05十一月2022離散傅里葉變換數(shù)字信號處理陳后金02十一月2022離散傅里葉變換數(shù)字信號處理陳后金1學習要求了解四種信號的傅里葉變換的數(shù)學概念及特點。深刻理解有限長序列DFT的定義及概念。掌握序列DFT與序列DTFT和z變換的相互關(guān)系。掌握利用DFT分析任意信號頻譜的原理和方法。理解DFT分析信號頻譜中出現(xiàn)的現(xiàn)象以及改善這些現(xiàn)象的方法。掌握利用DFT實現(xiàn)序列線性卷積的原理和方法。

學習要求了解四種信號的傅里葉變換的數(shù)學概念及特點。2重點和難點

本章的重點是信號DFT的數(shù)學概念和物理概念，以及DFT在信號分析和系統(tǒng)分析中的重要作用本章的難點是利用DFT分析連續(xù)信號頻譜過程中出現(xiàn)的現(xiàn)象重點和難點本章的重點是信號DFT的數(shù)學概念和物理概3問題的提出信號的頻域分析在信息技術(shù)領(lǐng)域廣泛應用為什么進行信號頻譜的數(shù)值化分析?1.許多實際信號不存在數(shù)學解析式2.利用計算機數(shù)值計算,簡單快捷問題的提出信號的頻域分析在信息技術(shù)領(lǐng)域廣泛應用為什么進行信號4

有限長序列的傅里葉分析四種信號傅里葉表示有限長序列離散傅里葉變換DFT矩陣表示利用MATLAB計算DFT有限長序列的傅里葉分析四種信號傅里葉表示5四種信號傅里葉表示1.周期為T0的連續(xù)時間周期信號頻譜特點：離散非周期譜四種信號傅里葉表示1.周期為T0的連續(xù)時間周期信號頻譜特點6四種信號傅里葉表示2.連續(xù)時間非周期信號頻譜特點：連續(xù)非周期譜四種信號傅里葉表示2.連續(xù)時間非周期信號頻譜特點：連續(xù)非7四種信號傅里葉表示3.離散非周期信號頻譜特點：周期為2的連續(xù)譜四種信號傅里葉表示3.離散非周期信號頻譜特點：周期為28四種信號傅里葉表示4.周期為N的離散周期信號頻譜特點：周期為N的離散譜四種信號傅里葉表示4.周期為N的離散周期信號頻譜特點：周9有限長序列離散傅里葉變換IDFTDFT符號表示有限長序列離散傅里葉變換IDFTDFT符號表示10有限長序列DFT與DTFT關(guān)系

有限長序列x[k]離散傅里葉變換X[m]是其離散時間傅里葉變換X(ejW)在一個周期[0,2p)的等間隔抽樣有限長序列DFT與DTFT關(guān)系有限長序列x[11DFT與DFS關(guān)系DFT可以看成是截取DFS的主值區(qū)間構(gòu)成的變換對DFT與DFS關(guān)系DFT可以看成是截取DFS的主值區(qū)間構(gòu)成的12例3:求有限長4點序列的DFT。例題：例4有限長4點序列DFT矩陣表示。例3:求有限長4點序列13離散傅里葉變換數(shù)字信號處理陳后金課件14例4:求有限長4點序列的DFT。如果序列后補零，其DFT有何變化?解:例4:求有限長4點序列15X[m]={2，2，-2，2},m=0,1,2,3有限長4點序列DFT矩陣表示:DFT矩陣表示X[m]={2，2，-2，2},m=0,1,2,3有限16DFT矩陣表示DFT矩陣表示17利用MATLAB計算DFTfft(x)fft(x,N)ifft(x)ifft(x,N)fft(x)

計算M點的DFT。M是序列x的長度。fft(x,N)

計算N點的DFT。M>N，將原序列裁為N點計算N點的DFT；M<N，將原序列補零至N點，然后計算N點DFT。利用MATLAB計算DFTfft(x)fft(x,18x=[11-11];xm=fft(x,4);subplot(311);stem(0:3,abs(xm));axis([04-13]);xm1=fft(x,8);subplot(312);stem(0:7,abs(xm1));axis([08-13]);xm2=fft(x,16);subplot(313);stem(0:15,abs(xm2));axis([016-13]);利用MATLAB計算DFT---N=4、8、16x=[11-11];利用MATLAB計算DFT---19x=[0000011111100000];xm=fft(x,16);subplot(311);stem(0:15,abs(xm));axis([016-17]);subplot(312);xm1=fft(x,64);stem(0:63,abs(xm1));axis([064-17]);subplot(313);xm2=fft(x,256);stem(0:255,abs(xm2));axis([0256-17]);利用MATLAB計算DFT---N=16、64、256x=[0000011111100020x=[0000011111100000];x1=[000001];N1=6;xm1=fft(x1);subplot(211);stem(0:N1-1,abs(xm1));xm16=fft(x1,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));x2=[0000011];N2=7;xm2=fft(x2);subplot(211);stem(0:N2-1,abs(xm2));gridxm16=fft(x2,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridx3=[00000111];N3=8;xm3=fft(x3);subplot(211);stem(0:N3-1,abs(xm3));xm16=fft(x3,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridx4=[000001111];N4=9;xm4=fft(x4);subplot(211);stem(0:N4-1,abs(xm4));gridxm16=fft(x4,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridxm=fft(x,16);subplot(515);stem(0:15,abs(xm));x=[0000011111100021離散傅里葉變換數(shù)字信號處理陳后金課件22離散傅里葉變換的性質(zhì)

1.線性

2.循環(huán)位移

3.對稱性

4.序列的循環(huán)卷積5.Parseval定理6.序列DFT與z變換的關(guān)系離散傅里葉變換的性質(zhì)1.線性231.線性需將較短序列補零后，再按長序列的點數(shù)做DFT1.線性需將較短序列補零后，再按長序列的點數(shù)做DFT242.循環(huán)位移(圓周移位)循環(huán)位移定義為:注意：隱含的周期性2.循環(huán)位移(圓周移位)循環(huán)位移定義為:注意：隱含的周25時移特性:若DFT{x[k]}=X[m]則DFT{xp[kn]RN[k]}=WNnm

X[m]表明：序列在時域上圓周移位，頻域上將產(chǎn)生附加相移。證明：DFT{xp[kn]RN

[k]}時移特性:若DFT{x[k]}=X[m]26頻移特性:若DFT{x[k]}=X[m]則DFT{x[k]WNlk}=Xp[ml]

RN[m]表明：若序列在時域上乘以復數(shù)指數(shù)序列WNlk，則在頻域上，X[m]將圓周移位l位，也稱“調(diào)制定理”。頻移特性:若DFT{x[k]}=X[m]27設(shè)x[k]為實序列，DFT{x[k]}=X[m]，則

①X[m]的實部XR[m]是m的偶函數(shù),虛部XI[m]是m的奇函數(shù)

②X[m]的幅頻是m的偶函數(shù)，相位是m的奇函數(shù)。③具有半周期對稱的特點，即X[m]=X*[Nm]3.對稱性(symmetry)---1）實數(shù)序列x[k]設(shè)x[k]為實序列，DFT{x[k]}=X[m]28x=[0001111000];xm=fft(x,10);subplot(221);stem(0:9,abs(xm));subplot(222);stem(0:9,angle(xm));subplot(223);xm1=fft(x,11);stem(0:10,abs(xm1));subplot(224);stem(0:10,angle(xm1));設(shè)x[k]為實序列，DFT{x[k]}=X[m]，則

①X[m]的實部XR[m]是m的偶函數(shù),虛部XI[m]是m的奇函數(shù)

②X[m]的幅頻是m的偶函數(shù)，相位是m的奇函數(shù)。③具有半周期對稱的特點，即X[m]=X*[Nm]x=[0001111000];設(shè)x[k]為293.對稱性---2）復數(shù)序列x[k]3.對稱性---2）復數(shù)序列x[k]30若x*[k]是有限長序列x[k]的共軛復數(shù)序列，并設(shè)x[k]=xR[k]+jxI[k],x*[k]=xR[k]

jxI[k]有DFT{x*[k]}=X*[Nm]且Xep[m]

=DFT{xR[k]}={X[m]+X*[Nm]}/2

Xop[m]

=DFT{

jxI[k]}={X[m]X*[Nm]}/23.對稱性---2）復數(shù)序列證明：若x*[k]是有限長序列x[k]的共軛復數(shù)序列，并設(shè)3.31循環(huán)卷積循環(huán)卷積324.循環(huán)卷積定理時域卷積定理頻域卷積定理時域的循環(huán)卷積對應頻域的乘積時域的乘積對應頻域的循環(huán)卷積5.Parseval定理4.循環(huán)卷積定理時域卷積定理頻域卷積定理時域的循環(huán)卷積33序列DFT與z變換的關(guān)系有限長序列x[k]的DFT：有限長序列x[k]的z變換：序列DFT與z變換的關(guān)系有限長序列x[k]的DFT：有限長序34序列DFT與z變換的關(guān)系：x[k]的X[m]等于其z變換X(z)在單位圓上等間隔抽樣序列DFT與z變換的關(guān)系：x[k]的X[m]等于其z變換X(35兩個有限長序列的線性卷積利用DFT計算序列線性卷積h(n)x(n)y(n)如果序列x(n)的長度為N1、序列h(n)的長度為N2，那么線性卷積y(n)也是一個有限長序列，且其長度為N1+N21。每個x(n)的樣值都必須與每個h(n)的樣值相乘，需N1N2次乘法運算，在N1=

N2=

N時，需N2次乘法運算。

能否用圓周卷積代替線性卷積??將進行卷積的兩序列長度均加長至N

N1+

N21，然后再進行圓卷積，則其圓卷積的結(jié)果與線卷積的結(jié)果相同。兩個有限長序列的線性卷積利用DFT計算序列線性卷積h(36序列線性卷積序列線性卷積37序列線性卷積能否用圓周卷積代替線性卷積??序列圓周卷積序列線性卷積能否用圓周卷積代替線性卷積??序列圓周卷積38離散傅里葉變換數(shù)字信號處理陳后金課件39利用DFT計算序列線性卷積的步驟若x[k]的長度為N，h[k]的長度為M，則L=N+M-1點循環(huán)卷積等于x[k]與h[k]的線性卷積。序列補零加長至Lx[k]N點L點DFTX[k]L

N

+

M

1序列補零加長至Lh[k]M點L點DFTH[k]IFFTy[k]相乘直接線卷積：N1N2次乘運算，N1

N2=

N時，需N2乘。利用圓卷積：兩次FFT，一次IFFT利用DFT計算序列線性卷積的步驟若x[k]的40在一般的數(shù)字濾波器中，由于h(k)或H(m)是預先設(shè)計好的，已置于存儲器中，故實際只需二次FFT的運算量。假定N

=

M=

L，補零后長度N

+

M

12L，需要2(L

log22L)次乘。此外完成X(k)與H(k)兩序列相乘，全部復運算次數(shù)為2(L

log22L)+2L=2L(1+

log22L)比如L=210=1024L=26=64直接線卷積：10485766464=4096利用圓卷積：24576896

顯然，隨L，利用圓卷積比L2顯著減小，所以采用圓卷積的方案可以加快完成卷積運算。利用DFT計算序列線性卷積的步驟在一般的數(shù)字濾波器中，由于h(k)或H(m)41利用DFT計算序列線性卷積的步驟兩序列長度接近或相等的情況下，采用圓卷積的方案可以加快完成卷積運算。如果其中一個序列較短，而另一序列很長，圓卷積方案的相對運算量可能減小不多，甚至增多。這時，可采用分段卷積（分段過濾）的方法。其基本原理是：將較長的一個序列，比如x[n]分成許多小段，每小段長度都與h[n]接近，將x[n]的每個小段分別與h[n]作卷積，最后取和。這時，仍有可能發(fā)揮快速卷積的優(yōu)越性。此方案的具體實現(xiàn)不是唯一的。利用DFT計算序列線性卷積的步驟兩序列長度接42長序列和短序列的線性卷積直接利用DFT計算的缺點：(1)信號要全部輸入后才能進行計算，延遲太多。(2)內(nèi)存要求大。(3)算法效率不高。解決問題方法：采用分段卷積分段卷積可采用重疊相加法和重疊保留法。長序列和短序列的線性卷積直接利用DFT計算的缺點：(1)43長序列和短序列的線性卷積1.重疊相加法（overlapadd）將長序列x[k]分為若干段長度為L的序列長度、起止點？？？長序列和短序列的線性卷積1.重疊相加法（overlapa44長序列和短序列的線性卷積1.重疊相加法（overlapadd）y0[k]的長度及起止點：y1[k-L]的長度及起止點：注意：序列y0[k],y1[k]的重疊部分重疊的點數(shù)：L+M-2-L+1=M-1依次將相鄰兩段的M-1個重疊點相加？？？，即得到最終的線性卷積結(jié)果。長序列和短序列的線性卷積1.重疊相加法（overlapa45離散傅里葉變換數(shù)字信號處理陳后金課件462.重疊保留法（overlapsave）長序列和短序列的線性卷積方法：

(1)將x[k]長序列分段，每段長度為L。

(2)各段序列xn[k]與

M點短序列h[k]循環(huán)卷積。

(3)從各段循環(huán)卷積中提取線性卷積結(jié)果。因yn[k]=xn[k]h[k]前M-1個點不是線性卷積的點，故分段時，每段與其前一段有M-1個點重疊。第一段前需補M-1個零2.重疊保留法（overlapsave）長序列和短序列的472.重疊保留法（overlapsave）長序列和短序列的線性卷積記：yn[k]=xn[k]Lh[k]01-Lk0k1-LM-1M-12.重疊保留法（overlapsave）長序列和短序列的48離散傅里葉變換數(shù)字信號處理陳后金課件49例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，試分別利用重疊相加法和重疊保留法計算線性卷積,取L=5。解法一：使用重疊相加法---時域序列按L個點連續(xù)分段、計算L+M-1點圓周卷積（或計算L、M個點線性卷積）、前一個分段卷積結(jié)果的后M-1個點的序列值與后一個分段卷積結(jié)果的前M-1個點的序列值對應相加，構(gòu)成要求的卷積結(jié)果。解法二：使用重疊保留法---時域序列以前后兩段重疊M-1個點的形式按L個點分段、計算L點圓周卷積、保留每個分段卷積結(jié)果的后L-(M-1)個點的序列值，由他們按順序構(gòu)成要求的卷積結(jié)果。例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={50例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，試分別利用重疊相加法和重疊保留法計算線性卷積,取L=5。1）重疊相加法例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={51例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，試分別利用重疊相加法和重疊保留法計算線性卷積,取L=5。2）重疊保留法例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={52利用DFT分析信號頻譜問題的提出四種信號頻譜之間的關(guān)系利用DFT分析連續(xù)非周期信號頻譜混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象DFT參數(shù)選取利用DFT分析信號頻譜問題的提出53四種信號頻譜之間的關(guān)系：公式？利用DFT分析信號頻譜四種信號頻譜之間的關(guān)系：公式？利用DFT分析信號頻譜54四種信號的時域與頻域?qū)P(guān)系四種信號的時域與頻域?qū)P(guān)系55利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜假設(shè)連續(xù)信號持續(xù)時間有限，頻帶有限離散化抽樣N點DFT利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜假設(shè)連續(xù)信號持續(xù)時間有限56例：已知語音信號x(t)的最高頻率為fm=3.4kHz,用fsam=8kHz對x(t)進行抽樣。如對抽樣信號做N=1600點的DFT，試確定X[m]中m=600和m=1200點所分別對應原連續(xù)信號的連續(xù)頻譜點f1

和f2(kHz)。

解：例：已知語音信號x(t)的最高頻率為fm=3.4kHz,用57利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜求x(t)=e-tu(t)的幅度譜fs=16Hz,N=256t=(0:N-1)*T;x=T*exp(-t);X=fft(x);利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜求x(t)=e-tu(58N=100;fs=100;t=(0:N-1)/fs;x=exp(-t)/fs;X=fft(x);subplot(121);stem(t*fs,abs(X));gridw=-50:0.01:50;Xjw=1./(1+j*w);subplot(122);plot(w,abs(Xjw));gridholdonXX1=X(1:50);XX2=X(51:100);XX=[XX2XX1];stem(-50:49,abs(XX));grid離散傅里葉變換數(shù)字信號處理陳后金課件59N=100;fs=16;t=(0:N-1)/fs;x=exp(-t)/fs;X=fft(x);subplot(121);stem(t*fs,abs(X));gridw=-50:0.01:50;Xjw=1./(1+j*w);subplot(122);plot(w,abs(Xjw));gridholdonXX1=X(1:50);XX2=X(51:100);XX=[XX2XX1];stem(-50:49,abs(XX));grid離散傅里葉變換數(shù)字信號處理陳后金課件60討論1：x(t)無限長，其頻帶有限加窗抽樣DFT利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜討論1：x(t)無限長，其頻帶有限加窗抽樣DFT利用DFT分61討論2：x(t)有限長，其頻帶無限利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜抽樣DFT討論2：x(t)有限長，其頻帶無限利用DFT分析連續(xù)非周期62討論3：x(t)無限長，其頻帶無限利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜出現(xiàn)三種現(xiàn)象：混疊(抽樣頻率)、泄漏(加窗截斷)、柵欄(離散頻率點)抽樣DFT加窗討論3：x(t)無限長，其頻帶無限利用DFT分析連續(xù)非周期信63混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象(1)混疊現(xiàn)象混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象(1)混疊現(xiàn)象64f1=50.0;w1=2*pi*f1;fs=2000;t=-10:1/fs:10;x=-cos(w1*t);forn=1:19x=x-cos(n*w1*t)/n;endsubplot(311);plot(t,x);N1=400;x1=x(1:N1);X1=fft(x1,N1);subplot(312);stem((0:N1-1),abs(X1)/N1*2);gridN2=512;x2=x(1:N2);X2=fft(x2,N2);subplot(313);stem((0:N2-1),abs(X2)/N2*2);gridf1=50.0;w1=2*pi*f1;fs=2000;t=-10:1/fs:10;x=-cos(w1*t);forn=1:19x=x-cos(n*w1*t)/n;endsubplot(411);stem(t,x);N1=1024;x1=x(1:N1);X1=fft(x1,N1);subplot(412);plot((0:N1-1),abs(X1)/N1*2);gridf1=50.0;w1=2*pi*f1;fs1=500;t=-10:1/fs1:10;xx=-cos(w1*t);forn=1:19xx=xx-cos(n*w1*t)/n;endsubplot(413);stem(t,xx);N2=1024;x2=xx(1:N1);X2=fft(x2,N2);subplot(414);plot((0:N2-1),abs(X2)/N2*2);gridf1=50.0;w1=2*pi*f1;fs=2000;65混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象(2)泄漏現(xiàn)象混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象(2)泄漏現(xiàn)象66混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象(3)柵欄現(xiàn)象混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象(3)柵欄現(xiàn)象67fs=1000;t=0:1/fs:5;x=10*exp(-10*t);subplot(411);plot(t,x);N1=64;x1=x(1:N1);X1=fft(x1,N1);subplot(412);stem((0:N1-1),abs(X1)/N1*2);gridN1=256;x1=x(1:N1);X1=fft(x1,N1);subplot(413);stem((0:N1-1),abs(X1)/N1*2);gridN1=1024;x1=x(1:N1);X1=fft(x1,N1);subplot(414);stem((0:N1-1),abs(X1)/N1*2);gridfs=1000;t=0:1/fs:5;x=10*exp68混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象(4)解決方法1---抗混疊濾波避免混疊現(xiàn)象抗混濾波抽樣間隔T抽樣DFT混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象(4)解決方法1---抗混疊濾波69混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象(4)解決方法2---選擇旁瓣幅度小的窗函數(shù)減少泄漏加窗DFT其中：混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象(4)解決方法2---選擇旁瓣幅70混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象(4)解決方法3---做更多點的DFT提高頻率分辨率對信號補零，抽樣率不變，頻域抽樣點數(shù)增加，可以更多地顯示出頻譜中的細節(jié)DFT的兩個相鄰點對應的連續(xù)信號的頻譜間隔為混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象(4)解決方法3---做更多點的7105十一月2022離散傅里葉變換數(shù)字信號處理陳后金02十一月2022離散傅里葉變換數(shù)字信號處理陳后金72學習要求了解四種信號的傅里葉變換的數(shù)學概念及特點。深刻理解有限長序列DFT的定義及概念。掌握序列DFT與序列DTFT和z變換的相互關(guān)系。掌握利用DFT分析任意信號頻譜的原理和方法。理解DFT分析信號頻譜中出現(xiàn)的現(xiàn)象以及改善這些現(xiàn)象的方法。掌握利用DFT實現(xiàn)序列線性卷積的原理和方法。

學習要求了解四種信號的傅里葉變換的數(shù)學概念及特點。73重點和難點

本章的重點是信號DFT的數(shù)學概念和物理概念，以及DFT在信號分析和系統(tǒng)分析中的重要作用本章的難點是利用DFT分析連續(xù)信號頻譜過程中出現(xiàn)的現(xiàn)象重點和難點本章的重點是信號DFT的數(shù)學概念和物理概74問題的提出信號的頻域分析在信息技術(shù)領(lǐng)域廣泛應用為什么進行信號頻譜的數(shù)值化分析?1.許多實際信號不存在數(shù)學解析式2.利用計算機數(shù)值計算,簡單快捷問題的提出信號的頻域分析在信息技術(shù)領(lǐng)域廣泛應用為什么進行信號75

有限長序列的傅里葉分析四種信號傅里葉表示有限長序列離散傅里葉變換DFT矩陣表示利用MATLAB計算DFT有限長序列的傅里葉分析四種信號傅里葉表示76四種信號傅里葉表示1.周期為T0的連續(xù)時間周期信號頻譜特點：離散非周期譜四種信號傅里葉表示1.周期為T0的連續(xù)時間周期信號頻譜特點77四種信號傅里葉表示2.連續(xù)時間非周期信號頻譜特點：連續(xù)非周期譜四種信號傅里葉表示2.連續(xù)時間非周期信號頻譜特點：連續(xù)非78四種信號傅里葉表示3.離散非周期信號頻譜特點：周期為2的連續(xù)譜四種信號傅里葉表示3.離散非周期信號頻譜特點：周期為279四種信號傅里葉表示4.周期為N的離散周期信號頻譜特點：周期為N的離散譜四種信號傅里葉表示4.周期為N的離散周期信號頻譜特點：周80有限長序列離散傅里葉變換IDFTDFT符號表示有限長序列離散傅里葉變換IDFTDFT符號表示81有限長序列DFT與DTFT關(guān)系

有限長序列x[k]離散傅里葉變換X[m]是其離散時間傅里葉變換X(ejW)在一個周期[0,2p)的等間隔抽樣有限長序列DFT與DTFT關(guān)系有限長序列x[82DFT與DFS關(guān)系DFT可以看成是截取DFS的主值區(qū)間構(gòu)成的變換對DFT與DFS關(guān)系DFT可以看成是截取DFS的主值區(qū)間構(gòu)成的83例3:求有限長4點序列的DFT。例題：例4有限長4點序列DFT矩陣表示。例3:求有限長4點序列84離散傅里葉變換數(shù)字信號處理陳后金課件85例4:求有限長4點序列的DFT。如果序列后補零，其DFT有何變化?解:例4:求有限長4點序列86X[m]={2，2，-2，2},m=0,1,2,3有限長4點序列DFT矩陣表示:DFT矩陣表示X[m]={2，2，-2，2},m=0,1,2,3有限87DFT矩陣表示DFT矩陣表示88利用MATLAB計算DFTfft(x)fft(x,N)ifft(x)ifft(x,N)fft(x)

計算M點的DFT。M是序列x的長度。fft(x,N)

計算N點的DFT。M>N，將原序列裁為N點計算N點的DFT；M<N，將原序列補零至N點，然后計算N點DFT。利用MATLAB計算DFTfft(x)fft(x,89x=[11-11];xm=fft(x,4);subplot(311);stem(0:3,abs(xm));axis([04-13]);xm1=fft(x,8);subplot(312);stem(0:7,abs(xm1));axis([08-13]);xm2=fft(x,16);subplot(313);stem(0:15,abs(xm2));axis([016-13]);利用MATLAB計算DFT---N=4、8、16x=[11-11];利用MATLAB計算DFT---90x=[0000011111100000];xm=fft(x,16);subplot(311);stem(0:15,abs(xm));axis([016-17]);subplot(312);xm1=fft(x,64);stem(0:63,abs(xm1));axis([064-17]);subplot(313);xm2=fft(x,256);stem(0:255,abs(xm2));axis([0256-17]);利用MATLAB計算DFT---N=16、64、256x=[0000011111100091x=[0000011111100000];x1=[000001];N1=6;xm1=fft(x1);subplot(211);stem(0:N1-1,abs(xm1));xm16=fft(x1,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));x2=[0000011];N2=7;xm2=fft(x2);subplot(211);stem(0:N2-1,abs(xm2));gridxm16=fft(x2,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridx3=[00000111];N3=8;xm3=fft(x3);subplot(211);stem(0:N3-1,abs(xm3));xm16=fft(x3,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridx4=[000001111];N4=9;xm4=fft(x4);subplot(211);stem(0:N4-1,abs(xm4));gridxm16=fft(x4,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridxm=fft(x,16);subplot(515);stem(0:15,abs(xm));x=[0000011111100092離散傅里葉變換數(shù)字信號處理陳后金課件93離散傅里葉變換的性質(zhì)

1.線性

2.循環(huán)位移

3.對稱性

4.序列的循環(huán)卷積5.Parseval定理6.序列DFT與z變換的關(guān)系離散傅里葉變換的性質(zhì)1.線性941.線性需將較短序列補零后，再按長序列的點數(shù)做DFT1.線性需將較短序列補零后，再按長序列的點數(shù)做DFT952.循環(huán)位移(圓周移位)循環(huán)位移定義為:注意：隱含的周期性2.循環(huán)位移(圓周移位)循環(huán)位移定義為:注意：隱含的周96時移特性:若DFT{x[k]}=X[m]則DFT{xp[kn]RN[k]}=WNnm

X[m]表明：序列在時域上圓周移位，頻域上將產(chǎn)生附加相移。證明：DFT{xp[kn]RN

[k]}時移特性:若DFT{x[k]}=X[m]97頻移特性:若DFT{x[k]}=X[m]則DFT{x[k]WNlk}=Xp[ml]

RN[m]表明：若序列在時域上乘以復數(shù)指數(shù)序列WNlk，則在頻域上，X[m]將圓周移位l位，也稱“調(diào)制定理”。頻移特性:若DFT{x[k]}=X[m]98設(shè)x[k]為實序列，DFT{x[k]}=X[m]，則

①X[m]的實部XR[m]是m的偶函數(shù),虛部XI[m]是m的奇函數(shù)

②X[m]的幅頻是m的偶函數(shù)，相位是m的奇函數(shù)。③具有半周期對稱的特點，即X[m]=X*[Nm]3.對稱性(symmetry)---1）實數(shù)序列x[k]設(shè)x[k]為實序列，DFT{x[k]}=X[m]99x=[0001111000];xm=fft(x,10);subplot(221);stem(0:9,abs(xm));subplot(222);stem(0:9,angle(xm));subplot(223);xm1=fft(x,11);stem(0:10,abs(xm1));subplot(224);stem(0:10,angle(xm1));設(shè)x[k]為實序列，DFT{x[k]}=X[m]，則

①X[m]的實部XR[m]是m的偶函數(shù),虛部XI[m]是m的奇函數(shù)

②X[m]的幅頻是m的偶函數(shù)，相位是m的奇函數(shù)。③具有半周期對稱的特點，即X[m]=X*[Nm]x=[0001111000];設(shè)x[k]為1003.對稱性---2）復數(shù)序列x[k]3.對稱性---2）復數(shù)序列x[k]101若x*[k]是有限長序列x[k]的共軛復數(shù)序列，并設(shè)x[k]=xR[k]+jxI[k],x*[k]=xR[k]

jxI[k]有DFT{x*[k]}=X*[Nm]且Xep[m]

=DFT{xR[k]}={X[m]+X*[Nm]}/2

Xop[m]

=DFT{

jxI[k]}={X[m]X*[Nm]}/23.對稱性---2）復數(shù)序列證明：若x*[k]是有限長序列x[k]的共軛復數(shù)序列，并設(shè)3.102循環(huán)卷積循環(huán)卷積1034.循環(huán)卷積定理時域卷積定理頻域卷積定理時域的循環(huán)卷積對應頻域的乘積時域的乘積對應頻域的循環(huán)卷積5.Parseval定理4.循環(huán)卷積定理時域卷積定理頻域卷積定理時域的循環(huán)卷積104序列DFT與z變換的關(guān)系有限長序列x[k]的DFT：有限長序列x[k]的z變換：序列DFT與z變換的關(guān)系有限長序列x[k]的DFT：有限長序105序列DFT與z變換的關(guān)系：x[k]的X[m]等于其z變換X(z)在單位圓上等間隔抽樣序列DFT與z變換的關(guān)系：x[k]的X[m]等于其z變換X(106兩個有限長序列的線性卷積利用DFT計算序列線性卷積h(n)x(n)y(n)如果序列x(n)的長度為N1、序列h(n)的長度為N2，那么線性卷積y(n)也是一個有限長序列，且其長度為N1+N21。每個x(n)的樣值都必須與每個h(n)的樣值相乘，需N1N2次乘法運算，在N1=

N2=

N時，需N2次乘法運算。

能否用圓周卷積代替線性卷積??將進行卷積的兩序列長度均加長至N

N1+

N21，然后再進行圓卷積，則其圓卷積的結(jié)果與線卷積的結(jié)果相同。兩個有限長序列的線性卷積利用DFT計算序列線性卷積h(107序列線性卷積序列線性卷積108序列線性卷積能否用圓周卷積代替線性卷積??序列圓周卷積序列線性卷積能否用圓周卷積代替線性卷積??序列圓周卷積109離散傅里葉變換數(shù)字信號處理陳后金課件110利用DFT計算序列線性卷積的步驟若x[k]的長度為N，h[k]的長度為M，則L=N+M-1點循環(huán)卷積等于x[k]與h[k]的線性卷積。序列補零加長至Lx[k]N點L點DFTX[k]L

N

+

M

1序列補零加長至Lh[k]M點L點DFTH[k]IFFTy[k]相乘直接線卷積：N1N2次乘運算，N1

N2=

N時，需N2乘。利用圓卷積：兩次FFT，一次IFFT利用DFT計算序列線性卷積的步驟若x[k]的111在一般的數(shù)字濾波器中，由于h(k)或H(m)是預先設(shè)計好的，已置于存儲器中，故實際只需二次FFT的運算量。假定N

=

M=

L，補零后長度N

+

M

12L，需要2(L

log22L)次乘。此外完成X(k)與H(k)兩序列相乘，全部復運算次數(shù)為2(L

log22L)+2L=2L(1+

log22L)比如L=210=1024L=26=64直接線卷積：10485766464=4096利用圓卷積：24576896

顯然，隨L，利用圓卷積比L2顯著減小，所以采用圓卷積的方案可以加快完成卷積運算。利用DFT計算序列線性卷積的步驟在一般的數(shù)字濾波器中，由于h(k)或H(m)112利用DFT計算序列線性卷積的步驟兩序列長度接近或相等的情況下，采用圓卷積的方案可以加快完成卷積運算。如果其中一個序列較短，而另一序列很長，圓卷積方案的相對運算量可能減小不多，甚至增多。這時，可采用分段卷積（分段過濾）的方法。其基本原理是：將較長的一個序列，比如x[n]分成許多小段，每小段長度都與h[n]接近，將x[n]的每個小段分別與h[n]作卷積，最后取和。這時，仍有可能發(fā)揮快速卷積的優(yōu)越性。此方案的具體實現(xiàn)不是唯一的。利用DFT計算序列線性卷積的步驟兩序列長度接113長序列和短序列的線性卷積直接利用DFT計算的缺點：(1)信號要全部輸入后才能進行計算，延遲太多。(2)內(nèi)存要求大。(3)算法效率不高。解決問題方法：采用分段卷積分段卷積可采用重疊相加法和重疊保留法。長序列和短序列的線性卷積直接利用DFT計算的缺點：(1)114長序列和短序列的線性卷積1.重疊相加法（overlapadd）將長序列x[k]分為若干段長度為L的序列長度、起止點？？？長序列和短序列的線性卷積1.重疊相加法（overlapa115長序列和短序列的線性卷積1.重疊相加法（overlapadd）y0[k]的長度及起止點：y1[k-L]的長度及起止點：注意：序列y0[k],y1[k]的重疊部分重疊的點數(shù)：L+M-2-L+1=M-1依次將相鄰兩段的M-1個重疊點相加？？？，即得到最終的線性卷積結(jié)果。長序列和短序列的線性卷積1.重疊相加法（overlapa116離散傅里葉變換數(shù)字信號處理陳后金課件1172.重疊保留法（overlapsave）長序列和短序列的線性卷積方法：

(1)將x[k]長序列分段，每段長度為L。

(2)各段序列xn[k]與

M點短序列h[k]循環(huán)卷積。

(3)從各段循環(huán)卷積中提取線性卷積結(jié)果。因yn[k]=xn[k]h[k]前M-1個點不是線性卷積的點，故分段時，每段與其前一段有M-1個點重疊。第一段前需補M-1個零2.重疊保留法（overlapsave）長序列和短序列的1182.重疊保留法（overlapsave）長序列和短序列的線性卷積記：yn[k]=xn[k]Lh[k]01-Lk0k1-LM-1M-12.重疊保留法（overlapsave）長序列和短序列的119離散傅里葉變換數(shù)字信號處理陳后金課件120例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，試分別利用重疊相加法和重疊保留法計算線性卷積,取L=5。解法一：使用重疊相加法---時域序列按L個點連續(xù)分段、計算L+M-1點圓周卷積（或計算L、M個點線性卷積）、前一個分段卷積結(jié)果的后M-1個點的序列值與后一個分段卷積結(jié)果的前M-1個點的序列值對應相加，構(gòu)成要求的卷積結(jié)果。解法二：使用重疊保留法---時域序列以前后兩段重疊M-1個點的形式按L個點分段、計算L點圓周卷積、保留每個分段卷積結(jié)果的后L-(M-1)個點的序列值，由他們按順序構(gòu)成要求的卷積結(jié)果。例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={121例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，試分別利用重疊相加法和重疊保留法計算線性卷積,取L=5。1）重疊相加法例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={122例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，試分別利用重疊相加法和重疊保留法計算線性卷積,取L=5。2）重疊保留法例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={123利用DFT分析信號頻譜問題的提出四種信號頻譜之間的關(guān)系利用DFT分析連續(xù)非周期信號頻譜混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象DFT參數(shù)選取利用DFT分析信號頻譜問題的提出124四種信號頻譜之間的關(guān)系：公式？利用DFT分析信號頻譜四種信號頻譜之間的關(guān)系：公式？利用DFT分析信號頻譜125四種信號的時域與頻域?qū)P(guān)系四種信號的時域與頻域?qū)P(guān)系126利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜假設(shè)連續(xù)信號持續(xù)時間有限，頻帶有限離散化抽樣N點DFT利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜假設(shè)連續(xù)信號持續(xù)時間有限127例：已知語音信號x(t)的最高頻率為fm=3.4kHz,用fsam=8kHz對x(t)進行抽樣。如對抽樣信號做N=1600點的DFT，試確定X[m]中m=600和m=1200點所分別對應原連續(xù)信號的連續(xù)頻譜點f1

和f2(kHz)。

解：例：已知語音信號x(t)的最高頻率為fm=3.4kHz,用128利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜求x(t)=e-tu(t)的幅度譜fs=16Hz,N=256t=(0:N-1)*T;x=T*exp(-t);X=fft(x);利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜求x(t)=e-tu(129N=100;fs=100;t=(0:N-1)/fs;x=exp(-t)/fs;X=fft(x);subplot(121);stem(t*fs,abs(X