1.X是個集合，f:XnY，則稱fX上的n元運算。1.X是個集合，f:XnY，則稱fX上的n元運算。=X×X×...×XnX積YX，則稱運算fX上是封閉的 是個一元運算。前面的-、~是一元運算是個二元運算。+×÷∧∨∪∩是 代數(shù)系統(tǒng)的概1.XXm個運算f1,f2,…fm,成代數(shù)系統(tǒng)U,U=<X,(注意m個運算f1,f2,…fm的元數(shù)可能各不相同,比如f1是一運算，f2是二元運算,…,fm是k元運算<N,+,×>，<I－,×>，<P(E2.U=<Xf1,f2,…fm>是個代數(shù)系統(tǒng)，如果X是有限集合，則稱U是個有限代數(shù)系統(tǒng)例如上邊的X={S,R,A,L}，<X，°>是個3.同類型代數(shù)系統(tǒng)：給定兩個代數(shù)系統(tǒng)U=<Xf1,f2,…fm>g1,g2,…gm>如對應(yīng)的運算figi的元數(shù)相同(i=1,2,3,…,m),U是同<{T,F}，例如二元運算一.封閉設(shè)是X上的二元運算，如果對任何x,y∈X,有xy∈X,稱X二.交換設(shè)是X上的二元運算任何x,y∈X,有xy=yx,則稱二.交換設(shè)是X上的二元運算任何x,y∈X,有xy=yx,則稱是可交換的三.冪等設(shè)X上的二元運算，如果有a∈X，aa=a,則稱a是冪元，如果對任何x∈X,都,則稱有冪四.幺元元、恒等元設(shè)是X上的二元運算，如果有eL∈X，使得對任何x∈X，eLx=x，則稱eL是相對的左幺元。如果有eR∈X，使得x∈X，有xeR=x，則稱eR是相對的右幺元。如果eL=eR=對任何x∈Xex=xe=x,e是相對定理:設(shè)是XeL∈XeR∈XeLeR=e，且幺元e是唯一的五.零設(shè)X上的二元運算，如果有θL∈X，使得對任何θLx=θL，則稱θL是相對的左零元θR∈X，使得對任x∈X，有，則稱θR是相對的右如果θL=θR=θ對任何x∈Xθx=xθ=θ,稱θ是相對定理:設(shè)是X上的二元運算，如果有左零元θL∈X，也有右零θR∈X，則θL=θR=θ,θ是唯六.可結(jié)合設(shè)是X上的二元對任何x,y,z∈X,有=x(yz),則稱是可結(jié)合的運算的，元素x的乘冪2=x(yz),則稱是可結(jié)合的運算的，元素x的乘冪2七.逆--LLR使得xxR1=exR-1是x相對的右逆元。如果x-1，-1=x- x--1=e,x-1x相對的逆元。也稱x-1x互為元。如x-1∈X也稱x可逆定理設(shè)是X上有幺元e且可結(jié)合的二元運算，如果x的左、右x的左、右x的逆是唯定理設(shè)是X上有幺元e且可結(jié)合的二元運算都存在左逆元，則x的左逆元也是它的右逆元八.可消去設(shè)是X上的二元運a∈X，如果對任何x,y∈X,(ax=ay)∨(xa=ya)a相對定理(可消去性的判定定理)設(shè)X上有幺元e二元運算，如a∈X,a-1∈X.則a是可消去的九.分配設(shè)°都是X上的二元運算，若對任何x,y,z∈X，x(y°z)=(xy)設(shè)°都是X上的二元運算，若對任何x,y,z∈X，x(y°z)=(xy)°(xz)或(x°y)z=(xz)°(yz)則稱對°可分十.吸收設(shè)°都是X上的二元運算，若對任何x,y∈X，x(x°y)=x則與°滿足吸收律4.6-2.3.設(shè)<A,>A中元素的個數(shù)大1。如果該代數(shù)系統(tǒng)中存在幺元e和零元θ，則θ≠e。(反證同態(tài)、同構(gòu)設(shè)<X,>,<Y,°>是兩個代數(shù)系統(tǒng)，和°都是二元運算f:XY,使得對任何x1,x2∈X，有 此式同態(tài)(同構(gòu))關(guān)系則稱f是從<X,>到<Y,°>的同簡稱這兩個代數(shù)系統(tǒng)作X∽Y。并稱<f(X),°>為<X,>的同態(tài)f是滿射的，稱此同態(tài)f是滿同態(tài)f是入射的，稱此同態(tài)ff是雙射的，稱<X,>與<Y,°>同構(gòu)，記作X≌Yf是<X,>到<X,>的同態(tài)(同構(gòu)),稱之為自同態(tài)(自同構(gòu))6.1.≌有自反性：任何代數(shù)系統(tǒng)<X,>,X≌X2.≌有對稱性：任何代數(shù)系統(tǒng)<X,Y,>,如果有X≌YY≌X3.<X,Y,>,<Z,>X≌YY≌X3.<X,Y,>,<Z,>X≌YY≌Z，則必有X≌Z (保持結(jié)合律)如果運算可結(jié)合，則運算也可結(jié)合(保持交換律)如果運算可交換，則運算也可交換(保持幺元存在性)如果運算有幺元ee，f(e)=e。(保持零元存在性)如果運算有零元θ，則運算也有零元f(θ)=θ5.(保持逆元存在性)如果<X,>中每個x∈X可逆，即x-1∈X,則>中每個y∈Y也可y-1∈Yy=f(x)y-1f(x))-1f(x-1)(映像的逆元=逆元的映像(保持分配律)如果運算+對×可分配,則對也可分配(保持吸收律)如果運算+和×滿足吸收律,則和律定義<X,+,×>和<Y,,>是含有兩個運+、都是二元運算，如果存在雙射f:XY,使得對任x1,∈X，滿f(x1+x2f(x1)f(x2)。(注意：+與對應(yīng)f(x1×x2f(x1)f(x2)(注意：×與對應(yīng)則稱這兩個代數(shù)系統(tǒng)同態(tài)性質(zhì)的保射,如同態(tài)性質(zhì)的保射,如果<X,>中換、結(jié)合、有幺元每個元素可逆,則<f(X),>中也滿足上述性質(zhì) 同態(tài)定義：f是從<X,><Y,>,(X∽Y),e分別X、Ykerf)為：ker∧f(x)=ekerf)f的同態(tài)核半定義：S是個非空集合，S上的二元運算，如果S上滿足封閉性、可結(jié)合性，則稱<S,>是半群交換半<S,>是半群，如是可交換的，則稱它是交換半群子半<S,>是個半群,BS,如果B上封閉,則稱<B,>是<S,>的半群定理:設(shè)<S,>是半群S則必存在a∈S,使得aa=a獨異獨異點定義：設(shè)<M,>是個半群,如果對有幺元。則稱是個獨異點，也稱它是含幺半群交換獨異<M,>是獨異點，如是可交換的，則稱它是交換獨異點子獨異<M,>是個獨異點,BM,如果在B上封閉，且子獨異<M,>是個獨異點,BM,如果在B上封閉，且幺元e∈B,則<B,>是<M,>的子獨異點定理:設(shè)<M,>是交換獨異點,A是M中所有冪等的集合<A,>是<M,>的子獨異點定理:設(shè)<M,>是獨異點，則在關(guān)于運算的運算表中任何兩列都是不相同的 群的定義：設(shè)<G,>是個代數(shù)系統(tǒng)，如果滿足封閉、可結(jié)合幺元且每個元素可逆，則稱它是個群有限群:令<G,>是群，G是有限集，則稱它是有限群 群方程可解定理:設(shè)<G,>是個群，則對任何⑴存在唯一元素x∈G,使得 ⑵存在唯一元素y∈G,使得 群中無零<G,>是個群,如果K[G]2,G中無零元群中除幺元外，無其它冪等元<G,>是個群,G中除幺元外,無其定理:<G,>是個群，對任何a,b∈G,⑴(a-1)-1⑵(ab)-1=b-1a-(驗證b-1a-1ab⑴(a-1)-1⑵(ab)-1=b-1a-(驗證b-1a-1ab的逆元推論：<G,>是個群，對任何a∈G,有(an)-=(aa...a)-(a-1a-1...a-1)=(a-1)n=a-因為G中任何x∈G,e=xx-1=x1+-1x0x0 定理:<G,>是個有限群，則G中每個元素在運表中的每一行(列)必出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次 群的階：<G,>是群,K[G]=n,則稱<G,>是n階群,如果是無限的,則稱<G,>是無限階群 群中元素的定義：設(shè)<G,>是個群，a∈G，如果存在正整數(shù)k，使得ak=e,a的階是有限的。如果存在最小的正nan=e,a階是n。否則就稱a的階 定理：<G,>是群,a∈G,a的階n,ak=ek=mnm∈I)(kn的整數(shù)倍20.定理:群中的元素與其逆元具有相同的階21.定理:有限群中，每個元素的階都是有限的交換群Abel群定義:設(shè)<G,>是群,運算是可交換的，則稱它是交換群:<G,>,a,b∈有(即(ab)2=a2b2子子群定<G,>是群,S是G的非空子集<S,>子子群定<G,>是群,S是G的非空子集<S,>ab∈S,(封閉⑵幺e∈S有幺元⑶任a-1∈S可逆則稱<S,>是<G,>設(shè)<G,>是群，<{e},>和<G,>也是<G,>的子群。稱之為平子群。其余真子的子群稱之為真子群證明子群方法1.用子群的定義，即證明運算在子集上滿足封閉、有幺元可逆方法2.設(shè)<G,>是群,S是G的非空子集，如果<S,>滿足⑴任何 有ab∈S,(封閉a-1∈S可逆則<S,>是<G,>的子群3.設(shè)<G,>是群,B是G的有限子集,如果在B則<B,>是<G,>4.設(shè)<G,>是群S是G的非空子a,b∈S有ab-∈S,則<S,>是<G,>例題<A,>是個半群,a,b∈A,若a≠b則ab≠ba,試證例題<A,>是個半群,a,b∈A,若a≠b則ab≠ba,試證a∈A,a,b∈A,a,b,c∈A,證明:若a≠bab≠ba,”等價變換成：“若ab=ba,則a=b”。(QPPQ)a)aA,由可結(jié)合得(aa)a=a(aa)由已知條件得aa=ab)a,b∈A,aba=ac)a,b,c∈A,由已知條件得 X=R-{0,1},Xf2(x)=x-f4(x)=(1-x)-f3(x)=1-f5(x)=(x-1)x-1f6(x)=x(x-1)-°F上的復(fù)合運算，試證明<F,°>是群F={f1,f2f3f4f5證明：列<F,°>的運f2°f3(xf2f3(x))=(1-x)-1f5°f6(x)=f5(f6(x))=((x(x-1)-1)-1)(x(x-1)-1)-1=x-1=由此表可以看出°f1，每個函數(shù)都有逆元f5°f6(x)=f5(f6(x))=((x(x-1)-1)-1)(x(x-1)-1)-1=x-1=由此表可以看出°f1，每個函數(shù)都有逆元- f6=f6,另外已-----=f1復(fù)合°是可結(jié)合的。所以<F,°>是群<A,>是半群，e是左幺元，且對每個x∈A,x’∈A,使a)證明a,b,c∈A,ab=ac,b)證明<A,>是群證明:a)a,b,c∈A,設(shè)由已知條件得a’∈A,使得a’(ab)=(a’a)b=(a’a)c所以b)先證e也是右幺元:任取(由已知得x’∈A,使得x’x=ex’(xex’x)e=eea)的結(jié)論得xe=x,e也是右幺元.e是幺元x’x的右逆元因為由x’x=e,x’x的左逆元x’(xx’)=(x’x)x’=ex’=x’=x’e由a)的結(jié)論得，所以x’也是x的右逆元。所以x’x的逆元綜上<A,>是群設(shè)<G,>是群.a∈G,H={y|ya=ay,求證<H,>是<G,>證明設(shè)<G,>是群.a∈G,H={y|ya=ay,求證<H,>是<G,>證明1，用子群定義證明<H,>滿足a)封閉性：任取y1y2∈H,y2a=ay2(y1y2)a=y1(y2a)=y1(ay2)=(ay1)y2=a(y1y2),滿足封閉性b)e∈H,e∈Hc)可逆性：任取y∈H,ya=ay,y-1∈G,y-1a=y-=y-1a(yy-1)=y-1(ay)y-1=y-1(ya)y-=(y-1y)ay-1=eay-1=ay-1∴y-<H>是<G>的子群4任取y1y2∈H,y2a=ay2,y2-(y1y2)a=( )ae=y1y2a(y2y2- - - -=y1y2(ay2)y2=y1y2(y2a)- - - -=y1(y2y2)ay2=y1eay2=(y1a)- - - -=(ay1)y-1=a(y∴y--12 <H>是<G,>看不懂設(shè)<A*>是群,且|A|=2n,n是正證明A在一個元素a，使得a*a=e證明:因為a*a=ea-1=ax∈A,分兩種情xa).若x-1≠x,這樣的元素成對出現(xiàn)，故這樣元素有偶數(shù)個b).x-1=x,因|A|是偶數(shù)，所以這樣的元素也有偶數(shù)x∈A,分兩種情xa).若x-1≠x,這樣的元素成對出現(xiàn)，故這樣元素有偶數(shù)個b).x-1=x,因|A|是偶數(shù)，所以這樣的元素也有偶數(shù)個其中幺元e-1=e,a，使得a-1=a，即a*a=e設(shè)<G,>是獨異點，x∈G,有xx=e,證明<G,>。證明1:因為xx=e，∴x=x-1∴xy=(xy)-1y-1x-1yx所以<G,>是交換群2.x,y∈G,由已知得xx=e,yy=e,xy∈G,是xy=xey=x((xy)(xy))y=yxeyxG是交換群<G,是群a,bG,有a5b5=(ab)5,證明<G,>是交換群證明：任取a,b∈G,a-1,b-，(a-1a)a3b3(bb-1)=(a-1a)(ba)3(bb-a3b3=(ba)3又已知類似由a5b5=(ab)5a4b4又已知∴又由得(ba)-3=(ab)-∴(ba)4(ba)-3=(ab)4(ab)-又由得(ba)-3=(ab)-∴(ba)4(ba)-3=(ab)4(ab)-∴所以<G,>是交換<G,>是群，定義G上關(guān)系RRx,y>|z∈G,y=zxz-1RG上等價關(guān)系a)Rx∈G,幺元x=exe-R定義得<x,x>∈R，所以Rb)R對稱：任取x,y∈G,設(shè)有R定義得z∈G,使得y=zxz-1,于是有z-1yz=z-1(zxz-1)zz-1yzz-1z)x(z-1z),所z-1y(z-1)-1z-1∈G，所以有<y,x>∈R,Rc)R傳遞：任取x,y,z∈G,設(shè)有<x,y>∈RR定義得z1,z2∈G,y=z1xz-1-112于是有(zxz--1=-2 12=--1)=(z2z1)x(z2z1)-112z2z1∈G∴<x,z>∈R,∴R傳遞。∴RG上等價關(guān)系設(shè)<H,>是<G,>的子群,A如下A={x|x∈G,xHx-求證<A>是<G,>證明:任取x,y∈A證出xy-1∈A,即證求證<A>是<G,>證明:任取x,y∈A證出xy-1∈A,即證(xy-1)H(xy-1)-A的定義得xHx-1=HyHy-∴y-1(yHy-1)y=y-(y-1y)H(y-1y)=y-∴H=y-(xy-1)H(xy-1)-1=(xy-1)H(yx-=x(y-1Hy)x-1=xHx-所以有xy-1∈A所以<A>是<G,><G,是群，而aG,f:GG,對xf(x)=axa-fGG證明a)f是滿射：任取y∈G，因a- a-1ya∈Gxa-1ya,f(x)=axa-1=a(a-1ya)a-1=(aa-1)y(aa- 所以是滿b)f是入射的：任取x1,x2∈G， ax1a-1=ax2a-1由群可消去性得x1=x2∴ff是射c)f滿足同構(gòu)等式：任取f(x1x2)=a(x1x2)a-1=a(x1ex2f(x1x2)=a(x1x2)a-1=a(x1ex2)a-=a(x1(a-1a)x2)a-1=(ax1a-1)(ax2a-1=fGG的自同構(gòu) fg都是群<