變化率問題導(dǎo)數(shù)的概念變化率問題一、函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率1.定義式:=.2.實質(zhì):函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比.3.意義:刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1,x2]上變化的快慢.一、函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率思考:(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率的大小與曲線y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的“陡峭”程度有什么關(guān)系?提示:平均變化率的絕對值越大,曲線y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]上越“陡峭”,否則相反.(2)平均變化率可以是零嗎?舉例說明.提示:可以為零,如常數(shù)函數(shù)f(x)=a(a為常數(shù)).思考:(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率的二、函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率1.定義式：.2.實質(zhì)：瞬時變化率是當(dāng)自變量的改變量趨近于0時，平均變化率趨近的值.3.作用：刻畫函數(shù)在某一點處變化的快慢.二、函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率思考：勻速直線運動的瞬時速度和平均速度相等嗎？提示：因為勻速直線運動的速度的瞬時變化率為零，所以瞬時速度和平均速度相等.思考：勻速直線運動的瞬時速度和平均速度相等嗎？三、導(dǎo)數(shù)的概念1.定義式:.2.記法:或_______.3.實質(zhì):函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是y=f(x)在x=x0處的___________.f′(x0)瞬時變化率三、導(dǎo)數(shù)的概念f′(x0)瞬時變化率判斷：(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)與Δx值的正、負(fù)無關(guān). ()(2)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值是Δx＝0時的平均變化率. ()(3)在導(dǎo)數(shù)的定義中，Δx,Δy都不能為零. ()判斷：(正確的打“√”，錯誤的打“×”)提示：(1)正確.Δx值可正，可負(fù).(2)錯誤.y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值是Δx趨近于0時，平均變化率無限接近的一個常數(shù)值，而不是Δx＝0時的值，實際上，在平均變化率的表達(dá)式中，Δx≠0.(3)錯誤.Δx不能為零，Δy可能為零.答案：(1)√(2)×(3)×提示：(1)正確.Δx值可正，可負(fù).【知識點撥】1.對平均變化率的三點說明(1)y=f(x)在區(qū)間［x1,x2］上的平均變化率是曲線y=f(x)在區(qū)間［x1,x2］上陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線陡峭程度是平均變化率的“直觀化”.【知識點撥】(2)平均變化率的幾何意義就是函數(shù)y=f(x)圖象上兩點P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))所在直線(即割線)的斜率.(3)平均變化率的物理意義是把位移s看成時間t的函數(shù)s=s(t)，在時間段［t1,t2］上的平均速度，即(2)平均變化率的幾何意義就是函數(shù)y=f(x)圖象上兩點2.對瞬時變化率的兩點說明(1)平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系：①區(qū)別：平均變化率刻畫函數(shù)值在區(qū)間［x1,x2］上變化的快慢,瞬時變化率刻畫函數(shù)值在點x0處變化的快慢；②聯(lián)系：當(dāng)Δx趨于0時，平均變化率趨于一個常數(shù)，這個常數(shù)即為函數(shù)在x0處的瞬時變化率，它是一個固定值.2.對瞬時變化率的兩點說明(2)“Δx無限趨近于0”的含義：Δx趨于0的距離要多近有多近，即|Δx－0|可以小于給定的任意小的正數(shù)，且始終Δx≠0.(2)“Δx無限趨近于0”的含義：3.導(dǎo)數(shù)與瞬時變化率的關(guān)系導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在x0及其附近函數(shù)值的改變量Δy與自變量的改變量Δx之比的極限,它是一個局部性的概念,若存在,則函數(shù)y=f(x)在x0處有導(dǎo)數(shù),否則不存在導(dǎo)數(shù).3.導(dǎo)數(shù)與瞬時變化率的關(guān)系4.導(dǎo)數(shù)的物理意義不同的物理量有著不同的物理意義.例如,變速直線運動路程s=s(t)的導(dǎo)數(shù)，就是瞬時速度，即s′(t0)=v(t0).我們也常說路程函數(shù)s(t)對時間的導(dǎo)數(shù)就是瞬時速度.4.導(dǎo)數(shù)的物理意義類型一求函數(shù)的平均變化率

【典型例題】1.已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點A(-1,-2)及鄰近一點B(-1+Δx,-2+Δy),則=______.2.某物體運動的位移s與時間t存在函數(shù)關(guān)系s＝10t＋5t2(位移單位：m，時間單位：s).求20s后的0.1s內(nèi)此物體運動的平均速度.類型一求函數(shù)的平均變化率【解題探究】1.函數(shù)平均變化率計算式子中，Δx,Δy分別表示什么？2.求函數(shù)平均變化率的關(guān)鍵是什么？探究提示：1.Δx是自變量的改變量，即Δx=x2-x1.Δy是函數(shù)值的改變量，即Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1).2.關(guān)鍵是求函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比,即.【解題探究】1.函數(shù)平均變化率計算式子中，Δx,Δy分別表【解析】1.-2+Δy=-(-1+Δx)2+(-1+Δx)，所以答案:3-Δx【解析】1.-2+Δy=-(-1+Δx)2+(-1+Δx)，2.Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝10×(20＋0.1)＋5×(20＋0.1)2－10×20－5×202＝1＋20＋5×0.01＝21.05，所以故20s后的0.1s內(nèi)此物體運動的平均速度為210.5m/s.2.Δs＝s(t＋Δt)－s(t)【拓展提升】求函數(shù)平均變化率的三個步驟第一步，求自變量的增量Δx=x2-x1.第二步，求函數(shù)值的增量Δy=f(x2)-f(x1).第三步，求平均變化率【拓展提升】求函數(shù)平均變化率的三個步驟類型二求瞬時速度

【典型例題】1.以初速度v0(v0>0)垂直上拋的物體，t秒時的高度為s(t)＝v0t－gt2，則物體在t0時刻的瞬時速度為_____.2.一個小球自由下落，它在下落3秒時的速度是多少？并說明它的意義(重力加速度為9.8m/s2).類型二求瞬時速度【解題探究】1.運動物體的平均速度與瞬時速度有什么關(guān)系?2.題2中“下落3秒時的速度”的含義是什么？探究提示：1.運動物體在某一時刻的瞬時速度是這一時刻平均速度的極限.2.其含義是求此小球在下落3秒時的瞬時速度.【解題探究】1.運動物體的平均速度與瞬時速度有什么關(guān)系?【解析】1.因為Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－(v0t0－

gt02)＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，所以所以當(dāng)Δt無限趨近于0時，無限趨近于v0－gt0，故物體在時刻t0的瞬時速度為v0－gt0.答案：v0－gt0【解析】1.因為Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt2.自由落體的運動公式是s=gt2(其中g(shù)是重力加速度)，Δs=s(3+Δt)-s(3)=4.9(3+Δt)2-4.9×32=29.4Δt+4.9(Δt)2，

=29.4+4.9Δt.所以說明在第3秒附近小球以29.4m/s的速度下降.2.自由落體的運動公式是s=gt2(其中g(shù)是重力加速度)【互動探究】若把題1中的“v0”改為“v0=20”，求物體在t=3時刻的瞬時速度.【解析】因為Δs＝20(3＋Δt)－g(3＋Δt)2－(20×3－

×32g)＝(20－3g)Δt－g(Δt)2，所以所以當(dāng)Δt無限趨近于0時，無限趨近于20－3g，故物體在t=3時刻的瞬時速度為20－3g.【互動探究】若把題1中的“v0”改為“v0=20”，求物體在【拓展提升】1.求運動物體瞬時速度的三個步驟第一步，求時間改變量Δt和位置改變量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).第二步，求平均速度第三步，求瞬時速度，當(dāng)Δt無限趨近于0，無限趨近于常數(shù)v即為瞬時速度.【拓展提升】2.求(當(dāng)Δx無限趨近于0時)的極限的方法(1)在極限表達(dá)式中，可把Δx作為一個數(shù)來參與運算.(2)求出的表達(dá)式并化簡(如對Δx約分)后，Δx無限趨近于0就是令Δx=0，求出結(jié)果即可.2.求(當(dāng)Δx無限趨近于0時)的極限的方法3.瞬時變化率的幾種等價變形形式3.瞬時變化率的幾種等價變形形式類型三求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)

【典型例題】1.若則等于()A.2k B.k C.k D.以上都不是2.求函數(shù)在x＝1處的導(dǎo)數(shù).類型三求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)【解題探究】1.函數(shù)值增量f(x0+2Δx)-f(x0)與自變量的增量Δx不一致,此時應(yīng)如何處理才可求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？2.題2中求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)是什么？探究提示：1.求解時只需把自變量的增量Δx換成2Δx即可,但要注意使式子相等.2.求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)是求此函數(shù)在x=1處的瞬時變化率.【解題探究】1.函數(shù)值增量f(x0+2Δx)-f(x0)與自【解析】1.選A.【解析】1.選A.2.因為所以所以當(dāng)Δx無限趨近于0時，趨近于故函數(shù)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)是即2.因為【拓展提升】求函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的三個步驟簡稱：一差、二比、三極限.【拓展提升】求函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的三個步驟【易錯誤區(qū)】對導(dǎo)數(shù)的概念理解不清致誤【典例】若函數(shù)f(x)在x=a的導(dǎo)數(shù)為m，那么的值為______.【易錯誤區(qū)】對導(dǎo)數(shù)的概念理解不清致誤【解析】====2m+2m①=4m.答案:4m【解析】【誤區(qū)警示】【誤區(qū)警示】【防范措施】弄清導(dǎo)數(shù)的含義函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)，是該點函數(shù)平均變化率的極限，函數(shù)在某一點自變量的增量，既可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)值的改變量與“相應(yīng)”自變量改變量的極限，如本例中與均為函數(shù)f(x)在x=a處的導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式.【防范措施】【類題試解】(2013·杭州高二檢測)已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且x0∈(a,b)，則的值為()A.f′(x0) B.2f′(x0)C.-2f′(x0) D.0【類題試解】(2013·杭州高二檢測)已知函數(shù)y=f(x)在【解析】選B.方法一：由題意，得=則====f′(x0)+f′(x0)=2f′(x0).【解析】選B.方法一：由題意，得方法二：由f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)意義，得用x0代替x0-h,則令2h=Δx,則上式=方法二：由f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)意義，

變化率問題導(dǎo)數(shù)的概念變化率問題一、函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率1.定義式:=.2.實質(zhì):函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比.3.意義:刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1,x2]上變化的快慢.一、函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率思考:(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率的大小與曲線y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的“陡峭”程度有什么關(guān)系?提示:平均變化率的絕對值越大,曲線y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]上越“陡峭”,否則相反.(2)平均變化率可以是零嗎?舉例說明.提示:可以為零,如常數(shù)函數(shù)f(x)=a(a為常數(shù)).思考:(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率的二、函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率1.定義式：.2.實質(zhì)：瞬時變化率是當(dāng)自變量的改變量趨近于0時，平均變化率趨近的值.3.作用：刻畫函數(shù)在某一點處變化的快慢.二、函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率思考：勻速直線運動的瞬時速度和平均速度相等嗎？提示：因為勻速直線運動的速度的瞬時變化率為零，所以瞬時速度和平均速度相等.思考：勻速直線運動的瞬時速度和平均速度相等嗎？三、導(dǎo)數(shù)的概念1.定義式:.2.記法:或_______.3.實質(zhì):函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是y=f(x)在x=x0處的___________.f′(x0)瞬時變化率三、導(dǎo)數(shù)的概念f′(x0)瞬時變化率判斷：(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)與Δx值的正、負(fù)無關(guān). ()(2)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值是Δx＝0時的平均變化率. ()(3)在導(dǎo)數(shù)的定義中，Δx,Δy都不能為零. ()判斷：(正確的打“√”，錯誤的打“×”)提示：(1)正確.Δx值可正，可負(fù).(2)錯誤.y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值是Δx趨近于0時，平均變化率無限接近的一個常數(shù)值，而不是Δx＝0時的值，實際上，在平均變化率的表達(dá)式中，Δx≠0.(3)錯誤.Δx不能為零，Δy可能為零.答案：(1)√(2)×(3)×提示：(1)正確.Δx值可正，可負(fù).【知識點撥】1.對平均變化率的三點說明(1)y=f(x)在區(qū)間［x1,x2］上的平均變化率是曲線y=f(x)在區(qū)間［x1,x2］上陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線陡峭程度是平均變化率的“直觀化”.【知識點撥】(2)平均變化率的幾何意義就是函數(shù)y=f(x)圖象上兩點P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))所在直線(即割線)的斜率.(3)平均變化率的物理意義是把位移s看成時間t的函數(shù)s=s(t)，在時間段［t1,t2］上的平均速度，即(2)平均變化率的幾何意義就是函數(shù)y=f(x)圖象上兩點2.對瞬時變化率的兩點說明(1)平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系：①區(qū)別：平均變化率刻畫函數(shù)值在區(qū)間［x1,x2］上變化的快慢,瞬時變化率刻畫函數(shù)值在點x0處變化的快慢；②聯(lián)系：當(dāng)Δx趨于0時，平均變化率趨于一個常數(shù)，這個常數(shù)即為函數(shù)在x0處的瞬時變化率，它是一個固定值.2.對瞬時變化率的兩點說明(2)“Δx無限趨近于0”的含義：Δx趨于0的距離要多近有多近，即|Δx－0|可以小于給定的任意小的正數(shù)，且始終Δx≠0.(2)“Δx無限趨近于0”的含義：3.導(dǎo)數(shù)與瞬時變化率的關(guān)系導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在x0及其附近函數(shù)值的改變量Δy與自變量的改變量Δx之比的極限,它是一個局部性的概念,若存在,則函數(shù)y=f(x)在x0處有導(dǎo)數(shù),否則不存在導(dǎo)數(shù).3.導(dǎo)數(shù)與瞬時變化率的關(guān)系4.導(dǎo)數(shù)的物理意義不同的物理量有著不同的物理意義.例如,變速直線運動路程s=s(t)的導(dǎo)數(shù)，就是瞬時速度，即s′(t0)=v(t0).我們也常說路程函數(shù)s(t)對時間的導(dǎo)數(shù)就是瞬時速度.4.導(dǎo)數(shù)的物理意義類型一求函數(shù)的平均變化率

【典型例題】1.已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點A(-1,-2)及鄰近一點B(-1+Δx,-2+Δy),則=______.2.某物體運動的位移s與時間t存在函數(shù)關(guān)系s＝10t＋5t2(位移單位：m，時間單位：s).求20s后的0.1s內(nèi)此物體運動的平均速度.類型一求函數(shù)的平均變化率【解題探究】1.函數(shù)平均變化率計算式子中，Δx,Δy分別表示什么？2.求函數(shù)平均變化率的關(guān)鍵是什么？探究提示：1.Δx是自變量的改變量，即Δx=x2-x1.Δy是函數(shù)值的改變量，即Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1).2.關(guān)鍵是求函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比,即.【解題探究】1.函數(shù)平均變化率計算式子中，Δx,Δy分別表【解析】1.-2+Δy=-(-1+Δx)2+(-1+Δx)，所以答案:3-Δx【解析】1.-2+Δy=-(-1+Δx)2+(-1+Δx)，2.Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝10×(20＋0.1)＋5×(20＋0.1)2－10×20－5×202＝1＋20＋5×0.01＝21.05，所以故20s后的0.1s內(nèi)此物體運動的平均速度為210.5m/s.2.Δs＝s(t＋Δt)－s(t)【拓展提升】求函數(shù)平均變化率的三個步驟第一步，求自變量的增量Δx=x2-x1.第二步，求函數(shù)值的增量Δy=f(x2)-f(x1).第三步，求平均變化率【拓展提升】求函數(shù)平均變化率的三個步驟類型二求瞬時速度

【典型例題】1.以初速度v0(v0>0)垂直上拋的物體，t秒時的高度為s(t)＝v0t－gt2，則物體在t0時刻的瞬時速度為_____.2.一個小球自由下落，它在下落3秒時的速度是多少？并說明它的意義(重力加速度為9.8m/s2).類型二求瞬時速度【解題探究】1.運動物體的平均速度與瞬時速度有什么關(guān)系?2.題2中“下落3秒時的速度”的含義是什么？探究提示：1.運動物體在某一時刻的瞬時速度是這一時刻平均速度的極限.2.其含義是求此小球在下落3秒時的瞬時速度.【解題探究】1.運動物體的平均速度與瞬時速度有什么關(guān)系?【解析】1.因為Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－(v0t0－

gt02)＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，所以所以當(dāng)Δt無限趨近于0時，無限趨近于v0－gt0，故物體在時刻t0的瞬時速度為v0－gt0.答案：v0－gt0【解析】1.因為Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt2.自由落體的運動公式是s=gt2(其中g(shù)是重力加速度)，Δs=s(3+Δt)-s(3)=4.9(3+Δt)2-4.9×32=29.4Δt+4.9(Δt)2，

=29.4+4.9Δt.所以說明在第3秒附近小球以29.4m/s的速度下降.2.自由落體的運動公式是s=gt2(其中g(shù)是重力加速度)【互動探究】若把題1中的“v0”改為“v0=20”，求物體在t=3時刻的瞬時速度.【解析】因為Δs＝20(3＋Δt)－g(3＋Δt)2－(20×3－

×32g)＝(20－3g)Δt－g(Δt)2，所以所以當(dāng)Δt無限趨近于0時，無限趨近于20－3g，故物體在t=3時刻的瞬時速度為20－3g.【互動探究】若把題1中的“v0”改為“v0=20”，求物體在【拓展提升】1.求運動物體瞬時速度的三個步驟第一步，求時間改變量Δt和位置改變量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).第二步，求平均速度第三步，求瞬時速度，當(dāng)Δt無限趨近于0，無限趨近于常數(shù)v即為瞬時速度.【拓展提升】2.求(當(dāng)Δx無限趨近于0時)的極限的方法(1)在極限表達(dá)式中，可把Δx作為一個數(shù)來參與運算.(2)求出的表達(dá)式并化簡(如對Δx約分)后，Δx無限趨近于0就是令Δx=0，求出結(jié)果即可.2.求(當(dāng)Δx無限趨近于0時)的極限的方法3.瞬時變化率的幾種等價變形形式3.瞬時變化率的幾種等價變形形式類型三求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)

【典型例題】1.若則等于()A.2k B.k C.k D.以上都不是2.求函數(shù)在x＝1處的導(dǎo)數(shù).類型三求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)【解