(圓滿版)對(duì)于利用定積分定義去解決數(shù)列極限問題總結(jié)(圓滿版)對(duì)于利用定積分定義去解決數(shù)列極限問題總結(jié)(圓滿版)對(duì)于利用定積分定義去解決數(shù)列極限問題總結(jié)對(duì)于利用定積分定義去解決數(shù)列極限問題總結(jié)第一研究一下定積分的定義：函數(shù)fx假如對(duì)a,b上全部切割及相應(yīng)的全部積分和，只需切割的細(xì)度趨于0，就有一確立的極限，則稱該極限為fxbn在a,blimfixi上定積分，記為fxdx0aTi1在求部分?jǐn)?shù)列極限問題中，常常會(huì)利用定積分的定義去解決，下邊我跟大家解說的再詳盡詳盡適用點(diǎn),在求解過程中bn1方法1：fxdxlimfixi這類做法是從左端點(diǎn)開始取函數(shù)值ank0bn方法2：fxdxlimfixi這類做法是從右端點(diǎn)掃尾取函數(shù)值ank1一般在數(shù)列極限問題中我們平常是從右側(cè)往左側(cè)推，但是我發(fā)此刻考研真題中上邊兩個(gè)等式仍是不適用，由于考試中平常是對(duì)區(qū)間取均分間隔xi=ba，也就是比方nbn1xin1kbaba方法1：fxdxlimfi=limfannannk0k0bxdxnfxinfkbaba方法2：flimi=limannan1n1kkba易錯(cuò)點(diǎn)：我能夠保證基本每個(gè)人都錯(cuò)過，就是在解決詳盡的真題時(shí)候，常常忘了乘nbn1kbaxdx=limfa錯(cuò)誤示范：f？annk0詳盡求數(shù)列極限問題中一般是寫成右側(cè)這個(gè)形式，此后去推斷相應(yīng)的fx,和a,b詳盡數(shù)值也就是說要推斷三個(gè)量，我感覺有點(diǎn)難，所以我想把這個(gè)問題變得再詳盡詳盡適用點(diǎn)，我發(fā)此刻詳盡應(yīng)用中不論怎么出，我都能夠把a(bǔ)=0,b=1去研究我是有原因的，大家能夠思慮下為何我能夠敢這樣說，這樣做題有一個(gè)利處就是只需要推斷fx這一個(gè)量就能夠了，此時(shí)把上邊兩種方法再改正一下：令a=0,b=11n1k1nk1xdx=limfxdx=limf方法1：f1，方法2：f0nnn0n1nnk0k此刻問題又來了，在考試的時(shí)候波及到對(duì)于數(shù)列極限的問題時(shí)，怎么才能想到是利用定積分的定義去求呢？帶著這個(gè)疑問，我們?cè)傺芯恳幌律线厓煞N方法劃橫線部分的形式n1k10n-1,n-10n-1f第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)f=f0,第二項(xiàng)是fk0nnnnnnnnfk11nn1n-1第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)fnnn,第二項(xiàng)是f,nnk1nn我們發(fā)現(xiàn)這兩種方法采納的第一個(gè)點(diǎn)和最后的一個(gè)點(diǎn)自變量相減都是n-1，n并且這兩種方法中每一項(xiàng)都有n和1,這也告訴我們假如在求數(shù)列極限問題中n假如發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)都含有n，那么此時(shí)能夠考慮下利用定積分的定義去做一下例1：lim111n1n2gggn2n分析：所求此數(shù)列每一項(xiàng)都含有n，感覺憂如能夠利用定積分的定義，但是問題又來了要想利用定積分，每一項(xiàng)要含有1，但是這個(gè)數(shù)列不是啊，所以要想到轉(zhuǎn)變嘍n1111nnnn1n2ggg=ggg此刻問題又來了，2nnn1n22n1fxdx=limnfk1感覺括號(hào)里面仍是找不到對(duì)應(yīng)的規(guī)律啊，由于要出來k1nn0n也就是說要出來k，說的更詳盡點(diǎn)也就是每一項(xiàng)要出現(xiàn)0,1,2,3之類的，nnnnn那么對(duì)括號(hào)里面再進(jìn)一步轉(zhuǎn)變一下1111nnnggg=gggn1n22nnn1n22n=111ggg1大家注意為了找規(guī)律，所以最后一項(xiàng)不要寫成1n11121+n2nnn這樣再看括號(hào)里面就會(huì)很簡單的猜想f(x)=1,111ggg1fxdxx1ln2111dxln1xn1n22n001x0變形1：lim113n3n42:n分析：看到各項(xiàng)都含有n,有的學(xué)員可能不一樣意，說括號(hào)里面沒有每一項(xiàng)都含有n??？但是外面不是公共的嗎？呵呵，此后想到定積分，第一把1提出來，n1123n3=11+23++n3n4nn3n3n3為了找相應(yīng)的函數(shù)，也就是每一項(xiàng)中要出現(xiàn)0,1,2,nnn把式子連續(xù)轉(zhuǎn)變113+233=1333++n31+2++nnnnnnnnn這樣很明顯看出函數(shù)是fxx31411lim123n3fxdxx3dx:nn00變形2：limn1+1++1222:nn+2n+1n+n分析：看到各項(xiàng)都含有n,此后想到定積分，第一把1提出來，nn12+12++12=1n22+n22++n22n+1n+2n+nnn+1n+2n+n為了找相應(yīng)的函數(shù)，也就是每一項(xiàng)中要出現(xiàn)0,1,2,nnn下邊要連續(xù)轉(zhuǎn)變一下：1n2n2n2=1n2n2n22+2++21+++nnn+1n+2n+nnnn2n22211112+++很明顯看出函數(shù)fx1n12n1x111nnn變形3：limn21+212++12:nn1n22n分析：看到各項(xiàng)都含有n,此后想到定積分，第一把1提出來，nnn21+212++12=1n2n2+2n22++n221n22nn1n22n為了找相應(yīng)的函數(shù)，也就是每一項(xiàng)中要出現(xiàn)0,1,2,下邊要連續(xù)轉(zhuǎn)變一下：nnn12n22n2+n2=1111n+2+22+2++2n1n22nn11121nnnn很明顯看出函數(shù)fx11x2變形4：lim1sin+sin2++sinn1:nnnnn分析：看到各項(xiàng)都含有n,此后想到定積分，并且這個(gè)題已經(jīng)把1提出來了，n很明顯看出函數(shù)fxsinx上邊這幾個(gè)題必定要好好意會(huì)，把基礎(chǔ)打死，總結(jié)重點(diǎn)點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，但是考研真題上邊一般不會(huì)出，由于察看方式太單調(diào)，下邊我們看幾道比較簡單考的題，這幾道題華南理工大學(xué)，南京師范大學(xué)都出過類似的題。例2：lim1nnn121:nn分析：看到這個(gè)題直覺告訴我們不可以能會(huì)利用定積分，由于定積分是波及到連加的，不是連乘，但是其實(shí)我感覺在數(shù)學(xué)中加和乘沒有多大的差異，取對(duì)數(shù)不就行了嗎？1nnn12nln1nnn12n11=en,下邊就算上邊的nln1nnn121=lnnlnn1ln2n1lnnnnn寫到這我又哭了，由于最后忽然出現(xiàn)了一個(gè)lnn，那么我再轉(zhuǎn)變一下lnnlnn1ln2n1lnn=lnnlnn1ln2n1-nlnnnnlnnlnnlnn1lnnln21-lnnnnlnnlnn1ln2n10,1,2,nnnn為了每一項(xiàng)中要出現(xiàn)nnn下邊要連續(xù)轉(zhuǎn)變一下：lnnlnn1ln2n1ln1+0ln11ln1n1nnn=nnnnn很明顯看出函數(shù)fxln1x,limln1nnn121=1ln1xdx2ln21nnn0lim1nnn12n1=e2ln214:nne總結(jié)：這個(gè)題是先取對(duì)數(shù)，此后再利用積分,最后特別簡單錯(cuò)的是最后一步，別忘了取對(duì)數(shù)此后再取回來，這點(diǎn)特別簡單忘例3：求極限lim

nnn!這是華東師范第四版數(shù)分上冊(cè)43頁第四大題第五小題，我想換種方法做分析：看到這個(gè)題是連乘，所以我想取對(duì)數(shù)變成連加nlnnln1ln2lnn=enn!elnnnn!lnnln1ln2lnnnlnnln1ln2lnnn=nlnnln1lnnln2lnnlnnnlnnnlnnlnn寫到這區(qū)找每一項(xiàng)為哪一項(xiàng)否有0,1,2=12nnnn有人說這個(gè)題沒有，正好都反了，怎么辦？涼拌很簡單看出函數(shù)f(x)=ln1lnx（這個(gè)函數(shù)專心品嘗）ln1ln2xnln11limlnnn=fxdxlnxdx1n001lnxdx這個(gè)不是定積分，是瑕積分，但是又如何？它收斂啊，其實(shí)假如我假如0不重申是瑕積分，預(yù)計(jì)好多人都覺察不到，并且這個(gè)積分怎么做我就不需要講了吧但是必定要注意這不是最后答案，你取了對(duì)數(shù)此后別忘了再取回來，這點(diǎn)特別簡單錯(cuò)limnn=e1enn!kn例4：設(shè)xnk11,求J=limxnkn2n1k這個(gè)題不論會(huì)不會(huì)最少題要讀懂，并且看到符號(hào)要適應(yīng)分析：由于每一項(xiàng)xnkk1含有n,所以想到定積分，但是每一項(xiàng)并無12n出來1,所以轉(zhuǎn)變一下xnk1k1=1n1k1n2n2nn下邊我要讓式子中出現(xiàn)k這個(gè)整體有關(guān)的東西，否則無法利用定積分去做n1nk1=1k1knn2xnk1kn2knnn2nn1n2+1寫到這我又哭了，由于我實(shí)在是找不到跟k這個(gè)整體有關(guān)的東西，并且看著這個(gè)式子n很復(fù)雜特別是分母，那我把分母放縮一下2nn2knn2nn此時(shí)看看什么見效，1n2kxnk1n2kn1knnnnkn2n1k2nxnk1kn2nn2nnn2nn1k2nnxnkn1kk1n2nn2nnk1k1n2n2nn1knxnkn1kn2nnk1n2nk1k1n2nn1k1xdx1,lim2n1limnk1n2n024nn2nnn=1由迫斂性法例得：J=limxnknk14大家這個(gè)題必定要細(xì)細(xì)品嘗，多思慮幾次，我能理解大家剛開始接觸會(huì)比較費(fèi)勁但是考試就喜愛這類聯(lián)合定積分定義和數(shù)列迫斂性法例去出真題k1n2n5：lim:nnk111knk分析：這個(gè)題每一項(xiàng)為哪一項(xiàng)2n此后在這一項(xiàng)中找跟，含有n,所以想到定積分，11knk整體有關(guān)的東西，分子明顯知足，但是分母比較復(fù)雜不知足怎么辦，我想試著nkkk112n2n把分母放縮一下，11,則2nkn111n11nknkkkkkk1n2n1n2n1n11n1n2n1n2n2nnk11+1nk112n1+1nk111nk1nk11nk1nknnkn1nk112xdx2x111lim2nxdx,lim1f0nnk10ln20ln2n1+1nk由迫斂性法例得：lim1n2n1nk1=:n11ln2kn12n221例6：求極限limninn4ni112n22112n1lnninn4分析：看到連乘取對(duì)數(shù)n2i2n=ei1n4i12n1lnn212lnn222lnn22n21n2i24lnnnln4nni1lnn212lnn222lnn2224nlnnnnlnn2122lnnlnn2222lnnlnn222lnn2nnn212n222n22n2lnlnlnn2n2n2n12222n2ln1ln1ln1n2n2n2n2222n2ln11ln1ln1nnnn寫到這我們發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)為哪一項(xiàng)123,2n此時(shí)要超級(jí)當(dāng)心，仔細(xì)察看，n,,nnn第一項(xiàng)10，末項(xiàng)2n2，會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)被積函數(shù)是fxln1x2nn這個(gè)積分區(qū)間不是0,1了，而是0,2這個(gè)必定要當(dāng)心，這個(gè)題的意思是把0,2均勻分紅2n份，所以每份小區(qū)間長度是1,所以第一份是1，nn2112n2212第二份是，最后一份是2n，limlnninxdxnnn4fni1021x2dx2ln542arctan20ln但是注意這不是最后答案12n112n1lnn2i2nn4limn2i2n=limei1=e2ln542arctan225e2arctan24nn4i1nnaknak1n例7：設(shè)xnkn2,a0,求J=limxnknk1分析：看到連加，想到定積分，此后每一項(xiàng)要出現(xiàn)1nxnknaknak11naknak1n2nn=1naknak1=1naknak1nn2nn1naknak11akk1nn2nnan寫到這我發(fā)現(xiàn)式子中不可以夠圓滿轉(zhuǎn)變成跟k1k有關(guān)的東西，kn跟nn是有巨大的差其他，所以想到放縮1kxnk1kak11ak1annannnnnn1ak1axdxa1limnn02nk1n1ak1limn1ak1a11an1limnk1nnnnnnnnaxdxlim1a1lim1an110nnnnnn100a2大家要專心品嘗一下為何我要加一項(xiàng)又減一項(xiàng)，我是在嚴(yán)格套定積分定義由極限的迫斂性法例得：J=a例8：lim1828n8n77n7:n12

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