專題：折疊模型折疊基本模型：①三角形折疊模型：B D②四邊形折疊模型:類型1 類型2 類型3 類型耳經(jīng)典例題：【例題1】探究：如圖①點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，連結(jié)AE、AF、EF,將^ABE"ADF分別沿AE.AF折疊，折疊后的圖形恰好能拼成與^AEF完全重合的三角形.若BE=2,DF=3，求AB的長；拓展：如圖②點(diǎn)E、F分別在四邊形BACD的邊BC、CD上，且ZB=ZD=90°.連結(jié)AE、AF、EF將^ABE.AADF分別沿AE、AF折疊，折疊后的圖形恰好能拼成與^AEF完全重合的三角形.若ZEAF=30°，AB=4，則^ECF的周長.圖① 圖②【解析】探究：設(shè)：正方形的邊長為a，則EC=a-2,CF=a-3,貝EF=BE+DF=5，貝EF2=EC2+CF2,即：25=(a-2)2+(a-3)2,解得：a=6或-1(舍去-1)，故AB=6；拓展：由題意得：AB=CD=4,連接AC,VAB=AD,AC=AC,AAABC^AADC,ABC=CD,ZBAC=ZDAC,V點(diǎn)E、F分別在四邊形BACD的邊BC、CD上，1，. 一故:/BAE+/DAF=/EAF=30°，則ZBAD=60°,AZBAC=ZDAC=^(ZBAD)=30°,乙CD=BC=ABtanZBAC=4X號(hào)=芋△ECF的周長=EF+EC+FC=AE+FD+EC+FC=AC+CD=2CD=罕【例題2】如圖，矩形ABCD中，AB=8,BC=10，點(diǎn)N為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為AB邊上任意一點(diǎn)，連接MN,把△BMEMN折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，若點(diǎn)E恰在矩形ABCD的對(duì)稱軸【解析】①當(dāng)E在矩形的對(duì)稱軸直線PN上時(shí)，如圖1此時(shí)ZMEN=ZB=90°,ZENB=90°,二四邊形BMEN是矩形.又,:ME=MB,.??四邊形BMEN是正方形.：?BM=BN=5.②當(dāng)E在矩形的對(duì)稱軸直線FG上時(shí)，如圖2,過N點(diǎn)作NH±FG于H點(diǎn)，則NH=4.根據(jù)折疊的對(duì)稱性可知EN=BN=5,.?.在RtAENH中，利用勾股定理求得EH=3.:.FE=5-3=2.設(shè)BM=x，則EM=x,FM=4-x,在RtAFEM中，ME2=FE2+FM2,即x2=4+(4-x)2,解得x虧，即BM^.故答案為5或*

【例題3】如圖，在KABC中，ZC=90°,AC=BC=.「2,將AABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°到AAE仗的位置，連接CB,則C'B=_ .rcrc【解析】如圖，連接BB'，.?.△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到4ABC，:,AB=AB'，/BAB，=60°，Z.AABB'是等邊三角形，；?AB=BB'，在^ABC和△￡BC中，W邛'以，:.△ABCC^△B'BC（SSS），：,/ABC=/B'BC，:BCJ二Bb延長BC交AB'于￡>，則BD±AB'，VZC=90°，AC=BC="2，?：AB=.；（3非+（%）'=2,?：BD=2x：=.E，CD^x2=1，:.BC=BD-C'D=^3-1.故答案為：-1.【例題4】如圖，將矩形紙片ABCD（AD>AB）折疊，使點(diǎn)C剛好落在線段AD上，且折痕分別與邊BC,AD相交，設(shè)折疊后點(diǎn)C,D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G,H，折痕分別與邊BC,AD相交于點(diǎn)E,F.⑴判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結(jié)論；⑵若AB=3,BC=9,求線段CE的取值范圍.FF【解析】（1）.四邊形ABCD是矩形.：AD〃BC,?：/GFE=/FEC,???圖形翻折后點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，EF為折線，：?/GEF=/FEC,?：/GFE=/GEF,?：GF=GE,.??圖形翻折后EC與GE完全重合，：.GE=EC,?：GF=EC,：.四邊形CEGF為平行四邊形，?：四邊形CEGF為菱形(2)如圖1,當(dāng)F與D重合時(shí)，CE取最小值，由折疊的性質(zhì)得CD=DG,ZCDE=ZGDE=45VZECD=90°,AZDEC=45°=ZCDEACE=CD=DG,?..DG〃CE,.??四邊形CEGD是矩形，「?CE=CD=AB=3；如圖2,當(dāng)G與A重合時(shí)，CE取最大值，由折疊的性質(zhì)得AE=CE,VZB=90°,.AE2=AB2+BE2,即CE2=32+(9—CE)2，.??CE=5,.??線段CE的取值范圍3WCEW5經(jīng)典練習(xí)：如圖，矩形紙片ABCD,AB=4,BC=3，點(diǎn)P在BC邊上，將^CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，PE、DE分別交AB于點(diǎn)0、F,且OP=OF,^cos/ADF的值為疊矩形紙片ABCD時(shí)，發(fā)現(xiàn)可以進(jìn)行如下操作：①把△ADE翻折，點(diǎn)A落在DC邊上的點(diǎn)F處，折痕為DE，點(diǎn)E在AB邊上；②把紙片展開并鋪平；③把△CDG翻折，點(diǎn)C落在線段AE上的點(diǎn)H處，折痕為DG，點(diǎn)G在BC邊上，若AB=AD+2,EH=1,則AD=—.E―G C如圖，在△ABC中，匕C=90°,將^ABC沿直線MN翻折后，頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)D處，已知MN〃AB,MC=6,NC=2^3，則四邊形MABN的面積是4如圖，將矩形ABCD沿CE折疊，點(diǎn)B恰好落在邊AD的F處，如果AB=-，那么tanZDCFBC3的值■—.5.矩形ABCD中，AD=5，AB=3，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'落在線段BC上，再打開得到折痕EF當(dāng)A'與B重合時(shí)（如圖1），當(dāng)折痕EF過點(diǎn)D時(shí)（如圖2），求線段EF的長；6已知：如圖，拋物線y=a（x-1）2+c與x軸交于點(diǎn)A（-盤，。）和點(diǎn)B，將拋物線沿x軸向上翻折，頂點(diǎn)P落在點(diǎn)P'（1，3）處.學(xué)校舉行班徽設(shè)計(jì)比賽，九年級(jí)5班的小明在解答此題時(shí)頓生靈感：過點(diǎn)P'作x軸的平行線交拋物線于C、D兩點(diǎn)，將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉，設(shè)計(jì)成一個(gè)“W”型的班徽，“5”的拼音開頭字母為W，"W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠(yuǎn)；而且小明通過計(jì)算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個(gè)’W”圖案的高與寬（CD）的5-1一 . _比非常接近黃金分割比工1（約等于0.618）.這個(gè)“W”圖案的高與寬的比到底是_2（參考數(shù)據(jù)：許牝2.236,6牝2.449，結(jié)果可保留根號(hào)）

P7如圖，對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平后再次折疊，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)A，處，得到折痕BM，BM與EF相交于點(diǎn)N.若直線BA交直線CD于點(diǎn)O，BC=5，EN=1，則OD的長為8矩形紙片ABCD,長AD=8cm,寬AB=4cm,折疊紙片，使折痕經(jīng)過點(diǎn)B,交AD邊于點(diǎn)E,點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，展平后得到折痕BE，同時(shí)得到線段BA',EA'，不再添加其它線段，當(dāng)圖中存在30角時(shí)，AE的長為 厘米..4E D，■ 」9.如圖，在RtAABC中，ZC=90。，點(diǎn)E在AC邊上.將ZA沿直線BE翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，連接AB，交AC于點(diǎn)F.若AE±AE，cosA=4，則世=5BF

10如圖，在扇形OAB中，匕AOB=90°,半徑OA=6.將扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在AB上點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C,求整個(gè)陰影部分的周長和面積.11.如圖1，在在矩形紙片ABCD中，AB=3cm,AD=5cm'折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ.過點(diǎn)E作EFIIAB交PQ于F，連接BF,求證：四邊形BFEP為菱形;當(dāng)E在AD邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P'Q也隨著移動(dòng).①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，(如圖2)，求菱形BFEP的邊長;②如限定P'Q分別在BA'BC上移動(dòng)，求出點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離.12如圖，四邊形ABCD為矩形，C點(diǎn)在x軸上，A點(diǎn)在y軸上，D點(diǎn)坐標(biāo)是（0,0）,B點(diǎn)坐標(biāo)是（3,4），矩形ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)A落在BC邊上的G處，E、F分別在AD、AB上，且F點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4）.（1） 求G點(diǎn)坐標(biāo)；（2） 求直線EF解析式；（3） 點(diǎn)N在x軸上，直線EF上是否存在點(diǎn)M，使以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.13如圖，拋物線y=ax2+bx+2交x軸于A（-1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y