高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)尖子生輔導(dǎo)（填選壓軸）一．選擇題（共30小題）1．（2013?文昌模擬）如圖是f（x）=x3+bx2+cx+d的圖象，則x12+x22的值是（）ABCD．．．．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)的圖象與圖象變化．專題：計(jì)算題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合．分析：先利用圖象得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，求出其導(dǎo)函數(shù)，利用x1，x2是原函數(shù)的極值點(diǎn)，求出x1+x2=，，即可求得結(jié)論．解答：解：由圖得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，∴f'（x）=3x2﹣2x﹣2∵x1，x2是原函數(shù)的極值點(diǎn)所以有x1+x2=，，故x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=故選D．=．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用函數(shù)圖象找到對(duì)應(yīng)結(jié)論以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，屬于基礎(chǔ)題．2．（2013?樂山二模）定義方程f（x）=f′（x）的實(shí)數(shù)根x0叫做函數(shù)f（x）的“新駐點(diǎn)”，若函數(shù)g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新駐點(diǎn)”分別為α，β，γ，則α，β，γ的大小關(guān)系為（）A＞＞B＞＞C＞＞D＞＞αβγβαγγαββγα．．．．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．專題：壓軸題；新定義．分析：分別對(duì)g（x），h（x），φ（x）求導(dǎo)，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），則它們的根分別為α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分別討論β、γ的取值范圍即可．解答：解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2，由題意得：α=1，ln（β+1）=①∵ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，，∴（β+1）β+1=e，當(dāng)β≥1時(shí)，β+1≥2，∴β+1≤＜2，∴β＜1，這與β≥1矛盾，∴0＜β＜1；②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0時(shí)等式不成立，∴3γ2＞0∴γ3＞1，∴γ＞1．∴γ＞α＞β．故選C．點(diǎn)評(píng)：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式密不可分，此題就是一個(gè)典型的代表，其中對(duì)對(duì)數(shù)方程和三次方程根的范圍的討論是一個(gè)難點(diǎn)．3．（2013?山東）拋物線C1：的焦點(diǎn)與雙曲線C2：的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M．若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p=（）ABCD．．．．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；雙曲線的簡單性質(zhì)．專題：壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：由曲線方程求出拋物線與雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式寫出過兩個(gè)焦點(diǎn)的直線方程，求出函數(shù)在x取直線與拋物線交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，由其等于雙曲線漸近線的斜率得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)與p的關(guān)系，把M點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程即可求得p的值．解答：解：由，得x2=2py（p＞0），所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（）．由，得，．所以雙曲線的右焦點(diǎn)為（2，0）．則拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)的連線所在直線方程為，即①．設(shè)該直線交拋物線于M（），則C1在點(diǎn)M處的切線的斜率為．由題意可知，得，代入M點(diǎn)得M（）把M點(diǎn)代入①得：．解得p=．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，函數(shù)在曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率等于函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，是中檔題．4．（2013?安徽）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，則關(guān)于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為（）A3B4C5D6．．．．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．專題：壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：由函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有兩解且f（x）=x1或x2．再分別討論利用平移變換即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得個(gè)數(shù)．解答：解：∵函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△=4a2﹣12b＞0．解得=．∵x1＜x2，∴，．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，∴此方程有兩解且f（x）=x1或x2．不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．①把y=f（x）向下平移x1個(gè)單位即可得到y(tǒng)=f（x）﹣x1的圖象，∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有兩解．②把y=f（x）向下平移x2個(gè)單位即可得到y(tǒng)=f（x）﹣x2的圖象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．綜上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3個(gè)實(shí)數(shù)解．即關(guān)于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同實(shí)根．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)得單調(diào)性、極值及方程解得個(gè)數(shù)、平移變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法、推理能力、分類討論的思想方法、計(jì)算能力、分析問題和解決問題的能力．5．（2013?湖北）已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2）（）ABCD．．．．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．專題：壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：先求出f′（x），令f′（x）=0，由題意可得lnx=2ax﹣1有兩個(gè)解x1，x2?函數(shù)g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有兩個(gè)零點(diǎn)?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系即可得出．解答：解：∵=lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）=0，由題意可得lnx=2ax﹣1有兩個(gè)解x1，x2?函數(shù)g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有兩個(gè)零點(diǎn)?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．．①當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，f′（x）單調(diào)遞增，因此g（x）=f′（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，應(yīng)舍去．②當(dāng)a＞0時(shí)，令g′（x）=0，解得x=，∵x（x）單調(diào)遞減．，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g＞0，∴x=是函數(shù)g（x）的極大值點(diǎn)，則∴l(xiāng)n（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即＞0，即．∵，f′（x1）=lnx1+1﹣2ax1=0，f′（x2）=lnx2+1﹣2ax2=0．且f（x1）=x1（lnx1﹣ax1）=x1（2ax1﹣1﹣ax1）=x1（ax1﹣1）＜x1（﹣ax1）=＜0，f（x2）=x2（lnx2﹣ax2）=x2（ax2﹣1）＞=﹣．（）．故選D．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的方法是解題的關(guān)鍵．6．（2013?遼寧）設(shè)函數(shù)f（x）滿足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，則x＞0時(shí)，f（x）（）A有極大值，無極小值．B有極小值，無極大值．C既有極大值又有極小值．D既無極大值也無極小值．考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．專題：壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：先利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，確定f（x）的解析式，再構(gòu)造新函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論．解答：解：∵函數(shù)f（x）滿足，∴∴x＞0時(shí)，dx∴∴令g（x）=，則令g′（x）=0，則x=2，∴x∈（0，2）時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，x∈（2，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增∴g（x）在x=2時(shí)取得最小值∵f（2）=，∴g（2）=∴g（x）≥g（2）=0=0∴≥0即x＞0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增∴f（x）既無極大值也無極小值故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度較大．7．（2013?安徽）若函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1，x2，且f（x1）=x1，則關(guān)于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是（）A3B4C5D6．．．．考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．專題：綜合題；壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：求導(dǎo)數(shù)f′（x），由題意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的兩根，從而關(guān)于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有兩個(gè)根，作出草圖，由圖象可得答案．解答：解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的兩根，不妨設(shè)x2＞x1，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，則有兩個(gè)f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），如下示意圖象：如圖有三個(gè)交點(diǎn)，故選A．點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)零點(diǎn)的概念、以及對(duì)嵌套型函數(shù)的理解，考查數(shù)形結(jié)合思想．8．（2014??？诙＃┰O(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，有恒成立，則不等式x2f（x）＞0的解集是（）A（﹣（2，+∞），）∪B（﹣2，0）∪（0，2）C（﹣∞，﹣2）∪D（﹣∞，﹣2）∪（0，0．（2，+∞）．．2）2．考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性；其他不等式的解法．專題：綜合題；壓軸題．分析：首先根據(jù)商函數(shù)求導(dǎo)法則，把化為[]′＜0；然后利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，可判斷函數(shù)y=在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）內(nèi)的正負(fù)性；最后結(jié)合奇函數(shù)的圖象特征，可得f（x）在（﹣∞，0）內(nèi)的正負(fù)性．則x2f（x）＞0?f（x）＞0的解集即可求得．解答：解：因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，有恒成立，即[]′＜0恒成立，所以在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．因?yàn)閒（2）=0，所以在（0，2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（2，+∞）內(nèi)恒有f（x）＜0．又因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以在（﹣∞，﹣2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）內(nèi)恒有f（x）＜0．又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．所以答案為（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)法則及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，同時(shí)考查了奇偶函數(shù)的圖象特征．9．（2014?重慶三模）對(duì)于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）是f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f′′（x）=0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心．設(shè)函數(shù)g（x）==（），則g（）+A2011B2012C2013D2014．．．．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；函數(shù)的值；數(shù)列的求和．專題：壓軸題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析：正確求出對(duì)稱中心，利用對(duì)稱中心的性質(zhì)即可求出．解答：解：由題意，g′（x）=x2﹣x+3，∴g″（x）=2x﹣1，令g″（x）=0，解得，又，∴函數(shù)g（x）的對(duì)稱中心為．∴，，…∴g（）+=2012．故選B．點(diǎn)評(píng)：正確求出對(duì)稱中心并掌握對(duì)稱中心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2014?上海二模）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x1，x2，都有＞2恒成立，則a的取值范圍是（）A（0，1]．1+∞）B（，．C（0，1）．D．[1，+∞）考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：先將條件“對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x1，x2，都有＞2恒成立”轉(zhuǎn)換成當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）≥2恒成立，然后利用參變量分離的方法求出a的范圍即可．解答：解：對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x1，x2，都有則當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）≥2恒成立＞2恒成立f'（x）=+x≥2在（0，+∞）上恒成立則a≥（2x﹣x2）max=1故選D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)恒成立問題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．11．（2012?桂林模擬）已知在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A（﹣∞，1]．B．C．D（﹣∞，1）．[﹣1，4][﹣1，1]考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：要是一個(gè)分段函數(shù)在實(shí)數(shù)上是一個(gè)增函數(shù)，需要兩段都是增函數(shù)且兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)處要滿足遞增，當(dāng)x小于0時(shí)，要使的函數(shù)是一個(gè)減函數(shù)，求導(dǎo)以后導(dǎo)函數(shù)橫小于0，注意兩個(gè)端點(diǎn)處的大小關(guān)系．解答：解：∵要是一個(gè)分段函數(shù)在實(shí)數(shù)上是一個(gè)增函數(shù)．需要兩段都是增函數(shù)且兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)處要滿足遞增，當(dāng)x＜0時(shí)，y′=3x2﹣（a﹣1）＞0恒成立，∴a﹣1＜3x2∴a﹣1≤0∴a≤1，當(dāng)x=0時(shí)，a2﹣3a﹣4≤0∴﹣1≤a≤4，綜上可知﹣1≤a≤1故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，分段函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是在兩個(gè)函數(shù)的分界處，兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系一定要寫清楚．12．（2012?河北模擬）定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（2x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；②當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f（x）=1﹣（x﹣3）2，若函數(shù)f（x）的圖象上所有極大值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均落在同一條直線上，則c等于（）A1．B2．C或12．D．4或2考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；抽象函數(shù)及其應(yīng)用．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：由已知可得分段函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而求出三個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三點(diǎn)共線，則任取兩點(diǎn)確定的直線斜率相等，可以構(gòu)造關(guān)于c的方程，解方程可得答案．解答：解：∵當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f（x）=1﹣（x﹣3）2當(dāng)1≤x＜2時(shí)，2≤2x＜4，則f（x）=f（2x）=[1﹣（2x﹣3）2]此時(shí)當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)取極大值當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f（x）=1﹣（x﹣3）2此時(shí)當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取極大值1當(dāng)4＜x≤8時(shí)，2＜x≤4則f（x）=cf（x）=c（1﹣（x﹣3）2，此時(shí)當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)取極大值c∵函數(shù)的所有極大值點(diǎn)均落在同一條直線上，即點(diǎn)（，），（3，1），（6，c）共線，∴解得c=1或2．故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三點(diǎn)共線，函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知分析出分段函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而求出三個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)坐標(biāo)，是解答本題的關(guān)鍵．13．（2012?桂林模擬）設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=ex+a?e﹣x的導(dǎo)函數(shù)是f′（x），且f′（x）是奇函數(shù)．若曲線y=f（x）的一條切線的斜率是，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）Aln2B﹣ln2CD．．．．考點(diǎn)：簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．專題：壓軸題．分析：已知切線的斜率，要求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)必須先求出切線的方程，我們可從奇函數(shù)入手求出切線的方程．解答：解：對(duì)f（x）=ex+a?e﹣x求導(dǎo)得f′（x）=ex﹣ae﹣x又f′（x）是奇函數(shù)，故f′（0）=1﹣a=0解得a=1，故有f′（x）=ex﹣e﹣x，設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），則，得或（舍去），得x0=ln2．點(diǎn)評(píng)：熟悉奇函數(shù)的性質(zhì)是求解此題的關(guān)鍵，奇函數(shù)定義域若包含x=0，則一定過原點(diǎn)．14．（2012?太原模擬）已知定義在R上的函數(shù)y=f（x﹣1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，且x∈（﹣∞，0）時(shí)，f（x）+xf′（x）＜0成立，（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)），a=（30.3）f（30.3），b=（logπ3）．f（logπ3），則a，b，c的大小關(guān)系是（）A＞＞B＞＞C＞＞D＞＞abccbacabacb．．．．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：由“當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)不等式f（x）+xf′（x）＜0成立”知xf（x）是減函數(shù)，要得到a，b，c的大小關(guān)系，只要比較的大小即可．解答：解：∵當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)不等式f（x）+xf′（x）＜0成立即：（xf（x））′＜0，∴xf（x）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)．又∵函數(shù)y=f（x﹣1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，∴函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)∴xf（x）是定義在R上的偶函數(shù)∴xf（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．又∵=﹣2，2=．∴＞30.3?f（30.3）＞（logπ3）?f（logπ3）即＞30.3?f（30.3）＞（logπ3）?f（logπ3）即：c＞a＞b故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查的考點(diǎn)與方法有：1）所有的基本函數(shù)的奇偶性；2）抽象問題具體化的思想方法，構(gòu)造函數(shù)的思想；3）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：（uv）′=u′v+uv′；4）指對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象；5）奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性：奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相15．（2012?廣東模擬）已知f（x）為定義在（﹣∞，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，且f（x）＜f′（x）對(duì)于x∈R恒成立，且e為自然對(duì)數(shù)的底，則（）A．C．f（1）＞e?f（0），f（2012）＞e2012?f（0）f（1）＞e?f（0），f（2012）＜e2012?f（0）B．D．f（1）＜e?f（0），f（2012）＞e2012?f（0）f（1）＜e?f（0），f（2012）＜e2012?f（0）考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：構(gòu)造函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)形式，并判斷增減性，從而得到答案．解答：解：∵f（x）＜f'（x）從而f'（x）﹣f（x）＞0從而＞0即＞0，所以函數(shù)y=單調(diào)遞增，故當(dāng)x＞0時(shí)，=f（0），整理得出f（x）＞exf（0）當(dāng)x=1時(shí)f（1）＞e?f（0），當(dāng)x=2012時(shí)f（2012）＞e2012?f（0）．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化、構(gòu)造、計(jì)算能力．16．（2012?無為縣模擬）已知定義在R上的函數(shù)f（x）、g（x）滿足，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），，若有窮數(shù)列（n∈N*）的前n項(xiàng)和等于，則n等于（）A4B5C6D7．．．．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；數(shù)列的求和．專題：壓軸題．分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得到a的范圍，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可得出．解答：解：∵=，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），＜0，即函數(shù)單調(diào)遞減，∴0＜a＜∴=1．又，即，即，解得a=2（舍去）或．∴，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，∴==，由解得n=5，故選B．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式是解題的關(guān)鍵．17．（2012?福建）函數(shù)f（x）在[a，b]上有定義，若對(duì)任意x1，x2∈[a，b]，有則稱f（x）在[a，b]上具有性質(zhì)P．設(shè)f（x）在[1，3]上具有性質(zhì)P，現(xiàn)給出如下命題：①f（x）在[1，3]上的圖象是連續(xù)不斷的；②f（x2）在[1，]上具有性質(zhì)P；③若f（x）在x=2處取得最大值1，則f（x）=1，x∈[1，3]；④對(duì)任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]其中真命題的序號(hào)是（）A①②B①③C②④D③④．．．．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)的連續(xù)性．專題：壓軸題；新定義．分析：根據(jù)題設(shè)條件，分別舉出反例，說明①和②都是錯(cuò)誤的；同時(shí)證明③和④是正確的．解答：解：在①中，反例：f（x）=在[1，3]上滿足性質(zhì)P，但f（x）在[1，3]上不是連續(xù)函數(shù)，故①不成立；在②中，反例：f（x）=﹣x在[1，3]上滿足性質(zhì)P，但f（x2）=﹣x2在[1，]上不滿足性質(zhì)P，故②不成立；在③中：在[1，3]上，f（2）=f（）≤，∴，故f（x）=1，∴對(duì)任意的x1，x2∈[1，3]，f（x）=1，故③成立；在④中，對(duì)任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有=≤≤=[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，∴[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，故④成立．故選D．18．（2013?文昌模擬）設(shè)動(dòng)直線x=m與函數(shù)f（x）=x3，g（x）=lnx的圖象分別交于點(diǎn)M、N，則|MN|的最小值為（）ABCDln3﹣1．．．．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）﹣g（x），求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，求出函數(shù)的極小值即最小值．解答：解：畫圖可以看到|MN|就是兩條曲線間的垂直距離．設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣lnx，求導(dǎo)得：F'（x）=令F′（x）＞0得x＞．；令F′（x）＜0得0＜x＜，所以當(dāng)x=故選A時(shí)，F(xiàn)（x）有最小值為F（）=+ln3=（1+ln3），點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的最值時(shí)，先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值和區(qū)間的端點(diǎn)值，比較在它們中求出最值．19．（2011?棗莊二模）設(shè)f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，有下列命題：①存在函數(shù)f（x），使函數(shù)y=f（x）﹣f′（x）為偶函數(shù)；②存在函數(shù)f（x）f′（x）≠0，使y=f（x）與y=f′（x）的圖象相同；③存在函數(shù)f（x）f′（x）≠0使得y=f（x）與y=f′（x）的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱．其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A0B1C2D3．．．．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；函數(shù)奇偶性的判斷．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：對(duì)于三個(gè)命題分別尋找滿足條件的函數(shù)，三個(gè)函數(shù)分別是f（x）=0，f（x）=ex，f（x）=e﹣x，從而得到結(jié)論．解答：解：存在函數(shù)f（x）=0，使函數(shù)y=f（x）﹣f′（x）=0為偶函數(shù)，故①正確存在函數(shù)f（x）=ex，使y=f（x）與y=f′（x）的圖象相同，故②正確存在函數(shù)f（x）=e﹣x使得y=f（x）與y=f′（x）的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，故③正確．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱性，解題的關(guān)鍵就是尋找滿足條件的函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．20．（2011?武昌區(qū)模擬）已知f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，f（﹣4）=﹣1，f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象如圖所示．若兩正數(shù)a，b滿足f（a+2b）＜1，則的取值范圍是（）A．B．C（﹣1，10）．D（﹣∞，﹣1）．考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；斜率的計(jì)算公式．專題：計(jì)算題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合．分析：先由導(dǎo)函數(shù)f′（x）是過原點(diǎn)的二次函數(shù)入手，再結(jié)合f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)求出f（x）；然后根據(jù)a、b的約束條件畫出可行域，最后利用的幾何意義解決問題．解答：解：由f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象，設(shè)f′（x）=mx2，則f（x）=∵f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴f（0）=0，即n=0．+n．又f（﹣4）=m×（﹣64）=﹣1，∴f（x）=x3=．且f（a+2b）=＜1，∴＜1，即a+2b＜4．又a＞0，b＞0，則畫出點(diǎn)（b，a）的可行域如下圖所示．21．（2011?雅安三模）下列命題中：①函數(shù)，f（x）=sinx+（x∈（0，π））的最小值是2；②在△ABC中，若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰或直角三角形；③如果正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b＞c則+＞；④如果y=f（x）是可導(dǎo)函數(shù)，則f′（x0）=0是函數(shù)y=f（x）在x=x0處取到極值的必要不充分條件．其中正確的命題是（）A①②③④B①④C②③④D②③．．．．考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；不等關(guān)系與不等式；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．專題：常規(guī)題型；壓軸題．分析：根據(jù)基本不等式和三角函數(shù)的有界性可知真假，利用題設(shè)等式，根據(jù)和差化積公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A﹣B）=0，推斷出A+B=或A=B，則三角形形狀可判斷出．構(gòu)造函數(shù)y=，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可證得結(jié)論；由函數(shù)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，我們易判斷對(duì)錯(cuò)．解答：解：①f（x）=sinx+≥2，當(dāng)sinx=時(shí)取等號(hào)，而sinx的最大值是1，故不正確；②∵sin2A=sin2B∴sin2A﹣sin2B=cos（A+B）sin（A﹣B）=0∴cos（A+B）=0或sin（A﹣B）=0∴A+B=或A=B∴三角形為直角三角形或等腰三角形，故正確；③可構(gòu)造函數(shù)y=，該函數(shù)在（0．+∞）上單調(diào)遞增，a+b＞c則+＞，故正確；④∵f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)f′（x0）=0時(shí)，x0可能f（x）極值點(diǎn)，也可能不是f（x）極值點(diǎn)，當(dāng)x0為f（x）極值點(diǎn)時(shí)，f′（x0）=0一定成立，故f′（x0）=0是x0為f（x）極值點(diǎn)的必要不充分條件，故④正確；故選C．點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用基本不等式解題，注意等號(hào)成立的條件，同時(shí)考查了極值的有關(guān)問題，屬于綜合題．22．（2011?萬州區(qū)一模）已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m為常數(shù)）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[﹣2，2]上的最小值是（）A﹣37．B﹣29．C﹣5．D以上都不對(duì)．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題：常規(guī)題型；壓軸題．分析：先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)單調(diào)性研究函數(shù)的極值點(diǎn)，在開區(qū)間（﹣2，2）上只有一極大值則就是最大值，從而求出m，通過比較兩個(gè)端點(diǎn)﹣2和2的函數(shù)值的大小從而確定出最小值，得到結(jié)論．解答：解：∵f′（x）=6x2﹣12x=6x（x﹣2），∵f（x）在（﹣2，0）上為增函數(shù)，在（0，2）上為減函數(shù)，∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=m最大，∴m=3，從而f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5．∴最小值為﹣37．故選：A點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過23．（2010?河?xùn)|區(qū)一模）已知定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且f（2）=0，當(dāng)x＞0時(shí)有，則不等式x2?f（x）＞0的解集是（）A（﹣（2，+∞），）∪B（﹣∞，﹣2）∪（0，C（﹣2，0）∪（0，2）D（﹣2），2∪）202．．．．（2，+∞）考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：首先根據(jù)商函數(shù)求導(dǎo)法則，把化為[]′＜0；然后利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，可判斷函數(shù)y=在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）內(nèi)的正負(fù)性；最后結(jié)合奇函數(shù)的圖象特征，可得f（x）在（﹣∞，0）內(nèi)的正負(fù)性．則x2f（x）＞0?f（x）＞0的解集即可求得．解答：解：因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，有恒成立，即[]′＜0恒成立，所以在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．因?yàn)閒（2）=0，所以在（0，2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（2，+∞）內(nèi)恒有f（x）＜0．又因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以在（﹣∞，﹣2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）內(nèi)恒有f（x）＜0．又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．所以答案為（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)法則及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，同時(shí)考查了奇偶函數(shù)的圖象特征．24．（2010?惠州模擬）給出定義：若函數(shù)f（x）在D上可導(dǎo)，即f′（x）存在，且導(dǎo)函數(shù)f′（x）在D上也可導(dǎo)，則稱f（x）在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f″（x）=（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，則稱f（x）在D上為凸函數(shù)．以下四個(gè)函數(shù)在上不是凸函數(shù)的是（）A（）fx=sinx+cosx．B（）fx=lnx﹣2x．C．f（x）=﹣x3+2x﹣1D．f（x）=﹣xe﹣x考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：壓軸題．分析：對(duì)ABCD分別求二次導(dǎo)數(shù)，逐一排除可得答案．解答：解：對(duì)于f（x）=sinx+cosx，f′（x）=cosx﹣sinx，f″（x）=﹣sinx﹣cosx，當(dāng)x∈時(shí)，f″（x）＜0，故為凸函數(shù)，排除A；對(duì)于f（x）=lnx﹣2x，f′（x）=函數(shù)，排除B；，f″（x）=﹣，當(dāng)x∈時(shí)，f″（x）＜0，故為凸時(shí)，f″（x）＜0，對(duì)于f（x）=﹣x3+2x﹣1，f′（x）=﹣3x2+2，f″（x）=﹣6x，當(dāng)x∈25．（2010?黃岡模擬）已知f（x）為定義在（﹣∞，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，且f（x）＜f′（x）對(duì)于x∈R恒成立，則（）A．C．f（2）＞e2f（0），f（2010）＞e2010f（0）f（2）＞e2f（0），f（2010）＜e2010f（0）B．D．f（2）＜e2f（0），f（2010）＞e2010f（0）f（2）＜e2f（0），f（2010）＜e2010f（0）考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：壓軸題．分析：先轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)形式，再判斷增減性，從而得到答案．解答：解：∵f（x）＜f'（x）從而f'（x）﹣f（x）＞0從而＞0單調(diào)遞增，故x=2時(shí)函數(shù)的值大于x=0時(shí)函數(shù)的值，所以f（2）＞e2f（0）．從而即＞0從而函數(shù)y=同理f（2010）＞e2010f（0）；故選A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況之間的關(guān)系，即導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．26．（2010?龍巖二模）已知f（x）、g（x）都是定義在R上的函數(shù)，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，f（x）g（x）=ax，f（1）g（1）+f（﹣1）g（﹣1）=．在區(qū)間[﹣3，0]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，f（x）g（x）的值介于4到8之間的概率是（）ABCD．．．．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；幾何概型．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：根據(jù)函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)公式，可知函數(shù)f（x）g（x）在R上是減函數(shù)，根據(jù)f（x）g（x）=ax，f（1）g（1）+f（﹣1）g（﹣1）=．我們可以求出函數(shù)解析式，從而可求出f（x）g（x）的值介于4到8之間時(shí)，變量的范圍，利用幾何概型的概率公式即可求得．解答：解：由題意，∵f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，∴[f（x）g（x）]'＜0，∴函數(shù)f（x）g（x）在R上是減函數(shù)∵f（x）g（x）=ax，∴0＜a＜1∵f（1）g（1）+f（﹣1）g（﹣1）=．∴∴∵f（x）g（x）的值介于4到8∴x∈[﹣3，﹣2]∴在區(qū)間[﹣3，0]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，f（x）g（x）的值介于4到8之間的概率是故選A．點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，主要考查積的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，考查幾何概型，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的解析式，利用幾何概型求解．27．（2010?成都一模）已知函數(shù)在區(qū)間（1，2）內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．B．C（0，1]．D．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：壓軸題．分析：首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)增減性的關(guān)系求出m的范圍．解答：解：由題得f′（x）=x2﹣2mx﹣3m2=（x﹣3m）（x+m），∵函數(shù)在區(qū)間（1，2）內(nèi)是增函數(shù)，∴f′（x）＞0，當(dāng)m≥0時(shí)，3m≤1，∴0≤m≤，當(dāng)m＜0時(shí)，﹣m≤1，∴﹣1≤m＜0，∴m∈[﹣1，]．故選D．點(diǎn)評(píng)：掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系．28．（2009?安徽）設(shè)函數(shù)f（x）=x3+x2+tanθ，其中θ∈[0，]，則導(dǎo)數(shù)f′（1）的取值范圍是（）A．B．，C．，2]D．，2][﹣2，2][][[考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．專題：壓軸題．分析：利用基本求導(dǎo)公式先求出f′（x），然后令x=1，求出f′（1）的表達(dá)式，從而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域問題，求解即可．解答：解：∵f′（x）=sinθ?x2+cosθ?x，∴f′（1）=sinθ+cosθ=2sin（θ+）．∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]．∴sin（θ+）∈[，1]．∴2sin（θ+）∈[，2]．故選D．29．（2009?天津）設(shè)函數(shù)f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R內(nèi)恒成立的是（）Af（x）＞0．Bf（x）＜0．Cf（x）＞x．Df（x）＜x．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．專題：壓軸題．分析：對(duì)于這類參數(shù)取值問題，針對(duì)這些沒有固定套路解決的選擇題，最好的辦法就是排除法．解答：解：∵2f（x）+xf′（x）＞x2，令x=0，則f（x）＞0，故可排除B，D．如果f（x）=x2+0.1，時(shí)已知條件2f（x）+xf′（x）＞x2成立，但f（x）＞x未必成立，所以C也是錯(cuò)的，故選A故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)單調(diào)性的問題．通過分析解析式的特點(diǎn)，考查了分析問題和解決問題的能力．30．（2009?陜西）設(shè)曲線y=xn+1（n∈N*）在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則x1?x2?…?xn的值為（）ABCD1．．．．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；直線的斜率．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：欲判x1?x2?…?xn的值，只須求出切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．解答：解：對(duì)y=xn+1（n∈N*）求導(dǎo)得y′=（n+1）xn，令x=1得在點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率k=n+1，在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為y﹣1=k（xn﹣1）=（n+1）（xn﹣1），不妨設(shè)y=0，則x1?x2?x3…?xn=××故選B．，點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的斜率、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)尖子生輔導(dǎo)（解答題）一．解答題（共30小題）1．（2014?遵義二模）設(shè)函數(shù)f（x）=x2+aln（1+x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范圍，并討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：f（x2）＞．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；不等式的證明．專題：計(jì)算題；證明題；壓軸題．分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由題意知x1、x2是方程g（x）=0的兩個(gè)均大于﹣1的不相等的實(shí)根，建立不等關(guān)系解之即可，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間；（2）x2是方程g（x）=0的根，將a用x2表示，消去a得到關(guān)于x2的函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，即可證得不等式．解答：解：（I）令g（x）=2x2+2x+a，其對(duì)稱軸為．由題意知x1、x2是方程g（x）=0的兩個(gè)均大于﹣1的不相等的實(shí)根，其充要條件為，得（1）當(dāng)x∈（﹣1，x1）時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）內(nèi)為增函數(shù)；（2）當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）內(nèi)為減函數(shù)；（3）當(dāng)x∈（x2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）內(nèi)為增函數(shù)；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）設(shè)，則h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）（1）當(dāng)單調(diào)遞增；時(shí)，h'（x）＞0，∴h（x）在（2）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．∴故．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等有關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．2．（2014?武漢模擬）己知函數(shù)f（x）=x2e﹣x（Ⅰ）求f（x）的極小值和極大值；（Ⅱ）當(dāng)曲線y=f（x）的切線l的斜率為負(fù)數(shù)時(shí)，求l在x軸上截距的取值范圍．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：綜合題；壓軸題；轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出f′（x），利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及函數(shù)的極值點(diǎn)的定義，即可求出函數(shù)的極值；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到切線的斜率，得出切線的方程，利用方程求出與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值即可．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x2e﹣x，∴f′（x）=2xe﹣x﹣x2e﹣x=e﹣x（2x﹣x2），令f′（x）=0，解得x=0或x=2，令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，故函數(shù)在區(qū)間（﹣∞，0）與（2，+∞）上是減函數(shù)，在區(qū)間（0，2）上是增函數(shù)．∴x=0是極小值點(diǎn)，x=2極大值點(diǎn)，又f（0）=0，f（2）=．故f（x）的極小值和極大值分別為0，．（II）設(shè)切點(diǎn)為（則切線方程為y﹣），=（x﹣x0），令y=0，解得x==，因?yàn)榍€y=f（x）的切線l的斜率為負(fù)數(shù)，∴（＜0，∴x0＜0或x0＞2，令，則=．①當(dāng)x0＜0時(shí)，（x0）＜f（0）=0；0，即f′（x0）＞0，∴f（x0）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，∴f②當(dāng)x0＞2時(shí)，令f′（x0）=0，解得．當(dāng)時(shí)，f′（x0）＞0，函數(shù)f（x0）單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f′（x0）＜0，函數(shù)f（x0）單調(diào)遞減．故當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x0）取得極小值，也即最小值，且=．綜上可知：切線l在x軸上截距的取值范圍是（﹣∞，0）∪．點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、切線、函數(shù)的值域，綜合性強(qiáng)，考查了推理能力和計(jì)算能力．3．（2014?四川模擬）已知函數(shù)f（x）=lnx+x2．（Ⅰ）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3aexx∈[0，ln2]，求h（x）的極小值；（Ⅲ）設(shè)F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函數(shù)F（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．問：函數(shù)F（x）在點(diǎn)（x0，F(xiàn)（x0））處的切線能否平行于x軸？若能，求出該切線方程；若不能，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：計(jì)算題；壓軸題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析：（Ⅰ）先根據(jù)題意寫出：g（x）再求導(dǎo)數(shù)，由題意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即由此即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用換元法令t=ex，則t∈[1，2]，則h（t）=t3﹣3at，接下來利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的單調(diào)性，從而得出h（x）的極小值；（Ⅲ）對(duì)于能否問題，可先假設(shè)能，即設(shè)F（x）在（x0，F(xiàn)（x0））的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx﹣x2﹣kx結(jié)合題意，列出方程組，證得函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，最后出現(xiàn)矛盾，說明假設(shè)不成立，即切線不能否平行于x軸．解答：解：（Ⅰ）g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax，由題意知，g′（x）≥0，對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立，即又∵x＞0，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立∴，可得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令t=ex，則t∈[1，2]，則h（t）=t3﹣3at，由h′（t）=0，得或（舍去），∵，∴若∴當(dāng)，則h′（t）＜0，h（t）單調(diào)遞減；若時(shí)，h（t）取得極小值，極小值為，則h′（t）＞0，h（t）單調(diào)遞增（Ⅲ）設(shè)F（x）在（x0，F(xiàn)（x0））的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx﹣x2﹣kx結(jié)合題意，有①﹣②得所以，由④得所以設(shè)，⑤式變?yōu)樵O(shè)，所以函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，因此，y＜y|u=1=0，即，也就是此式與⑤矛盾所以F（x）在（x0，F(xiàn)（x0））的切線不能平行于x軸點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．本題主要考查用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于等于零；當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于等于零，根據(jù)解題要求選擇是否分離變量，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，同時(shí)考查了學(xué)生的靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力和計(jì)算能力．4．（2014?河西區(qū)三模）已知函數(shù)f（x）=且f′（x）≥0在R上恒成立．+cx+d（a，c，d∈R）滿足f（0）=0，f′（1）=0，（1）求a，c，d的值；（2）若，解不等式f′（x）+h（x）＜0；（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)g（x）=f′（x）﹣mx在區(qū)間[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；其他不等式的解法．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，由f（0）=0，f'（1）=0，且f'（x）≥0在R上恒成立列出三個(gè)方程，解出a、b、c（2）一元二次不等式解法，注意根之間比較，考查分類討論思想（3）考查二次函數(shù)最值問題，考查分類討論思想，對(duì)m進(jìn)行討論，看對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系．解答：解：（1）∵f（0）=0，∴d=0∴x+c及f'（1）=0，有∵f'（x）≥0在R上恒成立，即恒成立顯然a=0時(shí)，上式不能恒成立∴a≠0，函數(shù)f'（x）=a是二次函數(shù)由于對(duì)一切x∈R，都有f'（x）≥0，于是由二次函數(shù)的性質(zhì)可得即，即，解得：a=，．（2）∵．∴．∴由f'（x）+h（x）＜0，即即＜0，即當(dāng)時(shí)，解集為（，b），當(dāng)b＜時(shí)，解集為（b，），當(dāng)b=時(shí)，解集為?．（3）∵，∴f'（x）=∴．該函數(shù)圖象開口向上，且對(duì)稱軸為x=2m+1．假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使函數(shù)5．區(qū)間[m．m+2]上有最小值﹣①當(dāng)m＜﹣1時(shí)，2m+1＜m，函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，m+2]上是遞增的．∴g（m）=﹣5，即．∵．解得，∴舍去②當(dāng)﹣1≤m＜1時(shí)，m≤2m+1＜m+2，函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，2m+1]上是遞減的，而在區(qū)間[2m+1，m+2]上是遞增的，∴g（2m+1）=﹣5．即解得或m=﹣，均應(yīng)舍去③當(dāng)m≥1時(shí)，2m+1≥m+2，函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，m+2]上遞減的∴g（m+2）=﹣5即解得．或m=﹣1+2．其中m=﹣1﹣2應(yīng)舍去．綜上可得，當(dāng)m=﹣3或m=﹣1+2時(shí)，函數(shù)g（x）=f'（x）﹣mx在區(qū)間[m，m+2]上有最小值﹣5．5．（2014?天津三模）已知函數(shù)f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x．（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在上無零點(diǎn)，求a的最小值；（Ⅲ）若對(duì)任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范圍．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入到f（x）中求出f′（x），令f′（x）＞0求出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令f′（x）＜0求出x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間；（Ⅱ）f（x）＜0時(shí)不可能恒成立，所以要使函數(shù)在（0，）上無零點(diǎn)，只需要對(duì)x∈（0，）時(shí)f（x）＞0恒成立，列出不等式解出a大于一個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的增減性得到這個(gè)函數(shù)的最大值即可得到a的最小值；（Ⅲ）求出g′（x），根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出g（x）的值域，而當(dāng)a=2時(shí)不合題意；當(dāng)a≠2時(shí)，求出f′（x）=0時(shí)x的值，根據(jù)x∈（0，e]列出關(guān)于a的不等式得到①，并根據(jù)此時(shí)的x的值討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間得到②和③，令②中不等式的坐標(biāo)為一個(gè)函數(shù)，求出此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到此函數(shù)的最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，聯(lián)立①和④即可解出滿足題意a的取值范圍．解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x﹣1﹣2lnx，則f′（x）=1﹣，由f′（x）＞0，得x＞2；由f′（x）＜0，得0＜x＜2．故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2]，單調(diào)增區(qū)間為[2，+∞）；（Ⅱ）因?yàn)閒（x）＜0在區(qū)間上恒成立不可能，故要使函數(shù)上無零點(diǎn)，只要對(duì)任意的，f（x）＞0恒成立，即對(duì)恒成立．，令，則，再令則，故m（x）在上為減函數(shù)，于是，從而，l（x）＞0，于是l（x）在上為增函數(shù)，所以，故要使恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），綜上，若函數(shù)f（x）在上無零點(diǎn)，則a的最小值為2﹣4ln2；（Ⅲ）g′（x）=e1﹣x﹣xe1﹣x=（1﹣x）e1﹣x，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．又因?yàn)間（0）=0，g（1）=1，g（e）=e?e1﹣e＞0，所以，函數(shù)g（x）在（0，e]上的值域?yàn)椋?，1]．當(dāng)a=2時(shí)，不合題意；當(dāng)a≠2時(shí)，f′（x）=，x∈（0，e]當(dāng)x=時(shí)，f′（x）=0．由題意得，f（x）在（0，e]上不單調(diào)，故，即①此時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下：x（0，f′（x）﹣f（x））（+最小值↗，e]0↘又因?yàn)?，?dāng)x→0時(shí)，f（x）→+∞，，所以，對(duì)任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，當(dāng)且僅當(dāng)a滿足下列條件：即令h（a）=則h，，令h′（a）=0，得a=0或a=2，故當(dāng)a∈（﹣∞，0）時(shí)，h′（a）＞0，函數(shù)h（a）單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，h′（a）＜0，函數(shù)h（a）單調(diào)遞減．，有h（a）≤h（0）=0，恒成立．所以，對(duì)任意即②對(duì)任意由③式解得：．④綜合①④可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使f（xi）=g（x0）成立．6．（2014?孝感二模）已知函數(shù)f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈[1，2]，函數(shù)在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；（Ⅲ）求證：．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：壓軸題．分析：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟是①求導(dǎo)函數(shù)f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函數(shù)的增區(qū)間（或減區(qū)間），對(duì)于本題的（1）在求單調(diào)區(qū)間時(shí)要注意函數(shù)的定義域以及對(duì)參數(shù)a的討論情況；（2）點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，即切線斜率為1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)可知：，于是可求m的范圍．（3）是近年來高考考查的熱點(diǎn)問題，即與函數(shù)結(jié)合證明不等式問題，常用的解題思路是利用前面的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于函數(shù)取單調(diào)區(qū)間上的正整數(shù)自變量n有某些結(jié)論成立，進(jìn)而解答出這類不等式問題的解．解答：解：（Ⅰ）（2分）當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；當(dāng)a=0時(shí)，f（x）不是單調(diào)函數(shù)（4分）（Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）=﹣2∴由題意知：對(duì)于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a=﹣1此時(shí)f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴l(xiāng)nx＜x﹣1對(duì)一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n﹣1，∴∴點(diǎn)評(píng)：本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，已知函數(shù)曲線上一點(diǎn)求曲線的切線方程即對(duì)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查，考查求導(dǎo)公式的掌握情況．含參數(shù)的數(shù)學(xué)問題的處理，構(gòu)造函數(shù)求解證明不等式問題．7．（2014?涼州區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=plnx+（p﹣1）x2+1．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)P=1時(shí)，f（x）≤kx恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）證明：1n（n+1）＜1+…+（n∈N+）．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．專題：計(jì)算題；證明題；綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合；分類討論；轉(zhuǎn)化思想．分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)來討論函數(shù)的單調(diào)性即可，具體的步驟是：（1）確定f（x）的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．（2）當(dāng)P=1時(shí)，f（x）≤kx恒成立，分離參數(shù)等價(jià)于k≥，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)h（x）=的最大值即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）由（2）知，當(dāng)k=1時(shí)，有f（x）≤x，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜x，即lnx＜x﹣1，令x=，則得到，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后再相加，即可證得結(jié)論．解答：解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=，當(dāng)p≥1時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)p≤0時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)0＜p＜1時(shí)，令f′（x）=0，解得x=．則當(dāng)x時(shí)，f′（x）＞0；x時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）∵x＞0，∴當(dāng)p=1時(shí)，f（x）≤kx恒成立?1+lnx≤kx?k≥，令h（x）=，則k≥h（x）max，∵h(yuǎn)′（x）==0，得x=1，且當(dāng)x∈（0，1），h′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞），h′（x）＜0；所以h（x）在0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，所以h（x）max=h（1）=1，故k≥1．（3）由（2）知，當(dāng)k=1時(shí)，有f（x）≤x，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜x，即lnx＜x﹣1，∴令x=，則，即，∴l(xiāng)n2﹣ln1＜1，，相加得1n（n+1）＜1+…+．點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和等價(jià)變換思8．（2014?市中區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時(shí)，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；（3）當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，證明：．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題：計(jì)算題；綜合題；壓軸題．分析：（1）先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)可得到其導(dǎo)函數(shù)在[1，2]上小于等于0應(yīng)該恒成立，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得a的范圍．（2）先假設(shè)存在，然后對(duì)函數(shù)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，再對(duì)a的值分情況討論函數(shù)g（x）在（0，e]上的單調(diào)性和最小值取得，可知當(dāng)a=e2能夠保證當(dāng)x∈（0，e]時(shí)g（x）有最小值3．（3）令F（x）=e2x﹣lnx結(jié)合（2）中知F（x）的最小值為3，再令并求導(dǎo)，再由導(dǎo)函數(shù)在0＜x≤e大于等于0可判斷出函數(shù)?（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，從而可求得最大值也為3，即有成立，即成立．解答：解：（1）在[1，2]上恒成立，令h（x）=2x2+ax﹣1，有得，得（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，①當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，=（舍去），②當(dāng)∴時(shí)，g（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，a=e2，滿足條件．③當(dāng)時(shí)，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），綜上，存在實(shí)數(shù)a=e2，使得當(dāng)x∈（0，e]時(shí)g（x）有最小值3．（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F(xiàn)（x）min=3．令當(dāng)0＜x≤e時(shí)，?'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，，∴∴，即＞（x+1）lnx．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函9．（2014?河西區(qū)一模）已知函數(shù)g（x）=（1）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；，f（x）=g（x）﹣ax．（2）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；（3）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．專題：壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）根據(jù)解析式求出g（x）的定義域和g′（x），再求出臨界點(diǎn)，求出g′（x）＜0和g′（x）＞0對(duì)應(yīng)的解集，再表示成區(qū)間的形式，即所求的單調(diào)區(qū)間；（2）先求出f（x）的定義域和f′（x），把條件轉(zhuǎn)化為f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，再對(duì)f′（x）進(jìn)行配方，求出在x∈（1，+∞）的最大值，再令f′（x）max≤0求解；（3）先把條件等價(jià)于“當(dāng)x∈[e，e2]時(shí)，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（2）得f′（x）max把它代入進(jìn)行整理，再求f′（x）在[e，e2]上的最小值，結(jié)合（2）求出的a的范圍對(duì)a進(jìn)行討論：，分別求出f′（x）在[e，e2]上的單調(diào)性，再求出最小值或值域，代入不等式再與a，并和的范圍進(jìn)行比較．解答：（1）解：由得，x＞0且x≠1，則函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞），且g′（x）=，令g′（x）=0，即lnx﹣1=0，解得x=e，當(dāng)0＜x＜e且x≠1時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x＞e時(shí)，g′（x）＞0，∴函數(shù)g（x）的減區(qū)間是（0，1），（1，e），增區(qū)間是（e，+∞），（2）由題意得函數(shù)f（x）=在（1，+∞）上是減函數(shù)，∴f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，即當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）max≤0即可，又∵f′（x）=﹣a==，∴當(dāng)時(shí)，即x=e2時(shí)，，得，故a的最小值為．．∴（3）命題“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”等價(jià)于“當(dāng)x∈[e，e2]時(shí)，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（2）得，當(dāng)x∈[e，e2]時(shí)，，則，故問題等價(jià)于：“當(dāng)x∈[e，e2]時(shí)，有”，當(dāng)則當(dāng)時(shí)，由（2）得，f（x）在[e，e2]上為減函數(shù)，，故，時(shí)，由于f′（x）=在[e，e2]上為增函數(shù)，]．故f′（x）的值域?yàn)閇f′（e），f′（e2）]，即[﹣a，（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在[e，e2]恒成立，故f（x）在[e，e2]上為增函數(shù)，于是，，不合題意．（ii）若﹣a＜0，即0＜，由f′（x）的單調(diào)性和值域知，存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）=0，且滿足：當(dāng)x∈（e，x0）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當(dāng)x∈（x0，e2）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；所以，f（x）min=f（x0）=所以，a≥≤，x∈（e，e2），，與0＜矛盾，不合題意．綜上，得．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力和分析問題的能力．10．（2014?浙江）已知函數(shù)f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分別記為M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）設(shè)b∈R，若[f（x）+b]2≤4對(duì)x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范圍．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．專題：壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）利用分段函數(shù)，結(jié)合[﹣1，1]，分類討論，即可求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，則h（x）=，h′（x）=，則[f（x）+b]2≤4對(duì)x∈[﹣1，1]恒成立，轉(zhuǎn)化為﹣2≤h（x）≤2對(duì)x∈[﹣1，1]恒成立，分類討論，即可求3a+b的取值范圍．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x3+3|x﹣a|=，∴f′（x）=，①a≤﹣1時(shí)，∵﹣1≤x≤1，∴x≥a，f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)，∴M（a）=f（1）=4﹣3a，m（a）=f（﹣1）=﹣4﹣3a，∴M（a）﹣m（a）=8；②﹣1＜a＜1時(shí)，x∈（a，1），f（x）=x3+3x﹣3a，在（a，1）上是增函數(shù)；x∈（﹣1，a），f（x）=x3﹣3x+3a，在（﹣1，a）上是減函數(shù)，∴M（a）=max{f（1），f（﹣1）}，m（a）=f（a）=a3，∵f（1）﹣f（﹣1）=﹣6a+2，∴﹣1＜a≤時(shí)，M（a）﹣m（a）=﹣a3﹣3a+4；＜a＜1時(shí)，M（a）﹣m（a）=﹣a3+3a+2；③a≥1時(shí)，有x≤a，f（x）在（﹣1，1）上是減函數(shù)，∴M（a）=f（﹣1）=2+3a，m（a）=f（1）=﹣2+3a，∴M（a）﹣m（a）=4；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，則h（x）=∵[f（x）+b]2≤4對(duì)x∈[﹣1，1]恒成立，∴﹣2≤h（x）≤2對(duì)x∈[﹣1，1]恒成立，由（Ⅰ）知，，h′（x）=，①a≤﹣1時(shí)，h（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)，最大值h（1）=4﹣3a+b，最小值h（﹣1）=﹣4﹣3a+b，則﹣4﹣3a+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2矛盾；②﹣1＜a≤時(shí)，最小值h（a）=a3+b，最大值h（1）=4﹣3a+b，∴a3+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2，令t（a）=﹣2﹣a3+3a，則t′（a）=3﹣3a2＞0，t（a）在（0，）上是增函數(shù)，∴t（a）＞t（0）=﹣2，∴﹣2≤3a+b≤0；③＜a＜1時(shí)，最小值h（a）=a3+b，最大值h（﹣1）=3a+b+2，則a3+b≥﹣2且3a+b+2≤2，∴﹣＜3a+b≤0；④a≥1時(shí)，最大值h（﹣1）=3a+b+2，最小值h（1）=3a+b﹣2，則3a+b﹣2≥﹣2且3a+b+2≤2，∴3a+b=0．綜上，3a+b的取值范圍是﹣2≤3a+b≤0．點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，難度11．（2014?江西一模）已知函數(shù)f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值；，（a∈R）．（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x），求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范圍．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題：計(jì)算題；壓軸題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想．分析：（Ⅰ）先求出其導(dǎo)函數(shù)，讓其大于0求出增區(qū)間，小于0求出減區(qū)間即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)而求出函數(shù)f（x）的極值；（Ⅱ）先求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)函數(shù)，分情況討論讓其大于0求出增區(qū)間，小于0求出減區(qū)間即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）先把f（x0）＜g（x0）成立轉(zhuǎn)化為h（x0）＜0，即函數(shù)在[1，e]上的最小值小于零；再結(jié)合（Ⅱ）的結(jié)論分情況討論求出其最小值即可求出a的取值范圍．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），（1分）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x﹣lnx，，（2分）x（0，1）1（1，+∞）+f'（x）﹣f（x）0極?。?分）所以f（x）在x=1處取得極小值1．（4分）（Ⅱ），（6分）①當(dāng)a+1＞0時(shí)，即a＞﹣1時(shí)，在（0，1+a）上h'（x）＜0，在（1+a，+∞）上h'（x）＞0，所以h（x）在（0，1+a）上單調(diào)遞減，在（1+a，+∞）上單調(diào)遞增；（7分）②當(dāng)1+a≤0，即a≤﹣1時(shí)，在（0，+∞）上h'（x）＞0，所以，函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（8分）（III）在[1，e]上存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一點(diǎn)x0，使得h（x0）＜0，即函數(shù)在[1，e]上的最小值小于零．（9分）由（Ⅱ）可知①即1+a≥e，即a≥e﹣1時(shí)，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，所以h（x）的最小值為h（e），由可得，因?yàn)樗裕?；?0分）②當(dāng)1+a≤1，即a≤0時(shí)，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，所以h（x）最小值為h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜﹣2；（11分）③當(dāng)1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1時(shí)，可得h（x）最小值為h（1+a），因?yàn)?＜ln（1+a）＜1，所以，0＜aln（1+a）＜a故h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＞2此時(shí)，h（1+a）＜0不成立．（12分）綜上討論可得所求a的范圍是：或a＜﹣2．（13分）點(diǎn)評(píng)：本題第一問考查利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值．在利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值時(shí)，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號(hào)，若左正右負(fù)，原函數(shù)取極大值；若12．（2014?廣州模擬）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+2=0．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若對(duì)于區(qū)間[﹣2，2]上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求實(shí)數(shù)c的最小值；（3）若過點(diǎn)M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)解析式的求解及常用方法；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：綜合題；壓軸題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想．分析：（1）由題意，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何含義及切點(diǎn)的實(shí)質(zhì)建立a，b的方程，然后求解即可；（2）由題意，對(duì)于定義域內(nèi)任意自變量都使得|f（x1）﹣f（x2）|≤c，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在定義域下的最值即可得解；（3）由題意，若過點(diǎn)M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，等價(jià)與函數(shù)在切點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)值等于切線的斜率這一方程有3解．解答：解：（1）f'（x）=3ax2+2bx﹣3．（2分）根據(jù)題意，得即解得所以f（x）=x3﹣3x．（2）令f'（x）=0，即3x2﹣3=0．得x=±1．當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（﹣1，1）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間單調(diào)遞減因?yàn)閒（﹣1）=2，f（1）=﹣2，所以當(dāng)x∈[﹣2，2]時(shí)，f（x）max=2，f（x）min=﹣2．則對(duì)于區(qū)間[﹣2，2]上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|=4，所以c≥4．所以c的最小值為4．（3）因?yàn)辄c(diǎn)M（2，m）（m≠2）不在曲線y=f（x）上，所以可設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0）．則y0=x03﹣3x0．因?yàn)閒'（x0）=3x02﹣3，所以切線的斜率為3x02﹣3．則3x02﹣3=，即2x03﹣6x02+6+m=0．因?yàn)檫^點(diǎn)M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，所以方程2x03﹣6x02+6+m=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．所以函數(shù)g（x）=2x3﹣6x2+6+m有三個(gè)不同的零點(diǎn)．則g'（x）=6x2﹣12x．令g'（x）=0，則x=0或x=2．當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）在此區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）在此區(qū)間單調(diào)遞減；所以，函數(shù)g（x）在x=0處取極大值，在x=2處取極小值，有方程與函數(shù)的關(guān)系知要滿足題意必須滿足：，即，解得﹣6＜m＜2．點(diǎn)評(píng)：（1）此題重點(diǎn)考查了導(dǎo)數(shù)的幾何含義及函數(shù)切點(diǎn)的定義，還考查了數(shù)學(xué)中重要的方程的思想；（2）此題重點(diǎn)考查了數(shù)學(xué)中等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想把題意最總轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在定義域下的最值；（3）此題重點(diǎn)考查了數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的幾何含義，還考查了函數(shù)解的個(gè)數(shù)與相應(yīng)方程的解的個(gè)數(shù)的關(guān)系．13．（2014?南昌模擬）已知函數(shù)f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（1）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，對(duì)?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）當(dāng)x＞y＞e﹣1時(shí)，求證：．考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；函數(shù)恒成立問題．專題：綜合題；壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ），由此進(jìn)行分類討論，能求出函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（Ⅱ）由函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，知a=1，故實(shí)數(shù)b的取