專題09運(yùn)用空間向量研究立體幾何問題平行垂直角異面直線角：平移線面角：作平面垂線（由面面垂直得線面垂直）二面角：作三垂線（由等體積法求垂線長）題組一平行關(guān)系的證明類型一線線平行證明線面平行中位線法1．已知四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=AD=2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是PD，AB的中點(diǎn)．求證：AE∥平面PFC．平行四邊形法2．在四棱錐P-ABCD中，，，，點(diǎn)E在棱PD上，且．求證：AE∥平面PBC；類型二線面平行證明線線平行（2021·長沙市·湖南師大附中高三二模）如圖，在四棱錐中，，，，△是邊長為2的等邊三角形，平面平面，為線段上一點(diǎn).設(shè)平面平面，證明：平面；類型三面面平行證明線面平行(雙中點(diǎn)）（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，且側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA＝2AD．E，F(xiàn)，H分別是PA，PD，AB的中點(diǎn)，G為DF的中點(diǎn)．證明：平面BEF；題組二垂直關(guān)系的證明1、如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1，平面AA1C1C⊥平面ABC證明：EF⊥BC．2．（浙江省紹興市2021屆高三下學(xué)期4月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱柱中，.證明：平面；3．（浙江省紹興市嵊州市2021屆高三下學(xué)期5月高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）已知平行六面體，底面是邊長為2的菱形，且，．證明：平面平面；

題組三線面角、二面角的定義（浙江省溫州市高三下學(xué)期3月適應(yīng)性測試）如圖，在三棱錐中，，．（1）證明：；（2）有三個(gè)條件；①；②直線與平面所成的角為；③二面角的余弦值為．請你從中選擇一個(gè)作為條件，求直線與平面所成的角的正弦值．2．（2021·浙江高三月考）已知四邊形，，，將沿翻折至.（Ⅰ）若，求證：；（Ⅱ）若二面角的余弦值為，求與面所成角的正弦值.題組四點(diǎn)到平面的距離如圖，在三棱錐S?ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，SA=SC=22，O,M分別為AC,AB的中點(diǎn)，且SO⊥AB．求點(diǎn)B到平面題組五線面角、二面角的幾何求法類型一線面角幾何求法——等體積法（浙江省紹興市上虞區(qū)2021屆高三下學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知三棱錐，是等腰直角三角形，是等邊三角形，且，，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值

類型二二面角幾何求法——垂面法如圖甲，△ABC是邊長為6的等邊三角形，E，D分別為AB、AC靠近B、C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)G為BC邊的中點(diǎn)．線段AG交線段ED于F點(diǎn)，將△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，連接AB、AC、AG形成如圖乙所示的幾何體．(1)求證BC⊥平面AFG．(2)求二面角B-AE-D的余弦值．類型三二面角幾何求法——三垂線定理如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，E，別為AC，DC的中點(diǎn)． （1）求證：EF⊥BC；（2）求二面角E?BF?C的正弦值題組六、探索性問題1、（2021·山東濱州市·高三二模）如圖，在四棱錐中，O是BD的中點(diǎn)，平面ABCD，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)，若二面角的余弦值為，求的值.2、（2021·福建廈門雙十中學(xué)高三其他模擬）已知四棱錐E—ABCD中，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥DC，AD＝DC＝2，AB＝4，△ADE為等邊三角形，且平面ADE⊥平面ABCD．（1）求證：AE⊥BD；（2）是否存在一點(diǎn)F，滿足(0＜≤1)，且使平面ADF與平面BCE所成的銳二面角的余弦值為．若存在，求出的值，否則請說明理由．題組七、線面角、二面角的空間向量求法類型一線面角1、（2021·山東聊城市·高三三模）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，以BD為折痕把折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且．（1）證明：；（2）若M為PB的中點(diǎn)，二面角的大小為60°，求直線PC與平面MCD所成角的正弦值．2、（2021·山東泰安市·高三其他模擬）如圖，圓柱的高為3，是圓柱的下底面圓的內(nèi)接三角形，是上底面圓內(nèi)的一條弦，均為圓柱的母線，且分別為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若是等邊三角形，求直線與平面所成角的正弦值．類型二、面面角1、（2021·河北邯鄲市高三三模）在三棱柱中，底面，為正三角形，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.2、（2021·山東泰安市·高三三模）已知三棱柱，，，，點(diǎn)為中點(diǎn).（1）試確定線段上一點(diǎn)，使平面；（2）在（1）的條件下，若平面平面，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．1、（2021·山東青島市·高三二模）如圖，在直三棱柱中，底面三角形為直角三角形，其中，，，，，分別為和的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，求直線與平面所成角正弦的最大值.2、（2021·長沙市·湖南師大附中高三二模）如圖，在四棱錐中，，，，△是邊長為2的等邊三角形，平面平面，為線段上一點(diǎn).（1）設(shè)平面平面，證明：平面；（2）是否存在這樣點(diǎn)，使平面與平面所成角為，如果存在，求的值；如果不存在，請說明理由.3．（浙江省麗水、湖州、衢州三地市2021屆高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知三棱柱，是正三角形，四邊形是菱形且，是的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.4．如圖，在四棱錐中，分別是的中點(diǎn)，底面是邊長為2的正方形，，且平面平面.（1）求證：平面平面；（2）求二面角所成角的余弦值.1、（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．2、（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?3、（2020全國Ⅰ理18）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．4、（2020天津17）如圖，在三棱柱中，平面，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．5、（2020山東20）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，設(shè)平面與平面的交線為．（1）證明：平面；（2）已知，為上的點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的最大值．6、（2019?新課標(biāo)Ⅰ，理18）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分別是，，的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．7.（2022?全國甲卷理科）在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．8、（2022?全國新高考1卷）．如圖，直三棱柱ABC?A1B1（1）求A到平面A1（2）設(shè)D為A1C的