第八章立體幾何初步TOC\o"1-5"\h\zI、佼^￡、1艾^^、1支口 1\o"CurrentDocument"2、圓柱、圓錐、圓臺、球和簡單組合體 7\o"CurrentDocument"3、立體圖形的直觀圖 13\o"CurrentDocument"4、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積 18\o"CurrentDocument"5、圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積 25\o"CurrentDocument"6、平面 31\o"CurrentDocument"7、空間點、直線、平面之間的位置關系 36\o"CurrentDocument"8、直線與直線平行 42\o"CurrentDocument"9、直線與平面平行的判定 48\o"CurrentDocument"10、直線與平面平行的性質 53\o"CurrentDocument"11、平面與平面平行的判定 59\o"CurrentDocument"12、平面與平面平行的性質 64\o"CurrentDocument"13、直線與直線垂直 71\o"CurrentDocument"14、直線與平面垂直的判定 7715、直線與平面垂直的性質 83\o"CurrentDocument"16、平面與平面垂直的判定 90\o"CurrentDocument"17、平面與平面垂直的性質 95\o"CurrentDocument"章末檢測 1021、棱柱、棱錐、棱臺.觀察如圖所示的四個幾何體,其中判斷不正確的是（）①B.②不是棱錐A.①是棱柱①B.②不是棱錐A.①是棱柱D.④是棱臺D.④是棱臺解析:選B結合棱柱、棱錐、棱臺的定義可知①是棱柱,②是棱錐,④是棱臺,③不是棱錐,故B錯誤..下列關于棱柱的說法中,正確的是（）A.棱柱的所有面都是四邊形ー個棱柱中只有兩個面互相平行

ー個棱柱至少有6個頂點、9條棱、5個面D.棱柱的側棱長不都相等解析:選CA說法不正確,比如三棱柱的底面為三角形;B說法不正確,比如長方體中,相對側面互相平行,兩個底面互相平行;C說法正確,ー個棱柱至少有6個頂點、9條棱、5個面;D說法不正確,由棱柱的定義可知棱柱的側面為平行四邊形,側棱長都相等.故選C.3.（多選）下列說法中,正確的是（）A.棱錐的各個側面都是三角形B,有一個面是多邊形,其余各面都是三角形,由這些面圍成的幾何體是棱錐C.四面體的任何一個面都可以作為三棱錐的底面D.棱錐的各側棱長相等解析:選AC由棱錐的定義,知棱錐的各側面都是三角形，故A正確;有ー個面是多邊形,其余各面都是三角形,如果這些三角形沒有一個公共頂點,那么這個幾何體就不是棱錐,故B錯；四面體就是由四個三角形所圍成的幾何體,因此四面體的任何ー個面作底面的幾何體都是三棱錐，故C正確;棱錐的側棱長可以相等，也可以不相等,故D錯.故選A、C.4,在下列四個平面圖形中,每個小四邊形皆為正方形,其中可以沿相鄰正方形的公共邊折疊圍成一個正方體的圖形是（）方體即可..如圖,將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜ー個小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是（） /―7|A.棱柱C.A.棱柱C.棱柱與棱錐的組合體B.棱臺D.不能確定c,解析:選A如圖...?平面ん4010〃平面.,?有水的部分始終有兩個平面平行,而其余各面都是平行四邊形（水面與兩平行平面的交線）,因此呈棱柱形狀.c,.ー個棱柱有10個頂點,所有側棱長的和為60cm,則每條側棱長為解析:〃棱柱有2n個頂點,因為此棱柱有10個頂點,所以此棱柱為五棱柱.又棱柱的側棱都相等,五條側棱長的和為60cm,可知每條側棱長為12cm.答案:12.用一個平面去截ー個三棱錐,截面形狀可能是（填序號）.①三角形;②四邊形;③五邊形;④不可能為四邊形.解析:按如圖①所示用ー個平面去截三棱錐,截面是三角形;按如圖②所示用ー個平面去截三棱錐,微面是四邊形.答案:①②.如圖,例是棱長為2cm的正方體A8CD-A1かGDi的棱CG的中點,沿正方體表面從點A到點M的最短路程是cm.解析:由題意,若以為折疊線展開,則A,M兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為2cm,3cm,故兩點之間的距離是，T3cm.若以8S為折疊線展開,則A,M兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為1cm,4cm,故兩點之間的距離是，行cm.故沿正方體表面從點4到點M的最短路程是，6cm.答案:V139.試從正方體ABCDA/iGA的ハ個頂點中任取若干個點,連接后構成以下空間幾何體,并且用適當的符號表示出來.(做出其中一個即可)(1)只有一個面是等邊三角形的三棱錐;(2)四個面都是等邊三角形的三棱錐;(3)三棱柱.解:(1)如圖所示,三棱錐ん-48|。1(答案不唯一).(2)如圖所示,三棱錐ル-ACDi(答案不唯一).(3)如圖所示,三棱柱んBiOi-AB￡)(答案不唯一).10.如圖所示,長方體ABCQ-4B1GO1.尸一、快A B(1)這個長方體是棱柱嗎?如果是,是幾棱柱?為什么?(2)用平面BC尸E把這個長方體分成兩部分后,各部分形成的幾何體還是棱柱嗎?如果是,是幾棱柱?如果不是,說明理由.解:(1)這個長方體是棱柱,是四棱柱.因為以長方體其中一組相對的兩個面作底面時,兩個底面是互相平行的四邊形,其余各面都是矩形,當然也一定是平行四邊形,并且四條側棱互相平行,符合四棱柱的定義,所以這個長方體是四棱柱?(2)截面BCFE上方部分是棱柱,且是三棱柱BEB\-CFC\,其中和△CFG是底面;截面BCFE下方部分也是棱柱,且是四棱柱ABE41-O。ドハL其中四邊形ABEA］和DCFD\是底面..ー個棱錐的各條棱都相等,那么這個棱錐必不是()A.三棱錐 B.四棱錐C.五棱錐 D.六棱錐解析:選D正六棱錐的底面是個正六邊形,正六邊形共由6個等邊三角形構成,設每個等邊三角形的邊長為「,正六棱錐的高為ん正六棱錐的側棱長為/,由正六棱錐的高刀、底面正六邊形的邊長ハ側棱長，構成直角三角形得,后+ノ=匕故側棱長，和底面正六邊形的邊長r不可能相等.故選D..如圖所示，在三棱臺4BC-A8C中,截去三棱錐A'-ABC,則剩余部分是()BA.三棱錐 B.四棱錐C.三棱柱 D.組合體解析:選B余下部分是四棱錐4-BCC?.故選B.

.（多選）對如圖所示的幾何體描述正確的是（）A.這是ー個六面體B.這是ー個四棱臺C.這是ー個四棱柱D.此幾何體可由三棱柱截去ー個小三棱柱而得到解析:選ACDA正確,該幾何體有六個面,屬于六面體.B錯誤，該幾何體各側棱的延長線不能交于一點.C正確,如果把幾何體正面和背面作為底面就會發(fā)現(xiàn)是ー個四棱柱.D正確,如圖所示..如圖在正方形ABCZ）中,E,ド分別為AB,的中點,沿圖中虛線將3個三角形折起,使點A,B,C重合,重合后記為點P.問:（1）折起后形成的幾何體是什么幾何體?（2）若正方形邊長為2a,則每個面的三角形面積為多少?解:（1）如圖折起后的幾何體是三棱錐.c 1,c 1,(2)S^PEF=2a,3,S/\DEF=2a~-.春節(jié)期間,佳怡準備去探望奶奶,她到商店買了一盒點心.為了美觀,售貨員對點心盒做了一個捆扎（如圖①所示），并在角上配了一個花結.售貨員說,這樣的捆扎不僅漂亮,面且比一般的十字捆扎（如圖②所示）包裝更節(jié)省彩繩.你同意這種說法嗎?請給出你的理由.（注：長方體點心盒的高小于長、寬.）圖① 圖②解:同意.理由如下:設長方體點心盒的長、寬、高分別為x,y,z,依題圖②的捆扎方式,把彩繩的長度記為L,貝リL=2x+2y+4z;圖① 圖②解:同意.理由如下:設長方體點心盒的長、寬、高分別為x,y,z,依題圖②的捆扎方式,把彩繩的長度記為L,貝リL=2x+2y+4z;依題圖①的捆扎方式,繩長記為如圖所示,由三角形中兩邊之和大于第三邊,得xi+y\>m\,z+x2>m2,わ+*>63,”+z>nu,林+ア〉m5,xs+z>66,足+丁3>機7,y2+z>n/8,X\+%2+工3+必+期+祀+y1+め+券+丁4+丁5+96+42>如+ZW2+TO+ZW4+加5+砥）+加7+機8,即2x+2y+4z>M,即L>M.ュ題圖①的捆扎方式更節(jié)省材料.2、圓柱、圓錐、圓臺、球和簡單組合體1.如圖所示的圖形中有（）A.圓柱、圓錐'圓臺和球C,球、圓柱和圓臺B,圓柱、球和圓錐D.棱柱、棱錐'圓錐和球解析:選B根據題中圖形可知,①是球,②是圓柱，③是圓錐,④不是圓臺.故選B..下列命題中正確的是（）①圓錐的軸截面是所有過頂點的截面中面積最大的ー個;②圓柱的所有平行于底面的截面都是圓;③圓臺的兩個底面可以不平行.A.①② B.②C.②③ D.①③解析:選B①中當圓錐過頂點的軸截面頂角大于90°時,其面積不是最大的;③圓臺的兩個底面一定平行.故①③錯誤..如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉一周,形成的幾何體形狀為（）■ー個球體 （j\ー個球體中間挖去ー個圓柱 （ー個圓柱ー個球體中間挖去ー個長方體解析:選B圓繞著直徑所在的直線旋轉一周形成球體,矩形繞著中間軸旋轉ー周形成圓柱.4.（多選）下列關于球體的說法正確的是（）A.球體是空間中到定點的距離等于定長的點的集合B,球面是空間中到定點的距離等于定長的點的集合C.ー個圓繞其直徑所在直線旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體是球體D.球的對稱軸只有1條解析：選BC空間中到定點的距離等于定長的點的集合是球面,所以A錯誤,B正確;由球體的定義,知C正確;球的每一條直徑所在的直線均為它的對稱軸,所以D錯誤.5.用ー張長為8,寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側面,則相應圓柱的底面半徑是（）A.2 B.2nJIJI

ひラ或ス解析:選C如圖所示,設底面半徑為r,若矩形的長8恰好為卷成圓柱底

面的周長,則2nr=8,所以r=マ:同理,若矩形的寬4恰好為卷成圓柱的底2面周長,則2nア=4,所以ア=て??故選C..若一個圓錐的軸截面是等邊三角形,其面積為ホ,則這個圓錐的母線長解析:如圖所示,設等邊三角形ABC為圓錐的軸截面,由SL題意知圓錐的母線長即為△ABC的邊長,且S“bc=^?んが,.??小,,：.AB=2.答案:2.用一個平面去截幾何體,如果截面是三角形,那么這個幾何體可能是下面哪幾種:(填序號).①棱柱;②棱錐;③棱臺;④圓柱;⑤圓錐;⑥圓臺;⑦球.解析:可能是棱柱、棱錐、棱臺與圓錐.答案：①②③⑤.若一個圓錐的側面展開圖是面積為2n的半圓面,則該圓錐的高為解析：設圓錐的底面半徑為r,母線長為/,則4n=n/2,所以母線長為，=2,又半圓的弧長為2tt,圓錐的底面的周長為2itr=2ti,所以底面圓半徑ア=1,所以該圓錐的高為カニすZ2—メ=隹2—卄=ホ答案:小.從ー個底面半徑和高都是7?的圓柱中,挖去ー個以圓柱上底面為底，下底面中心為頂點的圓錐，得到如圖所示的幾何體.如果用ー個與圓柱下底面距離等于，(/</?)并且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面積.解:軸截面如圖.

被平行于下底面的平面所截的圓柱的截面圓的半徑OC=R,圓錐的截面圓的半徑。1。設為x.被平行于下底面的平面所截的圓柱的截面圓的\'OA=AB=R,.,.△〇48是等腰直角三角形.又CD"OA,則CD=BC；x=l....截面面積5=nR2—nl2=n(ア一「)(/</?).2R10.ー個圓臺的母線長為12cm,兩底面的面積分別為4ncn?和25ncm2.2R(1)求圓臺的髙;(2)求截得此圓臺的圓錐的母線長.解:(1)過圓臺的軸作截面,如圖,截面為等腰梯形ABCQ,設01.。分別為AO,3C的中點,連接〇。,作AM丄于點M.由已知可得上底半徑。iA=2cm,下底半徑08=5cm,腰長AB=12cm,所以AM=^122-32=3V15(cm),即圓臺的高為BMOC3*^15cm.(2)延長84,。。|交于點S,設極得此圓臺的圓錐的母線長為，cm,則由△54。1s^SBO,可得粵=黑，即と手=1,所以，=20,即截得此圓臺的圓錐的母線d￡>DU IJ長為20cm..若圓柱體被平面截成如圖所示的幾何體,則它的側面展開圖是()解析:選D結合幾何體的實物圖,從截面最低點開始高度增加緩慢,然后逐漸變快,最后增加逐漸變慢，不是均衡增加的,所以A、B、C錯誤.故選D..用一個平行于圓錐底面的平面截圓錐,截得圓臺上、下底面半徑的比是1：4,且該圓臺的母線長為9,則截去的圓錐的母線長為()9A.^ B.3

C.12D.36C.12解析:選B根據題意,設圓臺的上、下底面的半徑分別為r,R,設圓錐的母線長為L,截去的小圓錐的母線長為/,二?圓臺的上、下底面互相平行,??.エ=斤=不可得丄=4/.ゝ?圓臺的母線長為9,可得L-，=9,3.?ラ丄=9,解得丄=12,.??截去的圓錐的母線長為!2-9=3..如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去ー個以圓柱的上底面為底面,下底面圓心為頂點的圓錐而得到的.現(xiàn)用一個豎直的平面\ /解析:由題意,當截面過旋轉軸時,圓錐的軸截面為①;當截面不過旋轉軸時，圓錐?的軸截面為⑤，綜上可知截面的圖形可能是①⑤.答案:①⑤到圓M.(1)若OA=1,求圓M的面積;(2)若圓M的面積為3n,求。到圓M.(1)若OA=1,求圓M的面積;(2)若圓M的面積為3n,求。ん解:(1)若04=1,則0M=1,故圓M的半徑r=y]0A2—0M1=3所以圓M的面積S=n戶=]ロ.Wa陰(2)因為圓M的面積為3n,所以圓M的半徑r=小,nl,QP貝リ0ム2=（デJ+3,3,, へ所以ス。ム2=3,所以042=4,所以。4=2.15.如圖所示,圓臺母線長為20cm,上、下底面半徑分別為5cm和10cm,從母線んB的中點M拉一條繩子繞圓臺側，一-ミー、、加面轉到8點,求這條繩子長度的最小值.解:如圖所示,作出圓臺的側面展開圖及其所在的圓錐.連接MB，,在圓臺的軸截面中,：Rt△。むsRCOQB,. OA PA_. OA5. _''OA+AB=QB'"OA+AB='10'"0/4=20cm，設/BOB，=a,由扇形弧后的長與底面圓Q的周長相等,得2X10Xn=OBXa,即20n=(20+20)Xa,n二0=テ???在RCR，OM中,BfM=y/OM2+OB,2=^302+402=50(cm).即所求繩長的最小值為50cm.3、立體圖形的直觀圖.根據斜二測畫法的規(guī)則畫直觀圖時,把。X,Oy,Oz軸畫成對應的。ヤ,O'y',O'z',則/fOy與/ゴ。勿的度數分別為（ ）A.90°,90° B.45°,90°C.135°,90° D.45°或!35°,90°解析:選D根據斜二測畫法的規(guī)則,Nx'O,〈的度數應為45°或135°,Nx。ヲ指的是畫立體圖形時的橫軸與豎軸的夾角,所以度數為90°.故選D..（多選）利用斜二測畫法得到:①水平放置的三角形的直觀圖是三角形;②水平放置的平行四邊形的直觀圖是平行四邊形;③水平放置的正方形的直觀圖是正方形;④水平放置的菱形的直觀圖是菱形.以上結論正確的是（）A.① B.②C.③ D.④解析:選AB水平放置的〃邊形的直觀圖還是〃邊形,故①正確;因為斜二測畫法是ー種特殊的平行投影畫法,所以②正確;因為斜二測畫法中平行于縱軸的線段長度減半，所以③④錯誤..如圖,用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為ー個正方形,則原圖的形狀是（）C D解析:選A根據斜二測畫法知,在y軸上的線段長度為直觀圖中相應線段長度的2倍，故選A..已知兩個圓錐,底面重合在ー起,其中一個圓錐頂點到底面的距離為2cm,另ー個圓錐頂點到底面的距離為3cm,則其直觀圖中這兩個頂點之間的距離為()A.2cm B.3cmC.2.5cm D.5cm解析:選D圓錐頂點到底面的距離即圓錐的高,故兩頂點間距離為2+3=5(cm),在直觀圖中與z軸平行線段長度不變,仍為5cm.故選D..已知一個建筑物上部為四棱錐,下部為長方體,且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸ー樣,長方體的長、寬、高分別為20m,5m,10m,四棱錐的高為8m.如果按1：500的比例畫出它的直觀圖,那么在直觀圖中,長方體的長、寬、高和棱錐的高應分別為()4cm,1cm,2cm,1.6cm4cm,0.5cm,2cm,0.8cm4cm,0.5cm,2cm,1.6cm4cm,0.5cm,1cm,0.8cm解析:選C由比例尺可知,長方體的長、寬、高和棱錐的高分別為4cm,1cm,2cm和1.6cm,再結合直觀圖,知在直觀圖中,長方體的長、寬、高和棱錐的高應分別為4cm,0.5cm,2cm,1.6cm..關于斜二測畫法,下列說法不正確的是.①原圖形中平行于ス軸的線段,其對應線段平行于づ軸,長度不變;②原圖形中平行于y軸的線段,其對應線段平行于y’軸,長度變?yōu)樵瓉淼?;③畫與直角坐標系イOy對應的ノ。ヅ時,厶’O'y,必須是45°；④在畫直觀圖時,由于選軸的不同,所得的直觀圖可能不同.解析:畫與直角坐標系xOy對應的坐標系イOy時,Nx’〇'＜也可以是135°.答案:③.如圖所示,ー個水平放置的正方形ABCO,它在直角坐標系xOy中，點B的坐標為(2,2),則用斜二測畫法れ ，B畫出的正方形的直觀圖中,頂點ダ到ゴ軸的距離為

解析:畫出直觀圖（圖略）,則タ到ゴ軸的距離為冬;。A=坐。A=坐答案:ぎ/ゲ.在直觀圖中,四邊形?！瓵'B'C為菱形且邊長為 "一b，2cm,則在坐標系x。ド中原四邊形。ABC為（填/ノ形狀）,面積為cn?. /0，ズ工‘解析:由題意,結合斜二測畫法可知,四邊形。厶3C為矩形,其中。ス=2cm,。0=4cm,所以四邊形。ん的面積S=2X4=8（cm2）.答案:矩形89.用斜二測畫法畫出圖中水平放置的四邊形。A8C的直觀圖.解：（1）畫ノ軸，y'軸,兩軸相交于點。，,使/ゴ。ザ=45°.（2）在ノ軸上取點H,使。7/=3,作”4〃ブ軸，并取A'”=1（4在づ軸下方）,在ブ軸正半軸上取點C,使?！疌'=1,在X,軸正半軸上取點8',使?！?'=4,順次連接。'，A',B',C,如圖①所示.（3）擦去作為輔助線的坐標軸、線段A'“、點”,便得到四邊形。A8C的直觀圖O'A'B'C',如圖②所示.圖①10.ー個機器部件,它的下面是ー個圓柱,圖①10.ー個機器部件,它的下面是ー個圓柱,圖②上面是ー個圓錐,并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合,圓柱的底面直徑為3cm,高為3cm,圓錐的高為3cm,畫出此機器部件的直觀圖.解：（1）如圖①,畫x軸,y軸，z軸，三軸相交于點。，使/xQy=45°,ZxOz=90°.

(2)畫圓柱的兩底面.在xOy平面上畫出底面圓〇,使直徑為3cm,在z軸上截取〇。’,使〇?！?3cm,過。'作Ox的平行線O'x',Oy的平行線。'ブ,利用。'イ'與。'y'畫出底面圓。'，使其直徑為3cm.(3)畫圓錐的頂點.在z軸上畫出點P,使尸。'等于圓錐的高3cm.(4)成圖.連接A'A,B'B,PA',PB',擦去輔助線,將被遮擋的部分改為虛線,得到此幾何體(機器部件)的直觀圖,如圖②.圖②圖②A.；C.1+啦D.A.；C.1+啦D.2+^211.ー個水平放置的平面圖形的直觀圖是ー個底角為45°,腰和上底長均為1的等腰梯形,則這個平面圖形的面積是(B.解析:選D法一:如圖(1)所示,由直觀圖是ー個底角為45°的等腰梯形。'ハ'C8'可知,原圖形是直角梯形(如圖(2)所示),根據題意,易知原圖形上底長為1,下底長為1+啦,高為2,故這個平面圖形的面積是ヨx(l+l+啦)X2=2+啦.⑴⑴法二:直觀圖是上底長為!,高為為?,下底長為1+2Xり?的梯形,故原平面圖形的面積為:X(l+1+2X面圖形的面積為:X(l+1+2XX乎Xオ=2+￠12.（多選）如圖所示是斜二測畫法畫出的水平放置的三角形的直觀圖,0'為TOC\o"1-5"\h\z夕C的中點,且4ひ〃y軸,B'C〃ズ軸,那么在原平面圖形ABC中（ ）與AC相等 パAO的長度大于AC的長度 /ス’A8的長度大于A。的長度 /夕D，L8c的長度大于4。的長度解析:選AC因為A'D'//y'^i,根據斜二測畫法規(guī)則,在△ABC中有ADLBC,又為8C邊上的中線,所以△ABC為等腰三角形,則與AC相等,且長度都大于AO的長度,但BC與AO的長度大小不確定,故選A、C..如圖所示,O'B,表示水平放置的△403的イバ直觀圖,點が在ペ軸上,A’〇,與"軸垂直,且477=2, //ブ則△AOB的邊。8上的高為. /解析:設△408的邊。8上的高為ん,由直觀圖中邊〇?B'/〇'x與原圖形中邊08的長度相等,及S康用=26S克毗a,得;。8X〃=2WxTxA'〇,X?！疊',則h=4j.故AAOB的邊0B上的高為小也.答案：4啦.如圖,四邊形是邊長為1的正方形,且它是某個四邊形按斜二測畫法畫出的直觀圖,請畫出該四邊形的原圖形,并求出原圖形的面積.D/y'。（イ）/ゝ一

/いラB'解：畫出平面直角坐標系xOy,使點A與原點。重合,在ハyx軸上取點C,使AC=a,再在y軸上取點D,使AO=2,取、AC的中點E,連接OE并延長至點B,使。E=EB,連接。。， |\\廠_匕易知四邊形ABC。為平行四邊形.?シ。=2,AC=yf2,???S“bcd=2X啦=2啦,即原圖形的面積為2，115.如圖為ー幾何體的展開圖,沿圖中虛線將它們折疊起來,請畫出其直觀解:由題設中所給的展開圖可以得出,此幾何體是ー個四棱錐,其底面是ー個邊長為2的正方形,垂直于底面的側棱長為2,其直觀圖如圖所示.4、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積TOC\o"1-5"\h\z.正方體的表面積為96,則正方體的體積為（ ）A.48^6 B.64C.16 D.96解析:選B設正方體的棱長為a,則6a2=96,.,.a=4.，其體積V=a3=43=64.故選B.2.設正六棱錐的底面邊長為1,側棱長為ぐ,那么它的體積為（）A.673 B.小C.2小 D.2解析：選B由底面邊長為1和側棱長為小,可知高ん=2.又因為底面積S所以體積V=gsh=!x^坐メ2=5.

.一個棱柱和一個棱錐的高相等,底面積之比為2:3,則棱柱與棱錐的體積之比為（）A.z B.21C.2 D.3解析:選B設棱柱的高為ル,底面積為S,則棱錐的高為ん底面積為5S,古攵二者的體積之,匕為テラ"="50=T=2.び麺1.我國古代數學名著《九章算術》對立體幾何也有深入的研究,從其中的一些數學用語可見,譬如“塹堵”意指底面為直角三角形,且側棱垂直于底面的三棱柱,“陽馬”指底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐.現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”即三棱柱ABC-4BC1,其中AC丄BC,若ん4i=A8=l,當“陽馬”即四棱錐8-4ACG體積最大時,“塹堵”即三棱柱ABC-AxB\C\的表面積為（）A.V2+1 B.小+1TOC\o"1-5"\h\z「2啦+3 n^3+3し,2 2解析:選CV四棱錐かんACCごずCBC/X聲1"CV三棱柱ABC-AiBiCCリ三棱柱ABC-AiBiCi=2AC，BC,AA|=2AC,比WJAC21 1 ヽ/2 ヽ/2+3。2）=ア序=不當且僅當AC=BC=4時取等號,即當AC=BC=さ"時,V三棱柱ABC-A\B\C\取得最大值,此時四棱錐8-4ACG三棱柱ABC-A\B\C\棱柱ABC-A\B\C\的表面積為2X.XぎX乎+（乎+孚+1ト1=3+;也.故選.魯班鎖起源于中國古代建筑的梯卯結構.魯班鎖類玩具比較多,形狀和內部的構造各不相同,一般都是易拆難裝.圖①是一個魯班鎖玩具,圖②是該魯班鎖玩具的直觀圖,每條棱的長均為2,則該魯班鎖玩具的表面積為（）A.8（6+6啦+?。?B.6（8+8啦+小）C.8（6+673+^2） D.6（8+8小+夜）解析:選A由題圖,可知該魯班鎖玩具可以看成是由一個棱長為2（1+啦）的正方體截去了8個正三棱錐而得到的,且被截去的正三棱錐的底面邊長為2,側棱長為啦,則該魯班鎖玩具的表面積為6X[4X（1+啦）2-4X；X讓X啦!+8X4X2X小=8（6+昭+?。?故選A..如圖,三棱柱ABCAEC的體積為1,則四棱錐C-AA'B'B的體積是解析:；Vc-A'B'C'=~^VaBCA'B'C=2>Vc-AA'B'B=1-7=T.答案:I.已知某幾何體是由兩個全等的長方體和一個三棱柱組合而成,如圖所示,其中長方體的長、寬、高分別為4,3,3,三棱柱底面是直角邊分別為4,3的直角三角形,側棱長為3,則此幾何體的體積是,表面積是.

解析:該幾何體的體積V=4X6X3+gx4X3X3=90,表面積S=2(4X6+4X3+6X3)-3X3+：X4X3X2+^32+42X3+3X4=138.答案:90138.有一個正四棱臺形狀的油槽,可以裝油190L,假如它的兩底面邊長分別等于60cm和40cm,則它的深度為cm.解析:設油槽的上、下底面積分別為ぎ,5.由レ=；(S+#5'+S')h,得/1=3V 3X190000S+小S'+S'3600+2400+1600-萬(cm).其中底面△ABO是腰長為a的等腰直角三角形,其面積S=；XA3XAO=52.底面ABD上的高為h=AA\=a.所以其體積レi=：S〃=§X；a2Xa=，.正方體的體積V=a3,所以V2=V—Vi=03—7a3=7a3.所以V1:レ2=1:5.(2)三棱錐ん-A8O與三棱錐A-A13O是同一個幾何體.在卞 GL A/j 81/]△4BO中,AiB=BD=AiD=y/2a,如圖,取8O的中點”,連接ん”，1J2則Ai”丄8。,BH=HDヲBD=/a

所以 （表〃）2—（爭其面積Si=\bD?AiH=：X啦〃X?！?坐〃2.「等a… r1 2 「等a因為VArABD=%AiB?即科=尹?d,所以とメ=gX坐/Xd,解得イ=ヰa,即點A到平面ん6。的距離為中a..已知正四棱臺（上、下底是正方形,上底面的中心在下底面的投影是下底面中心）上底面邊長為6,高和下底面邊長都是12,求它的側面積.解:如圖,E,田分別是8C,BG的中點,〇,Oi分別是下、上底面正方形的中心,則010為正四棱臺的高,則。。=12.連接。E,O\E\,則0E=]A8=]X12=6,O\E\=^A\B\=3.過Ei作Ei"丄0E,垂足為“，則Ei”=OiO=12,OH=O\E\=3,HE=OE-0咼=6—3=3.在Rtz\Ei”E中,EiE2=Ei"2+”序=122+32=32x42+32=32*17,所以EiE=3拒.所以S個=4xgx（8iC+BC）XEiE=2X（6+12）X37^=108417.圖甲圖乙.現(xiàn)有一個封閉的正三棱柱容器,高為3,內裝水若干（如圖甲,底面處于水平狀態(tài)）.將容器放倒（如圖乙，ー個側面處于水平狀態(tài)），這時水面所在的平面EEiRド與各棱的交點分別為其所在棱的中點,則圖甲中水面的高度為（）圖甲圖乙A.小 B.2解析:選D設正三棱柱的底面積為S,則ケ8GAi8iG=3S；E，ド,ドレS/\AFE1 1 3Ei分別為其所在棱的中點,.??ー?=不即Saafe=/，SB邊“BCFE='^S,VBCFE-B\C\F\E\=45X3=45，,,,圖甲中水面的高度為ス.故選D.12.（多選）如圖,直三棱柱ABC-AiBiG中,ん4i=2,AB=BC=\,ZABC=90°,側面ん4iGC的中心為。,點E是側棱BBi上的ー個動點,有下列判斷,正確的是（）A.直三棱柱側面積是4+2吸B,直三棱柱體積是うC.三棱錐E-A40的體積為定值D.AE+EG的最小值為2啦解析:選ACD在直三棱柱ABC-Ai61cl中,AAi=2,AB=BC=l,ZABC=90°,底面ABC和んルc是等腰直角三角形,側面全是矩形，所以其側面積為1X2X2+肝+12X2=4+2心故A正確;直三棱柱的體積為V=5a4bcA4i=1x1X1X2=1,故B不正確;如圖,由〃平面ん41cle且點E是側棱BB!上的ー個動點,所以三棱錐E-A41O的高為定值ぎ,S△ん410=ポれX2=乎,所以VE-AAQヾxgx當金,故C正確；將四邊形BCC\B\>5BBi翻折,使四邊形ABBiAi與四邊形BCCiBi位于同一平面內,連接ACi與BBi相交于點E,此時AE+EG最小,AE+ECi=ACi=ylAA]+(.AiBi+BiCi)

2啦,故D正確.13,在底面是菱形的直四棱柱中,直四棱柱的對角線長分別為9,15,高是5,則該直四棱柱的表面積為.解析:如圖所2啦,故D正確.13,在底面是菱形的直四棱柱中,直四棱柱的對角線長分別為9,15,高是5,則該直四棱柱的表面積為.解析:如圖所示,設底面對角線BD=b,交點為〇,對角線んC=15,BDi=9.故有/+52=152,が+52=92,所以。2=200,從=56.因為底面是菱形,(BD辛a2+b2ItJ=^~200+56=64,即AB=8.所以該直四棱柱的側面積為4X8X5=160,表面積為160+2X3Xぬ00*56=160+4麗.答案:160+4所14.如圖,在多面體A8C0Eド中，已知平面A8CO是邊長為4的正方形，EF//AB,EF=2,Eド上任意一點到平面A3CZ）的距離均為3,求該多面體的體積.V臼校推E-A8CD=テX42X3=16.■:AB=2EF,EF//AB,?,S厶EAB-2sへBEF,

V三樓使F-EBC=V三林推C-EFB=2^三枝樓C-A8E=/V三板椎E-ABC=5X]Vratt?*E-ABCD=4..,.多面體的體積V=V?ni?E-ABCD~^V3.（4nF-￡BC=16+4=20.15.ー個正三棱錐P-ABC的底面邊長為a,高為ん一個正三棱柱ん81G-AoBoユ的頂點ん,Bi，G分別在三條棱上,Ao,Bo,Co分別在底面△ABC上,何時此三棱柱的側面積取到最大值?解:設三棱錐的底面中心為〇,連接P。（圖略）,則PO為三棱錐的高,設Ai,Bi,G所在的底面與尸。交于Oi點,則為金?=§、",令んBi=x,而尸。=/z,h則POi=~x,于是OO\=h-POi=A—~x=/i^l—所以所求三棱柱的側面積為s=3x-/i（l-り=乃（a—x）x=養(yǎng)5?一（x—§1當x=/時,S有最大值為キル，此時。1為P。的中點,即ん,Bi,G分別是三條棱的中點.5、圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積C24Ji1,若球的過球心的圓面的周長是C24JiC2,2n"c2C— D.2JiC2r c2解析:選C由2ttR=C,得R=不^,所以S年=4nR2=7■.故選C.2.已知圓柱的上、下底面的中心分別為。1,。2,過直線0102的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為（ ）A.12ヤ" B.12nC.872n D.10n解析:選B因為過直線0102的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,所以圓柱的高為2啦,底面圓的直徑為2夜,所以該圓柱的表面積為2XnX（V2）2+2nX啦X2啦=12n.3.一平面截ー球得到直徑為2小cm的圓面,球心到這個平面的距離是2cm,則該球的體積是（）A.12ncm3 B.36ncm3C.64%ncm3 D.108ncm3解析：選B設球心為。，截面圓心為Oi,連接。。,則00i垂直于截面圓。1,如圖所示.在RtZ\OOiA中,01ム=小cm,00i=2cm, B/^~~_XV4.,?球的半徑/?=0A=弋22+（?。?=3（cm）, \ ° /.?.球的體積V=^XnX33=36n（cm3）.4.已知圓錐的頂點為S,母線S4,S3互相垂直,SA與圓錐底面所成角為30°.若△”3的面積為8,則該圓錐的體積為（）A.8n B.16nC.24n D.32n解析：選A由圓錐的頂點為S,母線SA,SB互相垂直，△SAB的面積為8,可得;SA2=8,解得SA=4.由SA與圓錐底面所成角為30°,可得圓錐的底面半徑為2小,圓錐的高為2.故該圓錐的體積為V=1xnX（2?。?X2=8rt,故選A.5.圓臺上底面半徑為2.下底面半徑為6(母線長為5,則圓臺的體積為()A.40n B.52n212C.50n D.-2-n解析:選b作出圓臺的軸截面如圖所示,上底,ヤ &面半徑MO=2,下底面半徑NC=6,過D作DE垂// |ぐ、直NC,垂足為E,則EC=6-2=4,CD=5f故° NE6C￡)￡=3.即圓臺的高為3,所以圓臺的體積為V=|x3X(nX22+nX62+ypaX22XttX62)=52n..如圖所示,在棱長為4的正方體上底面中心位置打ー個直徑為2,深為4的圓柱形孔,則打孔后的幾何體的表面積為.解析:由題意知,所打圓柱形孔穿透正方體,因此打孔后所得幾何體的表面積等于正方體的表面積,再加上一個圓柱的側面積,同時減去兩個圓的面積,即5=6X42+4X2n-2nXl2=96+6n.答案:96+6n.把3個半徑為R的鐵球熔成一個底面半徑為R的圓柱,則圓柱的高為解析：設圓柱的高為〃,則3X-y"/?3=nR-?厶,解得ん=4R.答案:4R.現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5,高為4的圓錐和底面半徑為2,高為8的圓柱各ー個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各ー個,則新的底面半徑為.解析：設新的底面半徑為r,則有;Xn/X4+nノX8=gxttX52X4+nX22X8,解得r=巾.

答案:市.某組合體的直觀圖如圖所示,它的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,若圖中r=l,1=3,試求該組合體的表面積和體積.解:該組合體的表面積5=4n^+2nr/=4nXl2+2nXlX3=10n,該組合體的體積4 ,, ,,4マ,, 13n戸+nド，=§ロX13+nXl2X3=y.正四棱錐的頂點都在同一球面上,若該棱錐的高為4,底面邊長為2,求該球的表面積.解:如圖,設球心為〇,球的半徑為r,Eド為正四棱錐的高,則在RtAAOF中,（4ーザ+（啦）2=メ,解得「=不T11.B.20nD.28n.如圖所示的糧倉可近似看成一個圓錐和一個圓臺的組合體，且圓錐的底面與圓臺的較大底面重合.已知圓臺的較小底面的半徑為1,圓錐與圓臺的高分別為小一1和3,則此組合體的外接球的表面積是B.20nD.28nA.16nC.24n解析：選B設該組合體的外接球半徑為R,球心為〇,圓臺較小底面的圓心為。レ則。び+12=戸,而〇01=頂ー1+3—/?=小+2—/?,故/?2=1+（小+2—R）2,所以R=ホ,所以該組合體的外接球的表面積S=4nR2=20rt..如圖,用ー邊長為啦的正方形硬紙,按各邊中點垂直折起4個小三角形,做成一個“底座”,將體積為す的球放入其中,“底座”形狀保持不變,則球的最高點與“底座”底面的距離為（ ）解析:選D由題意,可得“底座”的底面是邊長為1的正方形,則經過44n個小三角形的頂點極球所得的微面圓的直徑為1.因為球的體積為す,所以球的半徑為1,所以球心到截面圓的距離為へ一（ナ=乎,因為垂直折起的4個小直角三角形斜邊上的高為］,所以球的最高點與“底座”底面的距離為羋+1+ラ=坐+,.故選D..《九章算術》是中國古代第一部數學專著,書中有如下問題:“今有委菽依垣,下周三丈,高七尺.問:積及為菽各幾何?”其意思為:“現(xiàn)將大豆靠墻堆放成半圓錐形,底面半圓的弧長為3丈,高7尺,問這堆大豆的體積是多少立方尺?應有大豆多少斛?”已知圓周率約為3,1丈等于10尺,1斛大豆的體積約為2.5立方尺，估算出堆放的大豆為斛.解析:因為半圓錐的底面半圓的弧長為30尺,所以可得底面圓的半徑ア=；■410（尺）.又半圓錐的高為7尺,所以半圓錐的體積レルとX3X100X7=350（立方尺），約為140斛，所以堆放的大豆約為140斛.

答案:140.已知四棱錐的底面是邊長為啦的正方形,側棱長均為ホ.若圓柱的ー個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點,另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，求該圓柱的體積.解:如圖所示,圓柱的高〇iO=gpo=5xq%2ームび=：Xyj5—l=l,圓柱的底面半徑r=；AO=；.所以圓柱的體積9 1nV=n尸?〇iO=nX-X1=—15.已知Rt^ABC中,C=90°,分別以AC,BC,48所在直線為軸旋轉ー周所得三個幾何體的體積分別為％,レ2,V,試探究W,V2,ド之間的關系,并給出證明.C解:我$+= ダトS證明:如圖,設AC=b,BC=a,作C”丄AB于“， ―h ゝB則AB=y/a2+b2.由射影定理,得A"=嬪スズ,BH=q=^,Cff=AHBH不存三個幾何體分別是兩個圓錐和組合體（有公共底面的圓錐組合體），依題意,得レi=§rrSi/ii=Qna2b,ゼ2=02〃2=彳nb2a,V=2n,CH2?AB=^n?，+ガ?yja2+b21 _c^b2=3n,1,19(a2+b2) 1所以該丁吻一nWード6、平面.下列有關平面的說法正確的是（）A.平行四邊形是ー個平面B.任何一個平面圖形都是ー個平面C.平靜的太平洋面就是ー個平面D.圓和平行四邊形都可以表示平面解析:選D我們用平行四邊形表示平面,但不能說平行四邊形就是ー個平面,故A項不正確;平面圖形和平面是兩個概念,平面圖形是有大小的,而平面無法度量,故B項不正確;太平洋面是有邊界的,不是無限延展的,故C項不正確；在需要時,除用平行四邊形表示平面外,還可用三角形、梯形、圓等來表示平面,故D項正確..若一直線a在平面a內,則正確的作圖是（ ）解析:選AB中直線a不應超出表示平面a的平行四邊形;C中直線a不在平面a內;D中直線a與平面a相交..能確定一個平面的條件是（）A,空間三個點 B.一個點和一條直線C.無數個點 D.兩條相交直線解析:選D 不在同一條直線上的三個點可確定一個平面,A、B、C條件不能保證有不在同一條直線上的三個點，故不正確.故選D..（多選）已知a,￡為平面,A,B,M,N為點,。為直線,下列推理正確的是（）AEa,AW￡,BGa,BSgaUBMGa,MGB,NGa,NGB=aCB=MNAGa,AG￡=an￡=AA,B,MGa,A,B,MG8,且A,B,/不共線つa,￡重合解析:選ABD對于A,由基本事實2可知,aUB,A正確;對于B,由MGa,MG6,NGa,N￡0,由基本事實2可知,直線MNUa,MNUB,AaCl/3=MN,B正確;對于C,VAea,AG0,.?.Ae（aC￡）.由基本事實可知aAタ為經過A的一條直線而不是點ん故C錯誤:對于D,VA,B,M不共線,由基本事實1可知,過A,B,M有且只有一個平面，故a,￡重合.故選A、B、D..已知平面a與平面タ,廣都相交,則這三個平面可能的交線有（）A.1條或2條 B.2條或3條C.1條或3條 D.1條或2條或3條解析:選D當三個平面兩兩相交且過同一直線時,它們有1條交線:當平面夕和ア平行時,它們的交線有2條;當這三個平面兩兩相交且不過同一條直線時,它們有3條交線..如圖：（1）平面A8|A平面AiG=:（2）平面AiGC4n平面AC=.答案：（1）43（2）AC.平面a,尸相交,a,6內各取兩點,這四點都不在交線上,這四點能確定個平面.解析:（1）當四點確定的兩條直線平行或相交時,則四個點確定1個平面；⑵當四點確定的兩條直線不共面時,這四個點能確定4個平面，如三棱錐的頂點和底面上的頂點.答案:1或4TOC\o"1-5"\h\z.若直線，與平面a相交于點。,A,BGl,C,DG 紫a,且AC〃8D,則〇,C,。三點的位置關系是 . /―,解析:如圖,,.,ん。〃5。,...AC與BO確定一個平面,/gO^D/記作平面タ,則aCガ=直線CD. /V/na=0,：.0Ga,又?；OeABu￡,直線CD,

:.o,c,。三點共線.答案:共線.如圖,在正方體ABCDAiBiGル中,判斷下列命題是否正確,并說明理由.(1)由點A,〇,C可以確定一個平面;(2)由點A,Ci，-確定的平面為平面ADG田.解:(1)不正確.因為點A,〇,C在同一條直線上,故不能確定一個平面.(2)正確.因為點A,ル,G不共線,所以可確定一個平面.又因為A0〃8iG,所以點OG平面ABiG.所以由點A,Ci,ル確定的平面為平面AOGBi..已知正方體ABCO-4B1GO1中,E,尸分別為DCi，GBi的中點,ACQBD=P,A\C\QEF=Q.求證:(1)。,B,F,E四點共面;(2)若AC交平面。8ドE于/?點,則P,Q,R三點共線.證明:(1)如圖所示,連接けA,則Eド是△OiSG的中位線,所以所〃かひ.在正方體AG中,B\D\//BD,所はEF〃BD.所以EF,8ワ確定一個平面,即。，B,F,E四點共面.(2)在正方體AG中,設平面んACG確定的平面為a,平面BDEF為仇因為QGAiC,所以QGa.又QWEF,所以QGん則Q是a與タ的公共點，同理尸是a與タ的公共點,所以aC/?=PQ.又んcCl/3=R,所以/?GAC所以/?Ga,且R",則RGPQ.故尸，Q,/?三點共線..設Pl，P2,P3，2為空間中的四個不同點,則“Pl，P2,P3,P4中有三

點在同一條直線上”是“Pl,P2,尸3,P4在同一個平面內”的（）A.充分不必要條件B,必要不充分條件C,充要條件D.既不充分又不必要條件解析:選A由過一條直線和直線外一點有且只有一個平面,可得外,尸2,尸3,尸4在同一個平面內,故充分性成立.由過兩條平行直線有且只有一個平面可得,當P1W/1, P3G12,P4Gム,ム〃，2時,P\,Pl,尸3,24在同一個平面內,但尸1,Pl,P3,尸4中無三點共線,故必要性不成立.故選A..在正方體ABCO-AiBiGOi中，M,N分別是棱。和上的點,MD=1d￡）i, 那么正方體中過M,N,G的截面圖形是（ ）B,四邊形D.B,四邊形D.六邊形C.五邊形解析:選C先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點,再確定截面與幾何體的棱的交點.設直線CiM與CD相交于點E,直線CiN與CB相交于點F,連接所交直線4。于點P,交直線A8于點Q,則五邊形GMPQN即為所求截面圖形,如圖所示..有以下三個命題:①平面外的一條直線與這個平面最多有一個公共點;②直線/在平面a內,可以用符號“/Ga”表示;③已知平面a與タ不重合,若平面a內的一條直線a與平面尸內的一條直線ル相交,則a與力相交.其中真命題的序號是.解析:若直線與平面有兩個公共點,則這條直線ー定在這個平面內,故①正確;直線/在平面a內用符號“U”表示,即/Ua,②錯誤:由a與ル相交,說明兩個平面有公共點,因此一定相交,故③正確.答案:①③.如圖,在棱長為a的正方體ABQA4SGO1中,M,N分別是ん4レD\C\

的中點,過ク,M,N三點的平面與正方體的下底面相交于直線Z.(1)畫出直線/的位置;(2)設尸P,求線段尸Bi的長.解:(1)如圖,延長OM交ワiAi的延長線于E,連接NE,則NE即為直線/的位置.(2)；M為ん4i的中點,AD//ED\,：.AD=A\E=A\D\=a.■:A\P〃D\N,且。iN=f,.*.A\P=^D\N=^a9, 1 3于疋PB\=A\B\—A\P=a—~7az=:^a.今イ.如圖所示,今有一正方體木料ABCO-AiBiGOi,其中M,N分別是AB,CB的中點，要過。”M,N三點將木料鋸開,請你幫助木工師傅想辦法,怎樣畫線才能順利完成?解:作法如下:(1)連接MN并延長交。C的延長線于ド,連接。1ド交CG于Q,連接QN;(2)延長NM交。A的延長線于E,連接。1E交ん4i于P,連接MP:(3)依次在正方體各個面上畫線。|P,PM,MN,NQ,QD\,即為木工師傅所要畫的線,如圖所示.7、空間點、直線、平面之間的位置關系.如果直線a〃平面a,那么直線a與平面a內的（ ）A.一條直線不相交B.兩條直線不相交C.無數條直線不相交D.任意一條直線不相交解析:選D直線a〃平面a,則a與a無公共點,與a內的直線當然均無公共點..在正方體ABCDAiBiGDi中,E,ド分別是線段8C,C￡）i的中點,則直線ん8與直線Eド的位置關系是（）A,相交 B.異面C.平行 D.垂直解析:選A如圖所示,直線ん3與直線外一點E確定的平面為んBC。，EFU平面んBCQ1,且兩直線不平行，故兩直線相交.故選A..在長方體ABCD-AxB\C\DX的六個表面與六個對角面（面ん4CC、面ABCiDi,面AOG8、面ドル"。、面んBCA及面んBC。）所在的平面中,與棱Aん平行的平面共有（）A.2個 B.3個C.4個 D.5個解析:選B如圖所示,結合圖形可知Aん〃平面BC\,AAi〃平面DC\,A4i〃平面BBidO.故選B.んcんc4.若a,b是異面直線,且?！ㄆ矫鎍,那么b與平面a的位置關系是（ ）A.b//a B.b與a相交C.bua D.以上三種情況都有可能解析:選D若a,ル是異面直線,且a〃平面a,則根據空間中線面的位置關系可得,b//a,或bua,或ル與a相交..（多選）以下結論中,正確的是（ ）A.過平面a外一點P,有且僅有一條直線與a平行B.過平面a外一點P,有且僅有一個平面與a平行C,過直線，外一點P,有且僅有一條直線與，平行D,過直線ノ外一點P,有且僅有一個平面與ノ平行解析:選BC如圖①所示,過點P有無數條直線都有a平行,這無數條直線都在平面尸內，過點P有且只有一個平面與a平行,故A錯,B正確;如圖②所示，過點尸只有一條直線與，平行,但有無數個平面與/平行,故C正確,D錯..如圖,G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線G”, 是異面直線的圖形有（填序號）.解析:題圖①中,GH//MN.圖②中,G,H,N三點共面,但MG/平面G//N,因此直線G”與異面.圖③中,連接GM(圖略)，GM//HN,因此,GH與MN共面.圖④中，G,M,N三點共面,イ旦HG/平面GMN,因此G”與MN異面.所以圖②④中GH與/N異面.答案:②④.在底面為正六邊形的六棱柱中,互相平行的面視為ー組,則共有組互相平行的面,與其中一個側面相交的面共有個.解析：六棱柱的兩個底面互相平行,每個側面與其直接相對的側面平行,故共有4組互相平行的面,六棱柱共由8個面圍成,在其余的7個面中,與某個側面平行的面有1個,其余6個面與該側面均為相交的關系.答案:46.在四棱錐P-A6C。中,各棱所在的直線互相異面的有對.解析：以底邊所在直線為準進行考察,因為四邊形ABC。是平面圖形,4條邊在同一平面內,不可能組成異面直線,而每ー邊所在直線能與2條側棱組成2對異面直線,所以共有4X2=8(對)異面直線.答案:8.三個平面a,B,ア,如果a〃タ,yHa=a,アC￡=b,且直線cU￡,c//b.(1)判斷。與a的位置關系,并說明理由;(2)判斷。與。的位置關系,并說明理由.解：(1)?！?(.因為a〃タ,所以a與4沒有公共點,又。u￡,所以。與a無公共點,則?！ī杢.(2)。〃。.因為a〃タ,所以a與4沒有公共點,又アCa=a,ydS=b,則aCa,bUB,且a,bUy,所以a,b沒有公共點.由于a,b都在平面y內,因此?！à笥帧！ē?所以。〃。..如圖，在正方體A8CDABCひ中，E,ド分別為冊C,4'DI的中點,求證：平面ABB7V與平面CDFE相交.A B證明:在正方體ABCDA'B'C'。中,E為8'C’的中點,所以EC與8タ不平行,則延長CE與Bタ必相交于一點H,所以HGEC,H&B'B,又88'U平面ABB'A',CEU平面CDFE,所以//W平面ABB'A',"G平面CDFE,故平面與平面COFE相交..（多選）以下四個命題中正確的是（）A,三個平面最多可以把空間分成八部分B.若直線aU平面の直線わu平面タ,則“。與わ相交”與“a與尸相交”等價C.若aC0=I,直線aU平面a,直線bu平面タ,且aC\b-P■＞則PGID.若〃條直線中任意兩條共面,則它們共面解析:選ACA正確:B中當a與タ相交時,a與ル不一定相交,故B不正確;C正確;D的反例:正方體的四條側棱任意兩條都共面,但這4條側棱卻不共面，故選A、C..（多選）ー個正方體紙盒展開后如圖,在原正方體紙盒中有如下結論,其A6與Eド是異面直線 ダ がA8與CM所成的角為60° M\\7v\C.所與AfN是異面直線 |ク《"-?ムD.MN//CD解析:選AC把正方體平面展開圖還原到原來的正方體,如圖所示,與Eド是異面直線,即與是異面直線,AB//CM,MN與Cワ是異面直線,故A、C正確.13.（多選）已知a,O是兩條不重合的直線,a,￡是兩個不重合的平面,則下列說法中正確的是（）A.若a〃んbUa,則直線a平行于平面a內的無數條直線B.若a〃ガ,aUa,bU￡,則a與b是異面直線C.若?！ā?aUa,則a//pD.若aC夕=b,aUa,則a,b一定相交解析:選ACA中,a//b,bUa,則a//a或aUa,所以不管a在平面內還是平面外,結論都成立,故A正確;B中,直線a與力沒有交點,所以a與b可能異面,也可能平行,故B錯誤;C中,直線a與平面タ沒有公共點,所以a〃6,故C正確;口中,直線a與平面尸有可能平行，所以a,ル可能相交,也可能平行,故D錯誤..如圖,正方體A5CD-ん萬中,M,N分別是ん3, 的中點.問：（1）AM和CN是否是異面直線?說明理由;（2）。出和CG是否是異面直線?說明理由.解:（1）不是異面直線.理由:因為M,N分別是んり,8G的中點,所以MN〃AiG.又んA統(tǒng)。の，而DiD統(tǒng)CiC,所以ん4統(tǒng)GC.所以四邊形んACG為平行四邊形.所以AiC〃AC,得到MN〃AC.所以A,M,N,。在同一個平面內,故んW和CN不是異面直線.(2)是異面直線.理由如下:假設018與CG在同一個平面DiCCi內,則BG平面CG￡h,CG平面CGOi,所以8CU平面CCQi.而BC丄平面CGOi,88平面CGOi,所以假設不成立,故DiB與CG是異面直線..如圖,AB3A181GD1是正方體,在圖⑴中,E,ド分別是G5,BBi的中點,畫出圖(1),圖(2)中有陰影的平面與平面ABCO的交線,并給出證明.圖⑴ 圖⑵解:在圖①中,設N為C。的中點,連接NE,NB,則EN〃BF,：.B,N,E,ド四點共面....E/與N8的延長線相交，設交點為M,連接んW.,.?用WEF,且MGNB,Eドu平面AM,NBU平面ABCD,是平面A6C。與平面AE尸的公共點,又,.,點A是平面A8CO和平面AEド的公共點,為兩平面的交線.如圖①所示.在圖②中,延長ワC到點M,使CM=OC,連接8例,C\M,則GM〃。C//A\B,.,?用在平面んBG內.又在平面ABCO內，是平面ん8G與平面ABCD的公共點,又8是平面ん8G與平面ABC。的公共點,例是平面んBC與平面ABC。的交線.如圖②所示.圖① 圖②8、直線與直線平行.兩等角的ー組對應邊平行,則（）A.另ー組對應邊平行B.另ー組對應邊不平行C.另ー組對應邊不可能垂直D.以上都不對解析:選D另一組對應邊可能平行,也可能不平行,也可能垂直.注意和等角定理（若兩個角的對應邊平行,則這兩個角相等或互補）的區(qū)別.故選D..在三棱臺AliG-ABC中,G,”分別是的中點,則G”與61c1（ ）A.相交 B.異面C.平行 D,垂直 ノベ''7ハ解析:選C如圖所示,因為G,H分別是A8,AC的,ゝ］イ"中點，所以GH//BC,又由三棱臺的性質得BC//B\C\,所以GH//B\C\..（多選）下列命題中,真命題有（ ）A,如果一個角的兩邊與另ー個角的兩邊分別平行,那么這兩個角相等B,如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等C.如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直,那么這兩個角相等或互補D,如果兩條直線同時平行于第三條直線,那么這兩條直線互相平行.解析：選BD如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,那么這兩個角相等或互補,所以A為假命題;如果一個角的兩邊和另ー1個角的兩邊分別垂直,那么這兩個角的大小關系是不確定的,所以C為假命題:B、D是真命題..已知/區(qū)4C=NBi4iG,AB//A\B\,則AC與んG的位置關系是（ ）A.相交 B.異面C.平行 D.以上均有可能解析:選D如圖所示,ABAC=^B\A\C\,AB//A\B\,則AC與AiG的位置關系是平行、相交或異面.故選D.

caca.已知在正方體ABCD-AiBiCiDi中（如圖）,/U平面ん81Goい且I與BiCi不平行,則下列一定不可能的是（），與4。平行ん，與Aク不平行，與AC平行A，與BO垂直解析:選A假設，〃AO,則由ん?！ㄖ巍˙iG,這與/與當G不平行矛盾,...，與A。不平行..在四棱錐P-A6C。中,E,F,G,”分別是出,PC,AB,8c的中點,若EF=2,則G"=.絞會。,故EF羅GH,故GH=2.絞會。,故EF羅GH,故GH=2.答案:2.如圖，在空間四邊形ABC。中,M,N分別是△ABC和△AC。的重心,若80=6,則MN=.解析:連接A"并延長交于E,連接んV并延長交C。于ド,再連接MN,2 1EF（圖略）,根據三角形重心性質得8E=EC,CF=FD.J.MN^EF,EF%BD.：.MN貂亜.，MN=；m.答案:アJ.已知a,b,c是空間中的三條相互不重合的直線,給出下列說法：①若。〃んb//c,則〇〃c；②若。與/7相交,/?與c相交,則。與c相交;

③若aU平面a,bU平面タ,則a,萬ー定是異面直線;④若a,わ與c成等角,則a〃b.其中正確的是（填序號）.解析:由基本事實4知①正確;當a與人相交,〃與c相交時,a與?？赡芟嘟?、平行,也可能異面,故②不正確;當au平面a,〃U平面タ時,。與〃可能平行、相交或異面,故③不正確;當a,〃與c成等角時,。與〃可能相交、平行,也可能異面，故④不正確.答案:①.如圖所示,△ABC和△4夕C的對應頂點的連線んが,BB',CC,交于同一點。,OA BOCO2口。何‘ OB' OC'=一點。,OA BOCO2口。何‘ OB' OC'=3'(1)求證:AB//A'B',AC//A'C,BC//B'C；⑵求S厶ABCSaA，BC的值.解：（1）證明:因為ん4'CBB'=O,且?AOBO2A'0B'0y所以ふAOBsAA'OB',所以NABO=NA'B'O,所以同理AC〃厶’C,BC//BrC.(2)因為4Q〃A5,A'C〃AC且AB和?夕,AC和4c方向相反，所以/84C=ZB'A'C.同理/A6C=N48'C,ZACB=ZA'C'B',所以△ABC*s△48C且"77ー07一=へん,ー=ふ,S^ABC5aa，b'cAB0AS^ABC5aa，b'c所以.如圖,已知在棱長為a的正方體ABCD-AiBsCiD\中,M,N分別是棱CD,A￡＞的中點.

（1）求證:四邊形MN4G是梯形;（2）求證:NDNM=NDiAQ.證明:（1）如圖,連接4c.在△ACZ）中,,：M,N分別是棱CO,AO的中點,.,.MN//AC,且MN=；AC.由正方體的性質,得AC〃AiG,且4C=AiG,：.MN//A\C\,且MN=%iG,即MNWAiG,.??四邊形MNA6是梯形.（2）由（1）可知MN//A\C\.'：ND//AiDi,：.NDNM與/D1A1C1相等或互補.又易知/ONM與NO14G均為銳角,NDNM=NDiAiCi..（多選）如圖,在四棱錐A-BCQE中,底面四邊形BC0E為梯形,BC//DE.設CD,BE,AE,AO的中點分別為M,N,P,Q,則（）PQ=^MNPQ//MNM,N,P,Q四點共面D.四邊形MNPQ是梯形解析:選BCD由題意知PQ=^DE,且DEホMN,所以故A不正確;義PQHDE,DE//MN,所以PQ〃"N,又PQナMN,所以B、C、D正確..已知在空間四邊形ABC。中,M,N分別是AB,CZ）的中點,且AC=4,BD=6,則（）A.1<MN<5 B.2VMNV10C.\WMN45 D.2<MN<5解析:選A取A。的中點”,連接M”，NH（圖略）,則且M”=^BD,NH//AC,且NH=；AC,且M,N,”三點構成三角形,由三角形中三邊關系,可得MH-NH<MN〈MH+NH,即1<MN<5.故選A..如圖，已知E,ド分別是正方體A8CD-A181GA的棱AAi，CG的中點,則四邊形EBHh是（填'‘正方形"或“菱形"）.解析:如圖所示,在正方體ABCD-A\B\C\D\中,取棱BB\的中點G,連接CiG,EG.0,?；E,G分別為棱ん4i,Bル的中點,：.EG^A\B\. ）又AiBi總GDi,:.EG統(tǒng)CiDi, f/,j從而四邊形EGCiDi為平行四邊形，:.DiE統(tǒng)CiG.:F,G分別為棱CG,351的中點,；.C\F牆BG,從而四邊形BGCド為平行四邊形,：.BF^CiG,又。1E絞GG,1.DiE繕BF,從而四邊形EBFD!為平行四邊形.ホ不妨設正方體ん8。。ーん吊。1。1的棱長為a,易知BE=BF=^a.故平行四邊形EBFD\是菱形.答案：菱形.在正方體A68-AI1G。］中.

圖①圖②圖①⑴如圖①所示,若E,ド分別為SC,CG的中點,求證:EF//ADi；(2)如圖②所示,若F,“分別為CG,4A的中點，求證:BF/ZHDi.證明:(1)在正方體ABCD-A向GDi中,如圖①所示,連接BG,因為AB//CD,AB=CD,且。?！–1D1,CD=C\D\,所以A8〃GDi,且A8=CiDi,所以四邊形ABC\D\是平行四邊形,所以ADi〃8C;又E,F分別為SC,CG的中點,所以Eド〃BG,所以EF〃A0].(2)如圖②所示，取8Bi的中點E,連接HE,EC\,則"E〃AiBi,HE=A\B\,A\B\//D\C\,A\B\=D\C\,所以HE〃01G,HE=D\C\,所以四邊形HEC\D\是平行四邊形,所以HD"/ECk51BE//FC1,且8E=FG=；CG,所以四邊形EBFC!是平行四邊彩,所以8F〃EG,所以BF〃HDi.圖②15,如圖所示為ー長方體木料,經過木料的面AiC1內有一點P,經過點P作棱BC的平行線,應該怎樣畫?并說明理由.

圖②解:如圖所示,在面んG內過戶作直線Eド〃BiG,交んS于點E,交CQi于點ド,則直線Eド即為所求.理由:因為Eト〃5。,BC//B\C\,所以Eド〃BC9、直線與平面平行的判定.圓臺底面內的任意一條直徑與另ー個底面的位置關系是（）A,平行 B,相交C,在平面內 D.不確定解析:選A圓臺底面內的任意"—條直徑與另ー個底面無公共點,則它們平行.故選A..若直線I不平行于平面a,且，Q。,則（）A.。內的所有直線與/異面B.。內不存在與/平行的直線C.。內存在唯一的直線與/平行D.。內的直線與/都相交解析:選B若在平面a內存在與直線，平行的直線，因/Qa,故/〃a,這與題意矛盾..如圖,ー塊矩形木板A8C。的ー邊A6在平面。內,把這塊矩形木板繞A8轉動,在轉動的過程中,AB的對邊CO與平面a的位置關系是（）A.平行C.A.平行C.在平面a內B,相交D,平行或在平面a內解析:選D在旋轉過程中,C0〃AB,易得C0〃a或COUa.故選D.B.如圖,各棱長均為1的正三棱柱んBC-AiBiG,M,N分別為線段A1&3￠上的動點,且MN〃平面ACG4,則這樣的MN有（）BA.1條 B.2條C.3條 D.無數條解析:選D如圖,過線段んB上任一點M作〃ん交AB于點H,過點H作HG//AC交BC于點Gt過點G作CG的平行線,與C8i一定有交點N,且MN〃平面ACGAi,則這樣的MN有無數條.故選D..（多選汝口圖所示,P為矩形ABC。所在平面外一點,矩形對角線的交點為〇,M為P8的中點,給出以下結論,其中正確的是（ ）POM//PDOM〃平面PCD Z^4;-セニブ8OM〃平面PD4 D CD.。例〃平面PBA解析:選ABC由題意知,OM是△8P。的中位線,：.OM//PD,故A正確;P3U平面PC。,OM。平面PCD,〃平面PC。,故B正確;同理,可得OM〃平面尸。A,故C正確;OM與平面產區(qū)4和平面PBC都相交,故D不正確.故選A、B、C..梯形ABC。中,AB//CD,ABU平面a,C￡W平面a,則直線C。與平面a的位置關系是.解析：因為A8〃C。，A8U平面a,CM平面a,由線面平行的判定定理可得CD"a.答案:平行.已知",〃是平面a外的兩條直線，給出下列三個論斷：①加〃〃;②m〃a；③"〃a,以其中兩個為條件,余下的ー個為結論,寫出你認為正確的ー個.解析：若加〃”,加〃a,則"〃a.同樣，若加〃“，n//a,則加〃a.答案:①②"③（或①③"②）.過三棱柱ABC-A\B\CX的任意兩條棱的中