國開形成性考核《復(fù)變函數(shù)》形考任務(wù)(1-8)試題及答案（課程ID：00421，整套相同，如遇順序不同，Ctrl+F查找，祝同學(xué)們?nèi)〉脙?yōu)異成績?。┬慰既蝿?wù)1一、單項(xiàng)選擇題題目：1、若z1

=（a，b），z2

=（c，d），則zz1·2

=（C）?！綜】：【A】：（ac+bd，a）【C】：【B】：（ac-bd，b）題目：2、若R>0，則N（∞，R）={z：（D）}?！続】：丨Z丨<R【B】：0<丨Z丨<R【C】：R<丨Z丨<+∞【D】：丨z丨>R【A】：【B】：題目：3、若z=x+iy，則y=（D）?！続】：【B】：【D】：題目：4、若【D】：題目：4、若，則丨A丨=（C）?！綛】：0【C】：1【D】：2二、填空題（如果通過附件上傳答案，請(qǐng)?jiān)诖痤}輸入框中，輸入“見附件”字樣）題目：5、若z=x+iy，w=z2=u+iv，則v=（2xy）.題目：6、復(fù)平面上滿足Rez=4的點(diǎn)集為（{z=x+iy|x=4}）充分必要條件是=（x）且0=（y）。0題目：7、（設(shè)E為點(diǎn)集，若它是開集，且是連通的，則E）稱為區(qū)域。題充分必要條件是=（x）且0=（y）。0（中，輸入“見附件”字樣）題目：9、求復(fù)數(shù)-1-i的實(shí)部、虛部、模與主輻角.解：Re(-1-i)=-1

2ary(1,i)arctan|

15題目：11、寫出復(fù)數(shù)的代數(shù)式.題目：10、寫出復(fù)數(shù)-i的三角式.解：題目：11、寫出復(fù)數(shù)的代數(shù)式.

1 4解：題目：12、求根式解：題目：12、求根式的值.題目：題目：14、證明：解：題目：13、證明：若，則a解：題目：13、證明：若，則a2+b2=1.解：而解：形考任務(wù)2解：題目：1題目：1、若f（z）=x2-y2+2xyi，則=（D）?！続】：2x【B】：2y【C】：2x+2yi【D】：2x-2y-2yi【A】：【B】：題目：2、若f（z）=u（x，y）+iv（x，y），則柯西—黎曼條件為（D）?！続】：【B】：【C】：【D】：題目：3、若f（z）=z+1f（z）（D）?！綜】：【D】：【A】：僅在點(diǎn)z=0解析【B】：在z=0不解析且在z≠0解析【C】：無處解析【D】：處處解析（C）?！続】：解析【B】：不連續(xù)【C】：連續(xù)】：可導(dǎo)二、填空題(如果通過附件上傳答案，請(qǐng)?jiān)诖痤}輸入框中，輸入“見附件”字樣)題目：5、若f（z）在點(diǎn)a（不解析，則稱a為f（z）題目：6、若f（z）z=1（領(lǐng)域可導(dǎo)，則f（z）z=1題目：8、若f'(1)=（不存在題目：7題目：8、若f'(1)=（不存在fzz。解：==解：==解：f(z)=excosy+iexsiny=ez,z=x+iyu=excosyv=exsinyf(z)=u+iv∴f(z)在復(fù)平面解析，且f'(z)=excosy+iexsiny題目：11、設(shè)f（z）=u+iv在區(qū)域G內(nèi)為解析函數(shù)，且滿足u=x3-3xy2，f（i）=0，試求f（z）。解：解：依C-R條件有Vy=ux=3x2-3y2則V（x1y）=3x2y-y3+c(c故f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)=x3-3xy2+i(cx2y-y3)+ic=z3+ic，為使f(i)=0,當(dāng)x=0,y=1時(shí)，f(i)=0,有f(0)=-i+ic=0∴c=1∴f(z)=Z3+i題目：12、設(shè)f（z）=u+iv在區(qū)域G內(nèi)為解析函數(shù)，且滿足u=2（x-1）y，f（2）=-i，試求f（z）。解：依C-R條件有Vy=ux=2y∴V=∫2ydy=y2+φ(x)∴Vx=φ’(x)=-uy=-2x+z∴φ(x)=∫(-2x+2)dx=-x2+2x+cV=y2-x2+2x+c(c∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x+c)為使f(z)=-i,當(dāng)x=2 y=0時(shí),f(2)=ci=-i∴c=-1∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x-1)=-(z-1)2i題目：13、試在復(fù)平面討論題目：13、試在復(fù)平面討論的解析性。解：令f(z)=u+iv 則iz=i(x+iy)=-y+ix∴u=-yv=x于是ux=0uy=-1Vx=1Vy=0∵ux、uy、vx在復(fù)平面內(nèi)處處連接又Ux=VyUy=-Vx?！鄁(z)=iz在復(fù)平面解析。fz在區(qū)域G，z，則z）在G內(nèi)為常數(shù)。解：證：設(shè)f(z)=u+iv,z=x+iy,z∈G∵f(z)在G內(nèi)解析，Ux=Vy,Uy=-Vx又（z）=0,（z）=Ux+iVxUx=0Vx=0Uy=-Vx=0Ux=Vy=0U為實(shí)常數(shù)C1，V也為實(shí)常數(shù)C2，f(z)=C1+iC2=Z0f(z)在G內(nèi)為常數(shù)。形考任務(wù)3題目：1、z=題目：1、z=（C）是根式函數(shù)的支點(diǎn)。【A】：i【B】：1【C】：0【D】：π題目：2、z=題目：2、z=（A）是函數(shù)的支點(diǎn)【B】：i【C】：2i【D】：-1【C】：題目：7、lni=（）。題目：3、e【C】：題目：7、lni=（）?！続】：sin1【B】：cos1+isin1【D】：cos1【A】：【B】：題目：4、sin1=（D）?！続】：【B】：【D】：題目：5、cosi=（【D】：題目：5、cosi=（）。題目：6、=（e(cos1+isin1)）。題目：8、Ln(1+i)=題目：8、Ln(1+i)=（k為整數(shù)）。題目：題目：12、求方程的解。中，輸入“見附件”字樣)題目：9、設(shè)z=x+iy，計(jì)算∴∴中，輸入“見附件”字樣)題目：9、設(shè)z=x+iy，計(jì)算∴∴題目：10、設(shè)z=x+iy，計(jì)算解：題目：10、設(shè)z=x+iy，計(jì)算題目：11、求方程2Inz=πi的解。解：∵lnz=iπ/2∴由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義有:∴所給方程的解為z=i∵解：∵=z=n2+i或z=n(1+=z=n2+i或z=n(1+)題目：13、試證：sin2z=2sinz·cosz。解：Sin2z=2sinzcosz=證明：根據(jù)正弦函數(shù)及余弦正數(shù)定義有：Sin2z=2sinzcosz==∴ sin2z=2sinz?cosz=====題目：14、證明：題目：14、證明：證明:令A(yù)=1+cosx+cos2x+…+cosnx∴=B=sinx+sin2x+…sinnx∴=∴形考任務(wù)4∴一、單項(xiàng)選擇題題目：1、題目：1、=（D），c為起點(diǎn)在0，終點(diǎn)在1+i的直線段?！綛】：2i【C】：0【D】：2（1+i）題目：2、題目：2、=（A）?！綛】：0【C】：10i【D】：i題目：3、=題目：3、=（A）。【B】：【C】：-1【D】：i題目：4、=（B）題目：4、=（B）?！綛】：【C】：4πi【D】：-2πi二、填空題(如果通過附件上傳答案，請(qǐng)?jiān)诖痤}輸入框中，輸入“見附件”字樣)55fz與（x沿曲線cf(z)dz+解：題目：11、將函數(shù)在點(diǎn)z=0展成冪級(jí)數(shù)．解：題目：解：題目：11、將函數(shù)在點(diǎn)z=0展成冪級(jí)數(shù)．解：題目：12、將函數(shù)在點(diǎn)z=1展成冪級(jí)數(shù)．題目：6、題目：6、=（7）。丨≤M，則≤（<ML）。L為曲線ccc丨≤M，則≤（<ML）。題目：8、=題目：8、=（）。中，輸入“見附件”字樣)題目：9、將函數(shù)在點(diǎn)z=0展成解：題目：10、將函數(shù)解：題目：10、將函數(shù)在點(diǎn)z=1展成冪級(jí)數(shù)．解：題目：13、證明：解：題目：13、證明：．解：令，則f（z）=在上半平面的奇點(diǎn)只有一個(gè)z=ai，且ai為f（z）的令，則f（z）=在上半平面的奇點(diǎn)只有一個(gè)z=ai，且ai為f（z）的∴等式左邊==0=等式右邊∴等式左邊==0=等式右邊題目：14、證明：題目：14、證明：．解：形考任務(wù)5題目：1、冪級(jí)數(shù)題目：1、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑等于（C）?！続】：3【B】：0【C】：1【D】：2題目：2、點(diǎn)z=-1是f（z）=5z2+10z+5的（B）級(jí)零點(diǎn)?！続】：5【B】：2【C】：3【D】：1題目：3、級(jí)數(shù)的收斂圓為（B）?！続】：題目：3、級(jí)數(shù)的收斂圓為（B）?！綛】：丨z-1丨＜1【C】：丨z丨＜3【D】：丨z-1丨＜3于是，使成立的收斂圓的半徑等于（B）于是，使成立的收斂圓的半徑等于（B）。【A】：b-a+1【B】：丨a-b丨【C】：丨a+b丨【D】：a+b+1題目：5、級(jí)數(shù)題目：5、級(jí)數(shù)的收斂圓為（R=+∞,即整個(gè)復(fù)平面）。題目：7、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑等于（0）。），則題目：7、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑等于（0）。題目：8、z=0是f（z）=ez-1的（1）級(jí)零點(diǎn)。題目：9、將函數(shù)題目：9、將函數(shù)在點(diǎn)z=0展成冪級(jí)數(shù)．f(z)===f(z)=====題目：10、將函數(shù)在點(diǎn)z=0展成冪級(jí)數(shù)．=題目：10、將函數(shù)在點(diǎn)z=0展成冪級(jí)數(shù)．=題目：11、將函數(shù)在點(diǎn)z=1展成冪級(jí)數(shù)．題目：11、將函數(shù)在點(diǎn)z=1展成冪級(jí)數(shù)．f(z)=(z+2)-1=題目：12、將函數(shù)題目：12、將函數(shù)在點(diǎn)z=1展成冪級(jí)數(shù)．=f(z)=ezf(n)=ez=四、證明題(要求寫出解題過程，如果通過附件上傳答案，請(qǐng)?jiān)诖痤}輸入框中，輸入“見附件”字樣)題目：13、證明：題目：13、證明：e-iz=cos-isinzeiz-e-iz=2isinz-2isinz=-(eiz-e-iz) =eiz-e-iz-2isinzeiz =(e-iz-eiz)eiz=e0-e2iz=1-e2iz題目：14、試用解析函數(shù)的唯一性定理證明等式：cos2z=cos2z-sin2z解：證①f(z)=cos2z,則f1(z)復(fù)平面G解析1設(shè)f(z)＝cosz－sin2ｚ，f(z)G2 2②取E=K為實(shí)數(shù)軸,則E在G內(nèi)有聚點(diǎn).③當(dāng)Ecos2z=cos2z-sin2zf(z)f(z)1 2由解析函數(shù)唯一性定理,由以上三條知f(z)f(z) Z∈G1 2即cos2z=cos2z-sin2z Z∈G形考任務(wù)6題目：1、函數(shù)題目：1、函數(shù)在點(diǎn)z=2的去心鄰域（A）內(nèi)可展成羅朗級(jí)數(shù)?！続】：0z-2<1【B】：0<丨z-1丨<5【C】：0<丨z丨<3【D】：1<丨z-1丨<3aaa【A】：解析點(diǎn)【B】：可去奇點(diǎn)【C】：極點(diǎn)【D】：本性奇點(diǎn)【A】：【B】：題目：3、若點(diǎn)a為函數(shù)f（z）的孤立奇點(diǎn)，則點(diǎn)a為f（z）的極點(diǎn)的充分必要條件是（D）?！続】：【B】：【C】：【D】：【A】：【B】：題目：4、若點(diǎn)a為函數(shù)f（z）的孤立奇點(diǎn)，則點(diǎn)a為f（z）的本性奇點(diǎn)的充分必要條件是（C）?！綜】：【D】：【A】：【B】：【C】：【D】：【C】：【D】：為函數(shù)f在點(diǎn)a（）為該級(jí)數(shù)的主要部分。（某個(gè)去心鄰域內(nèi)解析a題目：6、設(shè)點(diǎn) a為函數(shù) f（z）的奇點(diǎn)，若 （某個(gè)去心鄰域內(nèi)解析a題目：7、若題目：7、若z=0f（z）（0）級(jí)極點(diǎn)。題目：8、若題目：8、若，則點(diǎn)z=0為f（z）的（非孤立）奇點(diǎn)。f(z)=題目：13、設(shè)，試證z=0為f（z）的本性奇點(diǎn)。題目：9、將函數(shù)f（z）=（z-2）-1在點(diǎn)z=0f(z)=題目：13、設(shè)，試證z=0為f（z）的本性奇點(diǎn)。題目：10、將函數(shù)在點(diǎn)z=1的去心鄰域展成羅朗級(jí)數(shù)。題目：10、將函數(shù)在點(diǎn)z=1的去心鄰域展成羅朗級(jí)數(shù)。f(z)=題目：11、試求函數(shù)f（z）=z-3·sinz3的有限奇點(diǎn)，并判定奇點(diǎn)的類別。解：解析,無奇點(diǎn),f(z)的有限奇點(diǎn)為z=0.并且為3階極點(diǎn).題目：12、試求函數(shù)f（z）=[z(1-z2)]-1的有限奇點(diǎn)，并判定奇點(diǎn)的類別。f(z)的m階奇點(diǎn)即的階零點(diǎn),而f(z)的m階奇點(diǎn)即的階零點(diǎn),而零點(diǎn)為的有限奇點(diǎn)為z=0，z=1,z=-1且均為1階極點(diǎn).z=0，z=1，z=-1，且均為1階零點(diǎn)。的有限奇點(diǎn)為z=0，z=1,z=-1且均為1階極點(diǎn).四、證明題(要求寫出解題過程，如果通過附件上傳答案，請(qǐng)?jiān)诖痤}輸入框中，輸入“見附件”字樣)解：題目：14、設(shè)，試證z=0為f（z）的6級(jí)極點(diǎn)。題目：14、設(shè)，試證z=0為f（z）的6級(jí)極點(diǎn)。證:要證z=0為f(z)的6級(jí)極點(diǎn),只需證z=0為的6階零點(diǎn)而=8z3而=8z3=8z6令1=8z6令則0 z0為f(z)的6階零點(diǎn)z=0 f(z6形考任務(wù)7題目：1、若題目：1、若，則Res（f，1）=（D）?！続】：0x【B】：3【C】：2【D】：1題目：2、若題目：2、若，則=（C）．【B】：i【C】：0【D】：4題目：3、若題目：3、若，則=（C）?！綜】：0【D】：1/4題目：4、若點(diǎn)a為f（z）的可去奇點(diǎn)，則Res（f，a）=（D）?！続】：-1/2x【B】：i【C】：1/2【D】：0a。題目：6、若點(diǎn)a為f（z）的可去奇點(diǎn)，則Res（f，a）=（0）。題目：8、=（14πi）。題目：7、若f（z）=5z256z1016z42，則f（z）在丨z題目：8、=（14πi）。三、計(jì)算題(要求寫出解題過程，如果通過附件上傳答案，請(qǐng)?jiān)诖痤}輸入框中，輸入“見附件”字樣)題目：9、計(jì)算函數(shù)f（z）=（1+z）（z2-2z）-1在點(diǎn)z=0，z=2的殘數(shù)?！鄐（∴s（z））===1/2Res（f（z），0）===3/2、計(jì)算函數(shù)在z=n）的殘數(shù)。解：∵z=nπ是1/f(z)=sinz的一級(jí)零點(diǎn)∴s∴s（z），===題目：11、計(jì)算積分。題目：11、計(jì)算積分。題目：12、計(jì)算積分題目：12、計(jì)算積分。cosθ=cosθ=，當(dāng)θ02c:|z|=1題目：13、證明：題目：13、證明：．令，則f（z）=在上半平面的奇點(diǎn)只有一個(gè)z=ai，且ai為f（z）的令，則f（z）=在上半平面的奇點(diǎn)只有一個(gè)z=ai，且ai為f（z）的一級(jí)極點(diǎn)?！嗟仁阶筮?=0=等式右邊∴等式左邊==0=等式右邊題目：14、證明：題目：14、證明：