第20頁（共20頁）2020年湖南省湘潭市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題有且只有一個正確答案，請將正確答案的選項代號涂在答題卡相應的位置上，每小題3分，滿分24分）1．（3分）的絕對值是A． B．6 C． D．【分析】在數(shù)軸上，表示一個數(shù)的點到原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值．【解答】解：負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，所以的絕對值是6．故選：．【點評】本題主要考查絕對值的定義，規(guī)律總結：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．2．（3分）地攤經(jīng)濟一詞最近徹底火了，發(fā)展地攤經(jīng)濟，進行室外經(jīng)營與有序占道經(jīng)營，能滿足民眾消費需求，在一定程度上緩解了就業(yè)壓力，帶動了第三產(chǎn)業(yè)發(fā)展，同時活躍市場，刺激經(jīng)濟發(fā)展，一經(jīng)推出，相關微博話題閱讀量就超過了600000000次，這個數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為A． B． C． D．【分析】科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，是負數(shù)．【解答】解：，故選：．【點評】此題考查了科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定的值以及的值．3．（3分）已知與是同類項，則的值是A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)同類項的概念可得關于的一元一次方程，求解方程即可得到的值．【解答】解：與是同類項，，解得，，故選：．【點評】本題考查了同類項，解決本題的關鍵是判斷兩個項是不是同類項，只要兩看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指數(shù)是否相同．4．（3分）下列圖形中，不是中心對稱圖形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形可得答案．【解答】解：、是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；、是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；、是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項符合題意；故選：．【點評】此題主要考查了中心對稱圖形，解題的關鍵是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．5．（3分）下列運算中正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)冪的乘方、負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪以及同底數(shù)冪的乘法法則即可逐一判斷．【解答】解：、，故錯誤；、，故錯誤；、，正確；、，故錯誤；故選：．【點評】本題考查了冪的乘方、負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪以及同底數(shù)冪的乘法，解題的關鍵是掌握基本的運算法則及公式．6．（3分）如圖，是的外角，若，，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的外角的性質進行計算即可．【解答】解：是的外角，，，，，，故選：．【點評】本題考查了三角形外角的性質，熟練掌握三角形外角的性質是解題的關鍵7．（3分）為慶祝建黨99周年，某校八年級（3）班團支部為了讓同學們進一步了解中國科技的發(fā)展，給班上同學布置了一項課外作業(yè)，從選出的以下五個內容中任選部分內容進行手抄報的制作：、“北斗衛(wèi)星”：、“時代”；、“智軌快運系統(tǒng)”；、“東風快遞”；、“高鐵”．統(tǒng)計同學們所選內容的頻數(shù)，繪制如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則選擇“時代”的頻率是A．0.25 B．0.3 C．25 D．30【分析】先計算出八年級（3）班的全體人數(shù)，然后用選擇“時代”的人數(shù)除以八年級（3）班的全體人數(shù)即可．【解答】解：由圖知，八年級（3）班的全體人數(shù)為：（人，選擇“時代”的人數(shù)為：30人，選擇“時代”的頻率是：；故選：．【點評】本題考查了頻數(shù)分布折線圖，及相應頻率的計算，熟知以上知識是解題的關鍵．8．（3分）如圖，直線經(jīng)過點，當時，則的取值范圍為A． B． C． D．【分析】將代入，可得，再將變形整理，得，求解即可．【解答】解：由題意，將代入，可得，即，整理得，，，由圖象可知，，，故選：．【點評】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質，解題關鍵在于靈活應用待定系數(shù)法和不等式的性質．二、填空題（本大題共8小題，請將答案寫在答題卡相應的位置上，每小題3分，滿分24分）9．（3分）計算：．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答．【解答】解：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得：．【點評】本題考查特殊角三角函數(shù)值的計算，特殊角三角函數(shù)值計算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主．【相關鏈接】特殊角三角函數(shù)值：，，，；，，，；，，，．10．（3分）在數(shù)軸上到原點的距離小于4的整數(shù)可以為3．（任意寫出一個即可）【分析】根據(jù)數(shù)軸表示數(shù)的意義，可得出答案為，，，0，從中任意寫出一個即可．【解答】解：在數(shù)軸上到原點的距離小于4的整數(shù)有：，3，，2，，1，0，從中任選一個即可，故答案為：3（答案不唯一，3，2，1，0，，，任意一個均可）【點評】本題考查了數(shù)軸、數(shù)軸特點、絕對值等知識，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．11．（3分）計算：．【分析】先把化簡為，再合并同類二次根式即可得解．【解答】解：．故答案為．【點評】本題考查了二次根式的運算，正確對二次根式進行化簡是關鍵．12．（3分）走路被世衛(wèi)組織認定為“世界上最好的運動”，每天走6000步是走路最健康的步數(shù)．手機下載微信運動，每天記錄自己走路的步數(shù)，已經(jīng)成了不少市民時下的習慣．張大爺連續(xù)記錄了3天行走的步數(shù)為：6200步、5800步、7200步，這3天步數(shù)的平均數(shù)是6400步．【分析】根據(jù)算術平均數(shù)的計算公式即可解答．【解答】解：這3天步數(shù)的平均數(shù)是：（步，故答案為：6400．【點評】本題考查了平均數(shù)的計算，解題的關鍵是掌握平均數(shù)的計算公式．13．（3分）若，則．【分析】根據(jù)比例的基本性質變形，代入求值即可．【解答】解：由可設，，是非零整數(shù)，則．故答案為：．【點評】本題主要考查了比的基本性質，準確利用性質變形是解題的關鍵．14．（3分）如圖，在半徑為6的中，圓心角，則陰影部分面積為．【分析】直接根據(jù)扇形的面積計算公式計算即可．【解答】解：陰影部分面積為，故答案為：．【點評】本題考查了扇形面積的計算，解題的關鍵是熟記扇形面積的計算公式．15．（3分）如圖，點是的角平分線上一點，，垂足為點，且，點是射線上一動點，則的最小值為3．【分析】根據(jù)垂線段最短可知當時，最小，再根據(jù)角的平分線的性質，即可得出答案．【解答】解：根據(jù)垂線段最短可知：當時，最小，當時，又平分，，，，故答案為：3．【點評】本題考查了垂線段最短、角平分線的性質，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．16．（3分）算籌是在珠算發(fā)明以前我國獨創(chuàng)并且有效的計算工具，為我國古代數(shù)學的發(fā)展做出了很大的貢獻．在算籌計數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數(shù)字如圖：數(shù)字形式123456789縱式橫式表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空．示例如圖：，則表示的數(shù)是9167．【分析】根據(jù)算籌計數(shù)法來計數(shù)即可．【解答】解：根據(jù)算籌計數(shù)法，表示的數(shù)是：9167故答案為：9167．【點評】本題考查了算籌計數(shù)法，理解題意是解題的關鍵．三、解答題（本大題共10小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟請將解答過程寫在答題卡相應位置上，滿分72分）17．（6分）解分式方程：．【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得，，解得，，經(jīng)檢驗，是原方程的解．所以，原方程的解為：．【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．18．（6分）化簡求值：，其中．【分析】根據(jù)分式的混合運算法則，先化簡，再將代入計算即可．【解答】解：，將代入得：原式．【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運算法則．19．（6分）生死守護，致敬英雄．湘潭28名醫(yī)護人員所在的湖南對口支援湖北黃岡醫(yī)療隊紅安分隊，精心救治每一位患者，出色地完成了醫(yī)療救治任務．為致敬英雄，某校音樂興趣小組根據(jù)網(wǎng)絡盛傳的“紅旗小姐姐”跳的儋州調聲組建了舞蹈隊．現(xiàn)需要選取兩名學生作為舞蹈隊的領舞，甲、乙兩班各推薦了一男生和一女生．（溫馨提示：用男、女；男、女分別表示甲、乙兩班4個學生）（1）請用列舉的方法寫出所有可能出現(xiàn)的結果；（2）若選取的兩人來自不同的班級，且按甲、乙兩班先后順序選?。堄昧斜砘虍嫎錉顖D的方法求出恰好選中一男一女的概率．【分析】（1）直接列舉出所有可能出現(xiàn)的結果即可；（2）畫出樹狀圖，找出符合題意的可能結果，再利用概率公式求出概率即可．【解答】解：（1）可能出現(xiàn)的結果有：男女、男男、男女、男女、男女、女女；（2）列表法表示所有可能出現(xiàn)的結果如下：共有4種情況，其中恰好選中一男一女有2種情況，所以恰好選中一男一女的概率為．【點評】本題考查列舉法和樹狀圖法，注意結合題意中“寫出所有可能的結果”的要求，使用列舉法，注意按一定的順序列舉，做到不重不漏．20．（6分）為了學生的安全，某校決定把一段如圖所示的步梯路段進行改造．已知四邊形為矩形，，其坡度為，將步梯改造為斜坡，其坡度為，求斜坡的長度．（結果精確到0.01，參考數(shù)據(jù)：，【分析】先由的坡度計算的長度，根據(jù)矩形性質得長度，再由的坡度得出的長度，根據(jù)勾股定理計算出的長度．【解答】解：，其坡度為，在中，，解得．四邊形為矩形，．斜坡的坡度為，，，在中，．故斜坡的長度約為20.61米．【點評】本題考查了解直角三角形的應用坡度坡角問題，矩形的性質，以及用勾股定理解直角三角形的用法，熟知以上知識點是解題的關鍵．21．（6分）“停課不停學”．突如其來的新冠肺炎疫情讓網(wǎng)絡學習成為了今年春天一道別樣的風景．隔離的是身體，溫暖的是人心．“幸得有你，山河無恙”．在鐘南山、白衣天使等人眾志成城下，戰(zhàn)勝了疫情．在春暖花開，萬物復蘇之際，某校為了解九年級學生居家網(wǎng)絡學習情況，以便進行有針對性的教學安排，特對他們的網(wǎng)絡學習時長（單位：小時）進行統(tǒng)計．現(xiàn)隨機抽取20名學生的數(shù)據(jù)進行分析：收集數(shù)據(jù)：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5整理數(shù)據(jù)：時長（小時）人數(shù)284分析數(shù)據(jù)：項目平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)數(shù)據(jù)6.46.5應用數(shù)據(jù)：（1）填空：6，；（2）補全頻數(shù)直方圖；（3）若九年級共有1000人參與了網(wǎng)絡學習，請估計學習時長在小時的人數(shù)．【分析】（1）根據(jù)各組頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)總數(shù)，可得范圍內的數(shù)據(jù)；找出數(shù)據(jù)中次數(shù)最多的數(shù)據(jù)即為所求；（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)畫圖即可；（3）先算出樣本中學習時長在小時的人數(shù)所占的百分比，再用總數(shù)乘以這個百分比即可．【解答】解：（1）由總人數(shù)是20人可得在的人數(shù)是（人，所以，根據(jù)數(shù)據(jù)顯示，6.5出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；故答案為：6，6.5；（2）由（1）得．頻數(shù)分布直方圖補充如下：（3）由圖可知，學習時長在小時的人數(shù)所占的百分比，（人．學習時長在小時的人數(shù)是700人．【點評】本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力．利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．也考查了眾數(shù)，利用樣本估計總體．22．（6分）如圖，在中，，以為直徑的交于點，過點作，垂足為點．（1）求證：；（2）判斷直線與的位置關系，并說明理由．【分析】（1）為的直徑得，結合，用證明全等三角形；（2）由得，結合得為的中位線，由得，可得直線為切線．【解答】（1）證明：為的直徑，，在和中，；（2）直線與相切，理由如下：連接，如圖所示：由知：，又，為的中位線，，，，為的半徑，與相切．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，全等三角形判定和性質，切線的判定，平行線的判定和性質，熟知以上知識的應用是解題的關鍵．23．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，菱形的頂點的坐標為．（1）求過點的反比例函數(shù)的解析式；（2）連接，過點作交軸于點，求直線的解析式．【分析】（1）由的坐標求出菱形的邊長，利用菱形的性質確定出的坐標，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；（2）證明，利用相似三角形的性質得出點的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線解析式即可．【解答】解：（1）過點作軸，過作軸，垂足分別為，，如圖，，，，四邊形是菱形，，軸，，，．設過點的反比例函數(shù)解析式為，把點坐標代入得，，所以，反比例函數(shù)解析式為；（2），，，，，又，，，，解得，，，．設所在直線解析式為，把，分別代入，得：，解得，，直線的解析式為．【點評】此題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式與一次函數(shù)解析式，菱形的性質，相似三角形的判定與性質，一次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質，以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．24．（8分）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”．某校為提高學生的閱讀品味，現(xiàn)決定購買獲得第十屆茅盾文學獎的《北上》（徐則臣著）和《牽風記》（徐懷中著）兩種書共50本．已知購買2本《北上》和1本《牽風記》需100元；購買6本《北上》與購買7本《牽風記》的價格相同．（1）求這兩種書的單價；（2）若購買《北上》的數(shù)量不少于所購買《牽風記》數(shù)量的一半，且購買兩種書的總價不超過1600元．請問有哪幾種購買方案？哪種購買方案的費用最低？最低費用為多少元？【分析】（1）設購買《北上》的單價為元，《牽風記》的單價為元，根據(jù)“購買2本《北上》和1本《牽風記》需100元”和“購買6本《北上》與購買7本《牽風記》的價格相同”建立方程組求解即可；（2）設購買《北上》的數(shù)量本，則購買《牽風記》的數(shù)量為本，根據(jù)“購買《北上》的數(shù)量不少于所購買《牽風記》數(shù)量的一半”和“購買兩種書的總價不超過1600元”兩個不等關系列不等式組解答并確定整數(shù)解即可．【解答】解：（1）設購買《北上》的單價為元，《牽風記》的單價為元，由題意得：，解得．答：購買《北上》的單價為35元，《牽風記》的單價為30元；（2）設購買《北上》的數(shù)量本，則購買《牽風記》的數(shù)量為本，根據(jù)題意得，解得：，則可以取17、18、19、20，當時，，共花費元；當時，，共花費元；當時，，共花費元；當時，，共花費元；所以，共有4種購買方案分別為：購買《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為17本和33本，購買《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為18本和32本，購買《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為19本和31本，購買《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為20本和30本；其中購買《北上》和《牽風記》的數(shù)量分別為17本和33本費用最低，最低費用為1585元．【點評】本題考查了二元一次方程組和不等式組的應用，弄清題意、確定等量關系和不等關系是解答本題的關鍵．25．（10分）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點，這個交點稱為三角形的重心．（1）特例感知：如圖（一，已知邊長為2的等邊的重心為點，求與的面積．（2）性質探究：如圖（二，已知的重心為點，請判斷、是否都為定值？如果是，分別求出這兩個定值；如果不是，請說明理由．（3）性質應用：如圖（三，在正方形中，點是的中點，連接交對角線于點．①若正方形的邊長為4，求的長度；②若，求正方形的面積．【分析】（1）連接，利用相似三角形證明，運用勾股定理求出的長，運用三角形面積公式求解即可；（2）根據(jù)（1）的證明可求解；（3）①證明，得，再運用勾股定理求出的長即可解決問題；②分別求出和即可求得正方形的面積．【解答】解：（1）連接，如圖，點是的重心，，是，邊上的中線，，為，邊上的中點，為的中位線，，，，，，，，，，，；（2）由（1）可知，，是定值；點到的距離和點到的距離之比為，則和的面積之比等于點到的距離和點到的距離之比，故，是定值；（3）①四邊形是正方形，，，，，為的