1.1

集合第一章課標(biāo)要求1.通過(guò)實(shí)例,了解集合的含義,理解元素與集合的屬于關(guān)系.2.針對(duì)具體問(wèn)題,能在自然語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的基礎(chǔ)上,用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)集合.3.在具體情境中,了解全集與空集的含義.4.理解集合之間包含與相等的含義,能識(shí)別給定集合的子集.5.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義,能求兩個(gè)集合的并集與交集.6.理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義,能求給定子集的補(bǔ)集.7.能使用Venn圖表達(dá)集合的基本關(guān)系與基本運(yùn)算,體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用.備考指導(dǎo)集合知識(shí)高考必考,一般為選擇題第1題或第2題難度較小.常與不等式、函數(shù)、方程結(jié)合,主要考查集合的交、并、補(bǔ)集運(yùn)算.復(fù)習(xí)時(shí)要理解集合的表示方法,注意觀察集合的代表元素,準(zhǔn)確化簡(jiǎn)集合.要重視集合運(yùn)算的多角度訓(xùn)練,會(huì)借助數(shù)軸和Venn圖解題,提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).內(nèi)容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)【知識(shí)篩查】

(1)集合元素的三個(gè)特征性質(zhì):確定性、無(wú)序性、互異性.(2)元素與集合的兩種關(guān)系:屬于,記為∈;不屬于,記為?.(3)集合的三種表示方法:列舉法、描述法、圖示法.(4)五個(gè)特定的常見(jiàn)數(shù)集記法:2.集合間的基本關(guān)系

問(wèn)題思考(1)什么是空集?如何表示?

(2)空集與任何集合之間有什么關(guān)系?

(3)你能說(shuō)出?,{0},{?}的區(qū)別嗎?一般地,我們把不含任何元素的集合叫做空集,用符號(hào)?表示.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.?是空集,是一個(gè)集合,它不含任何元素;{0}是只含有一個(gè)元素0的集合;{?}是只含有一個(gè)元素?的集合.3.集合的基本運(yùn)算

溫馨提示1.一般地,如果一個(gè)集合含有所研究問(wèn)題中涉及的所有元素,那么就稱這個(gè)集合為全集,通常記作U.2.討論補(bǔ)集的前提是集合A是全集U的子集,沒(méi)有這一前提無(wú)法求補(bǔ)集.補(bǔ)集是相對(duì)于全集而存在的,研究一個(gè)集合的補(bǔ)集之前一定要明確其所對(duì)應(yīng)的全集.一個(gè)確定的集合A,對(duì)于不同的全集U,它的補(bǔ)集不同.4.集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)并集的性質(zhì):A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A.(2)交集的性質(zhì):A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B.(3)補(bǔ)集的性質(zhì):A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A;?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB);?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).1.若有限集合A中有n(n≥1)個(gè)元素,則A有2n個(gè)子集,有2n-1個(gè)真子集,有2n-2個(gè)非空真子集.2.A?B,B?C?A?C;A?B,B?C?A?C.3.A?B?A∩B=A?A∪B=B?(?UA)?(?UB)?A∩(?UB)=?.【知識(shí)鞏固】

1.下列說(shuō)法正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集.(

)(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(

)(3)若{x2,1}={0,1},則x=0,1.(

)(4){x|x≤1}={t|t≤1}.(

)(5)若A∩B=A∩C,則B=C.(

)(6)直線x=1和直線y=4的交點(diǎn)構(gòu)成的集合為{1,4}.(

)×××√××2.(多選)若集合A={x|x≤2},,則下列結(jié)論中正確的是(

)A.a?A

B.{a}?A

C.a∈A D.{a}∈A3.(2021新高考Ⅰ,1)設(shè)集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},則A∩B=(

)A.{2} B.{2,3} C.{3,4} D.{2,3,4}BCBB∵A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},∴A∩B={2,3}.故選B.第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點(diǎn)1集合的基本概念(2)已知a,b∈R,若

,則a3021+b3021為(

)A.1 B.0

C.-1 D.±1根據(jù)題意,知集合B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},共10個(gè)元素.例1

(1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},則B中所含元素的個(gè)數(shù)為(

)A.3 B.6 C.8 D.10D(1)

(2)由已知得a≠0,則

,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根據(jù)集合中元素的互異性可知a=1應(yīng)舍去,因此a=-1,故a3

021+b3

021=-1.C(3)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,則m的值為

.

解題心得與集合中元素有關(guān)問(wèn)題的四個(gè)解題策略(1)確定集合中的代表元素是什么,即確定集合是數(shù)集還是點(diǎn)集還是其他形式的集合;(2)看這些元素滿足什么限制條件;(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù);(4)要注意檢驗(yàn)集合的元素是否滿足互異性.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},則集合A中元素的個(gè)數(shù)為(

)A.9 B.8

C.5

D.4A(方法一)將滿足x2+y2≤3的整數(shù)x,y全部列舉出來(lái),即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9個(gè).故選A.(方法二)根據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標(biāo)系中作出圖形,如圖,易知在圓x2+y2=3中有9個(gè)整點(diǎn),即為集合A的元素個(gè)數(shù),故選A.(2)已知集合

,則集合A中的元素個(gè)數(shù)為(

)A.2 B.3

C.4

D.5C因?yàn)閤∈Z,

,所以2-x的取值有-3,-1,1,3,即x的值分別為5,3,1,-1,故集合A中的元素個(gè)數(shù)為4.能力形成點(diǎn)2集合的基本關(guān)系例2

(1)已知集合

則集合M,N的關(guān)系為(

)A.M∩N=? B.M=NC.M?N D.N?MD由題意,對(duì)于集合M,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),設(shè)n=2k(k∈Z),則x=k+1(k∈Z),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),設(shè)n=2k+1(k∈Z),則x=k+1+(k∈Z),即N?M,故選D.(2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B?A,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

.

(-∞,3]∵B?A,∴①若B=?,則2m-1<m+1,此時(shí)m<2.解得2≤m≤3.由①②可得,符合題意的實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,3].拓展延伸例2(2)原條件不變,設(shè)“全集U=R”,并將“B?A”改換為“B?(?UA)”,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

(-∞,2)∪(4,+∞)因?yàn)?UA={x|x<-2,或x>5},且B?(?UA),所以①若B=?,則2m-1<m+1,此時(shí)m<2.解得m>4.綜上所述,m的取值范圍是(-∞,2)∪(4,+∞).解題心得1.集合間基本關(guān)系的兩種判定方法和一個(gè)關(guān)鍵2.根據(jù)兩個(gè)集合的關(guān)系求參數(shù)的方法已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)時(shí),要明確集合中的元素,對(duì)子集是否為空集進(jìn)行分類討論,做到不漏解.(1)若集合中元素是一一列舉的,則依據(jù)集合間的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為方程(組)求解,此時(shí)注意集合中元素的互異性;(2)若集合表示的是不等式的解集,則常依據(jù)數(shù)軸轉(zhuǎn)化為不等式(組)求解,此時(shí)需注意端點(diǎn)值能否取到.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|0<x<5,x∈N},則滿足A?C?B的集合C的個(gè)數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.4D由x2-3x+2=0得x=1或x=2,即A={1,2}.由題意知B={1,2,3,4},故滿足條件的C可為{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4個(gè).(2)已知集合A={x|-1<x<3},B={x|-m<x<m}.若B?A,則m的取值范圍為_(kāi)________________.

(-∞,1]當(dāng)m≤0時(shí),B=?,顯然B?A.當(dāng)m>0時(shí),因?yàn)锳={x|-1<x<3},B?A,在數(shù)軸上標(biāo)出兩集合,如圖,綜上所述,m的取值范圍為(-∞,1].能力形成點(diǎn)3集合的基本運(yùn)算命題角度1求交集、并集或補(bǔ)集例3

(1)(2021全國(guó)

Ⅰ,文1)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},則?U(M∪N)=(

)A.{5} B.{1,2}C.{3,4} D.{1,2,3,4}A(方法一)∵M(jìn)∪N={1,2,3,4},∴?U(M∪N)={5}.(方法二)∵?UM={3,4,5},?UN={1,2,5},∴?U(M∪N)=(?UM)∩(?UN)={5}.(2)設(shè)集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},則A∪B=(

)A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4}C(數(shù)形結(jié)合)在數(shù)軸上標(biāo)出集合A,B,如圖所示.

所以A∪B={x|1≤x<4},故選C.(3)已知全集為R,集合

,B={x|x2-6x+8≤0},則A∩(?RB)=(

)A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4}C.{x|0<x≤2,或x≥4} D.{x|0≤x<2,或x>4}D根據(jù)題意,得A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},故A∩(?RB)={x|x≥0}∩{x|x>4,或x<2}={x|0≤x<2,或x>4}.命題角度2由集合的運(yùn)算求參數(shù)例4

(1)設(shè)集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},則a=(

)A.-4 B.-2 C.2

D.4B(2)已知集合A={x|x<a},B={x|x2-3x+2<0},若A∩B=B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.a<1 B.a≤1C.a>2 D.a≥2D集合B={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2},由A∩B=B可得B?A,在數(shù)軸上標(biāo)出集合A,B,如圖,數(shù)形結(jié)合可知a≥2.解題心得集合基本運(yùn)算的方法技巧

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(2021天津十二區(qū)高三聯(lián)考)設(shè)全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={x|-1≤x<3,x∈Z},B={-3,0,2,3},則A∩(?UB)=(

)A.{-3,3} B.{0,2}

C.{-1,1}

D.{-3,-2,-1,1,3}C(2)已知全集U=R,集合M={x|x2-x≤0},集合N={x|x=cost,t∈R},則(?UM)∩N=(

)A.{x|-1≤x<0}

B.{x|0<x<1}C.{x|x<0}

D.?因?yàn)槿疷={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={-3,0,2,3},所以?UB={-2,-1,1}.又A={x|-1≤x<3,x∈Z},所以A∩(?UB)={-1,1}.A∵M(jìn)={x|x2-x≤0}={x|0≤x≤1},N={x|x=cos

t,t∈R}={x|-1≤x≤1},∴?UM={x|x<0,或x>1},∴(?UM)∩N={x|-1≤x<0}.(3)已知集合M={x|2x2-x-1<0},N={x|2x+a>0},U=R,若M∩(?UN)=?,則a的取值范圍是(

)A.a>1 B.a≥1C.a<1 D.a≤1B(4)(2021天津?qū)氎鎱^(qū)模擬)已知集合U=A∪B={x∈N|0≤x<6},A∩(?UB)={1,3,5},則集合B為(

)A.{2,4} B.{2,4,6}C.{0,2,4} D.不確定C由題意,U=A∪B={0,1,2,3,4,5},A∩(?UB)={1,3,5},則1,3,5?B,所以B={0,2,4}.第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升以集合運(yùn)算為背景的集合新定義問(wèn)題典例

(1)如圖所示,在Venn圖中,A,B是兩個(gè)非空集合,定義集合A?B為陰影部分表示的集合.若x,y∈R,

},B={y|y=3x,x>0},則A?B為(

)A.{x|0<x<2} B.{x|1<x≤2}C.{x|0≤x≤1,或x≥2} D.{x|0≤x≤1,或x>2}(2)給定集合A,若對(duì)于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,則稱集合A為閉集合,給出如下三個(gè)結(jié)論:①集合A={-4,-2,0,2,4}為閉集合;②集合A={n|n=3k,k∈Z}為閉集合;③若集合A1,A2為閉集合,則A1∪A2為閉集合.其中正確結(jié)論的序號(hào)是

.

思路建立(1)先化簡(jiǎn)集合A,B,再根據(jù)圖形確定A,B與A?B的關(guān)系.陰影表示A∪B中的元素去掉A∩B中的元素后剩余元素構(gòu)成的集合.(2)新定義集合的特點(diǎn)是集合中任意兩個(gè)元素的和與差都是該集合的元素,據(jù)此判斷.答案:(1)D

(2)②解析:(1)因?yàn)锳={x|0≤x≤2},B={y|y>1},所以A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1<x≤2},所以A?B=?A∪B(A∩B)={x|0≤x≤1或x>2}.(2)①中,-4+(-2)=-6?A,所以①不正確;②中,設(shè)n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z,則n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正確;③中,令A(yù)1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=,k∈