§3數(shù)列極限存在的條件定義：單調遞增單調遞減單調數(shù)列單調減少單調增加如：10/29/20221定理9（單調有界定理）

[1]單調遞增有上界的數(shù)列必有極限，且它的極限等于數(shù)列的上確界.[2]單調遞減有下界的數(shù)列必有極限，且它的極限等于數(shù)列的下確界.10/29/20222幾何解釋:注1:此準則只給出了極限存在的充分性條件，并沒有給出極限是什么。但是，在已知極限存在時常可以通過一些方法求出極限（特別是由遞推公式給出的數(shù)列的極限問題）。定理9（單調有界定理）

在實數(shù)系中，單調有界數(shù)列必有極限.注2：由于數(shù)列極限與數(shù)列中的有限項無關，因此定理9可以敘述為：在實數(shù)系中，數(shù)列自某項之后單調有界，則必有極限.10/29/20223例1證10/29/20225由xn>0A0,10/29/20226證法210/29/20227例2證兩邊取極限，得.0lim

,0,0)1(===￥?nnnxxa故則當,1

11<->+nnxxan時，當只要n充分大10/29/20228例4S為有界集，證明：若supS=aS，則存在嚴格遞增數(shù)列{xn}S,使得證ax1x2x3xn10/29/202210計算復利息問題:設本金為A0,利率為r,期數(shù)為t:1.若每期結算一次，則本利和A為2.若每期結算m次，則本利和Am為3.若立即產生立即結算，則本利和即為連續(xù)復利10/29/20221210/29/202214利用算術平均值不等式和二項式展開式可以分別證明：f(n)<f(n+1),（n=1,2,3,…）f(n)<3（n=1,2,3,…）10/29/202215例5證明：證：10/29/202216n!>2n-1再證有界性10/29/202217從這個例子我們看到，一個有理數(shù)列的極限卻是無理數(shù)，這說明有理數(shù)域對極限運算不封閉，極限理論必須在實數(shù)范圍內研究。同時，這個例子也這說明在有理數(shù)域內單調有界定理不成立。e是無理數(shù),10/29/202218例710/29/202220定理10（Cauchy收斂準則）

2.收斂數(shù)列的各項越到最后，離得越近，以至于充分后面的任何兩項之距離可以任意?。〝D到一起了）。1.Cauchy條件說明，利用數(shù)列本身就可以判斷是否收斂，而不借助數(shù)列之外的數(shù)a.注10/29/202221例6證10/29/202223由Cauchy準則，{an}收斂。注：本題教材上P35用的是“單調有界定理”證明的。10/29/202224第二章習題課數(shù)列極限的定義10/29/202226數(shù)列極限的等價命題10/29/202227

收斂數(shù)列的性質

1、唯一性；2、有界性；3、保號性；4、保不等式性；5、迫斂性；6、子列收斂性；7、四則運算性。10/29/202228求數(shù)列{an}極限的方法：1、恒等變形（通分、約分、分子或分母有理化等）；2、極限的四則運算；4、利用單調有界定理；3、利用重要極限5、證明奇偶子列收斂于同一個數(shù)。6、憑直覺估計極限值，再用極限定義證明。7、利用迫斂性。10/29/202230幾個常用數(shù)列的極限10/29/202231解題方面注意點：1、-N定義求極限，N的找法。*不再含有n*取整后取作N10/29/2022322、證明數(shù)列{an}單調的方法。10/29/202233例1下列數(shù)列是否存在極限，若存在，求出其值。答（1）發(fā)散。（2）1。（3）1/6。（4）0。由迫斂性即得。（5）1/2。10/29/202234例2證10/29/20223510/29/202236例3解將分子、分母同乘以因子(1-x),則10/29/202237解例510/29/202238例6證10/29/202239由Cauchy準則，{xn}收斂。10/29/202240例7證明證10/29/202241由Cauchy準則，{xn}收斂。10/29/202242解例810/29/202243例