關于測量不確定度評定第1頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第一章測量誤差與測量不確定度

的基本概念一、測量誤差誤差表示的則是一個值，它有正、負號（可能正，可能負），它是通過測量獲得的測量結果減去被測量真值的差。不確定度沒有符號，是一個區(qū)間，一般認為是對稱的。測量不確定度由多個分量組成。

其中一些分量由測量得到的一組數據，用統(tǒng)計分布方法評定，稱A類評定，以實驗標準偏差表示，另一些分量基于經驗或其他信息按假定的概率分布評定，稱B類評定，也以標準差表示。都是用估計的標準偏差。第2頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五二、測量不確定度

表述合理地賦予被測量之值的分散性，與測量結果相聯(lián)系的參數。

—是合理地賦予，是通過人為評定賦予的。它是對測量結果經所有認為是系統(tǒng)的影響修正之后，人們對該量認識不足或目前所能達到的認識水平的估計。誤差是可以通過各種已知的修正消除或減少，如果準確修正之后，誤差即為零，這時剩下的就只有測量不確定度。第3頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五三、測量結果

測量結果應理解為被測量的最佳估計值以及其測量不確定度。小結：誤差與不確定度是兩個完全不同而又有相互聯(lián)系的概念，不能誤用。對同一被測量用不同方法，不同儀器測量得到相同的測量結果誤差相同，但完全可以有不同的不確定度。同一被測量，重復測量多次，每一次的結果可以不同，但不確定度是一樣的。第4頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第一節(jié)測量誤差的基本概念絕對誤差測量誤差，有時又稱絕對誤差。是指由測量賦予的被測量的量值與被測量的真值的差。

相對誤差相對誤差是絕對誤差（測量誤差）除以被測量的真值。通常用百分數表示。第5頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第一節(jié)測量誤差的基本概念分貝誤差分貝誤差是相對誤差的另一種表示形式。根據分貝的定義D=20lgx可得：引用誤差引用誤差是測量儀器示值的絕對誤差與儀器的特定值的比值。特定值也稱引用值，通常指測量儀器的滿刻度值或標稱范圍的上限。第6頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第二節(jié)系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差在對同一量進行多次測量的過程中，對每個測量值的誤差保持恒定或可預知方式變化的測量誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差與測量次數無關，可分為常值系統(tǒng)誤差和變值系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的產生系統(tǒng)誤差來源于影響量，主要有：（1）裝置誤差（2）環(huán)境誤差（3）方法誤差（或理論誤差）（4）人員誤差第7頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五隨機誤差的概念在同一量的多次測量過程中，每個測得值的誤差以不可預知的方式變化，其整體服從于一定統(tǒng)計規(guī)律的測量誤差稱隨機誤差。隨機誤差是由尚未被認識和控制的規(guī)律或因素所導致的影響量的變化，引起被測量重復觀測值的變化，不能修正，也不能消除。只能根據其本身存在的某種統(tǒng)計規(guī)律用增加測量次數的方法加以限制和減小。第三節(jié)隨機誤差第8頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第三節(jié)隨機誤差隨機誤差的性質服從正態(tài)分布的隨機誤差具有下列統(tǒng)計規(guī)律：1.正態(tài)分布的一系列觀測結果，給定概率P的隨機誤差的絕對值不超出一定的范圍，即有界性。2.當測量次數足夠多時，絕對值相等的正誤差與負誤差出現的概率相等，即對稱性。3.當觀測次數無限增加時，所有誤差的代數和，誤差的算術平均值的極限趨于零，即抵償性。4.在一系列觀測值以他們的算術平均值為中心相對集中地分布，絕對值小的誤差出現的概率比絕對值大的誤差出現的概率大，即單峰性。第9頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第二章統(tǒng)計學基本知識

事件：必然事件、不可能事件、隨機事件必然事件：在一定條件下必然會發(fā)生的事件。不可能事件：在一定條件下不可能出現的事件。隨機事件：在一定條件下，可能出現也可能不出現的事件。第一節(jié)事件和隨機事件第10頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第二節(jié)隨機事件出現的頻率和概率

隨機事件的發(fā)生，具有一定的偶然性，也有一定的規(guī)律性，遵從一定的統(tǒng)計規(guī)律。一、隨機事件出現的頻率隨機事件出現的頻率定義為在有限次試驗中，隨機事件出現的百分比。例如：在一個N次重復試驗中，隨機事件A出現了nA次，則根據定義知：隨機事件A出現的頻率為第11頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五二、隨機事件出現的概率在一定條件下，隨機事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，則稱隨機事件發(fā)生可能性的大小為隨機事件出現的概率。必然事件：PA=1不可能事件：PA=0隨機事件：0<PA<1第二節(jié)隨機事件出現的頻率和概率第12頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第三節(jié)隨機變量及其概率密度分布函數

在一定條件下對某個量進行測量，一般來說，每次得到的測量結果是不相同的，即該被測量的量值在某一個區(qū)間內取值，因此，我們將該被測量的量值當作一個隨機變量來處理，在測量結果不確定度評定中，所研究的被測量都是隨機變量。一、隨機變量的概率密度分布函數要完整地了解一個隨機變量，必須知道它出現在某一個區(qū)間內的概率，即了解該隨機變量的概率密度分布。隨機變量在個可能值附近出現的概率與可能值之間的函數關系稱為隨機變量的概率密度分布函數。第13頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五xf(x)

下圖是概率密度函數曲線示意圖，縱坐標為概率密度，橫坐標為該隨機變量的取值。曲線下方與X軸所包含的面積為被測量出現在區(qū)間（，）內的概率：概率密度函數的性質：(1)概率密度分布函數是非負函數，即：f(x)0(2)概率密度函數從-到+的積分等于1，即第三節(jié)隨機變量及其概率密度分布函數第14頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五

隨機變量按其取值特征可分為連續(xù)型隨機變量和離散型隨機變量兩種類型。1.離散型隨機變量若隨機變量的取值可以離散地排列，只能取有限個值，并以各種確定的概率取這些不同的取值，稱這種隨機變量為離散型隨機變量。如：100個NIM電源中次品的數量。2.連續(xù)型隨機變量若隨機變量可以在某一區(qū)間內任意取值，而且其取值在任意一個小區(qū)間內的概率也是確定的，這樣的隨機變量就是連續(xù)型隨機變量。如：每個NIM電源的耐用時間。第四節(jié)連續(xù)型隨機變量和離散型

隨機變量第15頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第五節(jié)隨機變量的特征值隨機變量的概率密度分布隨機變量X的分布函數為F(x)=P(Xx)，如果存在一個非負可積函數f(x)，對任意的實數x，均有則稱X為連續(xù)型隨機變量，稱f(x)為X的概率密度函數。概率密度函數有：第16頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第五節(jié)隨機變量的特征值

一般地說，只要知道隨機變量的概率密度分布函數就可以完全確定一個隨機變量。概率密度分布函數往往需要大量的重復性試驗才有可能得到。在許多情況下，例如，在測量結果不確定度評定中，經常要用到隨機變量的特征值：數學期望、方差、標準偏差、協(xié)方差和相關系數等。一、隨機變量的數學期望1.隨機變量的數學期望隨機變量X的數學期望E(X)表示對該隨機變量進行無限次測量所得到的測量結果的平均值，簡稱為期望，也稱總體均值。第17頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五二、隨機變量的方差如果只用隨機變量的數學期望則不能充分地描述一個隨機變量的特性。如圖：abxf(x)第五節(jié)隨機變量的特征值a和b具有相同的數學期望，但每次測量結果相對于數學期望的分散程度卻不一樣。因此，我們用隨機變量的方差來表示測量結果相對于數學期望的平均離散程度。第18頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五

對于離散型隨機變量，第i個測量結果xi相對于數學期望的偏離為xi-

。由于是無限多次測量結果的平均值，在對稱分布的情況下：為此，將方差定義為偏離值的平方的均值。對于離散型隨機變量，方差為：對于連續(xù)型隨機變量，方差為：第五節(jié)隨機變量的特征值第19頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五三、隨機變量的數學期望的性質1.常數的數學期望等于該常數。E(c)=c2.隨機變量與常數之和的數學期望等于隨機變量的數學期望與該常數之和。E(x+c)=E(x)+c3.常數與隨機變量的乘積的數學期望等于該常數與隨機變量的數學期望的乘積。E(cx)=cE(x)4.兩個隨機變量之和的數學期望等于它們的數學期望之和，而與這兩個隨機變量之間獨立與否無關。E(x+y)=E(x)+E(y)5.兩個獨立的隨機變量的乘積的數學期望，等于它們的數學期望的乘積。E(xy)=E(x)E(y)第五節(jié)隨機變量的特征值第20頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五四、隨機變量的方差的性質1.D(x)=E(x2)-E2(x)；隨機變量的方差等于該隨機變量平方的數學期望于該隨機變量數學期望的平方之差。2.D(c)=0；即：常數的方差為0。3.D(x+c)=D(x)；常數與隨機變量之和的方差等于隨機變量的方差。4.D(cx)=c2D(x)；隨機變量與常數的乘積的方差等于該隨機變量的方差與常數的平方的乘積。5.D(x+y)=D(x)+D(y)；兩個獨立的隨機變量之和的方差等于它們各自的方差之和。6.D(x+y)=D(x)+D(y)+2(x,y)；任意兩個獨立的隨機變量之和的方差等于它們各自的方差與兩者協(xié)方差的2倍之和。7.D(xy)=D(x)D(y)+D(x)E2(y)+E2(x)D(y)第21頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五五、隨機變量的標準偏差由于方差的量綱與被測量具有不同的量綱，因此，常用方差的正平方根(x)來表示其平均離散程度，稱為標準偏差。也稱分布的標準偏差或單次測量結果的標準偏差。對于離散型隨機變量，其標準偏差為：而對于連續(xù)型隨機變量，其標準偏差為：第22頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五六、用于估計隨機變量特征值的估計量上述特征值是對應于無限多次測量結果的，而在實際工作中只可能進行有限次測量，因此，只能根據有限次測量結果來估計樣本總體的特征值，如總體均值，總體方差

2等。通常的樣本均值，樣本方差s2，則稱為其估計量。估計量本身也是一個隨機變量，它有許多可能值，從一個樣本只能得到該估計量的一個可能取值，當樣本改變時，所得到的估計量的值也會改變，因而不能期望估計量的取值正好等于它所估計的總體參數。但一個好的估計量，其平均地看來應該等于它所估計的總體參數。第23頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五

當所選擇的估計量的數學期望等于被估計的總體參數時，則稱該估計量為無偏估計量。（1）樣本均值是總體均值的無偏估計量。（2）方差卻不是總體方差的無偏估計量。只有方差才是總體方差的無偏估計量。（3）將樣本方差s2(x)的正平方根s(x)稱為實驗標準偏差，它是標準偏差的估計量，但不是無偏估計量。通常稱為貝塞爾公式。六、用于估計隨機變量特征值的估計量第24頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五1.協(xié)方差表示兩個隨機變量x和y之間關聯(lián)的程度的量，稱為協(xié)方差，用(x,y)表示。其定義為：

(1)當隨機變量x和y的變化方向趨于同向時，(x,y)>0；

(2)當隨機變量x和y的變化方向趨于反向時，(x,y)<0；

(3)當隨機變量x和y相互獨立無關時，(x,y)=0。七、協(xié)方差和相關系數第25頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五2.相關系數

雖然協(xié)方差可以表示隨機變量之間的相關性，但由于其量綱為兩個隨機變量的乘積，為了方便起見，定義相關系數：

協(xié)方差的樣本估計量為：相關系數的樣本估計量為：第26頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第六節(jié)幾種重要的分布(1)正態(tài)分布服從正態(tài)分布的連續(xù)隨機變量X，其概率密度函數為:將這種服從以x=為對稱軸的正態(tài)分布記為X~N(,2)，其中，為位置參數，為形狀參數。第27頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第六節(jié)幾種重要的分布(2)2分布設隨機變量X1、X2、…、Xn相互獨立，則稱隨機變量=X12+X22+…+Xn2服從自由度為n的2分布，記為2(n)。(3)t分布設隨機變量X~N(0,1)，Y~2(n)，且它們相互獨立，則稱隨機變量服從自由度為n的t分布，記為Tn~t(n)。第28頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第六節(jié)幾種重要的分布(4)F分布設隨機變量X~2(m)，Y~2(n)，且它們相互獨立，則稱隨機變量服從第一自由度為m，第二自由度為n的F分布，記為Fm,n~F(m,n)。第29頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第七節(jié)樣本和統(tǒng)計量基本概念在數理統(tǒng)計中，把研究對象的全體稱為總體，把組成總體的每個元素稱為個體。抽樣就是從總體x中隨機抽取一定數量的個體x1，x2，…，xn。稱這組個體為容量為n

的一個樣本。若x1，x2，…，xn相互獨立且每個分量xi與總體X具有相同的分布，則稱x1，x2，…，xn稱為簡單隨機樣本。統(tǒng)計量從總體中抽出樣本后，需要構造出關于樣本的不含任何未知數的連續(xù)函數(x1，x2，…，xn)，即統(tǒng)計量，去分析、估計和推斷總體的分布與數字特征。第30頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第七節(jié)樣本和統(tǒng)計量樣本均值和樣本方差及其分布對于樣本x1，x2，…，xn

，樣本均值樣本方差樣本均值的標準差樣本均值用作同一測量條件下的測量結果，樣本方差用作評價測量儀器的重復性或測量方法的精密度，樣本均值的標準差用作評價測量結果的重復性。第31頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第八節(jié)測量統(tǒng)計實例一、常見分布及其數字特征量（1）正態(tài)分布正態(tài)分布的概率密度函數為：

測量值落在以為中心的區(qū)間[-k,+k]內的概率P：式中，第32頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第八節(jié)測量統(tǒng)計實例表1正態(tài)分布對應的一些k值置信水平k3.303.02.582.01.961.6451.00.6745p0.9990.99730.990.9540.950.900.6830.50.0010.00270.010.04560.050.100.3170.5第33頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第八節(jié)測量統(tǒng)計實例服從正態(tài)分布的數學期望值和標準偏差分別為：（2）均勻分布若測量值落在某一范圍內的機會相等，則可認為測量值服從均勻分布。測量值x服從[a-,a+]上的均勻分布的概率密度函數為第34頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第八節(jié)測量統(tǒng)計實例(3)三角分布若測量值x分布的概率密度函數為=則稱測量值x服從三角分布。其數學期望和標準偏差分別為：第35頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第八節(jié)測量統(tǒng)計實例(4)反正弦分布若測量值x分布的概率密度函數為則稱x

在（-a，a)上服從反正弦分布。其數學期望和標準偏差分別為第36頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第八節(jié)測量統(tǒng)計實例二、數字特征量的估計在概率論中，稱E(X)為隨機變量X的一階原點矩，在數理統(tǒng)計中，稱樣本均值為X的一階樣本原點矩，即數學期望。用估計E(X)的方法稱為數學期望的矩估計法。是E(X)的一種最佳估計。通常用貝塞爾公式得到樣本方差。第37頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第八節(jié)測量統(tǒng)計實例極差法設x1*，x2*，…，xn*是測量總體的樣本順序統(tǒng)計量，則可以用該樣本的中位數來估計測量總體X的數學期望。

可以用R=xn*-

x1*，稱為樣本極差，作為對總體X的標準差的估計。當總體X~N(,2)時，標準差的估計可取：

=xk*第38頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第三章數據處理方法

在數據處理工作中，常見的數據處理問題主要包括：異常值的判定和剔出、數據位數與數據修約、最小二乘法和回歸統(tǒng)計與數據擬何等。第一節(jié)異常值的判定和剔出統(tǒng)計方法的基本思想

給定一個顯著水平，按照一定分布確定一個臨界值，凡超過這個界限的誤差，就認為它不屬于隨機誤差的范疇，而是粗大誤差，應予以剔出。第39頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第一節(jié)異常值的判定和剔出3準則

3準則稱為拉依達準則，當測量次數充分大時，用貝塞爾公式計算標準偏差s代替，用均值代替真值，如果某個數據的殘差滿足：則應剔出該數據xd。當n10時，不能用3準則。第40頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第一節(jié)異常值的判定和剔出Grubbs準則設有正態(tài)獨立測量的一個樣本x1，x2，…，xn

，對其中一個可疑數據xd構造統(tǒng)計量，選定顯著性水平—即犯棄真錯誤的概率，通常取0.05或0.01，按如下公式求得臨界值G(，n)：（可查表得到）

如果，則數據xd含有粗差，應予以剔出，否則，應予保留。第41頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第一節(jié)異常值的判定和剔出Dixon準則設正態(tài)測量總體的一個樣本x1，x2，…，xn，按從小到大的順序排列為x1’，x2’，…，xn’

，構造高端異常值xn’和低端異常值x1’的統(tǒng)計量：n=3~7n=8~10與與與與n=11~13n=14~30第42頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第一節(jié)異常值的判定和剔出

將以上統(tǒng)計量簡記為rij和r’ij，如果滿足則判斷為xn’異常值；則判斷x1’

為異常值；否則，認為沒有異常值。D(,n)為Dixon臨界值。可查表得到。第43頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第二節(jié)數字位數與數據修約

測量結果是指經測量合理賦予被測量的量值。在表示測量結果時，一般包含最佳估計值和測不準兩部分，前者為結果部分，后者為不確定度部分。如果數字位數太多，可能使人誤認為測量準確度很高，位數太少又會損失測量準確度。因此數據修約在測量結果表達中十分重要。一、結果部分的數字位數與數據修約（1）數據保留位數規(guī)則—由測量誤差決定，最多可多取1位有效數字。（2）數字舍入規(guī)則—四舍六入五取雙。（3）數據運算規(guī)則。第44頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第二節(jié)數字位數與數據修約二、不確定度部分的數字位數與數據修約（一）數字位數由于不確定度部分的數字本身是測不準的數字，保留過多的位數是沒有價值的，故一般取1到2位有效數字。（二）數據修約不確定度部分的數字修約可采取比較簡便的方法，即按1/3法則進行，當取自整數位時，小于1/3的小數可舍棄，大于1/3的小數進1。第45頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第三節(jié)權與加權數據處理

在實際測量中，經常會遇到不同實驗室、不同儀器、不同測量方法或不同時期對同一測量對象所進行的測量，或者在相同測量條件下幾組不同測量次數所得到的測量結果的綜合評定等。對這些測量數據如何綜合求得最信賴的測量結果，并估計該結果的標準差？一、權與加權算術平均值權是用于表示一個數據在一組數據中占有的相對可信賴程度的數字指標。加在某個數據上的權越大，則說明該數據所占的比重越重，可信賴程度越高。第46頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第三節(jié)權與加權數據處理二、權的確定設一組數據x1,x2,…,xn的標準偏差分別為：s1,s2,…,sn

取，則由此得到各數據的單位化權：三、加權算術平均值的標準偏差第47頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第三節(jié)權與加權數據處理例：有兩組數據第一組數據：第二組數據：試計算其平均值及平均值的標準偏差。由已知條件可得：，取，則，第48頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第四章方差合成定理

和不確定度評定步驟(1)若一個隨機變量是多個獨立的隨機變量之和，則該隨機變量的方差等于各分量的方差之和。即隨機變量Y和各輸入量Xi(i=1,2,…,n)之間滿足：y=x1+x2+…+xn

則：D(y)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)

根據標準不確定度的定義，方差即標準不確定度的平方，故有：

u2(y)=u2(x1)+u2(x2)+…+u2(xn)第一節(jié)方差合成定理第49頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五(2)若被測量滿足更一般的關系：y=c1x1+c2x2+…+cnxn

則：D(y)=c12D(x1)+c22D(x2)+…+cn2D(xn)

即uc2(y)=u2(c1x1)+u2(c2x2)+…+u2(cnxn)=c12u2(x1)+c22u2(x2)+…+cn2u2(xn)=u12(y)+u22(y)+…+un2(y)

稱ui(y)=ciu(xi)為不確定度分量。上述關系式，即方差合成定理，它是測量不確定度評定的基礎。根據方差合成定理，要得到合成方差，首先必須求得各分量的方差，同時還要考慮各分量之間的相關性，否則還要加入協(xié)方差項和高階項。第50頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第二節(jié)測量不確定度評定步驟一、不確定度評定的主要步驟當被測量確定以后，測量結果不確定度與測量方法有關，這里的測量方法包括測量原理、測量儀器、測量條件、測量程序及數據處理程序等。測量方法確定后，測量結果不確定度評定步驟主要有：

1.找出所有影響測量結果不確定度的影響量，即不確定度來源。

2.建立滿足測量結果不確定度評定所需的數學模型，即被測量與所有各影響量之間的函數關系。

3.確定各輸入量的估計值以及對應于各輸入量估計值的標準不確定度。第51頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五4.確定對應于各輸入量的標準不確定度分量。

5.列出不確定度分量的匯總表。

6.將各標準不確定度分量合成得到合成標準不確定度。

7.確定被測量可能值分布的包含因子

8.確定擴展不確定度

9.給出測量結果不確定度報告。二、不確定度評定應注意的問題在分析測量結果不確定度來源時，既不能遺漏、也不要重復，尤其是對測量結果不確定度影響比較大的主要分量。在進行測量結果不確定度評定時，從方法上可以采用A、B兩種評定方法，但不要誤認為測量結果不確定度有A、B兩種分量。第52頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第五章測量不確定度來源和數學模型被測量的定義不完整復現被測量的測量方法不理想取樣的代表性不夠，即被測樣本不能完全代表所定義的被測量對測量過程受環(huán)境影響的認識不充分，或對環(huán)境參數的測量與控制不完善有些模擬式儀表讀數存在人為的偏移測量儀器的計量性能存在局限性測量標準或標準物質本身的不確定度引用的數據或其它參數具有不確定度測量方法和測量程序的近似和假設在相同條件下被測量在重復觀測中變化第一節(jié)測量不確定度來源第53頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五一、測量模型化建立數學模型也稱測量模型化，目的是要建立滿足測量不確定度評定要求的數學模型，即被測量Y與所有各輸入量Xi（i=1，2，…，n）之間的函數關系。一般形式可寫為：若被測量Y的估計值為y，輸入量Xi的估計值為xi，則例如，被測量長方體的體積V與輸入量長方體的長a、寬b、高h之間的函數關系為：第二節(jié)建立數學模型第54頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五二、對數學模型的要求數學模型應包含全部的對測量結果不確定度有顯著影響的影響量，包括修正值和修正因子，它既能用來計算測量結果，又能用來全面地評定測量結果的不確定度。（1）數學模型應包含對測量結果不確定度有顯著影響的全部輸入量，即不遺漏任何對測量結果有顯著影響的不確定度分量。（2）不重復計算任何一項對測量結果有顯著影響的不確定度分量。（3）當選取的輸入量不同時，有時數學模型可以寫成不同的表達形式，各輸入量之間的相關性也可能不同。第55頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第三節(jié)各輸入量標準不確定度評定一、評定方法分類：（1）A類評定

A類評定是通過對一組測量數列進行統(tǒng)計分析，以實驗標準差si表示。（2）B類評定

B類評定不屬于A類評定之外的其它評定是均為B類評定，它也與相應的標準差ui表示。在測量不確定度評定中不必過分強調某一分量屬于A類，或者B類評定方法，因最后合成是一樣的，也不必分別合成。第56頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五二、標準不確定度的A類評定（1）貝塞爾法在重復性條件下對被測量X做幾次獨立重復測量，得到的結果為xi，則X

的最佳估計值為算術平均值:單次測量結果xi的標準不確定度為：其平均值的實驗標準不確定度為：在采用貝塞爾公式計算時要求n10(JJF1033-2001)。第57頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五（2）極差法在重復性條件下，對被測量進行n次獨立觀測，其觀測值的最大值與最小值之差R稱為極差，在可以估計被測量接近正態(tài)分布的前提下，單次測量結果xi的實驗標準差s(xi)可按下式近似評定：其中系數dn及自由度ν如下表：n23456789dn1.131.642.062.332.532.702.852.97ν0.91.82.73.64.59.36.06.8一般在測量次數較少時采用極差法。第58頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五（3）最大殘差法n2345678910cn1.771.020.830.740.680.640.610.590.57最大殘差法估計系數：（4）較差法當被測量隨時間變化時采用。第59頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五（5）合并樣本標準偏差，sp

合并樣本標準差，也稱為組合實驗標準差。對同一被測量x進行m組測量，每組有n次獨立重復測量，則合并樣本差為：例如：同時有m個類似的量需要測量，而且其測量不確定度相近，即使每一個量測量次數不多，但總體m較大，同樣可以得到較可靠的標準不確定度。第60頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五（6）最小二乘法當被測量X的估計值是由實驗數據通過最小二乘法擬合的直線或曲線得到時，則任意預期的估計值，或擬合曲線參數的標準不確定度均可利用已知的統(tǒng)計程序計算得到。若尋求兩個物理量X和Y之間的關系，且估計值x和y之間有線性關系y=a+bx，對x和y獨立測得n組數據，其結果為(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)；若u(x)可忽略不計，則可采用最小二乘法求得參數a，b，u(a)，u(b)。由于測得的yi存在誤差，于是y=a+bx的誤差方程可寫作：第61頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五將各等式兩邊平方后相加，可得殘差的平方和為：為使達到最小值，必須使上式對a和b的偏導數同時為0。即：第62頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五可解得：第63頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五三、測量結果不確定度B類評定方法1、主要信息來源（1）以前的觀測數據；（2）對有關技術資料和測量儀器性能的了解和經驗；（3）生產部門提供的技術文件，產品說明書；（4）校準證書、檢定證書或其他文件提供的數據，準確度等級或誤差限等；（5）手冊或某些資料或參考文獻給出的參考數據及其不確定度；（各種核數據）（6）規(guī)定實驗方法的國家標準或類似文件中給出的重復性限或復現性限。第64頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五2、信息來源于檢定證書或校準證書檢定證書或校準證書通常均給出測量結果的擴展不確定度，其表示方法通常有：（1）給出被測量的擴展不確定度U和包含因子k

可以根據擴展不確定度與標準不確定度之間的關系，直接得到被測量x的標準不確定度。（2）給出被測量的擴展不確定度及相應的置信概率此時，包含因子則與被測量的分布有關，若證書已指明被測量的分布，則按相應的分布計算包含因子，若證書未給出其分布，則根據國家計量技術規(guī)范JJF1059-1999，一般可按正態(tài)分布來考慮。第65頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五3、信息來源于其他各種資料或手冊在這種情況下得到的信息是被測量分布的極限范圍，也就可以得到輸入量可能值分布區(qū)間的半寬度a，即允許誤差限的絕對值。輸入量的標準不確定度可以表示為：根據輸入量的分布情況確定包含因子。分布類型

反正弦分布矩形分布（均勻分布）梯形分布,β=0.71梯形分布三角分布正態(tài)分布23第66頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五4、不同分布的包含因子計算舉例（1）矩形分布（均勻分布）數學期望為，分布區(qū)間半寬度為a的矩形分布，其概率密度函數為：方差為：則：第67頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五4、不同分布的包含因子計算舉例（2）梯形分布

對于梯形分布，若其上底與下底之比為，a和b分別為下底和上底的半寬度。設梯形的高為h，則由梯形的面積S=(2a+2b)*h/2=1可得：故其概率密度函數為：第68頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五4、不同分布的包含因子計算舉例方差為：因此，三角分布實際上是梯形分布的一種特殊情況，即b=0，因此，三角分布的包含因子。第69頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五

如果不確定度的分布情況沒有任何信息時，較合理的估計是將其近似看作矩形分布。（1）如果能確定分布，選對應的包含因子；（2）無信息，近似看作矩形分布，；（3）已知平均值附近概率大于兩端，；（4）已知平均值附近概率小于兩端，；（5）正態(tài)分布包含因子最大，；第70頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第四節(jié)關于測量不確定度的

A類評定和B類評定一、兩種評定方法的主要差別（1）A類評定首先由實驗測量得到被測量的觀測值序列，并根據需要由觀測值序列計算單次測量結果或其平均值的標準偏差；而B類評定則是通過其他信息進行評估，不存在重復觀測序列。（2）A類評定一般先計算觀測值序列的方差，然后得到實驗標準偏差；而B類評定一般根據極限值和被測量的分布信息直接估計標準偏差，或由檢定證書、校準證書提供的擴展不確定度導出標準不確定度。第71頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五（3）A類評定的自由度可以由測量次數、被測量的個數及其他約束條件的個數計算得到，而B類評定的自由度無法直接計算得到，只能根據對B類評定的標準不確定度的準確程度進行估計得到。（4）無論采用哪種方法進行評定，都是用標準偏差來表示標準不確定度，在得到合成標準不確定度時，其合成方法相同，兩種方法得到的不確定度并無本質的差別。這兩種評定方法僅僅是在對測量結果不確定度進行評定是在方法上的分類，而不是說測量結果不確定度可以分為A類和B類不確定度。第72頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第五節(jié)兩類評定的可靠性

無論是用A類評定還是用B類評定得到的標準不確定度，本質上都是用標準差這個分散性參數來度量的。因此，評定標準不確定度的可靠程度都可以通過用估計標準差的相對分散性，即標準差的相對標準差來衡量。一、自由度和有效自由度1.樣本中所含獨立變量的個數，稱為該樣本的自由度，用表示。2.按標準偏差估計相對誤差來定義的自由度稱為有效自由度，用eff表示。第73頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第五節(jié)兩類評定的可靠性二、合成標準不確定度的自由度若統(tǒng)計量，各Yi獨立且正態(tài)分布，Ci為常數，則：式中，uc(Z)，u(Yi)分別為合成標準不確定度和各分量的標準不確定度，(Yi)為分量Yi的自由度。第74頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第五節(jié)兩類評定的可靠性三、確定自由度的幾種常見情形（1）A類評定一個輸入量測量次數1234567891015貝塞爾法12345678914極差法0.91.82.73.64.55.36.06.87.510.5

（2）線性組合測量

n個線性測量方程，待求t個未知量，按最小二乘法求得最佳估計值的標準不確定度的自由度為=n-t。

（3）B類評定第75頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第六節(jié)靈敏系數和不確定度分量根據各輸入量的標準不確定度u(xi)，及由數學模型或實際測量得到的靈敏系數ci可以得到對應于各輸入量的標準不確定度分量ui(y)：靈敏系數ci可以由數學模型對輸入量xi求偏導可得：當靈敏系數ci不能由數學模型對輸入量xi求偏導得到，也可以用實驗測量得到，在數值上它等于輸入量xi變化1個單位時，被測量y的變化量。第76頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第六章合成標準不確定度一、標準形式的線性模型

此時，數學模型中僅包含各輸入量的一階項，根據方差合成定理，在各輸入量相互獨立或它們之間的相關性可以忽略是，被測量y的合成方差為：第一節(jié)線性模型的合成標準不確定度第77頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五二、另一形式的線性數學模型即獨立變量的乘積，則：對上式作數學變換，令z=ln(y)，wi=ln(xi)，則

若pi的不確定度可以忽略，且各輸入量相對獨立，則y的相對合成偏差為：第一節(jié)線性模型的合成標準不確定度第78頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五例如：長方體和圓柱體的體積（1）通過測量長方體的長寬高計算立方體的體積：數學模型：根據前面推導的數學公式可得：（2）通過測量圓柱體的直徑和高計算圓柱體的體積：數學模型：根據前面推導的數學公式可得：第79頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五其中，第二節(jié)輸入量相關時的合成標準不確定度協(xié)方差相關系數一、一般形式第80頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第二節(jié)輸入量相關時的合成標準不確定度假定有數學模型若輸入量之間無相關性時：若考慮輸入量之間的相關性時：二、測量不確定度評定中相關性的處理第81頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第八章自由度和擴展不確定度

在不確定度評定中規(guī)定，標準不確定度用標準偏差來表示。但實際上只能進行有限次測量，只能用樣本參數作為總體參數的估計值，即只能用有限次測量的實驗標準差s作為無限次測量的標準偏差的估計值。這必然會引入誤差，因此在不確定度評定中僅給出標準不確定度還不夠，還應給出能表示其準確程度的參數，即自由度。第一節(jié)自由度的定義及其含義一、自由度的定義在方差計算中，和的項數減去對和的限制數。（JJF1001-1998《通用計量術語及定義》第82頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第一節(jié)自由度的定義及其含義

如在重復性條件下對被測量X進行了n次測量，得到測量結果x1，x2，…，xn。我們可以根據得到n次測量結果的平均值和樣本方差。而由于殘差，而由于全部n個殘差之和為零。即因此，根據定義，自由度應為：假如我們只測量一次，這個測量結果就是被測量的最佳估計值，其自由度為1-1=0，即無法選取別的值作為最佳估計值。第83頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第一節(jié)自由度的定義及其含義二、自由度的含義當采用不確定度的A類評定時，自由度與標準不確定度的標準不確定度之間的關系為：可見，自由度與標準不確定度的相對標準不確定度有關，自由度越大，則得到的標準不確定度越可靠。第84頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第二節(jié)A類評定不確定度的自由度（1）用貝塞爾公式計算實驗標準偏差時，若測量次數為n，則自由度為=n-1；（2）當同時測量t個被測量時，自由度=n-t；（3）當t個被測量之間另有m個約束條件時，自由度=n-t+m；（4）對于n次測量結果，采用極差法估計實驗標準偏差時，其自由度比貝塞爾法的自由度小。如下表：n234567891015200.91.82.73.64.55.36.06.87.510.513.1第85頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第三節(jié)B類評定不確定度的自由度B類評定的標準不確定度并不是由實驗測量得到的，只能根據公式：估計出B類評定的標準不確定度的自由度。例如，若用B類評定得到某被測量X的標準不確定度為u(x)，并且估計u(x)的相對標準不確定度為10%，則根據公式可以得到其自由度為：第86頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第四節(jié)合成標準不確定度的有效自由度合成標準不確定度的自由度稱為有效自由度，eff。當uc2(y)是由兩個或以上的方差分量合成的，即滿足：

時，且被測量Y接近于正態(tài)分布時，其合成標準不確定度的自由度可由下式計算：當被測量Y接近于正態(tài)分布時，其包含因子k可由指定的置信概率p和有效自由度通過查t分布臨界值表得到，取kp=tp(eff)。第87頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五t分布在不同置信概率p和自由度時的tp()值自由度置信概率p(%)68.27959999.7351.112.574.035.5161.092.453.714.9071.082.363.504.53101.052.233.173.96121.042.183.053.76501.012.012.683.16第88頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五例：有效自由度的應用isiuii11.051.00.221.0101.00.131.441.960.9642.0164.01.052.014.016.011.9618.26某測量結果有彼此無關的A類和B類不確定度分量，如下表，試求p=0.95時的擴展不確定度。第89頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五有效自由度的應用（1）首先計算合成標準不確定度：（2）計算有效自由度：（3）按p=0.95查t分布表可得：（4）計算擴展不確定度：第90頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五第五節(jié)擴展不確定度

前面所闡述的是各輸入量的標準不確定度的分析方法以及合成標準不確定度，通常用擴展不確定度來表示測量結果的分散性的大小，關鍵是確定其包含因子。當k是通過置信概率p估計得到時，擴展不確定度用UP表示。

1、被測量接近正態(tài)分布，用U=kuc表示，并給出k值和有效自由度。

2、

被測量為非正態(tài)分布，并且無法判斷其分布，用U=kuc表示，同時給出k值，大多取k=2。

3、被測量接近某種其他非正態(tài)分布，用Up表示擴展不確定度，指明被測量的分布，并給出置信概率p和k值。第91頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五一、被測量Y可能值的分布被測量Y的分布是由所有各輸入量Xi的影響綜合而成的，因此它與數學模型以及各分量的大小及其輸入量的分布有關。對于不同的被測量，輸入量以及數學模型各不相同，因此要給出一個確定被測量Y分布的通用模式幾乎不可能，一般只能根據具體情況來判斷被測量Y可能接近何種分布。二、被測量Y可能值的分布的判定中心極限定理：如果一個隨機變量是大量相互獨立的隨機變量之和，則不論這些隨機變量具有何種類型的分布，該隨機變量的分布近似于正態(tài)分布。隨著獨立隨機變量個數的增加，它們的和就越接近于正態(tài)分布。當這些隨機變量的大小相互越接近，所需的獨立隨機變量的個數就越少。第92頁，共101頁，2022年，5月20日，6點6分，星期五三、當無法確定被測量Y的分布時當無法確定被測量的分布時，一般