第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025-2026學(xué)年山西省太原市陽(yáng)曲縣龍城雙語(yǔ)中學(xué)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共6小題，每小題3分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P（-2，5）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.（5，2） B.（-2，-5） C.（2，-5） D.（2，5）2.若一元二次方程x2+5x+m=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則m的值可以是（）A.4 B.5 C.6 D.73.已知二次函數(shù)y=-3（x-1）2-3，下列說(shuō)法正確的是（）A.拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-1 B.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）

C.函數(shù)的最大值是-3 D.函數(shù)的最小值是-34.如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，若△POM的面積等于4，則k的值等于（）A.8

B.-8

C.4

D.-45.如果小球在如圖所示的地板上自由地滾動(dòng)，并隨機(jī)的停留在某塊方磚上，那么它最終停留在陰影區(qū)域的概率是（）A.

B.

C.

D.6.司南是中國(guó)發(fā)明的廣泛應(yīng)用于古代軍事、航海的指南儀器，用正八邊形的八個(gè)頂點(diǎn)A～H代表八個(gè)方位，如圖，BH與DG交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P位于點(diǎn)D的（）A.南偏西75°方向 B.北偏東75°方向 C.南偏西67.5°方向 D.北偏東67.5°方向二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。7.設(shè)x1，x2是一元二次方程x2-2x-5=0的兩個(gè)根，則x1+x2-x1x2=

.8.拋物線y=-（x+3）2+7與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是

.9.如圖，一個(gè)底部是球形的燒瓶，截面圖中弦AB的長(zhǎng)為8cm,弧AB液體的深度CD=2cm,則球的半徑為

cm.10.圓錐的底面半徑為3cm,側(cè)面積為12πcm2，則這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為_(kāi)_____cm.11.如圖，近幾年二維碼已經(jīng)成為人民生活不可或缺的一部分，如圖正方形二維碼的邊長(zhǎng)為10cm,為了測(cè)算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.65左右，據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為

cm2.

12.已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，若△OAB為等腰三角形，且腰長(zhǎng)為5，則AB的長(zhǎng)為

.

三、解答題：本題共11小題，共84分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。13.(本小題6分)

解下列方程：

（1）（2x-5）2=16；

（2）x（x+6）=-5（x+6）.14.(本小題6分)

為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，某村委會(huì)干部帶領(lǐng)村民在網(wǎng)上直播推銷(xiāo)農(nóng)產(chǎn)品.八月份銷(xiāo)售蜂蜜400瓶，九、十兩月這種蜂蜜銷(xiāo)售量持續(xù)增加，十月份的銷(xiāo)售量達(dá)到576瓶.

（1）設(shè)九、十兩月的銷(xiāo)售量的月平均增長(zhǎng)率x,九月份銷(xiāo)售量為_(kāi)_____，十月份銷(xiāo)售量為_(kāi)_____；（均用含x的式子表示）

（2）列方程求九、十兩個(gè)月的銷(xiāo)售量月平均增長(zhǎng)率.15.(本小題6分)

如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，△ABC是等邊三角形.線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接AE.

（1）求證：AE=BD；

（2）若∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的長(zhǎng).16.(本小題6分)

為了有效保護(hù)環(huán)境，某景區(qū)要求游客將垃圾按可回收垃圾，不可回收垃圾，有害垃圾分類(lèi)投放．一天，小林一家游玩了該景區(qū)后，把垃圾按要求分成三袋并隨機(jī)投入三類(lèi)垃圾桶中，請(qǐng)用列樹(shù)狀圖的方法求三袋垃圾都投對(duì)的概率．17.(本小題6分)

如圖，在3×3的網(wǎng)格中，線段AB的端點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求用無(wú)刻度直尺作圖.

（1）在圖1中作點(diǎn)Q，使得AQ=BQ；

（2）在圖2線段AB上作點(diǎn)P，使得AP：BP=2：1.18.(本小題8分)

笑笑同學(xué)通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理知識(shí)，知道了電磁波的波長(zhǎng)λ（單位：m）會(huì)隨著電磁波的頻率f（單位：MHz）的變化而變化，已知波長(zhǎng)λ與頻率f之間存在一定的關(guān)系，下面是它們的部分對(duì)應(yīng)值：頻率f/MHz101550波長(zhǎng)λ/m30206（1）用式子表示波長(zhǎng)λ與頻率的關(guān)系，這兩個(gè)量成什么比例關(guān)系？

（2）當(dāng)f=75MHz時(shí)，求此電磁波的波長(zhǎng)λ.19.(本小題8分)

如圖，AC是四邊形ABCD外接圓O的直徑，AB=BC，∠DAC=30°，延長(zhǎng)AC到E使得CE=CD，作射線ED交BO的延長(zhǎng)線與F，BF交AD與G.

（1）求證：EF與⊙O相切；

（2）若AO=2，求△FGD的周長(zhǎng).20.(本小題8分)

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DE∥BC，.

（1）求證：DF∥BE；

（2）如果AF=3，EF=6，S△ADF=4.求△ABC的面積.21.(本小題9分)

綜合與實(shí)踐

近期，全國(guó)多地新能源汽車(chē)充電站迎來(lái)升級(jí)改造，遮陽(yáng)棚成為標(biāo)配設(shè)施，其為車(chē)主提供更舒適、安全的充電環(huán)境.圖1是某弧形遮陽(yáng)棚橫截面的示意圖，其中棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分，棚頂?shù)亩它c(diǎn)B為該拋物線的最高點(diǎn)，點(diǎn)B到地面的距離為3米，棚頂與立柱的交點(diǎn)A到地面的距離為2米，且點(diǎn)A，B的水平距離為6米.

（1）求該拋物線的函數(shù)解析式.

（2）現(xiàn)有一輛新能源客車(chē)需要充電，圖2是該車(chē)的截面圖，已知車(chē)身長(zhǎng)約5米，車(chē)廂的最高點(diǎn)與遮陽(yáng)棚接觸點(diǎn)P離地面約2.36米.請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明這輛新能源客車(chē)是否可以完全停進(jìn)遮陽(yáng)棚的正下方.

（3）為了讓弧形遮陽(yáng)棚更加穩(wěn)固和美觀，計(jì)劃在遮陽(yáng)棚內(nèi)側(cè)安裝鋼架.如圖3，鋼架分兩段，其中一段連接點(diǎn)A與點(diǎn)B，然后在AB中點(diǎn)處取點(diǎn)D，在鋼架AB和棚頂之間豎直安裝第二段鋼架CD，直接寫(xiě)出第二段鋼架CD的長(zhǎng).22.(本小題9分)

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，且AD⊥BC于點(diǎn)D

（1）如圖①，求證：∠B=∠C；

（2）如圖②，點(diǎn)E在弧AC上，連接AE，CE，，求證：∠CAE=2∠ACE；

（3）如圖②，在（2）的條件下，若AE=5，AB=13，求E到AC的距離.23.(本小題12分)

【問(wèn)題背景】

（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是BD上一點(diǎn)，連接CE，F(xiàn)為射線AB上一點(diǎn)（不與射線端點(diǎn)A重合），且∠AFE=∠BCE．求證：CE=EF且CE⊥EF；

【類(lèi)比探究】

（2）如圖2，將（1）中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，其他條件均不變，若BC=4，CD=3．探究線段CE與EF之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【拓展延伸】

（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD交BC于點(diǎn)H，延長(zhǎng)FE交AD邊于點(diǎn)G，若△CDE是等腰三角形，直接寫(xiě)出的值．

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】7

8.【答案】（0，-2）

9.【答案】5

10.【答案】4

11.【答案】65

12.【答案】5或或

13.【答案】，

x1=-6，x2=-5

14.【答案】400（1+x），400（1+x）2；

20%．

15.【答案】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)可知∠DCE=60°，CD=CE，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°，AC=BC，

∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD

即∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中，

，

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴AE=BD．

（2）連接DE，

由（1）的結(jié)論知AE=BD，

∵BD=5，

∴AE=5，

由旋轉(zhuǎn)可知∠DCE=60°，

∴△DCE是等邊三角形，

∴∠CDE=60°，

∵∠ADC=30°

∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，

在Rt△ADE中，，

∵△CDE是等邊三角形，

∴CD=DE=4

16.【答案】解：三類(lèi)垃圾隨機(jī)投入三類(lèi)垃圾箱的樹(shù)狀圖如下：

由樹(shù)狀圖可知隨機(jī)投入三類(lèi)垃圾桶共有6種等可能結(jié)果，其中三袋垃圾都投對(duì)的只有1種結(jié)果，

∴三袋垃圾都投對(duì)的概率為．

17.【答案】解：（1）如圖1，點(diǎn)Q'，Q''均滿足題意．

（2）如圖2，取格點(diǎn)M，N，使AN：BM=2：1，且AN∥BM，連接MN，交AB于點(diǎn)P，

則△APN∽△BPM，

可得AP：BP=AN：BM=2：1，

則點(diǎn)P即為所求．

18.【答案】fλ=300，這兩個(gè)量成反比例關(guān)系；

此電磁波的波長(zhǎng)λ為4m

19.【答案】（1）證明：如圖，連接OD，

∵OC=OD，∠OCD=60°，

∴△OCD是等邊三角形，

∴∠ODC=60°，

∴∠ODE=∠ODC+∠CDE=90°，

又∵OD是半徑，

∴EF是⊙O的切線；

（2）解：∵AB=BC，AO=CO，

∴BO⊥AC，

∴∠AOG=∠EOF=90°，

∵∠DAC=∠E=30°，

∴∠AGO=∠F=60°，

∴∠F=∠FGD=60°，

∴△FGD是等邊三角形，

∴FD=DG=FG，

∵AO=2，∠DAC=30°，∠ADC=∠AOG=90°，

∴AC=4，DC=AC=2，AD=DC=2，AG=2OG，AO=OG，

∴OG=，AG=，

∴DG=，

∴△FGD的周長(zhǎng)=3×DG=2．

20.【答案】∵，

∴，

∴，即；∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∴，

∴，

∵∠A=∠A，

∴△ADF∽△ABE，

∴∠ADF=∠ABE，

∴DF∥BE

108

21.【答案】（1）

（2）不可以；設(shè)點(diǎn)P（x，2.36），

，

解得x1=1.2，x2=10.8，

∴1.2+5＞6，

所以這輛新能源客車(chē)不可以完全停進(jìn)遮陽(yáng)棚正下方

（3）

22.【答案】∵AO延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，AD⊥BC于點(diǎn)D，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∴AB=AC，

∴∠B=∠C

如圖②，點(diǎn)E在弧AC上，，連接BE，設(shè)∠ACE=α，則∠ACB=3α，

∴∠ABC=∠ACB=3α，

∵∠ABE=∠ACE=α，

∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=3α-α=2α，

∴∠CAE=∠CBE=2α=2∠ACE

3

23.【答案】（1）證明：如下圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，作EQ⊥AB于Q，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABE=∠CBE=45°，

∴EQ=EH，

在△FQE和△CHE中，

，

∴△FQE≌△CHE（AAS），

∴EF=EC，∠QEF=∠CEH，

∴∠CEF=∠CEH+∠FEH=∠QEF+∠FEH=∠QEH=90°，

∴CE⊥EF；

（2）解：EF：EC=4：3且CE⊥EF，理由如下：

如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，作EQ⊥AB于Q，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，∠BCD=90°，

∴四邊形BHEQ為矩形，

∴∠QEH=90°，QE=BH，

∵∠FQE=∠CHE=90°，∠AFE=∠BCE，

∴△QEF∽△HEC，

∴∠QEF=∠HEC，，

∴∠CEF=∠CEH+∠FEH=∠QEF+∠FEH=∠QEH=90°，

∴CE⊥EF，

∵EH∥CD，

∴，

∵CD=3，BC=4，

∴，

∴，

∴EF：EC=4：3；

（3）解：若△CDE是等腰三角形，則分以下三種情況：

①當(dāng)CD=DE=3時(shí)，

∵BD===5，

∴BE=BD-DE=5-3=2，

∵EH⊥BD，

∴∠BEH=∠CEF=90°，

∴∠BEF=∠CEH，

∵∠AFE=∠BCE，

∴△BEF∽△HEC，

∴，

∴EH===，

∴BH===，

∴CH=BC-BH=4-=，

∴BF===2，

設(shè)BC與FG交于點(diǎn)M，

∵BC∥AD，AB=CD=3，AD=BC=4，

∴，，

∴，

∴GD=AD=×4=，

∴CG===，

∴；

②當(dāng)CE=CD=3時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥BD于點(diǎn)P，

∴DP=EP，

∵sin∠BDC==，

∴，

∴CP=，

∴DP=EP==，

∴BE=BD-DP-EP=5--=，

同①可得，

∴EH===，

∴BP==，

∴CP=4-=，

∴BF===3，=，

∴=，

∴DG==，

∴CG==，

∴=