5/5平面的基本事實(shí)與推論【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．通過平面概念及畫法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。2．借助平面基本事實(shí)及推論，培養(yǎng)邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！緦W(xué)習(xí)重難點(diǎn)】1．了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法。2．掌握平面的基本事實(shí)及推論，能用符號語言描述空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系。3．能用圖形、文字、符號三種語言描述三個(gè)公理，并能解決空間線面的位置關(guān)系問題?！緦W(xué)習(xí)過程】一、初試身手1．如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為()A．平面MN B．平面NQPC．平面α D．平面MNPQ2．能確定一個(gè)平面的條件是()A．空間三個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)點(diǎn)和一條直線C．無數(shù)個(gè)點(diǎn) D．兩條相交直線3．根據(jù)圖，填入相應(yīng)的符號：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________。二、合作探究文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化【例1】根據(jù)下列符號表示的語句，說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：（1）A∈α，B?α；（2）l?α，m?α，m∩α＝A，A?l；（3）P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α。點(diǎn)、線共面問題【例2】已知四條直線兩兩相交，且不共點(diǎn)，求證：這四條直線在同一平面內(nèi)。[思路探究]四條直線兩兩相交且不共點(diǎn)，可能有兩種情況：一是有三條直線共點(diǎn)；二是任意三條直線都不共點(diǎn)，故要分兩種情況?！緦W(xué)習(xí)小結(jié)】平面的基本事實(shí)及推論公理內(nèi)容圖形符號基本事實(shí)1經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本事實(shí)2如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實(shí)3如果不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線P∈α，P∈β?α∩β＝l，且P∈l推論1經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(圖①)。推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面(圖②)。推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面(圖③)?！揪珶挿答仭?．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)（1）三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面。 ()（2）一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面。 ()（3）四邊形是平面圖形。 ()（4）兩條相交直線可以確定一個(gè)平面。 ()2．設(shè)平面α與平面β交于直線l，A∈α，B∈α，且直線AB∩l＝C，則直線AB∩β＝________。3．如圖，三個(gè)平面α，β，γ兩兩相交于三條直線，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直線a和b不平行。求證：a，b，c三條直線必過同一點(diǎn)。答案：【學(xué)習(xí)過程】一、初試身手1．A[MN是平行四邊形MNPQ的一條邊，不是對角線，所以不能記作平面MN。]2．D[不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可確定一個(gè)平面，A，B，C條件不能保證有不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，故不正確。]3．[答案]∈??AC二、合作探究【例1】[解]（1）點(diǎn)A在平面α內(nèi)，點(diǎn)B不在平面α內(nèi)。（2）直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A不在直線l上。（3）直線l經(jīng)過平面α外一點(diǎn)P和平面α內(nèi)一點(diǎn)Q。圖形分別如圖（1），（2），（3）所示。圖（1）圖（2）圖（3）【例2】[解]已知：a，b，c，d四條直線兩兩相交，且不共點(diǎn)，求證：a，b，c，d四線共面。證明：（1）若a，b，c三線共點(diǎn)于O，如圖所示，∵O?d，∴經(jīng)過d與點(diǎn)O有且只有一個(gè)平面α?！逜、B、C分別是d與a、b、c的交點(diǎn)，∴A、B、C三點(diǎn)在平面α內(nèi)。由公理1知a、b、c都在平面α內(nèi)，故a、b、c、d共面。（2）若a、b、c、d無三線共點(diǎn)，如圖所示，∵a∩b＝A，∴經(jīng)過a、b有且僅有一個(gè)平面α，∴B、C∈α。由公理1知c?α。同理，d?α，從而有a、b、c、d共面。綜上所述，四條直線兩兩相交，且不共點(diǎn)，這四條直線在同一平面內(nèi)?！揪珶挿答仭?．[答案]（1）×（2）×（3）×（4）√[提示]（1）錯(cuò)誤。不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面。（2）錯(cuò)誤。一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面。（3）錯(cuò)誤。四邊形不一定是平面圖形。（4）正確。兩條相交直線可以確定一個(gè)平面。2．C[∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C．]3．[證明]∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，