第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第六節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)命題分析預(yù)測學(xué)科核心素養(yǎng)本節(jié)是高考的一個熱點(diǎn)，主要考查對數(shù)式的大小比較、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，也常與其他函數(shù)、方程、不等式等綜合命題，以選擇題和填空題為主，也可能在解答題中出現(xiàn)，難度中等.本節(jié)通過對數(shù)運(yùn)算、對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用以及考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).知識點(diǎn)一對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算1．對數(shù)的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作__________，其中__________叫做對數(shù)的底數(shù)，_________叫做真數(shù)．x＝loga

NaN2．對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對數(shù)的性質(zhì)①alogaN＝__________；②logaaN＝__________(a>0，且a≠1)；③零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)．NN(2)對數(shù)的運(yùn)算法則(a>0，且a≠1，M>0，N>0)①loga(M·N)＝_________________；logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM

B2．(log29)·(log34)＝________．43知識點(diǎn)二對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1．概念：函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞)．2．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

(0，＋∞)R(1，0)10y>0y<0y<0y>0增減對數(shù)不等式問題，一般是先確保對數(shù)中真數(shù)大于0，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求解不等式，特別是對數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時，單調(diào)性不明確，從而無法求解不等式，故應(yīng)分a>1和0<a<1兩種情況討論．

A2．函數(shù)y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)________．3．(易錯題)函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)在[2，4]上的最大值與最小值的差是1，則a＝________．(3，1)

B4[方法總結(jié)]

解決對數(shù)運(yùn)算問題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡．(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并．(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．(4)利用常用對數(shù)中的lg2＋lg5＝1.

A21．函數(shù)f(x)＝ln|x－1|的圖象大致是(

)B解析：當(dāng)x＞1時，f(x)＝ln(x－1)，又f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．

B

3．已知函數(shù)f(x)＝4＋loga(x－1)的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．(2，4)4．設(shè)平行于y軸的直線分別與函數(shù)y1＝log2x及函數(shù)y2＝log2x＋2的圖象交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)A(m，n)位于函數(shù)y2＝log2x＋2的圖象上，如圖．若△ABC為正三角形，則m·2n＝________．12[方法總結(jié)]

1.對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖所示，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大．2．在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng)．3．一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．

對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用是每年高考的必考內(nèi)容之一，多以選擇題或填空題的形式考查，難度低、中、高檔都有．常見的命題角度有：(1)比較大??；(2)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題；(3)與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的不等式問題；(4)實(shí)際問題中對數(shù)的化簡與求值.角度(一)比較大小[例1]

(1)(2019·全國Ⅰ卷)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則(

)A．a(chǎn)<b<c

B．a(chǎn)<c<bC．c<a<b D．b<c<a(2)(2019·天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，則a，b，c的大小關(guān)系為(

)A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜bBA[方法總結(jié)]

比較對數(shù)值大小的方法若底數(shù)為同一常數(shù)可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷；若底數(shù)為同一字母，則需對底數(shù)進(jìn)行分類討論若底數(shù)不同，真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較若底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1，0等中間量進(jìn)行比較A．y＜x＜1 B．x＜y＜1C．1＜x＜y D．1＜y＜x(2)函數(shù)f(x)＝loga(ax－3)在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是(

)A．(1，＋∞) B．(0，1)C. D．(3，＋∞)DD[方法總結(jié)]

對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題的求解策略(1)對于y＝logaf(x)型的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，有以下結(jié)論：函數(shù)y＝logaf(x)的單調(diào)性與函數(shù)u＝f(x)(f(x)>0)的單調(diào)性在a>1時相同，在0<a<1時相反．(2)研究y＝f(logax)型的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一般用換元法，即令t＝logax，則只需研究t＝logax及y＝f(t)的單調(diào)性即可．角度(三)解簡單的對數(shù)不等式[例3]已知不等式logx(2x2＋1)＜logx(3x)＜0成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．

[方法總結(jié)]對數(shù)不等式(組)的求解常利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，在對數(shù)的底數(shù)不確定的情況下，要注意分類討論．

A

[方法總結(jié)]在解決對數(shù)的化簡與求值問題時，要理解并靈活運(yùn)用對數(shù)的定義、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對數(shù)恒等式和對數(shù)的換底公式，同時還要注意化簡過程中的等價(jià)性和對數(shù)式與指數(shù)式的互化，有助于提升學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．[對點(diǎn)訓(xùn)練]1．已知實(shí)數(shù)a＝2ln2，b＝2＋2ln2，c＝(ln2)2，則a，b，c的大小關(guān)系是(

)A．c＜b＜a

B．c＜a＜bC．b＜a＜c D．a(chǎn)＜c＜bB2．若函數(shù)f(x)＝log2(x2－ax－3a)在區(qū)間(－∞，－2]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－∞，4)B．(－4，4]C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D．[－4，4)D3．里氏震級M的計(jì)算公式為M＝lgA－lgA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅，假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的________倍．解析：根據(jù)題意，由lg1000－lg0.001＝6得此次地震的震級