基本不等式基本不等式

這是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)．會(huì)標(biāo)根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。新課引入山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式這是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？探究1新課引入正方形和直角三角形山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案中找ab1、正方形ABCD的面積S=＿＿＿＿＿２、四個(gè)直角三角形的面積和S’

=＿＿３、S與S’有什么樣的不等關(guān)系？

探究１：S>S′問：那么它們有相等的情況嗎？新課引入山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式ab1、正方形ABCD的２、四個(gè)直角三角形的３、S與S’有什ADBCEFGHba重要不等式：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。ABCDE(FGH)ab學(xué)習(xí)新知山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式ADBCEFGHba重要不等式：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b思考：你能給出不等式的證明嗎？證明：（作差法）學(xué)習(xí)新知山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式思考：你能給出不等式的證明嗎？證結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，總有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立文字?jǐn)⑹鰹?兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍.適用范圍：a,b∈R學(xué)習(xí)新知山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，總有文字?jǐn)⑹鰹?兩數(shù)替換后得到：即：即：你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個(gè)不等式嗎？學(xué)習(xí)新知山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式替換后得到：即：即：你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個(gè)不等式嗎證明：要證只要證①要證①，只要證②要證②，只要證③顯然,③是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),③中的等號(hào)成立.分析法證明不等式：學(xué)習(xí)新知山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式證明：要證只要證①要證①，只要證②要證②，只要證③顯然,特別地，若a>0，b>0，則≥通常我們把上式寫作：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做基本不等式.基本不等式在數(shù)學(xué)中，我們把叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；文字?jǐn)⑹鰹椋簝蓚€(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).適用范圍：a>0,b>0學(xué)習(xí)新知山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式特別地，若a>0，b>0，則≥通常我們把上式寫作：當(dāng)且僅當(dāng)a適用范圍文字?jǐn)⑹觥?”成立條件a=ba=b兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比較：注意從不同角度認(rèn)識(shí)基本不等式學(xué)習(xí)新知山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式適用范圍文字?jǐn)⑹觥?”成立條件a=ba=b兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均均值不等式的運(yùn)用例１．已知x>0，求的最小值和此時(shí)x的取值．典型例題變式1：把改為成立嗎？變式2：把改為成立嗎？不成立不成立山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式均值不等式的運(yùn)用例１．已知x>0，求均值不等式的運(yùn)用典型例題例2.已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).(2)x+y=S

xy≤S2(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).14山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式均值不等式的運(yùn)用典型例題例2.已知x,y都是正數(shù),P①各項(xiàng)皆為正數(shù)；②和或積為定值；③注意等號(hào)成立的條件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值時(shí)，要注意已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).(2)x+y=S

xy≤S2(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).14歸納總結(jié)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式①各項(xiàng)皆為正數(shù)；一“正”利用基本不等式求最值時(shí)，要注意已知

1.已知x>0,y>0,xy=24,求4x+6y的最小值，并說明此時(shí)x,y的值．當(dāng)x=6,y=4時(shí),最小值為482.已知x<0，求的最大值.鞏固練習(xí)3.求x＞-1時(shí)，

的最小值.解:

∵

x＞-1,∴x+1>0.∴=(x

+1)+

-11x+1x

+

1x+1=1,≥2(x+1)?-11x+1當(dāng)且僅當(dāng)取“=”號(hào).∴當(dāng)

x=0

時(shí),取最小值是

1.x+1=

,即

x=0

時(shí),1x+1山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式1.已知x>0,y>0,xy=2提高練習(xí)2已知x>0,y>0,且x+2y=1,求的最小值．3.已知x,y為正數(shù),且2x+8y＝xy，則x+y的最小值是___.181.若

0<x<,求x(1-2x)

的最大值.12解:

∵0<x<,∴1-2x>0.12∴x(1-2x)=?2x?(1-2x)12≤

?[]22x+(1-2x)21218=.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取“=”號(hào).2x=(1-2x),即

x=

14∴當(dāng)

x=時(shí),

函數(shù)

x(1-2x)

的最大值是.1418山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式提高練習(xí)2已知x>0,y>0,且x+2y=1,求3.已知求最值時(shí)注意把握“一正，二定，三相等”已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).(2)x+y=S

xy≤S2(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).143.利用基本不等式求最值1.重要不等式課堂小結(jié)2.基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式求最值時(shí)注意把握“一正，二定，三相等”已知x,y都是基本不等式基本不等式

這是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)．會(huì)標(biāo)根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。新課引入山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式這是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？探究1新課引入正方形和直角三角形山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案中找ab1、正方形ABCD的面積S=＿＿＿＿＿２、四個(gè)直角三角形的面積和S’

=＿＿３、S與S’有什么樣的不等關(guān)系？

探究１：S>S′問：那么它們有相等的情況嗎？新課引入山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式ab1、正方形ABCD的２、四個(gè)直角三角形的３、S與S’有什ADBCEFGHba重要不等式：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。ABCDE(FGH)ab學(xué)習(xí)新知山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式ADBCEFGHba重要不等式：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b思考：你能給出不等式的證明嗎？證明：（作差法）學(xué)習(xí)新知山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式思考：你能給出不等式的證明嗎？證結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，總有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立文字?jǐn)⑹鰹?兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍.適用范圍：a,b∈R學(xué)習(xí)新知山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，總有文字?jǐn)⑹鰹?兩數(shù)替換后得到：即：即：你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個(gè)不等式嗎？學(xué)習(xí)新知山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式替換后得到：即：即：你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個(gè)不等式嗎證明：要證只要證①要證①，只要證②要證②，只要證③顯然,③是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),③中的等號(hào)成立.分析法證明不等式：學(xué)習(xí)新知山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式證明：要證只要證①要證①，只要證②要證②，只要證③顯然,特別地，若a>0，b>0，則≥通常我們把上式寫作：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做基本不等式.基本不等式在數(shù)學(xué)中，我們把叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；文字?jǐn)⑹鰹椋簝蓚€(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).適用范圍：a>0,b>0學(xué)習(xí)新知山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式特別地，若a>0，b>0，則≥通常我們把上式寫作：當(dāng)且僅當(dāng)a適用范圍文字?jǐn)⑹觥?”成立條件a=ba=b兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比較：注意從不同角度認(rèn)識(shí)基本不等式學(xué)習(xí)新知山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式適用范圍文字?jǐn)⑹觥?”成立條件a=ba=b兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均均值不等式的運(yùn)用例１．已知x>0，求的最小值和此時(shí)x的取值．典型例題變式1：把改為成立嗎？變式2：把改為成立嗎？不成立不成立山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式均值不等式的運(yùn)用例１．已知x>0，求均值不等式的運(yùn)用典型例題例2.已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).(2)x+y=S

xy≤S2(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).14山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式均值不等式的運(yùn)用典型例題例2.已知x,y都是正數(shù),P①各項(xiàng)皆為正數(shù)；②和或積為定值；③注意等號(hào)成立的條件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值時(shí)，要注意已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).(2)x+y=S

xy≤S2(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).14歸納總結(jié)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式①各項(xiàng)皆為正數(shù)；一“正”利用基本不等式求最值時(shí)，要注意已知

1.已知x>0,y>0,xy=24,求4x+6y的最小值，并說明此時(shí)x,y的值．當(dāng)x=6,y=4時(shí),最小值為482.已知x<0，求的最大值.鞏固練習(xí)3.求x＞-1時(shí)，

的最小值.解:

∵

x＞-1,∴x+1>0.∴=(x

+1)+

-11x+1x

+

1x+1=1,≥2(x+1)?-11x+1當(dāng)且僅當(dāng)取“=”號(hào).∴當(dāng)

x=0

時(shí),取最小值是

1.x+1=

,即

x=0

時(shí),1x+1山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：2.2基本不等式1(共17張PPT)山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式山東省滕州市第一中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)課件：基本不等式1.已知x>0,y>0,xy=2提高練習(xí)2已知x>0,y>0,且x+2y=1,求的最小值．3.已知x,y為正數(shù),且2x+8y＝xy，則x+y的最