1.1.1

基本邏輯關(guān)系與邏輯運算ABABA與邏輯關(guān)系或邏輯關(guān)系非邏輯關(guān)系與運算

P=A·B或運算P=A+B非運算

P

A與非運算與或非運算異或運算A

B或非運算

A

BAB

CDA

B1.1.2邏輯變量與邏輯函數(shù)前述各表達式中的字母A、B、C稱為邏輯變量。每個變量只有“0”或“1”兩種取值，即變量不是取“0”，就是取“1”，不可能有第三種情況。相當(dāng)于信號的有或無，電平的高或低，電路的導(dǎo)通或截止。這使 代數(shù)可以直接用于雙值邏輯系統(tǒng)電路的研究。如果某變量P的取值依賴于其他變量（A，B，C…)則稱P為A，B，C…的邏輯函數(shù)，記為：P=P

（A，B，C…)*

邏輯函數(shù)也只有兩種取值1.1.3

公式（一）常量之間的關(guān)系（運算法則）1 0·

0=02 0·

1=03 1·

1=11’

0+0=02’

0+1=13’

1+1=1有0出0全1出1有1出1全0出0（二）代數(shù)的運算定律交換律A·B=B·AA+B=B+A結(jié)合律（A+B）+C=A+（B+C）（AB）C=A（BC）3.分配律例如：P1=(A+B)(C+D)=AC+AD+BC+BDP2=

AB+AC+BD+CD=A(B+C)+D(B+C)=(A+D)(B+C)1.1.4

代數(shù)的形式定理所以稱為形式定量，是因為這些定理在邏輯關(guān)系的形式上雖然不同，但最終結(jié)果是相等的。這些定理主要用在分析設(shè)計數(shù)字電路時，對式進行簡化，或者在形式上進行變換，經(jīng)滿足需要。這些定理大約可以分為五種類型：①變量與常量之間的關(guān)系；②變量自身之間的關(guān)系；③與或型的邏輯關(guān)系；④或與型的邏輯關(guān)系；⑤求反的邏輯關(guān)系——定理（二）變量與常量之間的關(guān)系A(chǔ)·0=0A·1=

AA+1=1A+0=AA·A=AAA

=0（三）

變量自身之間的關(guān)系A(chǔ)+A=A

A+

A

=1定理與或定理定理5A·A=AA+A=A定理6定理7AA·

A=0A+A

=1定理8上述定理可敘述為變量本身連乘或者連加都等于變量本身；變量與其反變量之積等于“0”，而與其反變量之和等于“1”。（三）

變量自身之間的關(guān)系變量自身之間的關(guān)系也有兩對公式，它們之間也是互相對應(yīng)的，見下表。3.與或型的邏輯關(guān)系(1)

定理9：A+AB=A用代數(shù)法證明如下：A+AB=A（1+B）=A·1=A用真值法證明如下：A

B

A+AB=A000+0·0=0010+0·1=0101+1·0=1111+1·1=1變量A在這里應(yīng)理解為一個與項，而不僅僅是一個變量。例如：AB+ABC=AB（1+C）=AB·1=

AB(2)

定理11：A

AB

A

B用代數(shù)法證明如下：A

AB

A

AB

AB

A

B(A

A)

A

B1

A

B在一個與或

式中，如果一個與項包含了另一個與項的反，則該反變量部分是多余的。這里必須注意的是，一個與項包含了另一個與項的反，而不是另外一個與項中部分變量之反。例如，AC

ACB

AC

B而

AC

ACB則不可做上述化簡。定理13

:

AB

AC

BC

AB

AC證明如下：AB

AC

BC

AB

AC

(

A

A)

AB

AC

ABC

ABC

AB(1

C)

AC(1

B)

AB

AC在一與或式中，一個與項包含了另外兩個含有互為反變量的與項的其余部分，則該與項是多余的。4.或與型的邏輯關(guān)系(1)定理10：A（A+B）=A在一個或與

式中，如果一個或項包含在另一個或項之中，則另一個或項是多余的?，F(xiàn)證明如下：A（A+B）=AA+AB=A+AB=A這里應(yīng)把定理10中的A視為一個或項，因為A可視為（A+A）。例：（A+B）（A+B+C+DE）=（A+B）[（A+B）+（C+DE）]=（A+B）（A+B）+（A+B）（C+DE）=（A+B）+（A+B）（C+DE）=A+B(2)

定理12：A(A

B)

AB在一個或與

式中，如果一個或項的反包含在另一個或項之中，該或項的反是多余的?，F(xiàn)證明如下：A(

A

B)

AA

AB

0

AB

AB(3)

定理14

：(

A

B)(A

C)(B

C)

(

A

B)(A

C)在一個或與式中，一個或項包含了另外兩個含有互為反變量的或項的其余部分，則該或項是多余的。證明：(

A

B)(

A

C)(B

C)

(

AA

AB

AC

BC

)(B

C

)

(

AB

AC

)(B

C

)

AB

ABC

ABC

AC

AB

AC

AA

AB

AC

BC

A(

A

C

)

B(

A

C

)

(

A

B)(

A

C

)5.求反的邏輯關(guān)系(1)

定理15：A

B

C

A

B

C變量乘積之反等于各變量的反變量之和。這就是

（M

an）定理之一。(2)

定理16

：

A

B

C

A

B

C變量和之反等于各變量的反變量之積。這就是

（M

an）定理之二。兩個

定理是很有用的，應(yīng)熟練掌握。變量的反再求反等于原變量。或者說變量連續(xù)兩次求反還等于原變量。P

A(BC

BC)例：

求

式 之反。（3）定理17：A

AP

A(BC

BC)

A

(BC

BC)

A

BC BC

A

(B

C)(B

C

)

A

BB

BC

BC

CC

A

BC

BC1.1.5代數(shù)的基本規(guī)則1.代入規(guī)則在任一含有變量A的等式中，如果用另一個函數(shù)F去代替所有的變量A，則等式仍然成立。代入規(guī)則是容易理解的，因為A只可能取“0”或“1”，而另一函數(shù)F，不管外形如何復(fù)雜，F(xiàn)最終也只能非“0”即“1”。例如，A

AB

A

B用F=C+D+E代替式中的變量A，則有(C

D

E)

(C

D

E)B

C

D

E

B顯然等式是成立的。對偶變換：2.對偶規(guī)則在一個

函數(shù)式P中，實行加乘互換，“0”

“1”互換，得到的新

式記為P＇，則稱P＇為P的對偶式。（注意不實行原反互換。）對偶規(guī)則為：有一

等式，對等號兩邊實行對偶變換，得到的新函數(shù)式仍然相等。顯然對對偶式P＇再求對偶，就得到原函數(shù)即：（P＇）＇=P定理定理與、與或或、或與定理2定理3A·0=0

A·1=

AA+1=1A+0=A定理4定理12定理13定理14定理15AB

AC

BC

AB

ACABC

A

B

C定理16定理17(

A

B)(

A

C)(B

C)

(

A

B)(

A

C)A

B

C

A

B

CA

A有了對偶規(guī)則，需要證明的定理減少

理6定了一半，只要記住上述八對定量中的一半，理8定另一半用對偶規(guī)則就可推導(dǎo)出來。定理17無理10定對偶式。定理13.反演規(guī)則設(shè)P為一

函數(shù)，如果把式中的“·”號改

為“+”號，而“+”號改為“·”號，則稱為加乘互換。如果把式中的“0”換為“1”，而“1”換為“0”，則稱為“0”“1”互換。如果把式中的原變量改為反變量，而的反變量改為原變量，則稱為原反互換。反演規(guī)則可敘述為：在一

函數(shù)式P中，如果實行加乘互換，“0”“1”互換、原反互換，得到的新式記為

P

，

稱

P

為P的反式或反函數(shù)。反演規(guī)則可用來求原函數(shù)的反函數(shù)。例如：求P=ABC的反函數(shù)P

A

B

C定理來求，只不過定理中不當(dāng)然也可以用包括常量“0”“1”。又如，用反演規(guī)則求下列式的反式：P

A

B

CDP

(

A

B)

(C

D

)再如：P

A

B

C

D

EP

A

(B

C

D

E

)這里

應(yīng)把B

C

D

E看為一個整體M，上面有一個反號，就好象M

B

C

D

E用代入規(guī)則替代以后一樣。所以，若P

A

M則P

A

(B

C

D

E

)顯然M式中的加乘、原反不應(yīng)互換，否則就錯了。一個變量或式的上方有不止一個反號時，反演時只能去掉最外層的一個，即整個式的反號。如式：B

C

D

E實行原反互換后的部分就不需要再進行加乘和“0”“1”互換了。4.展開規(guī)則展開規(guī)則也叫展開定理，主要有二個公式。展開規(guī)則一：P(x1

,

x2

,

,

xn

)

x1

P(1,

x2

,

,

xn

)

x1

P(0,

x2

, ,

xn

)展開規(guī)則二：P(x1

,

x2

,

,

xn

)

[x1

P(0,

x2

,

,

xn

)][x1

P(1,

x2

,

,

xn

)]這兩個規(guī)則很容易由前述的有關(guān)定理推出，現(xiàn)將展開規(guī)則一推證如下：P(x

,

x

,

,

x

)1

2

n

P(x1

,

x2

,,

,

xn

)(x1

x1

)

x1

P(x1

,

x2

,,

,

xn

)

x1

P(x1

,

x2

,,

,

xn

)上式中，第一項可理解為：當(dāng)x1=1時，該項由P(x1

,

x2

,

,

xn

)決定，當(dāng)x1=0

時該項即為“0”。所以第一項可改寫成x1

P(1,

x2

,

,

xn

)這樣就可以把包含在P中的變量x1化去，把x1提到邏輯式的前面，便于邏輯式的化簡或變換。同理上式的第二項可改寫成x1

P(0,

x2

,

,

xn

)由此可推證展開規(guī)則一的正確性。展開規(guī)則一：P(x1

,

x2

,

,

xn

)

x1

P(1,

x2

,

,

xn

)

x1

P(0,

x2

, ,

xn

)將該式改寫為。由此展開規(guī)則二得到證明。并可寫成如下形式：P(x1

,

x2

,

,

xn

)

[x1

P(0,

x2

,

,

xn

)][x1

P(1,

x2

,

,

xn

)]展開規(guī)則二推證如下：P(x1,

x2

,

,

xn

)

x1P(x1,

x2

,,

,

xn

)

x1P(x1,

x2

,,

,

xn

)

x1P(x1,

x2

,,

,

xn

)

x1P(x