lián)想思維的靈便性。

例1．求證：若2-4=0則x,y,z成等差數(shù)列。

[思路分析]：觀看已知條件的形狀，可聯(lián)想到一元二次方程的根的判別式

△=b2-4ac十分相像，則類比題設(shè)能夠構(gòu)造一個(gè)一元二次方程來(lái)求解。于是我們可把已知條件看作是t的二次方程（x-y）t2+t+=0有等根的條件。

再次觀看還能夠發(fā)覺方程左邊的系數(shù)之和為零，故方程有兩個(gè)根為1，于是由韋達(dá)定理得：t1t2==1

說(shuō)明，由本例可見，普通的類比聯(lián)想解決問題線索為：觀看類比聯(lián)想。

例2．xR,求函數(shù)y=+的最小值.

[思路分析]：求這樣的無(wú)理函數(shù)的最值，用代數(shù)法直接求解較難，可由條件聯(lián)想到距離公式，作如下變形：

y=+

設(shè)p,A,B如圖1所示，

于是求y的最小值轉(zhuǎn)化為求x軸上一點(diǎn)p，

使︱PA︱+︱PB︱最小明顯是︱PA︱+︱PB︱︱AB︱=3

當(dāng)x=0時(shí),y=3

說(shuō)明由"數(shù)'到"形'的類比聯(lián)想，得到解題的新思路。

2+2=6，試求

y/x的最大值、最小值；（2）x2+y2最大值、最小值。

[思路分析]：已知的方程代表一個(gè)圓Q，如圖2，題中的點(diǎn)M均在圓周上，觀看第（1）題中的"y/x'

能夠聯(lián)想到直線OM的斜率，

欲求y/x的極值，就是要求直線OM的斜率的極值，即切線OT1，OT2觀看第（2）題中的'x2+y2',能夠聯(lián)想到距離公式，而x2+y2的極值就是OQ與圓Q的交點(diǎn)p1、p2到原點(diǎn)O的距離。因此，兩個(gè)問題都不難解決。

說(shuō)明：此題運(yùn)用臨近聯(lián)想把互相臨近的式子巧妙地聯(lián)系在一起，再找出解題辦法。

（三）對(duì)照聯(lián)想

對(duì)照聯(lián)想亦稱相反聯(lián)想。是指具有相反特點(diǎn)的事物或互相對(duì)立的事物之間所形成的聯(lián)想。在日常的教學(xué)中，對(duì)照聯(lián)想的事例比比皆是，如在指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的教學(xué)中，它們的定義域和值域、圖象和性質(zhì)，利用對(duì)照產(chǎn)生聯(lián)想，有助于同學(xué)的學(xué)習(xí)和培養(yǎng)對(duì)照聯(lián)想本事。

例4：已知x,y,zR,x+=y+=z+

求證：x=y=z

[思路分析]：本題條件是一個(gè)連等式，可化簡(jiǎn)獲得一個(gè)三元方程組

x2y+x=xyz+y

y2z+y=xyz+z

z2x+z=xyz+x

三式相加得等式x2y+y2z+z2x=3xyz①

聯(lián)想到不等式x2y+y2z+z2x3

即x2y+y2z+z2x3xyz②

比較①式和②會(huì)發(fā)覺當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)等式成立。

說(shuō)明：運(yùn)用對(duì)照聯(lián)想（等式和不等式）解題可起到意想不到的效果。

（四）因果聯(lián)想

因果聯(lián)想是從某一事物浮現(xiàn)某種現(xiàn)象，從而聯(lián)想到它們之間的因果關(guān)系的一種思維辦法。

（五）發(fā)散聯(lián)想

發(fā)散聯(lián)想就是在接觸某一事物時(shí)產(chǎn)生豐盛的聯(lián)想，將思維向更廣大的空間，得出更豐盛的結(jié)論。我們?cè)谥v解教材中的概念、法則、公式、例題時(shí)，應(yīng)引領(lǐng)同學(xué)從不同的方面，不同的角度去聯(lián)想，培養(yǎng)同學(xué)一題多解的發(fā)散思維本事。

如（ab）n=anbn,則n=?

2=a2+2ab+b2,則（a1+a2++an）2=?

例5．如圖正方形ABCD中，E為BC上隨意一點(diǎn)，∟EAD的平分線交CD于F，求證：BE+DE=AE

[思路分析一]：由已知條件和結(jié)論可聯(lián)想到將BE、DF放在一起，這樣可將△ADF旋轉(zhuǎn)到如圖△ABF，的位置。

[思路分析二]：由題設(shè)中的直角三角形較多，

可聯(lián)想到用面積來(lái)探究解題思路，

由S△ABE+S△AECF+S△ADF=S正ABCD可得。

[思路分析三]：因條件中有角相等及直角關(guān)系，還聯(lián)想到三角函數(shù)來(lái)解，設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為a，DAF=,

則BE=atan,DF=atan,

BE+DF=acot2+atan

=a.

=a.=

而AE==,BE+DF=AE

說(shuō)明：發(fā)散聯(lián)想思維是一種很重要的思維本事，它能導(dǎo)致許多科學(xué)進(jìn)展制造，如：飛機(jī)、潛艇等。

四、培養(yǎng)同學(xué)聯(lián)想

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本事的做法

聯(lián)想本事的提升是改善同學(xué)思維品質(zhì)的牢靠保證，在日常的教學(xué)中不只是注意課本學(xué)問，更注意培養(yǎng)同學(xué)本事。一方面,由于聯(lián)想往往要通過(guò)頭腦中已有學(xué)問及解題辦法，去探究新問題的解題途徑，所以同學(xué)不僅要理解基礎(chǔ)學(xué)問，而且還必需利用親手體悟，即利用例題習(xí)題來(lái)鞏固，形成一種思想上的飛躍，以建構(gòu)自己的學(xué)問網(wǎng)，這樣才干舉一反三，產(chǎn)生聯(lián)想。另一方面，在日常教學(xué)中不能拘泥于容易的"做'，聯(lián)想是有條件的，是在對(duì)基礎(chǔ)學(xué)問嫻熟掌控及運(yùn)用的基礎(chǔ)上，舉行思量、反省、是高級(jí)智力活動(dòng)，過(guò)度的講與練，會(huì)剝奪同學(xué)自立思量、自由發(fā)揮的機(jī)會(huì)，產(chǎn)生負(fù)面效應(yīng)，應(yīng)考究一個(gè)"度'。

例6：設(shè)0＜x＜1,0＜y＜1,求證:+++

[思路分析1]：觀看不等式左邊的特點(diǎn)，

聯(lián)想到幾何中兩點(diǎn)的距離公式，

可將問題轉(zhuǎn)化為正方形OABC內(nèi)點(diǎn)p

到點(diǎn)A，B，C，O的距離之和不小于2。（如圖）

即︱OP︱+︱BP︱+︱PA︱+︱PC︱︱OC︱+︱AB︱=2

[思路分析2]：觀看不等式左邊每項(xiàng)被開方數(shù)都是兩個(gè)正數(shù)，故而聯(lián)想到基本不等式：a2+b22/2

原不等式左邊+++

即左邊2

[思路分析3]：觀看不等式左邊各項(xiàng)特點(diǎn)，聯(lián)想到復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，設(shè)Z1=X+Yi，Z2=（1-X）+Yi，Z3=x+i,Z4=+i,

所以原不等式左邊也轉(zhuǎn)化為｜Z1｜+｜Z2｜+｜Z3｜+｜Z4｜｜Z1+Z2+Z3+Z4｜=｜2+2i｜=2

還能夠聯(lián)想到正弦、余弦的三角函數(shù)，函數(shù)的極值等等，這樣即復(fù)習(xí)了代數(shù)幾何學(xué)問，又培養(yǎng)同學(xué)聯(lián)想思維本事。

例7：是否存在這樣的二次函數(shù)f=ax2+bx+c,使它的圖象過(guò)點(diǎn)M且滿足條件對(duì)一切切實(shí)實(shí)xR都有xf

[思路分析]:單從結(jié)構(gòu)上聯(lián)想，就近掛靠基本不等式及其變形，直接建立它與ab2（a,bR）的聯(lián)系，設(shè)a=1,b=x,所以f=2=x2+x+,且過(guò)點(diǎn)（-1，0），合乎題意，還能夠構(gòu)造例題：是否存在這樣的二次函數(shù)其過(guò)點(diǎn)（-n,0）,且對(duì)一切實(shí)數(shù)x滿足nxf.

說(shuō)明，一道好的數(shù)學(xué)題字里行間無(wú)不散發(fā)著大量信息，由此綻開豐盛的聯(lián)想，大膽的創(chuàng)新，直至關(guān)鍵的突破。

例8:設(shè)x[,],求證cscx-cotx＞-1

[思路分析]由,1聯(lián)想等腰直角三角形,不仿構(gòu)造一個(gè)等腰直角三角形來(lái)討論.

作RT△ABC,令C=90.AC=1在AC上取一點(diǎn)D,設(shè)CDB=X,則BD=cscx,CD=cotx,AD=1-cotx通過(guò)AD+DBAB=

可得cscx-cotx-1

說(shuō)明:在教學(xué)中引發(fā)同學(xué)利用敏銳的觀看、豐盛的聯(lián)想,構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解題。

總之，在教學(xué)中培養(yǎng)同學(xué)的聯(lián)想本事要有一個(gè)過(guò)程，要體現(xiàn)層次，要充分讓同學(xué)思量，老師加以樂觀的引領(lǐng)，鼓舞他們聯(lián)想，而不應(yīng)將解題思路、定理結(jié)論等強(qiáng)加給同學(xué)。這樣才干更好地培養(yǎng)同學(xué)的聯(lián)想本事，提升他們分析問題、解決問題的本事。

下面是我在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)關(guān)于培養(yǎng)同學(xué)聯(lián)想本事的教學(xué)案例。

課題：三角函數(shù)的解題技巧

在解三角函數(shù)的詳細(xì)問題時(shí)，我們常需要利用豐盛的聯(lián)想、靈便的構(gòu)思、制造性的思維等本事構(gòu)造數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問題，因此在日常教學(xué)中我常設(shè)計(jì)這樣的習(xí)題課，讓同學(xué)樂觀想象，找出解題思維。

例1：若0＜＜＜，求證-＜tan-tan

利用此題，同學(xué)熱情研究后（研究了許多思路都行不能）老師可適當(dāng)提醒，最后總結(jié)出用單位圓中的三角函數(shù)線求解。

例2：在△ABC中，已知2b=a+c，且a＜b＜c,C-A=90。

求證：sinA:sinB:sinC的值.有的學(xué)生很快由a:b:c=sinA:sinB:sinC

可如何求a:b:c呢？又由C-A=90。，聯(lián)想到相像三角形，按照相像三角形性質(zhì)及勾股定理來(lái)求出三邊之比。（△ABC～△CBD）

例3：設(shè)m是給定的非零常數(shù)，f定義在R上