1.4.2含有一個(gè)量詞的命題的否定思考1：指出下列命題的形式，寫(xiě)出下列命題的否定

.想一想這些命題和它們的否定在形式上有什么不同？（1）所有的矩形都是平行四邊形；

（2）每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；

（3）x∈R，x2-2x+1≥0；否定：存在一個(gè)矩形不是平行四邊形；

否定：存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)；

否定：xR，x2-2x+1<0；

（1）p：

x∈R，x2+2x+2≤0；（2）p：有的三角形是等邊三角形；（3）p：有些函數(shù)沒(méi)有反函數(shù)；（4）p：存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分；（5）p：不是每一個(gè)人都會(huì)開(kāi)車(chē)；（6）p：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，有些一元二次方程無(wú)解；探究：寫(xiě)出命題的否定一般地,對(duì)于含有一個(gè)量詞的全稱(chēng)命題的否定,有下面的結(jié)論:全稱(chēng)命題p:全稱(chēng)命題的否定是存在性命題.一般地,對(duì)于含有一個(gè)量詞的特稱(chēng)命題的否定,有下面的結(jié)論:存在性命題它的否定存在性命題的否定是全稱(chēng)命題.關(guān)鍵量詞的否定

詞語(yǔ)是

一定是

都是

大于

小于

且

詞語(yǔ)的否定

不是

一定不是

不都是

小于或等于

大于或等于

或

詞語(yǔ)

必有一個(gè)

至少有n個(gè)

至多有一個(gè)

所有x成立

所有x不成立

詞語(yǔ)的否定

一個(gè)也沒(méi)有

至多有n-1個(gè)

至少有兩個(gè)

存在一個(gè)x不成立

存在有一個(gè)成立

例1

寫(xiě)出下列全稱(chēng)命題的否定：（1）p：所有人都晨練；（2）p：xR，x2＋x+1>0；（3）p：平行四邊形的對(duì)邊相等；（4）p：

x∈R，x2－x+1＝0；例2

寫(xiě)出下列命題的否定（1）所有自然數(shù)的平方是正數(shù)。（2）任何實(shí)數(shù)x都是方程5x-12=0的根。（3）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，存在實(shí)數(shù)y，使x+y＞0.（4）有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)。例3

寫(xiě)出下列命題的否定（1）若x2＞4則x＞2.。（2）若m≥0,則x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根。（3）可以被5整除的整數(shù)，末位是0。（4）被8整除的數(shù)能被4整除。解題中會(huì)遇到省略了“所有，任何，任意”等量詞的簡(jiǎn)化形式，如“若x＞3，則x2＞9”。在求解中極易誤當(dāng)為簡(jiǎn)單命題處理；這種情形下時(shí)應(yīng)先將命題寫(xiě)成完整形式，再依據(jù)法則來(lái)寫(xiě)出其否定形式。

解（1）否定：存在實(shí)數(shù)，雖然滿(mǎn)足x2＞4，但≤2。或者說(shuō)：存在小于或等于2的數(shù)，滿(mǎn)足x2＞4。（完整表達(dá)為對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,若x2＞4則x＞2）（2）否定：雖然實(shí)數(shù)m≥0,但存在一個(gè)x，使x2+x-m=0無(wú)實(shí)數(shù)根。（3）否定：存在一個(gè)可以被5整除的整數(shù)，其末位不是0。（4）否定：存在一個(gè)數(shù)能被8整除，但不能被4整除.(原意表達(dá)為所有能被8整除的數(shù)都能被4整除)（5）否定：存在一個(gè)四邊形，雖然它是正方形，但四條邊中至少有兩條不相等。（原意表達(dá)為無(wú)論哪個(gè)四邊形，若它是正方形，則它的四條邊中任何兩條都相等。）例4

寫(xiě)出下列命題的非命題與否命題，并判斷其真假性。（1）p：若x＞y,則5x＞5y；（2）p：若x2+x﹤2,則x2-x﹤2；（3）p：正方形的四條邊相等；（4）p：已知a,b為實(shí)數(shù)，若x2+ax+b≤0有非空實(shí)解集，則a2-4b≥0。解：（1）

P：若x＞y，則5x≤5y；假命題否命題：若x≤y，則5x≤5y；真命題

(2）

P：若x2+x﹤2，則x2-x≥2；真命題否命題：若x2+x≥2，則x2-x≥2）；假命題。（3）

P：存在一個(gè)四邊形，盡管它是正方形，然而四條邊中至少有兩條邊不相等；假命題。否命題：若一個(gè)四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。假命題。（4）

P：存在兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b，雖然滿(mǎn)足x2+ax+b≤0有非空實(shí)解集，但使a2-4b﹤0。假命題。否命題：已知a,b為實(shí)數(shù)，若x2+ax+b≤0沒(méi)有非空實(shí)解集，則a2-4b﹤0。真命題。命題的否定與否命題是完全不同的概念1．任何命題均有否定，無(wú)論是真命題還是假命題；而否命題僅針對(duì)命題“若P則q”提出來(lái)的。2．命題的否定（非）是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命題與原命題可能是同真同假，也可能是一真一假。3．原命題“若P則q”的形式，它的非命題“若p，則q”；而它的否命題為“若┓p，則┓q”，既否定條件又否定結(jié)論。練習(xí)：寫(xiě)出下列命題的否定：（1）p：所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)；（2）p：每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；（3）p