流體力學(xué)

退出中國(guó)科學(xué)文化出版社流體力學(xué)退出中國(guó)科學(xué)文化出版社1前言本書是為高等工科院校非力學(xué)專業(yè)碩士研究生流體力學(xué)課程教學(xué)編寫的?？紤]到教學(xué)時(shí)數(shù)有限，所以有些內(nèi)容并未深入展開。本書重點(diǎn)放在流體力學(xué)的基本概念、基本理論和解決流體力學(xué)問(wèn)題的基本方法上，目的在于為研究生開展課題研究和將來(lái)從事工作提供必需的較為堅(jiān)實(shí)的流體力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)也兼顧到工程技術(shù)人員和科技工作者的需要。全書分上下兩冊(cè)，三篇，十五章。上冊(cè)包括第一篇“流體力學(xué)基礎(chǔ)”和第二篇“流體動(dòng)力學(xué)基本原理及流體工程”，具體內(nèi)容為：緒論、場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)、流體靜力學(xué)、流體運(yùn)動(dòng)學(xué)、流體動(dòng)力學(xué)微分形式基本方程、流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程、伯努利方程式及其應(yīng)用、量綱分析和相似原理、流動(dòng)阻力與管道計(jì)算、邊界層理論、流體繞過(guò)物體的流動(dòng)和氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)。下冊(cè)包括第三篇“計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)”，具體內(nèi)容為：計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)、流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限差分解法和流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元解法。

退出前言本書是為高等工科院校非力學(xué)專業(yè)碩士研究生流體2目錄流體力學(xué)基礎(chǔ)第一篇第二篇流體動(dòng)力學(xué)基本原理及流體工程退出第三篇計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)

目錄流體力學(xué)基礎(chǔ)第一篇第二篇流體動(dòng)力學(xué)基本原理及流體工3第一篇流體力學(xué)基礎(chǔ)

緒論場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)流體靜力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)學(xué)第一章第二章第三章第四章退出返回第一篇流體力學(xué)基礎(chǔ)緒論4第二篇

流體動(dòng)力學(xué)基本原理及流體工程流體動(dòng)力學(xué)微分形式基本方程流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程伯努利方程及其應(yīng)用量綱分析和相似原理流動(dòng)阻力與管道計(jì)算邊界層理論

流體繞過(guò)物體的流動(dòng)

氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

第五章第六章第七章第八章第九章退出返回第十章第十一章第十二章第二篇

流體動(dòng)力學(xué)基本5第三篇計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)

計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)

流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限差分解法

流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元解法

第十三章第十四章第十五章退出返回第三篇計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)6第一章緒論

流體力學(xué)的研究對(duì)象和發(fā)展歷史

流體力學(xué)的研究方法第一節(jié)第二節(jié)退出返回第一章緒論流體力學(xué)的研究對(duì)象和7第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

矢量的基本運(yùn)算

張量及其基本性質(zhì)常見的幾種坐標(biāo)系曲線坐標(biāo)系及其基本性質(zhì)物理量的梯度、散度、旋度哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在流體力學(xué)中的應(yīng)用廣義高斯定理和斯托克斯定理第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)第五節(jié)第六節(jié)第七節(jié)退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)矢量的基本8第三章流體靜力學(xué)作用于流體上的力

靜止流場(chǎng)中的應(yīng)力靜止流體的基本微分方程重力場(chǎng)中靜止流體的壓力，靜止流體對(duì)物面的作用力重力場(chǎng)中靜止氣體的壓力分布非慣性坐標(biāo)系中的靜止流體表面張力與毛細(xì)現(xiàn)象流體靜壓力的測(cè)量原理第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)第五節(jié)第六節(jié)第七節(jié)第八節(jié)退出返回第三章流體靜力學(xué)作用于流體上的力第9第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的描述

跡線、流線、流管環(huán)量和旋度、通量和散度的物理意義微元流體線的運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)

第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)第五節(jié)退出返回第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的描述第一10第五章

流體動(dòng)力學(xué)基本原理及流體工程

連續(xù)性方程理想流體運(yùn)動(dòng)方程實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)方程第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)退出返回第五章

流體動(dòng)力學(xué)基本11第六章

流體動(dòng)力學(xué)基本原理及流體工程連續(xù)性方程

動(dòng)量方程動(dòng)量矩方程能量方程第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)退出返回第六章

流體動(dòng)力學(xué)12第七章伯努利方程式及其應(yīng)用伯努利方程式及其限定條件

實(shí)際流體的伯努利方程式實(shí)際流體的總流伯努利方程式相對(duì)運(yùn)動(dòng)的伯努利方程式伯努利方程式的應(yīng)用

第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)第五節(jié)退出返回第七章伯努利方程式及其應(yīng)用伯努利方程13第八章量綱分析和相似原理

量綱分析和定理

相似理論流體力學(xué)模型研究方法第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)退出返回第八章量綱分析和相似原理量綱分析和14第九章流體阻力與管道計(jì)算流動(dòng)狀態(tài)與阻力分類

圓管中的層流圓管中的紊流圓管中的沿程阻力第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)退出返回第九章流體阻力與管道計(jì)算流動(dòng)15第十章邊界層理論

邊界層特性邊界層微分方程平板層流邊界層的微分方程解邊界層積分（動(dòng)量）方程平板層流邊界層的積分方程解平板紊流邊界層計(jì)算平板混合邊界層計(jì)算第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)第五節(jié)退出返回第六節(jié)第七節(jié)第十章邊界層理論邊界層特性第一16第十一章流體繞過(guò)物體的流動(dòng)

平面勢(shì)流流體繞過(guò)圓柱體的流動(dòng)流體繞過(guò)球體的流動(dòng)

第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)退出返回第十一章流體繞過(guò)物體的流動(dòng)平面勢(shì)流17第十二章氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

壓力波的傳播，音速運(yùn)動(dòng)點(diǎn)擾源產(chǎn)生的擾動(dòng)場(chǎng)，馬赫數(shù)與馬赫角一元穩(wěn)定等熵流動(dòng)的基本方程理想氣體一元穩(wěn)定等熵流動(dòng)的基本特性氣流參數(shù)與流道截面積的關(guān)系漸縮噴管和拉伐爾噴管

第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)第五節(jié)退出返回第六節(jié)第十二章氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)壓力波的傳播18第十三章

計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)

流動(dòng)問(wèn)題數(shù)值求解的基本步驟流動(dòng)控制方程離散方程的建立方法差分方程特性分析

第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)退出返回第十三章

計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)物理19第十四章

流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限差分解法

勢(shì)流問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算回流流動(dòng)問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算

第一節(jié)第二節(jié)退出返回第十四章

流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限差20第十五章

流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元解法

有限元法的基本思想與區(qū)域離散化有限元法中代數(shù)方程的建立二維邊值問(wèn)題有限元法求解舉例有限分析法介紹

第一節(jié)第二節(jié)退出返回第三節(jié)第四節(jié)第十五章

流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元21流體力學(xué)是研究流體在外力作用下的平衡和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一門科學(xué)。它和固體力學(xué)不同之處在于流體在運(yùn)動(dòng)時(shí)具有連續(xù)不斷地變形的特性且其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是十分復(fù)雜的。象其它大多數(shù)科學(xué)一樣，流體力學(xué)成為一門獨(dú)立的科學(xué)經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程。史前人類就有解決某些流體流動(dòng)問(wèn)題的豐富知識(shí)，如船舶制造和灌溉系統(tǒng)建設(shè)。公元前三世紀(jì)Archimedes(285-212B.C.)提出了浮力定律并將其應(yīng)用于漂浮和浸沒于液體中的物體，這實(shí)際上是流體力學(xué)微分算法的雛形。

公元十五世紀(jì)前，船舶、運(yùn)河、水渠的工程設(shè)計(jì)水平得到了較大的提高，然而流動(dòng)分析技術(shù)卻并未有重大發(fā)展。Leonardo(1452-1519)導(dǎo)出了一維穩(wěn)定流動(dòng)的質(zhì)量守恒方程。Leonardo是一個(gè)杰出的實(shí)驗(yàn)家，他對(duì)波、射流、水躍、渦流形成等現(xiàn)象作了精確的描述。Mariotte(1620-1684)建造了第一個(gè)風(fēng)洞，并利用該風(fēng)洞作了大量的模型試驗(yàn)。

第1頁(yè)第一章緒論第一節(jié)流體力學(xué)的研究對(duì)象和發(fā)展歷史退出返回流體力學(xué)是研究流體在外力作用下的平衡和運(yùn)動(dòng)規(guī)22

自Newton(1642-1727)提出了三大運(yùn)動(dòng)定律和線性流體的粘性定律以后，流體力學(xué)得到了較大的發(fā)展。十八世紀(jì)的一大批數(shù)學(xué)家如Bernoulli、Euler、Lagrange、Laplace等在理想流體的假定下取得了許多無(wú)摩擦流動(dòng)問(wèn)題的研究成果，如Euler的運(yùn)動(dòng)微分方程和其積分形式——Bernoulli方程。但理想流體的假定有較大的局限性，工程實(shí)際中的大多數(shù)流動(dòng)無(wú)不受流體粘性的影響。當(dāng)時(shí)的工程師們開始抵制這種他們認(rèn)為不切實(shí)際的理想流體流動(dòng)理論，在幾乎完全依賴實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上發(fā)展了一門新的科學(xué)——水力學(xué)。這樣的實(shí)驗(yàn)科學(xué)家有Weber、Hagen、Poiseulle、Darcy等。他們通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到了諸如明渠流動(dòng)、船舶阻力、管道流動(dòng)、波動(dòng)等問(wèn)題的有用數(shù)據(jù)。

十九世紀(jì)末，實(shí)驗(yàn)的水力學(xué)和理論的流體動(dòng)力學(xué)開始結(jié)合。WilliamFroude（1810-1879）和他的兒子RobertFroude（1846-1924）建立了模型試驗(yàn)定律，Rayleigh（1842-1919）提出了量綱分析技術(shù)。Reynolds（1842-1912）在1883發(fā)表了經(jīng)典的管道實(shí)驗(yàn)結(jié)果，提出了著名的無(wú)量綱參數(shù)——雷諾數(shù)Re。

第2頁(yè)

第一章緒論第一節(jié)流體力學(xué)的研究對(duì)象和發(fā)展歷史退出返回自Newton(1642-1727)提出了三大運(yùn)動(dòng)23

Navier(1785-1836)和Stokes(1819-1903)在歐拉運(yùn)動(dòng)方程中加入了牛頓粘性項(xiàng)，建立了粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程式。1904年德國(guó)工程師Prandtl(1875-1953)發(fā)表了流體力學(xué)方面最具影響的論文，提出了現(xiàn)代流動(dòng)分析中最重要的理論——邊界層理論。這些理論對(duì)流體力學(xué)開始脫離經(jīng)典式的理論研究而與工程實(shí)際相結(jié)合起到了很大的作用。二十世紀(jì)中葉以后，隨著宇宙航行，人造衛(wèi)星、核能工業(yè)、生物工程和環(huán)境、醫(yī)學(xué)等科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，稀薄氣體動(dòng)力學(xué)、電磁流體力學(xué)、非牛頓流體力學(xué)、多相流體力學(xué)、生物流體力學(xué)、氣動(dòng)噪聲流體力學(xué)等流體力學(xué)分枝也均在形成和發(fā)展中。地球上71覆蓋著水、100覆蓋著空氣，流體力學(xué)問(wèn)題無(wú)處不有。象氣象學(xué)、海洋學(xué)涉及流體力學(xué)；我們的呼吸、生理循環(huán)涉及流體力學(xué)；航空、航天、航海涉及流體力學(xué)；水利灌溉、洪水控制、生活供水、污水排放涉及流體力學(xué)；石油化學(xué)工業(yè)中幾乎沒有哪一個(gè)化工過(guò)程中不包含流體力學(xué)問(wèn)題。

第3頁(yè)

第一章緒論第一節(jié)流體力學(xué)的研究對(duì)象和發(fā)展歷史退出返回Navier(1785-1836)和Stokes24在研究流體力學(xué)時(shí)，考慮到流體運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性，僅采用固體力學(xué)中嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)方法還不能完全解決問(wèn)題，需要廣泛采用半經(jīng)驗(yàn)的理論和實(shí)驗(yàn)研究所取得的數(shù)據(jù)。近年來(lái)由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，計(jì)算流體力學(xué)所占的地位已越來(lái)越重要，對(duì)于一些復(fù)雜的流體力學(xué)數(shù)學(xué)模型，可采用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，但某些復(fù)雜的流體力學(xué)問(wèn)題仍無(wú)法僅靠單純的數(shù)學(xué)計(jì)算來(lái)解決。因此研究流體力學(xué)還必須用理論、計(jì)算與實(shí)驗(yàn)三者相互結(jié)合的方法。近年來(lái)實(shí)驗(yàn)技術(shù)發(fā)展很快，許多過(guò)去難以測(cè)量的參數(shù)和觀察的現(xiàn)象，現(xiàn)在可以比較準(zhǔn)確地測(cè)量和觀察出來(lái)。測(cè)量和觀察技術(shù)從低速流動(dòng)擴(kuò)展到高速流動(dòng)，從穩(wěn)定流動(dòng)擴(kuò)展到不穩(wěn)定流動(dòng)，從靜態(tài)擴(kuò)展到動(dòng)態(tài)。但實(shí)驗(yàn)亦有其局限性，它往往不能闡明流體運(yùn)動(dòng)的一般特性。流體力學(xué)學(xué)科的發(fā)展一方面有賴于計(jì)算流體力學(xué)的發(fā)展，實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐必須由理論分析和數(shù)值計(jì)算來(lái)加以指導(dǎo)和驗(yàn)證。另一方面，現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)技術(shù)的發(fā)展加強(qiáng)了對(duì)理論和計(jì)算準(zhǔn)確性的檢驗(yàn)。這種理論、計(jì)算與實(shí)驗(yàn)的緊密結(jié)合，必將大大加速流體力學(xué)學(xué)科的發(fā)展。

第1頁(yè)

第一章緒論第二節(jié)流體力學(xué)的研究方法

退出返回在研究流體力學(xué)時(shí)，考慮到流體運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性，僅采用固25第一章緒論第二節(jié)流體力學(xué)的研究方法

解決流體流動(dòng)問(wèn)題有三種基本方法：1.

控制體分析法，即積分方程法；2.

微元體分析法，即微分方程法；3.

實(shí)驗(yàn)研究，即量綱分析法。流體流動(dòng)必須滿足三大力學(xué)守恒定理以及熱力學(xué)狀態(tài)方程和相關(guān)的邊界條件：

1.

質(zhì)量守恒定理，即連續(xù)性條件；

2.

動(dòng)量守恒定理，即牛頓第二定理；

3.

能量守恒定理，即熱力學(xué)第一定理；

4.

狀態(tài)方程，如ρ＝ρ（P,T）;

5.

固體表面、交界面、流道進(jìn)出口的邊界條件。

第2頁(yè)退出返回第一章緒論第二節(jié)流體力學(xué)的研究方法解決流26在解決某一具體的流體力學(xué)問(wèn)題之前需要弄清流動(dòng)屬于哪一種類型，流體流動(dòng)如何分類最為合理迄今并無(wú)共識(shí)。通常的做法是按照流動(dòng)分析時(shí)所作的假設(shè)來(lái)劃分，即假定流動(dòng)為：1.

穩(wěn)定的（定常的）或不穩(wěn)定的（不定常的）；2.

無(wú)粘性的或粘性的；3.

不可壓縮的或可壓縮的；4.

氣體或液體。

第3頁(yè)

第一章緒論第二節(jié)流體力學(xué)的研究方法

退出返回在解決某一具體的流體力學(xué)問(wèn)題之前需要弄清流動(dòng)屬于哪一種27場(chǎng)是具有物理量的空間。在許多科學(xué)、技術(shù)問(wèn)題中，常常要考察某種物理量（如溫度、密度、電位、力、速度等）在空間的分布和變化規(guī)律。為了揭示和探索這些規(guī)律，數(shù)學(xué)上就引進(jìn)了場(chǎng)的概念。如果在全部空間或部分空間里的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，就說(shuō)在這空間里確定了該物理量的場(chǎng)。如果這物理量是標(biāo)量，就稱這個(gè)場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)；若是矢量，就稱這個(gè)場(chǎng)為矢量場(chǎng)。例如溫度場(chǎng)、密度場(chǎng)、電位場(chǎng)等為數(shù)量場(chǎng)；而力場(chǎng)、速度場(chǎng)等為矢量場(chǎng)。此外，若場(chǎng)中之物理量在各點(diǎn)處的對(duì)應(yīng)值不隨時(shí)間而變化，則稱該場(chǎng)為穩(wěn)定場(chǎng)；否則，稱為不穩(wěn)定場(chǎng)。場(chǎng)的研究方法是將物理量作為空間點(diǎn)的位置R和時(shí)間t的函數(shù)。但在場(chǎng)論分析中，t作為參變量處理，即分析t時(shí)刻的場(chǎng)的情況。

第1頁(yè)第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)退出返回場(chǎng)是具有物理量的空間。在許多科學(xué)、技術(shù)問(wèn)題中，28

第2頁(yè)

第一節(jié)矢量的基本運(yùn)算

退出返回一、矢量運(yùn)算符號(hào)規(guī)定（一）

愛因斯坦（Einstein）求和符號(hào)數(shù)學(xué)式子任意一項(xiàng)中如出現(xiàn)一對(duì)符號(hào)相同的指標(biāo)，稱為愛因斯坦求和符號(hào)，它是啞指標(biāo)，表示求和。例如：

采用了愛因斯坦求和符號(hào)后線性代數(shù)方程組

第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

第一節(jié)矢量的基本運(yùn)算退出返回一、矢量29

第3頁(yè)

第一節(jié)矢量的基本運(yùn)算

退出返回可簡(jiǎn)寫成：

式中左端項(xiàng)中j出現(xiàn)兩次，代表求和指標(biāo)；i在左、右兩項(xiàng)各只出現(xiàn)一次，代表指定指標(biāo)。（二）克羅內(nèi)克爾（Kronecker）符號(hào)

任意兩個(gè)正交單位矢量的點(diǎn)積用表示，稱為克羅內(nèi)克爾

式中i，j是自由指標(biāo)，（2.1）式表示，

。顯然，，i表示重復(fù)求和。

第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)第一節(jié)矢量的基本運(yùn)算退出返回可簡(jiǎn)寫成30

第4頁(yè)

第一節(jié)矢量的基本運(yùn)算

退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)的定義亦可寫成

（三）置換符號(hào)任意兩個(gè)正交單位矢量的叉積可表示為

式中稱為置換符號(hào)，又稱利西（Ricci）符號(hào)，其數(shù)值如下：中有2個(gè)或3個(gè)自由指標(biāo)值相同。中按12312順序任取3個(gè)排列。中按13213順序任取3個(gè)排列。

上式表示，，其余分量為零。

第一節(jié)矢量的基本運(yùn)算退出返回第二章31

第5頁(yè)

第一節(jié)矢量的基本運(yùn)算

退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

由此可知，中任意兩個(gè)自由指標(biāo)對(duì)換，對(duì)應(yīng)分量值相差一個(gè)負(fù)號(hào)，如，故稱為置換符號(hào)。二、矢量運(yùn)算的常用公式

（2.3）

（2.4）

（2.5）第一節(jié)矢量的基本運(yùn)算退出返回第二章32

第6頁(yè)

第一節(jié)矢量的基本運(yùn)算

退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

（2.6a）

（2.6b）

（2.7）

（2.8）第一節(jié)矢量的基本運(yùn)算退出返回第二章33

第7頁(yè)

第一節(jié)矢量的基本運(yùn)算

退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

三、矢量分量的坐標(biāo)變換矢量是一個(gè)物理量，它獨(dú)立于坐標(biāo)系的選取。當(dāng)坐標(biāo)系發(fā)生改變時(shí)，矢量本身不發(fā)生變化，僅是它的分量隨坐標(biāo)變換按一定規(guī)律發(fā)生改變。按矢量定義：

（2.9），和，分別為在兩個(gè)不同的正交坐標(biāo)系中的分量和坐標(biāo)軸單位矢量。各單位矢量間夾角的余弦（即方向余弦）為lj，mj，nj（j=1,2,3）如表2.1所示，則對(duì)應(yīng)的矢量分量的坐標(biāo)變換關(guān)系有：表2.1坐標(biāo)軸間方向余弦第一節(jié)矢量的基本運(yùn)算退出返回第二章34

第8頁(yè)

第一節(jié)矢量的基本運(yùn)算

退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

（2.10）

例如：

第一節(jié)矢量的基本運(yùn)算退出返回第二章35

第1頁(yè)

第二節(jié)張量及其基本性質(zhì)退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

一、張量的定義在正交坐標(biāo)系中張量可以定義為：設(shè)有正交坐標(biāo)系在其上定義有個(gè)函數(shù)，若坐標(biāo)系線性變換時(shí)，即

（2.11）作如下式中為常系數(shù)，與此相應(yīng)，函數(shù)（式中重復(fù)下標(biāo)表示對(duì)該下標(biāo)求和）作如下變換

（2.12）第二節(jié)張量及其基本性質(zhì)退出返回第二章36

第2頁(yè)

第二節(jié)張量及其基本性質(zhì)退出返回。第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

則定義為一個(gè)張量，記為

（2.13）例如設(shè)坐標(biāo)數(shù)，在空間任一點(diǎn)規(guī)定三個(gè)矢量，和如果按式（2.11）把直角坐標(biāo)系變換到另一個(gè)直角坐標(biāo)系中，得到另一組矢量，和，它們滿足系式：

（2.14）第二節(jié)張量及其基本性質(zhì)退出返回。第二37

第3頁(yè)

第二節(jié)張量及其基本性質(zhì)退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

式中是坐標(biāo)軸和顯然，矢量，，的分量與矢量，，的分量有如下關(guān)系

上述關(guān)系式即式（2.12），因此分量定義一個(gè)張量之間夾角的方向余弦。（2.15）

（2.16）由于在上述張量的定義中，其分量的數(shù)目為坐標(biāo)數(shù)的平方，因此上述張量稱為二階張量。張量在三維空間中的分量數(shù)可用來(lái)表示，n為張量的階。于是，標(biāo)量為零階張量，矢量為一階張量，流體微團(tuán)的變形速率為二階張量，應(yīng)力場(chǎng)梯度為三階張量。

第二節(jié)張量及其基本性質(zhì)退出返回第二章38

第4頁(yè)

第二節(jié)張量及其基本性質(zhì)退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)二、二階張量的基本性質(zhì)流體力學(xué)中經(jīng)常遇到的張量為二階張量，如應(yīng)力、變形和轉(zhuǎn)動(dòng)，它們具有如下一些基本性質(zhì)：

這種張量稱為對(duì)稱張量。1.張量元素具有對(duì)稱性（2.17）2.張量的代數(shù)運(yùn)算規(guī)則（1）張量與張量相加是指其對(duì)應(yīng)元素相加，其和仍為一張量，即

（2）張量與標(biāo)量相乘仍為一張量，即（為標(biāo)量）

（2.19）（2.18）（3）張量與矢量相乘（內(nèi)積）為一矢量右乘定義為

（2.20）第二節(jié)張量及其基本性質(zhì)退出返回第二章39

第5頁(yè)

第二節(jié)張量及其基本性質(zhì)退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

左乘定義為

（4）張量與張量相乘仍為一張量，即

（2.22）（2.21）3.根據(jù)對(duì)稱張量性質(zhì)可知，在流體內(nèi)任一點(diǎn)存在三個(gè)相互垂直的軸，沿著與該軸垂直的面上，張量的切向分量為零，只有法向分量。該軸稱為主軸。在應(yīng)力張量中稱為主應(yīng)力軸，在變形張量中稱為主變形軸。

第二節(jié)張量及其基本性質(zhì)退出返回第二章40

第1頁(yè)

第三節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)xzijky=constx=constz=const圖2.1直角坐標(biāo)系xyo直角坐標(biāo)系是最簡(jiǎn)單、最基本的一種坐標(biāo)系，又稱笛卡爾坐標(biāo)系，如圖2.1所示。首先在空間取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)分別作互相正交的直線，并分別命名為過(guò)原點(diǎn)的軸。（1）坐標(biāo)面：由三族分別過(guò)原點(diǎn)的與軸垂直的平面所組成。其方程為（2）坐標(biāo)軸：不同族的坐標(biāo)面的交線組成坐標(biāo)軸。軸是兩坐標(biāo)面的交線；，一、直角坐標(biāo)系，第三節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章41

第2頁(yè)

第三節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)軸是兩坐標(biāo)面的交線；軸是兩坐標(biāo)面的交線。（3）單位矢量：通常分別以表示沿并遵循右手法則。直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的三個(gè)單位矢量互成正交，各點(diǎn)的同類單位矢量方向不變。坐標(biāo)軸的單位矢量，（4）空間點(diǎn)的表示：以三個(gè)坐標(biāo)面的交點(diǎn)表示空間點(diǎn)（5）矢徑表示法：由原點(diǎn)至空間某點(diǎn)而連成的矢量線稱為矢徑，第三節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章42

第3頁(yè)

第三節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)二、柱坐標(biāo)系首先在空間取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，以此點(diǎn)作直角坐標(biāo)系。（1）坐標(biāo)面：分別由下列三族曲面所組成。以過(guò)原點(diǎn)的軸為對(duì)稱軸的圓柱面族；以與z軸相；以通過(guò)軸的子午面族垂直的平面族。

（2）坐標(biāo)軸：由不同族的坐標(biāo)面相交而成。軸是兩坐標(biāo)面的交線；軸是兩坐標(biāo)面的交線。軸是兩坐標(biāo)面的交線；（3）單位矢量：通常分別以，，表示沿，，，的方向可能變化。

，，軸的單位矢量，并規(guī)定遵循右手法則。柱坐標(biāo)系中一點(diǎn)的三個(gè)單位矢量互成正交，在不同點(diǎn)上第三節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章43

第4頁(yè)

第三節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)（4）空間點(diǎn)的表示：以三個(gè)坐標(biāo)面的交點(diǎn)表示空間點(diǎn)（5）矢徑表示法：eerezxz=const

=constr=const圖2.2柱坐標(biāo)系rzyo第三節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章44

第5頁(yè)

第三節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)圖2.3球坐標(biāo)系eeeRzyx

=constR=const

=constRo三、球坐標(biāo)系首先在空間取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)作直角坐標(biāo)系。（1）坐標(biāo)面：分別由以原點(diǎn)為中心的球面族，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)軸為對(duì)稱軸的圓錐面族

和子午面族

以三族曲面所組成，，確定了三個(gè)特定的坐標(biāo)面，如圖2.3所示。第三節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章45

第6頁(yè)

第三節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

（2）坐標(biāo)軸：由不同族的坐標(biāo)面相交而成。軸是，兩坐標(biāo)面的交線；軸是，兩坐標(biāo)面的交線；軸是，兩坐標(biāo)面的交線。

（3）單位矢量：通常分別以，，表示沿，，，，的方向是坐標(biāo)軸的單位矢量，并規(guī)定遵循右手法則。球坐標(biāo)中一點(diǎn)的三個(gè)單位矢量互成正交，一般情況下，不同點(diǎn)上同族單位矢量不同的。（4）空間點(diǎn)的表示：以三個(gè)坐標(biāo)面的交點(diǎn)表示空間點(diǎn)（5）矢徑表示法：。第三節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章46

第7頁(yè)

第三節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

四、直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換關(guān)系直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換關(guān)系:

（2.23）

直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換關(guān)系:

（2.24）

第三節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章47

第1頁(yè)

第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系均屬曲線坐標(biāo)系。坐標(biāo)系的基本功能是識(shí)別空間位置，為了便于應(yīng)用可人為地規(guī)定某種曲線坐標(biāo)系。一、曲線坐標(biāo)系首先在空間取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，以此點(diǎn)作直角坐標(biāo)系。（1）坐標(biāo)面：取三族曲面,,作為坐標(biāo)面族，其反函數(shù)為,,。,確定了三個(gè)特定的坐標(biāo)面，如圖2.4所示。（2）坐標(biāo)軸：不同族的坐標(biāo)面的交線組成坐標(biāo)軸。軸是,

兩坐標(biāo)面的交線；軸是,兩坐標(biāo)面的交線；軸是兩坐標(biāo)面的交線。

,第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章48

第2頁(yè)

第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)坐標(biāo)軸的單位矢量，以

（3）單位矢量：沿坐標(biāo)線的切線，且方向的單位矢量稱為，，在曲線坐標(biāo)系中，它們隨空間位置而表示，它們遵循右手法則。改變，即這是曲線坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的一個(gè)主要差別。

（4）空間點(diǎn)的表示：以三個(gè)坐標(biāo)面的交點(diǎn)表示空間點(diǎn)。（5）矢徑表示法：

（2.25）式中，，與，，有關(guān)。，第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章49

第3頁(yè)

第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

ods2ds3ds1q2xyq2=constq3=constq1=constq3q1re3e2e1M(q1,q2,q3)圖2.4曲線坐標(biāo)系z(mì)第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章50第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

第4頁(yè)

第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回

二、矢徑由微分定義

（2.26）點(diǎn)到點(diǎn)引起的增量為的微分從

（2.27），因而由于

（2.28）

（2.29）令，則上式可寫成

（2.30）

（2.31）第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)第四節(jié)51

第5頁(yè)

第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)（2.32）

同理可得

，，

（2.33）

，，上式中、、因此矢徑的微分可寫成

、稱為拉梅系數(shù)。

（2.34）

第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章52

第6頁(yè)

第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

若已知坐標(biāo)面族方程則可求得上式中的拉梅系數(shù)和單位矢量。

因此拉梅系數(shù)可寫成

（2.36）（2.35）單位矢量可寫成

在正交曲線坐標(biāo)系中，三個(gè)單位矢量滿足：，即（2.37）

（2.38）第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章53

第7頁(yè)

第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

它適用于已知，，利用梯度性質(zhì)，正交條件也可寫成：，即

它適用于已知的情況。的情況。（2.39）例題2.1求柱坐標(biāo)系中的拉梅系數(shù)和坐標(biāo)軸單位矢量，并證明其正交。

，，，其反函數(shù)為，，。解：對(duì)于柱坐標(biāo)系，，，，，，，，第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章54第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

第8頁(yè)

第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回

因此拉梅系數(shù)為

由（2.37）式，并注意到，則可求得單位矢量為

顯然

第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)第四節(jié)55第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

第9頁(yè)

第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回

其實(shí)拉梅系數(shù)亦可用幾何的方法確定。因?yàn)?，即其幾何意義為：坐標(biāo)值的單位增量引起的對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)的單位增量。按照該定義不難直接由幾何關(guān)系求得上例中的拉梅系數(shù)（請(qǐng)讀者自行求解）。三、坐標(biāo)軸單位矢量的偏導(dǎo)數(shù)在曲線坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸單位矢量的偏導(dǎo)數(shù)可按下式計(jì)算第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)第四節(jié)56第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

第10頁(yè)

第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回

柱坐標(biāo)系中單位矢量的偏導(dǎo)數(shù)：

球坐標(biāo)系中單位矢量的偏導(dǎo)數(shù)：

第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)第四節(jié)57第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

第1頁(yè)

第五節(jié)物理量的梯度、散度、旋度退出返回

一、物理量的梯度物理量的梯度可以用來(lái)描述該物理量在一點(diǎn)鄰域內(nèi)的變化情況。（一）方向?qū)?shù)的計(jì)算公式方向?qū)?shù)是函數(shù)在一點(diǎn)處沿某一方向?qū)嚯x的變化率。在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可微，

為l方向上在點(diǎn)M0處沿l方向的方向?qū)?shù)為：

的方向余弦，則函數(shù)

式中是在點(diǎn)M0的偏導(dǎo)數(shù)。

（2.43）（二）標(biāo)量梯度的定義、性質(zhì)及其在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式如有一矢量，處處滿足。

這里為標(biāo)量沿方向的方向定義為物理量的梯度，并表示為導(dǎo)數(shù)，則。它在直角坐標(biāo)系中第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)第五節(jié)58第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

第2頁(yè)

退出返回

標(biāo)量梯度有兩條常用的重要性質(zhì)：（2.44）①，，式中。前式表示由梯度沿方向的方向?qū)?shù)，后式表示由梯度可以知道方向經(jīng)過(guò)線段dl的增量?？梢缘玫轿锢砹吭撐锢砹垦丌冢@里為等值面法線指向增大方向的單位矢量，是沿方向的方向?qū)?shù)，所以由梯度可以求得等值面法線方向。的單位矢量顯然，的方向一定與的面相垂直，是函數(shù)在空間的最大變化率。第五節(jié)物理量的梯度、散度、旋度的表達(dá)式為：

第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)退出返回59第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

第3頁(yè)

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例題2.2求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)處的梯度，以及沿矢量方向的方向?qū)?shù)。方向的單位矢量為解：

于是有

第五節(jié)物理量的梯度、散度、旋度第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)退出返回60第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

第4頁(yè)

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例題2.3求曲面的法線單位矢量解：

。第五節(jié)物理量的梯度、散度、旋度第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)退出返回61第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

第5頁(yè)

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（三）矢量梯度的定義、性質(zhì)及其在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式如果有一個(gè)二階張量，處處滿足，這里為矢量沿方向的方向?qū)?shù)，則定義為矢量的梯度，并表示為。它在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為

類似于標(biāo)量梯度，矢量梯度有下述性質(zhì)：，。

（2.45）由這兩個(gè)公式可求得矢量沿方向的方向?qū)?shù)和沿矢量線段的增量。由于矢量場(chǎng)沒有等值面概念，因而。

第五節(jié)物理量的梯度、散度、旋度第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)退出返回62第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

第6頁(yè)

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二、物理量的散度物理量的散度可用來(lái)判別場(chǎng)是否有源。（一）矢量散度的定義及其在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式設(shè)有矢量場(chǎng)，于場(chǎng)中一點(diǎn)處作一包含點(diǎn)在內(nèi)的任一閉曲面，設(shè)其所包圍的空間區(qū)域?yàn)?，體積為，以表示從其內(nèi)部穿出的通量。若當(dāng)以任意方式縮向點(diǎn)時(shí)，下式

之極限存在，則稱此極限為矢量場(chǎng)在點(diǎn)處的散度，記作

（2.46）式中為邊界曲面上微元面積的外法線單位矢量。第五節(jié)物理量的梯度、散度、旋度第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)退出返回63第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

第7頁(yè)

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散度的定義是與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的。在直角坐標(biāo)系中，令，則有：

（2.47）

流體力學(xué)中常用的矢量散度為速度散度，令，則

（二）二階張量的散度及其在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式與矢量散度相類似，可以定義二階張量的散度為

（2.48）第五節(jié)物理量的梯度、散度、旋度第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)退出返回64第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

第8頁(yè)

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在直角坐標(biāo)系中，令，則有：

（2.49）（三）有源場(chǎng)與無(wú)源場(chǎng)由散度定義可見，散度為一數(shù)量，表示場(chǎng)中一點(diǎn)處的通量對(duì)體積的變化率，也就是在該點(diǎn)處對(duì)一個(gè)單位體積來(lái)說(shuō)所穿出之通量，稱為該點(diǎn)處源的強(qiáng)度。當(dāng)時(shí)，稱矢量場(chǎng)為有源場(chǎng)；當(dāng)時(shí)，其場(chǎng)為無(wú)源場(chǎng)。

三、物理量的旋度物理量的旋度可用來(lái)判別場(chǎng)是否有旋。（一）旋度的定義第五節(jié)物理量的梯度、散度、旋度第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)退出返回65第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

第9頁(yè)

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設(shè)有矢量場(chǎng)中一點(diǎn)處存在一矢量，若處處滿足則定義矢量為的旋度，并用來(lái)表示。這里為可縮封閉曲線，為以為周線包含點(diǎn)的任一曲面，為曲面向點(diǎn)縮小至零時(shí)的法線方向單位矢量，與滿足右手螺旋法則，為矢量沿的環(huán)量。（二）旋度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式在直角坐標(biāo)系中，令，則的旋度可表示為：

（2.50）第五節(jié)物理量的梯度、散度、旋度第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)退出返回66第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

第10頁(yè)

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流體力學(xué)中常用的矢量旋度為速度旋度，令，則

（三）有旋場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng)若矢量的旋度處處為零，則稱矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)；否則矢量場(chǎng)就是有旋場(chǎng)。第五節(jié)物理量的梯度、散度、旋度第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)退出返回67第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

第1頁(yè)

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第六節(jié)哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在流體力學(xué)中的應(yīng)用一、哈密爾頓算子利用哈密爾頓算子可以方便地推導(dǎo)或證明一些公式并簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)公式的書寫。哈密爾頓算子是一個(gè)具有微分及向量雙重運(yùn)算的算子，適用于任意正交曲線坐標(biāo)系，但其具體形式在不同坐標(biāo)系中是不同的，哈密爾頓算子在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為：

運(yùn)算時(shí)先進(jìn)行微分運(yùn)算，后進(jìn)行向量運(yùn)算，具體運(yùn)算規(guī)定如下：

（2.51a）

（2.51b）

（2.51c）

（2.51d）第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)退出返回68第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

第2頁(yè)

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第六節(jié)哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在流體力學(xué)中的應(yīng)用二、拉普拉斯算子物理量梯度的散度運(yùn)算稱為拉普拉斯運(yùn)算，用算子表示，即，，這里稱為拉普拉斯算子。按哈密爾頓算子的運(yùn)算規(guī)則，

（2.52a）

（2.52b）在直角坐標(biāo)系中有三、哈密爾頓算子、拉普拉斯算子在流體力學(xué)中的應(yīng)用下面給出流體力學(xué)中常用的，系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中的表達(dá)式，這里為任意矢量，也可看做速度，為任意標(biāo)量，也可看做速度勢(shì)。，，，，在直角坐標(biāo)，第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)退出返回69第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

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第六節(jié)哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在流體力學(xué)中的應(yīng)用（一）直角坐標(biāo)系

（2.53a）

（2.53b）

（2.53c）

（2.53d）

（2.53e）

（2.53f）第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)退出返回70第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

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第六節(jié)哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在流體力學(xué)中的應(yīng)用

（二）柱坐標(biāo)系

（2.54a）

（2.54b）

（2.54c）

（2.53g）

（2.54d）

（2.54e）第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)退出返回71第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

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第六節(jié)哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在流體力學(xué)中的應(yīng)用

（2.54f）

（2.54g）

（三）球坐標(biāo)系

（2.55a）

（2.55b）第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)退出返回72第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

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第六節(jié)哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在流體力學(xué)中的應(yīng)用

（2.55c）

（2.55d）

（2.55e）

（2.55f）

第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)退出返回73第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

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第六節(jié)哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在流體力學(xué)中的應(yīng)用

（2.55g）第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)退出返回74第二章場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)

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（2.56）

第七節(jié)廣義高斯（Gauss）定理和斯托克斯（Stokes）定理一、廣義高斯定