高中數(shù)學必備公式大全

―、集合

1?元素a屬于(不屬于)集合A記為agA(a電A).

Au(BnC)=(AuB)n(AuC).

an(buc)=(anb)u(anc).

若Vxga有xgB，則有A匸B(或BA).

若A匸B,3xgB，且x電A，則有AuB.

A匸B,B匸AoA=B.

7?空集是任何集合的子集，即0匸A(a為任意集合)；空集是任何非空集合的真子集.

8?含有n個元素的集合有2〃個子集，有2〃-1個真子集，有2”-2個非空真子集.

9AnB={xIxgA，且xgB}.

DAuB={x|xgA，或xgB}.

aua=a,aue=a；ana=a,ane=e.

AuB=AoB匸A,AnB=AoA匸B.

A={*xgU，且x匸A}.

U

U(AnB)=(UA)u(UB)；U(AuB)=(/)n(UB).

二、數(shù)列

IS】(n=1)，

1?數(shù)列的通項公式與前n項和的關系a=L1

nS-S(n三2).

nn-1

2?等差數(shù)列

定義：a-a=d(ngN*,d為常數(shù)).

n+1n

通項公式：a=a+(n—1)d.

n1

等差中項：a,A,b成等差數(shù)列O2A=a+b(或A=).

2

性質(zhì)：m+n=k+l,則a+a=a+a(m,n,k,lgN*).

mnkl

前n項和：S=(ai+an)n=na+_n(n-1)d?

n212

3?等比數(shù)列

a

定義：亠=q(ngN*,q為非零常數(shù)).

a

n

通項公式：a=aqn-1

n1

等比中項：a，G,b成等比數(shù)列0G2=ab.

性質(zhì)：m+n=k+l，則aa=aa(m,n,k,lgN*).

mnkl

化(q=1),

前n項和：S=\a(1—qn)(q豐1).

n—1

、1-q

三、基本成初等函數(shù)

1?指數(shù)

(1)根式Cna)n=a(ngN*，且n>1)；

a(n為大于1的奇數(shù)),

(n為大于0的偶數(shù)).

(2)分數(shù)指數(shù)幕

m-

正分數(shù)指數(shù)幕:

負分數(shù)指數(shù)幕:

an=n'am(a>0,m,ngN*，且n>1)；

1

*

—(a>0,m,ngN,且n>1).

(3)有理數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)：a『a匸ar+s(a>0,r,sgQ)；

(ar)s=ars(a>0,r,sgQ)；

(4)(ab)r=arbr(a>0,b>0,rgQ).

有理數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)幕aa(a>0,?是無理數(shù)).

對數(shù)

基本性質(zhì)

負數(shù)和零沒有對數(shù)；

loga=1,logl=0(a>0,a豐1).

a

常用對數(shù)log0N記為lgN；自然對數(shù)logN記為lgN.

10e

運算性質(zhì)

設M>0,N>0,a>0,a豐1,則有

①log(MN)=logM+logN；

aaa

M

②log=logM-logN；

aNaa

③logMn=nlogM(ngR).aa

4）公式

對數(shù)恒等式：aloga"=N(N>0,a>0,且a豐1).

logb

換底公式：logb=_—(a>0,且a豐1,c>0,且c豐1,b>0).aloga

1c

特別地.logb=(a>0,b>0,且a豐1,b豐1).

aloga

b

四、三角函數(shù)

1.弧度制下扇形的弧長和面積公式

（i）弧長公式：1=ar；

⑵扇形面積公式：s=2lr?

其中l(wèi)為弧長，r為圓的半徑，a為圓心角的弧度數(shù).

2.同角三角函數(shù)的基本關系

平方關系：sin2a+cos2a=1.

x~y兀

商數(shù)關系：tana=cosas曲2,kgz).

三角函數(shù)的誘導公式

sin(k-360。+a)=sina

sin(-a)=-sina

cos(k-360°+a)=cosa

cos(-a)=cosa

tan(k-360。+a)=tana

tan(-a)=-tana

sin(90?！繿)=cosa

cos(90吐a)=干sina

sin(180±a)=+sina

cos(180?！繿)=-cosa

tan(90°±a)=+cota

tan(18O±a)=±tana

五、三角恒等變換1.兩角和與差的三角函數(shù)、倍角公式(1)兩角和與差的三角函數(shù)

sin(a±p)=sinacos卩±cosasin卩cos(a±p)=cosacosp+sinasinptan(a±p)=tana±tan卩

1+tanatanp

倍角公式

sin2a=2sinacosa

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

tan2a=

2tana

1-tan2a

2.積化和差與和差化積公式(1)積化和差公式

2sinacosp=sin(a+p)+sin(a-p)2cosasinp=sin(a+p)-sin(a-p)2cosacosp=cos(a+p)+cos(a-p)2sinasinp=cos(a-p)-cos(a+p)

(2)和差化積公式

sind+sinB=2sincos

22

sind_sinB=2cossin

2

d+B

cosd+cosP=2cos

2

d_B

cos

cosd一cos卩=—2sin

22

sin

d

-亠卩一cosd

2

2

cos

d

-+l1+cosd

2

2

tan

d

=土I'l_cosd

2

''1+cosd

3.半角公式

1一cosdsind

sind

4.輔助角公式

1+cosd

d+Bd一B

sin

asind+bcosd=越2+b2sin(d+9)(ab豐0)，其中T滿足tanT=—.

a

六、解三角形

1.正弦定理

a=b

sinAsinB

—=2R（R為SC外接圓的半徑）.sinC

2.余弦定理

a2=b2+c2一2bccosA；

9

b2=c2+a2一2cacosB；

9

c2=a2+b2一2abcosC.

推論：cosA=

b2+c2-a2

2bc

,cosB=

c2+a2-b2

2ca

,cosC=

a2+b2-c2

2ab

3?三角形面積公式

1

S=besinA=

AABC2

(1)

11人一

acsinB=~absinC(A,B,C是厶ABC的三角22

a,b,

c為其所對的邊).

(2)

(3)

7=4P-a)(p-b)(p-c)(p=^^).

1

S“BC=r(a+b+c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑).

AABC2

七、不等式

1?不等式的性質(zhì)

(1)a>bob<a；(2)a>b,b>ena>e；

(3)a>bna+e>b+e；(4)a+b>ena>e一b；

(5)a>b,e>dna+e>b+d；(6)a>b,e>0nae>be；

a>b>0,e>d>0nae>bd；

a>b>0nan>bn(ngN,n三2)；

(9)a>b>0nna>nb(ngN,n三2).

2?不等式及其解法

(1)一元二次不等式及其解法

A=b2-4ae

A>0

A=0

A<0

ax2+bx+e>0(a>0)的解集

{xIx<X],或x>x2}

(x<x)

12

{x|x豐-行

2a

R

ax2+bx+c<0(a>0)的解集

{xlx<x<x}

12

(x<x)

12

0

0

(2)分式不等式的解法f(x)

〉0(<0)of(x)-g(x)〉0(<0)；g(x)

f(x)口0(口0)o|g(X)工°，

1f(x)-g(x)D0(D0).g(x)

絕對值不等式的解法

f(x)Ig(x)o］化g(,)或屮)x!：(X)

If(x)|<g(x)o-g(x)<f(x)<g(x).

f(x)〉g(x)ofx(lg,)或f()x〉W)；

If(x)|>g(x)of(x)>g(x)或f(x)<-g(x).

f(x)>g(x)o[f(x)]2>[g(x)]2.

④形如ix-a+x-b<c的不等式可利用零點分段討論求解.

2.重要不等式

(1)a2+b2U2ab.其中a,bgR，當且僅當a=b時等號成立.

(2)基本不等式：2弋口.、.,：爲淇中a,b〉0，當且僅當a=b時等號成立.

(1)

S=Ch

正棱柱側

(2)

(C為底面周長，h為側高)

.其中a,b>0，當且僅當a=b時等

ab

號成立.

4abD(a+b)2D2(a2+b2).其中a,bgR，當且僅當a=b時等號成

立.

a2+b2+c2□L(a+b+c)2口ab+bc+ca.其中a,b,cgR，當且僅

3

當a=b=c時等號成立.

ba

I—+I口2，當且僅當|a|=|b|時等號成立.

八、立體幾何

1?空間幾何體的側面積公式

Ch

正棱錐側2

S=2冗rl

圓柱側

S=冗廠1

圓錐側

S=冗(廠+r')l

圓臺側

2?空間幾何體的表面積公式

4)

2)S=冗廠(廠+1)

圓錐

1)S+1)

圓柱

(3)S冗(r‘2+r2+r'l+rl)

(4)

S=

球

：4冗R2

圓臺

3.空間幾何體的體積公式

1

(1)V=Sh

(2)

V

=Sh

柱體

錐體

3

(3)VJS+畫SS，+S')h

臺體3

(4)V=冗皿

(5)

V

=冗r2h

圓柱

圓錐

3

(6)V=—冗h(r2+rr'+r‘2)

(7)

V=

4

冗R3

圓臺3

球

3

4.平面的基本性質(zhì)

公理1：Ae1,Be1,且Aea,Bean1u

a.

公理2：A,B,C,A,B,CeP，且A,B,C三點不共線與卩重合.

公理3：Pea,且PepndQp=1，且Pe1.

空間兩直線平行的判定

a//b\

(1)a//c(2)

b//cJ

a丄匕丁na//bb丄a

a//a

(3)auP\na//baQp=bJ

3）

a//P、

aQy=a>na//bPQy=b]

空間兩直線垂直的判定

a丄a〕a//b]

(1)a丄b(2)l丄b(3)三垂線定理及其

b//a\(2)l丄aJ

逆定理

空間兩直線異面的判定方法

(1)反證法；(2)平面外一點與平面內(nèi)一點的連線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.

直線與平面平行的判定

a#a]

（1）bua>na//aa//bJ

a//P]

⑵auajUa//P

直線與平面平行的性質(zhì)

a//P]

aua>na//baQP=bJ

平面與平面平行的判定

auP,buP]

（1）aQb=P>nP//aa//a,b//aJ

2）

丄a]

a//P

卩

平面與平面平行的性質(zhì)

a//P'

aQy=a>na//b

PQy=b|

直線與平面垂直的判定

aua,bua

（1）aQb=A>n1丄a

1丄a,1丄b

2)

a//b'

a丄嚴b±a

直線與平面垂直的性質(zhì)

1丄a'

⑴1丄pLP//a

a丄a'

（2）a//b

b丄af

平面與平面垂直的判定

1)

1丄a'

1uPj>nP=a

(2)二面角的平面角°=90。

平面與平面垂直的性質(zhì)

1）

a丄P,aQP=CD'

ABua,AB丄CDAB丄卩

Aga,Aea'

⑵a丄P,a丄P>「aUa

九、直線、圓與方程

1.直線與方程

(1)直線方程

點斜式：y-y0=k(x-x0)；

斜截式：y=kx+b；

x-x

兩點式：y片—1(x豐x,y豐y)；

y一yx一xi2i2

2121

截距式：蘭+—=l(a豐0,b豐0)；

ab

一般式：Ax+By+C=0(a,b不同時為0)

直線的斜率公式

經(jīng)過兩點p(%yi),x2,y2)(X]豐x2)的直線的斜率公式：

ky-y(xx).

x-x12

21

兩條直線的位置關系

I/y=kx+b])與l2(y=k^x+b?)平行：k]=k^且b]豐b?；

l(y=kx+b)與l(y=kx+b)垂直：kk=-1；

11122212

l(Ax+By+C=0)與l(Ax+By+C=0)平行：

11112222

i=i豐i(ABC豐0)；

ABC222

222

l](A】x+B]y+C=0)與l2A2x+By+C^=0垂直：

AA+BB=0

i2i2

4）距離公式

①兩點P(X],y〉P2(x2,y2)間的距離：

\pp豐(近xA+(y-y特別地，原點o(o,o)與任意一點

12'2121

P(x,y)的距離Op\=4.x2+y2?

③兩平行直線：I/Ax+By+C廣0和l2：Ax+By+C2=0間的距離:

2?圓與方程

圓與方程

圓的標準方程：(x-a)2+(y-b)2=r，圓心為(a,b)，半徑為r.

圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D2+E2-4F>0，圓心為(一，一)，半徑r=_'D2+E2—4F?

222

直線與圓的位置關系

設直線l:Ax+By+C=0，圓C:(x—a)2+(y—b)2=r，圓心到

Aa+Bb+C|

直線的距離為d，d=:d>rO直線與圓相離；d=ro

A2+B2

直線與圓相切；d<rO直線與圓相交.

過圓上一點的切線方程

與圓X2+y2=r2相切于點(x,y)的切線方程：xx+yy=r2.

0000

與圓(x-a)2+(y-b)2=r相切于點(x,y)的切線方程：

00

(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r2.00

圓與圓的位置關系

設兩圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2,C:(x-a)2+(y-b)2=r2，圓11112222

心距

d=y',(a-a)2+(b—b)2，貝【Jd>r+ro兩圓相離；d=r+ro兩

21211212

圓外切；

|[一〔|<d<[+r^o兩圓相交；d=r1-r?|o兩圓內(nèi)切；

d<r-r|o兩圓內(nèi)含.

12

直線被圓所截弦的問題

設直線與圓相交于兩點A(%,y1),B(x2,y2)，則弦AB的長：

|AB|=<1+k2x一x=J(1+k2)[(x+x)2-4xx](k為直線AB的

121212

斜率).

|AB|=2r2—d2(d為弦心距，r為圓的半徑).

空間直角坐標系

1)空間兩點間的距離公式

①空間中的任意一點P(x,y,z)與原點的距離：Op\=^x2+y2+z2

②空間中任意兩點P](X],人,Z]),P2(x2,y2,z2)間的距離:

|PP1=y.(x-X)2+(y-y)2+(z-z)2

12121212

空間線段的中點坐標

在空間直角坐標系中，若A(X],歹],z1),B(x2,y2,z2)，則線段AB的中

點坐標是：

/X+xy+yz+z、

(12,1222

十、圓錐曲線與方程

橢圓的標準方程及幾何性質(zhì)

X2y2y2X2

標準方程：一+=(a>b0)或+一=l(a>b0)

a2b2a2b2

焦點：(土c,0)或(0,土c)

c

離心率：e=(0<e<1,c2=a2一b2)

a

雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì)

X2y2y2X2

標準方程：—=l(a,b>0)或=l(a,b>0)

a2b2a2b2

焦點：(±c,0)或(0,±c)

ba

漸近線：y=±—x或y=±x

ab

c

離心率：e=(e>1,c2=a2+b2)

a

拋物線的標準方程及幾何性質(zhì)標準方程：y2=2px(p>0)

焦點：(―,0)

2

焦半徑：=x+-

p

準線方程：x=—

2

直線截圓錐曲線的弦長

設弦AB的端點坐標為A*,y〉B(x2,y?)，直線AB的斜率為k,則|AB|=\〕(1+k2)[(x+x)2-4xx]

11212

十一、平面向量

向量的概念

向量的基本要素：大小、方向.

向量的表示：字母的表示：AB,a.坐標表示：a=(x1,y1)

(3)向量的模：向量的模即向量的大小，記作AL若a=(%,yi)，貝y

(4)特殊的向量：①a=0oA1=0.②單位向量：a為單位向量oA1=1.

③相等向量：長度相等且方向相同的向量.

設a=（X],yi）,b=（x2,y?），則a=box廣x?,y廣y?.

向量的運算.

（1）向量的加減法幾何運算：三角形法則或平行四邊形法則.

坐標運算：設a=（X],y]）,b=（x?,y?），則a士b=（x]士x?,y]士y?）.（?）實數(shù)與向量的積

定義：尢a是一個向量，滿足尢〉0時，尢a與a同向；尢＜0時，尢a與a反向；尢=0時，扁=0.九a=川a.

坐標運算：尢a=尢（兀],y]）=（尢兀],y]）

（3）向量的數(shù)量積

定義：a-b=a\bCosO，其中。是a與b的夾角，0口?！跞?坐標運算：a-b=xx+yy.

]?]?

重要公式

（]）平面向量基本定理：a2$]+X?e?，e]?e?不共線.

（2）距離公式：設A（x]?y]）,B（x?,y?），則AB=（x?-x〉（y?-y]），

—x）?+（y—y）?.

?]?]

3）非零向量平行的充要條件：a//boa=2box]y?-x?y]=0.

(4)非零向量垂直的充要條件：a丄boa-b=0ox^+yiy2=0.

5)夾角公式：

xx+yy

laIbx2+y2?幺2+y2

1122

(1)

c'=0

c為常數(shù))

(3)

(sinx)'

=cosx

(5)

(ex)'=

ex

(7)

(lnx)':

=1(x>0)

x

a豐1

)

1.幾種常見函數(shù)的導數(shù)

十二、導數(shù)及其應用

(2)(xn)'=nxn-i(neQ，且n豐0)

(4)(cosx)'=-sinx

(6)(ax)'=axlna(a>0,且a豐1)

(8)(logx)'=-—(x>0,a>0，且axlna

導數(shù)運算法則

[f(x)+g(x)]'=f'(x)土g'(x)；

[f(x)?g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；

[f(x)]'=廣(x)g(x)-f(x)g'(x)(g(x)豐0)

g(x)[g⑴]2

復合函數(shù)的導數(shù)

若函數(shù)u=g(x)在x處可導，y=f(u)在u處可導，則復合函數(shù)y=f[g(x)]在x處可導，且y'=y'?u