小學數(shù)學解題教學研究

浙江師范大學教師教育學院徐元根xuyuangen@)小學數(shù)學解題教學研究解題研究及理論簡介歸納問題周期問題數(shù)論問題砝碼稱重勾股定理雞兔同籠行程問題數(shù)學趣題及數(shù)學應用蘇格拉底助產(chǎn)術關于問題解決的最早記錄之一出現(xiàn)在柏拉圖的蘇格拉底談話錄《門諾》中，在書中，蘇格拉底和門諾的仆人進行了一次典型的“蘇格拉底談話”——向仆人提出一系列誘導式的問題，對他的回答進行細微的糾正，最終使仆人證明了一個數(shù)學關系式。蘇格拉底提醒門諾，他并沒有告訴仆人任何東西，而仆人則完全依靠自己回答了所有的問題。仆人利用“記憶”中的重要結(jié)果對這些問題作出了正確的回答。但是并沒有人曾教給仆人這些結(jié)果，這說明仆人原本就知道它們。也就是說，知識存在于他們永恒的靈魂之中而非存在于身體之中。正因為靈魂是所有知識的居住地，所以他能夠想起這些知識?？傊?，知識是永恒的，如同柏拉圖式的，它也是完美的。知識既不可能被生產(chǎn)，也不可能被發(fā)現(xiàn)，而只能被回憶。

官能心理學和訓練理論在19世紀的大部分時間里，在學校課程中起統(tǒng)治地位的是官能心理學和訓練理論。按照官能心理學的觀點，每個人的大腦是由各種官能（或者說心理功能）所組成的，這些官能包括感覺、記憶、想象、理解、直覺、推理等，不同的官能位于大腦的不同部位，而且可以通過針對性的訓練來發(fā)展或者強化某個特殊的官能。在這種理論的支配下，學校的任務就是發(fā)展學生的各種基本技能，而其中，數(shù)學，特別是高水平的數(shù)學，則是發(fā)展學生推理技能的主要手段。在這一階段，數(shù)學課程中的問題解決主要以常規(guī)問題為主，不考慮對數(shù)學結(jié)構的理解，而一味地推行訓練與練習。教材中的習題部分的普遍形式是：先給出一道例題及一條相應的解題法則，然后提供一系列的類似問題進行練習。20世紀中期

對于問題解決來說，1945年是標志性的一年。在這一年里，關于問題解決的經(jīng)典著作《創(chuàng)造性思維》（Max.Wertheimer）和《數(shù)學領域的發(fā)明心理學》(JacquesHadmard)的英文版首次發(fā)行。而最重要的是，波利亞的《怎樣解題》也問世于這一年。這本書的出版，無論對波利亞還是對問題解決都是一個轉(zhuǎn)折點：對作者本人來說，這本書成了他的關于數(shù)學思維本質(zhì)的一系列重要著作的第一本，而數(shù)學思維則成了他此后工作的核心，并相繼出版了《數(shù)學與猜想》（1954），《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》（第一卷，1962；第二卷，1965）；而對于問題解決來說，這本書的影響也是巨大的。

波利亞的兩個例子前n個自然數(shù)的平方和n個平面最多可以將空間分成幾個部分？波利亞的解題四步驟弄清題意制訂計劃實現(xiàn)計劃回顧問題解決的四維超立方體模型（切片）解題教學問題解題理論/應用封閉/開放常規(guī)/非常規(guī)知識與經(jīng)驗表征與探索控制與調(diào)節(jié)情感與信念題組訓練變式教學專家模式學徒式教學小組合作研究性學習…關于解題者的研究解題者差異分析個體的解題背景實際的解題過程針對性解題教學知識經(jīng)驗認知因素元認知因素情感因素優(yōu)生中等生差生常規(guī)/非常規(guī)題封閉/開放題理論/應用題題型教學策略專項訓練小組合作學習（專家）模型課題活動案例分析教學實驗問題解決的心理歷程

（三）聯(lián)想與匹配（模式識別）解決問題依賴于過去的知識經(jīng)驗。在獲得某種表征信息后，就以該表征作為一種提取線索，通過聯(lián)想，激活頭腦中的已有經(jīng)驗，獲取有關的信息，并將內(nèi)外信息進行比較、匹配。若匹配成功，課題即被視作已有經(jīng)驗系統(tǒng)的一個實例或同例，產(chǎn)生與原經(jīng)驗系統(tǒng)中的問題解決一致的或相平行的解法。在匹配過程中，若已有經(jīng)驗不能提供現(xiàn)成的實例或同例，則需通過聯(lián)想激活有關經(jīng)驗生成一個可與之匹配的新的實例或同例。若匹配失敗，則將重新回溯到起始階段，逐一進行檢查，檢查感覺信息中選用的信息是否可靠（即審題是否正確），對課題的初步理解（課題表征）是否有誤，與長時記憶中信息建立的聯(lián)系是否適宜（即聯(lián)想是否恰當），然后再一次進行匹配。如此反復進行，逐步縮小檢查的范圍直到匹配成功，問題才得到解決。

問題解決的心理歷程

（四）反思結(jié)果反思結(jié)果包含兩層意思。一是對獲得結(jié)果的整個思維過程進行檢查。二是反思從該課題可得出的經(jīng)驗和教訓。反思的有效方法一般有：（1）找出問題解決過程中的主要困難及關鍵，搞清楚自己是怎樣尋找思路的。（2）對解題方法重新評價，找到最優(yōu)解決方法。（3）思考解決該課題的過程中，是否有某種技巧值得吸取，是否有某種技巧爾后在類似的場合中用得上。（4）弄清楚當前的課題中可以得到哪些結(jié)論或吸取什么教訓。（5）概括出課題的一般結(jié)構、特點，總結(jié)出運用該課題解法的條件范圍，以便把該課題的解法推廣到同一類型的所有題

美國2000年課標中的問題問題：一個矩形長和寬的比是4：3，它的面積是300平方英寸，它的長和寬是多少？解法一：解法二：300÷12=25，所以每個正方形的面積為25，邊長為5。弗賴登塔爾介紹的教學問題問題：一件T恤與三瓶飲料總價30元，兩件T恤與兩瓶飲料總價44元，求T恤、飲料的單價。（1）TUUU30（2）TTUU44法一：TUUUTUUU=60→UUUU=16→U=4法二：TU=22→UU=8→U=4法三：從（2）到（1）少14元，再到UUUU又少14元，即16元。歸納問題（1）如下圖所示的長方形由6個相同的小方格組成，現(xiàn)在將其中的部分小方格涂上黑色，其余小方格仍保持白色，要求任何兩個相鄰的小方格都至少有一個被涂上黑色，那么共有不同的涂色方法

種。(所有小方格均被涂上黑色也允許。只要有一個編號的小方格的顏色不同，就被認為是不同的涂色方法)123456歸納問題（2）如下圖所示的長方形由9個相同的小方格組成，現(xiàn)在將其中的部分小方格涂上黑色，其余小方格仍保持白色，要求任何兩個相鄰的小方格都至少有一個被涂上黑色，那么共有不同的涂色方法

種。(所有小方格均被涂上黑色也允許。只要有一個編號的小方格的顏色不同，就被認為是不同的涂色方法)123456789完全數(shù)畢達哥拉斯（Pythagoras，公元前572-497）完全數(shù)：正因數(shù)之和等于該數(shù)本身（因數(shù)包括1但不包括該數(shù)自身），6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496，8128，33550336（1538年），8589869056（一個梅森素數(shù)對應一個完全數(shù)，至2005年共發(fā)現(xiàn)42個完全數(shù)）親和數(shù)親和數(shù)：兩個數(shù)中任意一個數(shù)除了它自身以外的所有正因數(shù)的和恰好等于另一個數(shù)。最小的一對是220和284。220=22×5×11，284=22×71

1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=2841+2+4+71+142=220斐波那契數(shù)列1228年《算經(jīng)》修訂版中載有如下的“兔子問題”：某人在一處有圍墻的地方養(yǎng)了一對兔子，假定每對兔子每月生一對小兔，而小兔出生后兩個月就能生育。問從這對兔子（假定養(yǎng)的時候是小兔）開始，一年內(nèi)能繁殖成多少對兔子？其結(jié)果是著名的斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，……

一個有趣的悖論3535①②③④④①②③558斐波那契斐波那契（L.Fibonacci,1170-1250）是歐洲中世紀第一位有影響的數(shù)學家，他早年隨其父在北非師從阿拉伯人學習算學，后又游歷地中海沿岸諸國，回意大利后寫成《算經(jīng)》一書．這部名著主要是一些來源于中國、印度、希臘的數(shù)學問題的匯編，內(nèi)容涉及整數(shù)和分數(shù)算法，開方法，二次和三次方程以及不定方程．歸納問題（4）（勾股數(shù)）3，4，55，12，137，24，25歸納問題（5）悟空和八戒在玩變戲法。原有一只1層布做的袋子和袋子里裝著的一些桃子。戲法規(guī)則是：袋子里裝的桃子等于或超過1000個時，1次變化就使3個桃子和袋子的1層布消失；袋子里裝的桃子少于1000個時，1次變化就增加5個桃子和袋子的1層布。若袋子的每層布均消失，則袋子也不存在了，桃子堆放在草地上。現(xiàn)在，有一只1層布的袋子內(nèi)裝著84個桃子，那么經(jīng)過若干次變化，袋子變沒后，堆放在草地上的共有

只桃子。周期問題（1）今天是星期四，從明天起的第1天是星期五，第二天是星期六，第天是星期幾？指數(shù)1234567除以7余3264513100÷6=16……4，除以7余4費馬小定理P為素數(shù)，a與p互質(zhì)，則ap-1≡1(modp)P為素數(shù)，a為任意整數(shù)，則ap≡p(modp)周期問題（2）整數(shù)32013除以11的余數(shù)是

。

310≡1(mod11)

32013≡310×201×33≡5(mod11)周期問題（3）下面這串數(shù)字從第5個數(shù)開始，每個數(shù)都等于它前面的3個數(shù)之和：2，0，0，8，8，16，32，56，104，…這串數(shù)中第2008個數(shù)除以6的余數(shù)是

。2，0，0，2，2，4，2，2，2，0，4，0，4，2，0，0一個基本結(jié)論遞歸數(shù)列：an=f(a1,a2,……an-1)值域是有限數(shù)集的遞歸數(shù)列必為周期數(shù)列。整除和同余問題被3，9整除的整數(shù)特點。被4，25整除的整數(shù)特點。被8，125整除的整數(shù)特點。被11整除的整數(shù)特點。被7，13整除的整數(shù)特點。(1001=7×11×13）整除和同余問題（1）有一個六位數(shù)，各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同且都不是0，如果這個六位數(shù)能被11整除，那么將這個六位數(shù)的六個數(shù)字重新排列，至少還能排出

個能被11整除的六位數(shù)。整除和同余問題（2）老師在黑板上寫了一個自然數(shù)。第一個同學說：“這個數(shù)是2的倍數(shù)。”第二個同學說：“這個數(shù)是3的倍數(shù)?！钡谌齻€同學說：“這個數(shù)是4的倍數(shù)?！薄谑膫€同學說：“這個數(shù)是15的倍數(shù)?！弊詈螅蠋熣f：“在所有14個陳述中，只有兩個連續(xù)的陳述是錯誤的?！崩蠋煂懗龅淖匀粩?shù)最小是

。整除和同余問題（3）整數(shù)A=37865422×41059362×31678451的各位數(shù)字之和為B，B的各位數(shù)字之和為C，C的各位數(shù)字之和為D。那么D=

。

整除和同余問題（4）整數(shù)A=44444444的各位數(shù)字之和為B，B的各位數(shù)字之和為C，C的各位數(shù)字之和為D。那么D=

。整除和同余問題（5）有9個小朋友圍成一圈，按順時針方向依次編為1～9號?，F(xiàn)在按如下的方法給他們發(fā)糖：先給1號小朋友發(fā)一塊糖，然后順時針方向隔過一人后給3號小朋友發(fā)一塊糖，再順時針方向隔過兩人后給6號小朋友發(fā)一塊糖，……如此依次間隔1人、2人、3人、4人……發(fā)糖。那么拿到第100塊糖的是

號小朋友?！秾O子算經(jīng)》中的物不知數(shù)今有物，不知其數(shù)。三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之，剩二。問物幾何？答曰：二十三。70×2+21×3+15×2-2×105=23。除以3余2的數(shù)：2，5，8，11，…其中除以5余3的數(shù)：8，23，38，…其中除以7余2的數(shù)：23孫子歌明代數(shù)學家程大位的《算法統(tǒng)宗》中所載的“孫子歌”以詩歌形式介紹了物不知數(shù)問題的解法：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓整半月，除百零五便得知。”中國剩余定理物不知數(shù)問題的解法后被秦九韶（宋）推廣到一般情形，稱為“孫子定理”。秦九韶的算法非常嚴密，但他并沒有對這一算法給出證明。到18、19世紀歐拉（1743）和高斯（1801）分別對一次同余式組進行了詳細研究，重新獨立地獲得了與秦九韶“大衍術”相同的定理，并對模數(shù)兩兩互素的情形給出了嚴格證明。高斯的成果是最完整的，他還解決了模不是兩兩互素時的情形。1876年德國人馬蒂生首先指出秦九韶的算法與高斯的算法是一致的，因此關于這一算法被稱作“中國剩余定理”。

整除和同余問題（6）一個整數(shù)除以5余1，除以6余3，除以7余6，這個整數(shù)最小是

。

整除和同余問題（7）一堆糖，減去一顆后可以平均分成五份，將其中的四份合到一起并減去一顆后又可以平均分成五份，若再將其中的三份合到一起并減去一顆后還是可以平均分成五份。那么這堆糖至少有幾顆？因數(shù)問題（1）求下列各整數(shù)的因數(shù)個數(shù)、因數(shù)和（1）36（2）2700在100至150之間，恰有8個因數(shù)的整數(shù)共有幾個？因數(shù)問題（2）兩個整數(shù)的最大公因數(shù)是17，最小公倍數(shù)是6120，滿足此條件的兩個數(shù)共有對（兩個數(shù)確定后，順序不同的仍算同一對）。[6120=17×23×32×5]因數(shù)問題（3）兩個整數(shù)的最小公倍數(shù)是420，這兩個數(shù)分別除以它們的最大公因數(shù)，得到的兩個商的和是9，這兩個整數(shù)是

。[420=22×3×5×7]砝碼稱重問題（1）有若干個重量均為整數(shù)克的砝碼。用天平稱物體的重量時，砝碼可以放在物體另一側(cè)的稱盤上，也可以放在物體同一側(cè)的稱盤上。為了能夠用最少的砝碼稱出1，2，3，4，5，…，121中任一整數(shù)克物體的重量，那么，至少需要

個砝碼。砝碼稱重問題（2）有若干種重量均為整數(shù)克的砝碼，每一種都有兩個重量相同的砝碼，不同種類的砝碼重量不同。用天平稱物體的重量時，砝碼可以放在物體另一側(cè)的稱盤上，也可以放在物體同一側(cè)的稱盤上。為了能夠用最少種類的砝碼稱出1，2，3，4，5，…，62中任一整數(shù)克物體的重量，那么，至少需要

種不同的砝碼。同類問題將25個同樣的零件分別放在5只同樣的袋子中，要求有人要1～25個之間的任意多個零件時，都可以不拆袋地從中拿出若干袋如數(shù)付給他。這5袋有

種不同的裝法。歐拉歐拉（Euler，1707—1783）瑞士數(shù)學家、物理學家。13歲進入巴塞爾大學學習數(shù)學，16歲獲碩士學位。1727-1741、1766-1783：工作于彼得堡科學院；1741-1766：工作于柏林科學院。28歲右眼失明，60歲前后雙目失明。歐拉直線三角形的垂心、重心、外心三點共線，且重心分垂心與外心的連線段成2：1。勾股定理《周髀算經(jīng)》中商高回答周公的問話時答道：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五?！薄吨荀滤憬?jīng)》中陳子與榮方的一段對話則闡述了勾股定理的一般形式。陳子曰：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為故，勾、股各自乘，并而開方除之，得邪至日，…”弦圖三國時期的趙爽（公元3世紀）為《周髀算經(jīng)》作注時，給出了“弦圖”，運用面積的出入相補原理證明了勾股定理。勾股問題（1）直角三角形的兩條直角邊長分別為3和4，求斜邊長。費爾馬大定理x2+y2=z2的通解（x，y互質(zhì)時）X=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2（m，n互質(zhì)且一奇一偶）以下方程無正整數(shù)解費爾馬大定理的證明1993年在英國劍橋大學牛頓數(shù)學研究所的一個討論班上，美國普林斯頓大學教授維爾斯（Wiles）宣布證明了費爾馬大定理。1994年修補了證明中的一些漏洞后于1995年在《數(shù)學年刊》上正式發(fā)表。為此維爾斯獲得了沃爾夫獎。曾獲菲爾茲、沃爾夫數(shù)學獎的華人科學家菲爾茲：丘成桐（1982年）；陶哲軒（2006年，31歲）沃爾夫：陳省身《孫子算經(jīng)》中的雞兔同籠今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉、兔各幾何？答曰：雉二十三，兔一十二。術曰：上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭，即得。

雞兔同籠問題（1）商店出售大、中、小氣球，大球每個3元，中球每個1.5元，小球每個1元。張老師用120元買了55個球，其中買中球的錢與買小球的錢恰好一樣多。問每種球各買幾個？

雞兔同籠問題（2）一項工程，如果全是晴天，15天可以完成。倘若下雨，雨天一天只能完成晴天的4/5的工作量?，F(xiàn)在知道在施工期間雨天比晴天多3天。問這項工程要多少天才能完成？雞兔同籠問題（3）甲、乙兩地相距100千米。張先騎摩托車從甲地出發(fā)，1小時后李駕駛汽車也從甲地出發(fā)。兩人同時到達乙地。摩托車開始速度是每小時50千米，后來減速為每小時40千米。汽車速度是每小時80千米，但汽車在途中停了10分鐘。問摩托車是在出發(fā)后多少時間開始減速的？

行程問題（1）小王的步行速度是4.8千米/小時，小張的步行速度是5.4千米/小時，他們兩人從甲地到乙地去。小李騎自行車的速度是10.8千米/小時，從乙地到甲地去。他們3人同時出發(fā)，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇。問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時間？行程問題（2）一只小船從A地到B地往返一次共用2小時。回來時順水，比去時每小時多行駛8千米，因此第二小時比第一小時多行駛6千米。求A，B兩地的距離。行程問題（3）甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，6小時后相遇于C點。如果甲車速度不變，乙車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點距C點12千米；如果乙車速度不變，甲車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點距C點16千米。求A，B兩地的距離。行程問題（4）甲、乙、丙依次相距300米（見下圖），甲、乙、丙每分鐘依次走100米、90米、85米。如果甲、乙、丙同時出發(fā)，那么經(jīng)過幾分鐘，甲所處的位置第一次與乙、丙的距離相等。

甲乙丙無限概念的早期探索——芝諾悖論

兩分法悖論：運動不存在，因為位移物體在到達目的地之前必先抵達一半處，在一半處之前必先抵達四分之一處……依此直至無窮，而無窮是不會結(jié)束的。阿基里斯與烏龜賽跑飛矢不動運動場

Ball悖論（1892）矩形ABCD，作AE=AD，使∠DAE為銳角，分別作線段CD、CE的垂直平分線交于點O，易證△OAE≌△OBC，從而可得∠BAE=∠ABC（鈍角=直角）。ABCDMNOE亞里士多德輪大、小圓同時滾動一周，所以大、小圓周長相等。角谷猜想二次大戰(zhàn)前后美國一個叫敘拉古的小鎮(zhèn)流行一種數(shù)字游戲，無論你從什么自然數(shù)開始，按照一個簡單的運算模式（如果是偶數(shù)則除以2，如果是奇數(shù)則乘3加1），最終必然跌進4→2→1的怪圈。1960年前后日本數(shù)學家角谷靜夫?qū)⑵鋷Щ厝毡荆l(fā)展成角谷猜想（3X+1現(xiàn)象）。

角谷猜想舉例序列有長有短：

16→8→4→2→1共4步；

7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1共16步；

27要經(jīng)過111步的計算才到達1。

分油問題

有3個外形不規(guī)則的油壺A，B，C，其中A壺已經(jīng)裝滿了油共10升，B，C是兩個空壺，容積分別是7升和3升。請用這3個壺而不借助于任何其它工具，將10升油平分后分別裝入A，B壺。ABC設用B壺從A壺中倒出x次，用C壺從A壺中倒出y次，則應有7x+3y=5該方程有無數(shù)多組解，比如x=2，y=-3故只要用B壺從A壺中倒出2次，將C壺裝滿后倒入A壺3次，就倒出了5升油。[（-1，4）是另一組解]ABC

ABC

ABC1000x=2271x=1370253343

y=-3550y=-1640613y=-2910901過河問題三名商人各帶一名仆人搬運若干財寶過河，河中只有一條沒有艄公的小舟，小舟最多只能同時乘載兩個人。商人們知悉了仆人們的如下陰謀：一旦在河的此岸或彼岸出現(xiàn)了仆人人數(shù)超過商人人數(shù)的現(xiàn)象，則立即干掉商人，劫走財寶。請為商人們設計一個安全的渡河方案。偽幣問題12枚硬幣外表一樣，已知其中有一枚是偽幣，并且知道偽幣的重量與另外11枚真幣不同，而11枚真幣的重量均相同。請利用一架天平稱量3次，確定哪一枚是偽幣，以及它比真幣是輕還是重。一個聰明的解法哈佛大學學生Char