6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析6.4

市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型6.5減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)6.6按年齡分組的人口模型第六章代數(shù)方程與差分方程模型6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析第六章代數(shù)方程與6.3

原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析1945年7月16日美國科學(xué)家在新墨西哥州的沙漠試爆了全球第一顆原子彈,震驚世界!當(dāng)時(shí)資料是保密的,無法準(zhǔn)確估計(jì)爆炸的威力.英國物理學(xué)家泰勒研究了兩年后美國公開的錄像帶,利用數(shù)學(xué)模型估計(jì)這次爆炸釋放的能量為19.2×103t.

后來公布爆炸實(shí)際釋放的能量為21×103t

6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析1945年7月16日t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.50.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.00.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.00.5228.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.00.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0泰勒測(cè)量：時(shí)刻t

所對(duì)應(yīng)的“蘑菇云”的半徑r原子彈爆炸的能量估計(jì)爆炸產(chǎn)生的沖擊波以爆炸點(diǎn)為中心呈球面向四周傳播,爆炸的能量越大，在一定時(shí)刻沖擊波傳播得越遠(yuǎn).沖擊波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出來.泰勒用量綱分析方法建立數(shù)學(xué)模型,輔以小型試驗(yàn),又利用測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)爆炸的能量進(jìn)行估計(jì).t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(m物理量的量綱長(zhǎng)度

l的量綱記L=[l]質(zhì)量

m的量綱記M=[m]時(shí)間t

的量綱記T=[t]動(dòng)力學(xué)中基本量綱

L,M,T速度v的量綱[v]=LT-1導(dǎo)出量綱加速度a

的量綱[a]=LT-2力f

的量綱[f]=LMT-2引力常數(shù)

k

的量綱[k]對(duì)無量綱量，[]=1(=L0M0T0)量綱齊次原則=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2在經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上利用物理定律的量綱齊次原則,確定各物理量之間的關(guān)系.物理量的量綱長(zhǎng)度l的量綱記L=[l]質(zhì)量m的量綱記量綱齊次原則等式兩端的量綱一致量綱分析~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系.例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)lmgm求擺動(dòng)周期t

的表達(dá)式設(shè)物理量t,m,l,g

之間有關(guān)系式1,2,3

為待定系數(shù)，為無量綱量(1)的量綱表達(dá)式與對(duì)比量綱齊次原則等式兩端的量綱一致量綱分析~利用量綱齊次原則尋求單擺運(yùn)動(dòng)中t,m,l,g

的一般表達(dá)式y(tǒng)1~y4為待定常數(shù),為無量綱量基本解單擺運(yùn)動(dòng)中t,m,l,g的一般表達(dá)式y(tǒng)1~y4為設(shè)f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0

與

f(q1,q2,,qm)=0

等價(jià),F未定.

定理(Buckingham)是與量綱單位無關(guān)的物理定律，X1,X2,,Xn

是基本量綱,nm,q1,q2,,qm

的量綱可表為量綱矩陣記作線性齊次方程組有m-r

個(gè)基本解，記作為m-r

個(gè)相互獨(dú)立的無量綱量,且則設(shè)f(q1,q2,,qm)=0ys=[g]=LT-2,[l]=L,[]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2量綱分析示例：波浪對(duì)航船的阻力航船阻力f航船速度v,船體尺寸l,浸沒面積s,海水密度,重力加速度g。m=6,n=3[g]=LT-2,[l]=L,[]=L-3Ay=0有m-r=3個(gè)基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r個(gè)基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-rm-r

個(gè)無量綱量Ay=0有m-r=3個(gè)基本解rankA=3rank

F(1,2,3)=0與(g,l,,v,s,f)=0等價(jià)為得到阻力f的顯式表達(dá)式F=0未定F(

1,

2,…,

m-r)=0與

f(q1,q2,,qm)=0等價(jià)F(1,2,3)=0與為得到阻力f記爆炸能量為E，將“蘑菇云”近似看成一個(gè)球形.時(shí)刻

t

球的半徑為

rt,E空氣密度ρ,大氣壓強(qiáng)P基本量綱：L,M,T

原子彈爆炸能量估計(jì)的量綱分析方法建模

r與哪些因素有關(guān)？

rt

E

ρ

P

LMT量綱矩陣

記爆炸能量為E，將“蘑菇云”近似看成一個(gè)球形.時(shí)刻t球的y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0)

y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T原子彈爆炸能量估計(jì)的量綱分析方法建模

有2個(gè)基本解兩個(gè)無量綱量y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0)y=(0,6原子彈爆炸能量估計(jì)的數(shù)值計(jì)算時(shí)間t非常短能量E

非常大泰勒根據(jù)一些小型爆炸試驗(yàn)的數(shù)據(jù)建議用r,t

的實(shí)際數(shù)據(jù)做平均空氣密度=1.25(kg/m3)1×103t(TNT能量)=4.184×1012J

E=19.7957(×103t)E=8.2825×1013(J)實(shí)際值21×103t原子彈爆炸能量估計(jì)的數(shù)值計(jì)算時(shí)間t非常短泰勒根據(jù)一些小型泰勒的計(jì)算tr最小二乘法擬合r=atbE=8.0276×1013

(J),即19.2×103t取y平均值得c=6.9038模型檢驗(yàn)b=0.4058~2/5泰勒的計(jì)算tr最小二乘法擬合r=atbE=8.0276×1量綱分析法的評(píng)注

物理量的選取

基本量綱的選取

基本解的構(gòu)造

結(jié)果的局限性(…)=0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的.基本量綱個(gè)數(shù)n;選哪些基本量綱.有目的地構(gòu)造Ay=0的基本解.

方法的普適性函數(shù)F和無量綱量未定.不需要特定的專業(yè)知識(shí).量綱分析法的評(píng)注物理量的選取基本量綱的選取基本解的構(gòu)造6.4市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型問題供大于求現(xiàn)象

商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定?

當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定?價(jià)格下降減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量?jī)r(jià)格上漲供不應(yīng)求

描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律.商品數(shù)量與價(jià)格在振蕩6.4市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型問供大于求現(xiàn)商品數(shù)量與價(jià)蛛網(wǎng)模型gx0y0P0fxyOxk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~第k時(shí)段商品價(jià)格.消費(fèi)者的需求關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系減函數(shù)增函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點(diǎn)P0(x0,y0)~平衡點(diǎn)一旦xk=x0，則yk=y0,且xk+1=xk+2=…=x0,yk+1=yk+2=…=y0

供應(yīng)函數(shù)蛛網(wǎng)模型gx0y0P0fxyOxk~第k時(shí)段商品數(shù)量；xyOfgy0x0P0設(shè)x1偏離x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)xyOy0x0P0fg曲線斜率蛛網(wǎng)模型xyOfgy0x0P0設(shè)x1偏離x0x1x2P2y1P1y2在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方~商品數(shù)量減少1單位,價(jià)格上漲幅度~價(jià)格上漲1單位,(下時(shí)段)供應(yīng)的增量考察,的含義~消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度~生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋xk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~第k時(shí)段商品價(jià)格.經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋~商品數(shù)量減少1單位,價(jià)格上漲幅度~價(jià)格上漲1經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法1.使盡量小，如=0

以行政手段控制價(jià)格不變2.使盡量小，如=0靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變xyOy0gfxyOx0gf結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法1.使盡量小，如=0模型的推廣

生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量.生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應(yīng)函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點(diǎn)研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k,xkx0的條件模型的推廣生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)方程通解(c1,c2由初始條件確定)1,2~特征根，即方程的根平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k,xkx0的條件:平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件比原來的條件放寬了!模型的推廣方程通解(c1,c2由初始條件確定)1,2~特征根，即6.5減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)背景

多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持.

通過控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，在不傷害身體的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo).分析

體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起.

飲食（吸收熱量）引起體重增加.

代謝和運(yùn)動(dòng)（消耗熱量）引起體重減少.

體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~

正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.6.5減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)背景多數(shù)減肥食品達(dá)不到減模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000kcal增加體重1kg；2）代謝引起的體重減少正比于體重——每周每千克體重消耗200

~320kcal

(因人而異),相當(dāng)于70kg的人每天消耗2000

~3200kcal；3）運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)；4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5kg,

每周吸收熱量不要小于10000kcal.模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000kcal2某甲體重100kg，目前每周吸收20000kcal熱量，體重維持不變.現(xiàn)欲減肥至75kg.第一階段：每周減肥1kg，每周吸收熱量逐漸減少,直至達(dá)到下限（10000kcal）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo).2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，試安排計(jì)劃.1）在不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃.減肥計(jì)劃3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案.某甲體重100kg，目前每周吸收20000kcal熱量，體重

確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗20000/100=200kcal基本模型w(k)~第k周(末)體重c(k)~第k周吸收熱量~代謝消耗系數(shù)(因人而異)1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃每周吸收20000kcal,w=100kg不變=1/8000(kg/kcal)確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗20000/1

第一階段:w(k)每周減1kg,c(k)減至下限10000kcal第一階段10周,每周減1kg，第10周末體重90kg吸收熱量為1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃第一階段:w(k)每周減1kg,c(k)減至下限100

第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75kg1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃基本模型第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75kg1）

第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75kg第二階段19周,每周吸收熱量保持10000kcal,體重按減少至75kg.第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75kg第二運(yùn)動(dòng)t=24(每周跳舞8h或自行車10h),14周即可.2）第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃根據(jù)資料每小時(shí)每千克體重消耗的熱量(kcal):

跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳(50m/min)7.03.04.42.57.9t~每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間(h)模型)()1()()1(kwkckwkwba￠-++=+tagbb+=￠取t=0.003,

即t=24=1/8000(kg/kcal),=0.02514=n運(yùn)動(dòng)t=24(每周跳舞8h或自行車10h),14周增加運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于提高代謝消耗系數(shù)2）第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃提高12%減肥所需時(shí)間從19周降至14周減少25%

這個(gè)模型的結(jié)果對(duì)代謝消耗系數(shù)很敏感.

應(yīng)用該模型時(shí)要仔細(xì)確定代謝消耗系數(shù)

(對(duì)不同的人;對(duì)同一人在不同的環(huán)境).增加運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于提高代謝消耗系數(shù)2）第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)3）達(dá)到目標(biāo)體重75kg后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變

不運(yùn)動(dòng)

運(yùn)動(dòng)(內(nèi)容同前)3）達(dá)到目標(biāo)體重75kg后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)6.6

按年齡分組的人口模型

不同年齡組的繁殖率和死亡率不同.建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長(zhǎng)規(guī)律.假設(shè)與建模

種群按年齡大小等分為n個(gè)年齡組，記i=1,2,…,n

時(shí)間離散為時(shí)段，長(zhǎng)度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2,…

以雌性個(gè)體數(shù)量為對(duì)象.

第i年齡組1雌性個(gè)體在1時(shí)段內(nèi)的繁殖率為bi

第i年齡組在1時(shí)段內(nèi)的死亡率為di,存活率為si=1-di6.6按年齡分組的人口模型不同年齡組的繁殖率和死亡率不假設(shè)與建模xi(k)~時(shí)段k第i年齡組的種群數(shù)量~按年齡組的分布向量預(yù)測(cè)任意時(shí)段種群按年齡組的分布~Leslie矩陣(L矩陣)(設(shè)至少1個(gè)bi>0)假設(shè)xi(k)~時(shí)段k第i年齡組的種群數(shù)量~按年齡組的分布穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學(xué)知識(shí)

L矩陣存在正單特征根1，

若L矩陣存在bi,bi+1>0,則P的第1列是x*特征向量,c是由bi,si,x(0)決定的常數(shù)

且解釋L對(duì)角化穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學(xué)知識(shí)L矩陣存在正單特征根1，若L矩陣穩(wěn)態(tài)分析——k充分大種群按年齡組的分布~種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，x*稱穩(wěn)定分布,與初始分布無關(guān).~各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減，

稱固有增長(zhǎng)率與基本模型比較3）=1時(shí)~各年齡組種群數(shù)量不變穩(wěn)態(tài)分析——k充分大種群按年齡組的分布~種群按年齡組的分布

~1個(gè)個(gè)體在整個(gè)存活期內(nèi)的繁殖數(shù)量為1穩(wěn)態(tài)分析~存活率si是同一時(shí)段的xi+1與xi之比（與si的定義比較）3）=1時(shí)~1個(gè)個(gè)體在整個(gè)存活期內(nèi)的繁殖數(shù)量為1穩(wěn)態(tài)分析~存活率人口模型連續(xù)型人口模型的離散形式xi(k)~k年i歲的女性人數(shù)(模型只考慮女性人口).bi(k)~k年i歲女性生育率(每人平均生育女兒數(shù)).di~i歲女性死亡率，si=1-di~存活率[i1,i2]~生育區(qū)間k年育齡女性平均生育女兒數(shù)——總合生育率(生育胎次)~年齡分布向量hi~生育模式人口模型連續(xù)型人口模型的離散形式xi(k)~k年i歲的女性人口模型存活率矩陣生育模式矩陣x(k)~狀態(tài)變量,(k)~控制變量雙線性方程(對(duì)x(k),(k)線性)原模型人口模型存活率矩陣生育模式矩陣x(k)~狀態(tài)變量,(k)知識(shí)回顧KnowledgeReview祝您成功！知識(shí)回顧KnowledgeReview祝您成功！6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析6.4

市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型6.5減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)6.6按年齡分組的人口模型第六章代數(shù)方程與差分方程模型6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析第六章代數(shù)方程與6.3

原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析1945年7月16日美國科學(xué)家在新墨西哥州的沙漠試爆了全球第一顆原子彈,震驚世界!當(dāng)時(shí)資料是保密的,無法準(zhǔn)確估計(jì)爆炸的威力.英國物理學(xué)家泰勒研究了兩年后美國公開的錄像帶,利用數(shù)學(xué)模型估計(jì)這次爆炸釋放的能量為19.2×103t.

后來公布爆炸實(shí)際釋放的能量為21×103t

6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)與量綱分析1945年7月16日t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.50.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.00.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.00.5228.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.00.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0泰勒測(cè)量：時(shí)刻t

所對(duì)應(yīng)的“蘑菇云”的半徑r原子彈爆炸的能量估計(jì)爆炸產(chǎn)生的沖擊波以爆炸點(diǎn)為中心呈球面向四周傳播,爆炸的能量越大，在一定時(shí)刻沖擊波傳播得越遠(yuǎn).沖擊波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出來.泰勒用量綱分析方法建立數(shù)學(xué)模型,輔以小型試驗(yàn),又利用測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)爆炸的能量進(jìn)行估計(jì).t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(m物理量的量綱長(zhǎng)度

l的量綱記L=[l]質(zhì)量

m的量綱記M=[m]時(shí)間t

的量綱記T=[t]動(dòng)力學(xué)中基本量綱

L,M,T速度v的量綱[v]=LT-1導(dǎo)出量綱加速度a

的量綱[a]=LT-2力f

的量綱[f]=LMT-2引力常數(shù)

k

的量綱[k]對(duì)無量綱量，[]=1(=L0M0T0)量綱齊次原則=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2在經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上利用物理定律的量綱齊次原則,確定各物理量之間的關(guān)系.物理量的量綱長(zhǎng)度l的量綱記L=[l]質(zhì)量m的量綱記量綱齊次原則等式兩端的量綱一致量綱分析~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系.例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)lmgm求擺動(dòng)周期t

的表達(dá)式設(shè)物理量t,m,l,g

之間有關(guān)系式1,2,3

為待定系數(shù)，為無量綱量(1)的量綱表達(dá)式與對(duì)比量綱齊次原則等式兩端的量綱一致量綱分析~利用量綱齊次原則尋求單擺運(yùn)動(dòng)中t,m,l,g

的一般表達(dá)式y(tǒng)1~y4為待定常數(shù),為無量綱量基本解單擺運(yùn)動(dòng)中t,m,l,g的一般表達(dá)式y(tǒng)1~y4為設(shè)f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0

與

f(q1,q2,,qm)=0

等價(jià),F未定.

定理(Buckingham)是與量綱單位無關(guān)的物理定律，X1,X2,,Xn

是基本量綱,nm,q1,q2,,qm

的量綱可表為量綱矩陣記作線性齊次方程組有m-r

個(gè)基本解，記作為m-r

個(gè)相互獨(dú)立的無量綱量,且則設(shè)f(q1,q2,,qm)=0ys=[g]=LT-2,[l]=L,[]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2量綱分析示例：波浪對(duì)航船的阻力航船阻力f航船速度v,船體尺寸l,浸沒面積s,海水密度,重力加速度g。m=6,n=3[g]=LT-2,[l]=L,[]=L-3Ay=0有m-r=3個(gè)基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r個(gè)基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-rm-r

個(gè)無量綱量Ay=0有m-r=3個(gè)基本解rankA=3rank

F(1,2,3)=0與(g,l,,v,s,f)=0等價(jià)為得到阻力f的顯式表達(dá)式F=0未定F(

1,

2,…,

m-r)=0與

f(q1,q2,,qm)=0等價(jià)F(1,2,3)=0與為得到阻力f記爆炸能量為E，將“蘑菇云”近似看成一個(gè)球形.時(shí)刻

t

球的半徑為

rt,E空氣密度ρ,大氣壓強(qiáng)P基本量綱：L,M,T

原子彈爆炸能量估計(jì)的量綱分析方法建模

r與哪些因素有關(guān)？

rt

E

ρ

P

LMT量綱矩陣

記爆炸能量為E，將“蘑菇云”近似看成一個(gè)球形.時(shí)刻t球的y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0)

y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T原子彈爆炸能量估計(jì)的量綱分析方法建模

有2個(gè)基本解兩個(gè)無量綱量y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0)y=(0,6原子彈爆炸能量估計(jì)的數(shù)值計(jì)算時(shí)間t非常短能量E

非常大泰勒根據(jù)一些小型爆炸試驗(yàn)的數(shù)據(jù)建議用r,t

的實(shí)際數(shù)據(jù)做平均空氣密度=1.25(kg/m3)1×103t(TNT能量)=4.184×1012J

E=19.7957(×103t)E=8.2825×1013(J)實(shí)際值21×103t原子彈爆炸能量估計(jì)的數(shù)值計(jì)算時(shí)間t非常短泰勒根據(jù)一些小型泰勒的計(jì)算tr最小二乘法擬合r=atbE=8.0276×1013

(J),即19.2×103t取y平均值得c=6.9038模型檢驗(yàn)b=0.4058~2/5泰勒的計(jì)算tr最小二乘法擬合r=atbE=8.0276×1量綱分析法的評(píng)注

物理量的選取

基本量綱的選取

基本解的構(gòu)造

結(jié)果的局限性(…)=0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的.基本量綱個(gè)數(shù)n;選哪些基本量綱.有目的地構(gòu)造Ay=0的基本解.

方法的普適性函數(shù)F和無量綱量未定.不需要特定的專業(yè)知識(shí).量綱分析法的評(píng)注物理量的選取基本量綱的選取基本解的構(gòu)造6.4市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型問題供大于求現(xiàn)象

商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定?

當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定?價(jià)格下降減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量?jī)r(jià)格上漲供不應(yīng)求

描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律.商品數(shù)量與價(jià)格在振蕩6.4市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型問供大于求現(xiàn)商品數(shù)量與價(jià)蛛網(wǎng)模型gx0y0P0fxyOxk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~第k時(shí)段商品價(jià)格.消費(fèi)者的需求關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系減函數(shù)增函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點(diǎn)P0(x0,y0)~平衡點(diǎn)一旦xk=x0，則yk=y0,且xk+1=xk+2=…=x0,yk+1=yk+2=…=y0

供應(yīng)函數(shù)蛛網(wǎng)模型gx0y0P0fxyOxk~第k時(shí)段商品數(shù)量；xyOfgy0x0P0設(shè)x1偏離x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)xyOy0x0P0fg曲線斜率蛛網(wǎng)模型xyOfgy0x0P0設(shè)x1偏離x0x1x2P2y1P1y2在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方~商品數(shù)量減少1單位,價(jià)格上漲幅度~價(jià)格上漲1單位,(下時(shí)段)供應(yīng)的增量考察,的含義~消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度~生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋xk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~第k時(shí)段商品價(jià)格.經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋~商品數(shù)量減少1單位,價(jià)格上漲幅度~價(jià)格上漲1經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法1.使盡量小，如=0

以行政手段控制價(jià)格不變2.使盡量小，如=0靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變xyOy0gfxyOx0gf結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法1.使盡量小，如=0模型的推廣

生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量.生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應(yīng)函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點(diǎn)研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k,xkx0的條件模型的推廣生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)方程通解(c1,c2由初始條件確定)1,2~特征根，即方程的根平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k,xkx0的條件:平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件比原來的條件放寬了!模型的推廣方程通解(c1,c2由初始條件確定)1,2~特征根，即6.5減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)背景

多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持.

通過控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，在不傷害身體的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo).分析

體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起.

飲食（吸收熱量）引起體重增加.

代謝和運(yùn)動(dòng)（消耗熱量）引起體重減少.

體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~

正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.6.5減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)背景多數(shù)減肥食品達(dá)不到減模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000kcal增加體重1kg；2）代謝引起的體重減少正比于體重——每周每千克體重消耗200

~320kcal

(因人而異),相當(dāng)于70kg的人每天消耗2000

~3200kcal；3）運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)；4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5kg,

每周吸收熱量不要小于10000kcal.模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000kcal2某甲體重100kg，目前每周吸收20000kcal熱量，體重維持不變.現(xiàn)欲減肥至75kg.第一階段：每周減肥1kg，每周吸收熱量逐漸減少,直至達(dá)到下限（10000kcal）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo).2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，試安排計(jì)劃.1）在不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃.減肥計(jì)劃3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案.某甲體重100kg，目前每周吸收20000kcal熱量，體重

確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗20000/100=200kcal基本模型w(k)~第k周(末)體重c(k)~第k周吸收熱量~代謝消耗系數(shù)(因人而異)1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃每周吸收20000kcal,w=100kg不變=1/8000(kg/kcal)確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗20000/1

第一階段:w(k)每周減1kg,c(k)減至下限10000kcal第一階段10周,每周減1kg，第10周末體重90kg吸收熱量為1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃第一階段:w(k)每周減1kg,c(k)減至下限100

第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75kg1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃基本模型第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75kg1）

第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75kg第二階段19周,每周吸收熱量保持10000kcal,體重按減少至75kg.第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75kg第二運(yùn)動(dòng)t=24(每周跳舞8h或自行車10h),14周即可.2）第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃根據(jù)資料每小時(shí)每千克體重消耗的熱量(kcal):

跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳(50m/min)7.03.04.42.57.9t~每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間(h)模型)()1()()1(kwkckwkwba￠-++=+tagbb+=￠取t=0.003,

即t=24=1/8000(kg/kcal),=0.02514=n運(yùn)動(dòng)t=24(每周跳舞8h或自行車10h),14周增加運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于提高代謝消耗系數(shù)2）第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃提高1