八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十三章典型例題解說(shuō)八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十三章典型例題解說(shuō)八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十三章典型例題解說(shuō)第十三章軸對(duì)稱(chēng)【典型例題解說(shuō)】拓展天地（1）以給定的圖形“○○，△△，＝”(兩個(gè)圓，兩個(gè)三角形，兩條平行線)為構(gòu)件，構(gòu)想獨(dú)到而存心義的軸對(duì)稱(chēng)圖形，以下左圖所示，是切合要求的圖形，請(qǐng)你在圖中方框里構(gòu)想出一幅其余的圖形，并寫(xiě)出一兩句貼切、幽默的解說(shuō)詞．兩盞電燈【分析】?jī)蓷l平行線可當(dāng)作2，兩個(gè)圓當(dāng)作兩個(gè)0，由200聯(lián)想到2008，兩個(gè)三角形正好可構(gòu)成一個(gè)8，再聯(lián)合2008北京奧運(yùn)會(huì)得出答案．【解】以下圖：解說(shuō)詞：北京好運(yùn)拓展天地(2)如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，延伸CA到點(diǎn)E，使AE＝AF，點(diǎn)F在AB上，求證EF∥AD.【分析】由AB＝AC，AD⊥BC，可得Rt△ABD≌Rt△ACD，進(jìn)而∠1＝∠2，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EF，垂足為G，∵AE＝AF，可得Rt△AEG≌Rt△AFG，進(jìn)而∠3＝∠4，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∴∠1＝∠3.∴AD∥EF.【證明】過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EF，垂足為G，在Rt△AEG和Rt△AFG中，AE＝AF，AG＝AG，∴Rt△AEG≌Rt△AFG，∴∠3＝∠4,同理，∠1＝∠2，∵∠BAC＝∠3＋∠4，即∠1＋∠2＝∠3＋∠4，2∠1＝2∠3，∴∠1＝∠3.∴AD∥EF.拓展天地(3)如圖，左側(cè)的樹(shù)經(jīng)過(guò)幾次軸對(duì)稱(chēng)變換

，能夠變?yōu)橛覀?cè)的樹(shù)？你能設(shè)計(jì)一種變換方案嗎？【分析】此題會(huì)有很多種不一樣的解法，一般需作四次軸對(duì)稱(chēng)變換，最少的是兩次軸對(duì)稱(chēng)變換．【解】以下圖，經(jīng)過(guò)兩次軸對(duì)稱(chēng)變換就能夠?qū)⒆髠?cè)的樹(shù)變?yōu)橛覀?cè)的樹(shù)．拓展天地(4)以下圖，(1)A，B是直線m異側(cè)的兩點(diǎn)，在直線m上求一點(diǎn)P，使PA＋PB的長(zhǎng)度最短．(2)C，D是直線n同側(cè)的兩點(diǎn)，在直線n上求一點(diǎn)Q，使QC＋QD的長(zhǎng)度最短．【分析】(1)連結(jié)AB交直線m于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)．(2)C，D是直線n同側(cè)的兩點(diǎn)，可考慮將它們轉(zhuǎn)變?yōu)?1)的情況，不如假想將點(diǎn)C轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)于直線n的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，即無(wú)論直線n上任何一點(diǎn)Q，都應(yīng)知足QC＝QC′，這樣，C，D與直線n上隨意一點(diǎn)的距離之和就轉(zhuǎn)變?yōu)镃′，D與直線n上隨意一點(diǎn)的距離之和．由QC＝QC′知，點(diǎn)Q在線段CC′的垂直均分線上，由Q的隨意性知，直線n是線段CC′的垂直均分線．(1)

(2)【解】

(圖略)(1)連結(jié)

AB，交直線

m于點(diǎn)

P，則點(diǎn)

P即為所求的點(diǎn)．(2)作點(diǎn)C對(duì)于直線n的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連結(jié)C′D交直線n于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求的點(diǎn)．拓展天地（5）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出以下各點(diǎn)：(3，－2)，(－5，3)，(－2，2)，(－1，－3)．將各點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，求旋轉(zhuǎn)后各點(diǎn)的坐標(biāo)，并指出旋轉(zhuǎn)前后點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律．【分析】利用平面直角坐標(biāo)系中的網(wǎng)格及全等三角形的判斷，簡(jiǎn)單發(fā)現(xiàn)已知點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后的坐標(biāo)．【解】點(diǎn)(3，－2)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后所得點(diǎn)的坐標(biāo)為(－3，2)，點(diǎn)(－5，3)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后所得點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，－3)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

(5，－3)，點(diǎn)(－2，2)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后所得點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，－2)，點(diǎn)180°后所得點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，3)．變化規(guī)律是：旋轉(zhuǎn)后所得點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是旋轉(zhuǎn)前點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的相反數(shù)．拓展天地（6）如圖，已知∠AOB＝α，在射線OA，OB上分別取點(diǎn)A1，B1，使得OA1＝OB1，連結(jié)A1B1；在B1A1，B1B上分別取點(diǎn)A2，B2，使B1B2＝B1A2，連結(jié)A2B2按此規(guī)律下去，記∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，，∠An＋1BnBn＋1＝θn，則(1)θ1＝________________；(2)θn＝________________．【分析】這是一個(gè)已知等腰三角形的頂角求其底角度數(shù)的問(wèn)題．由∠AOB＝α可求得∠θ1＝180°＋α180°＋α3×180°＋α3×180°＋α2，由∠θ1＝2可求得∠θ2＝，由∠θ2＝可求得∠θ344＝7×180°＋α8，以此類(lèi)推．【答案】(1)∠θ180°＋α(2)∠θ（2n－1）180°＋α1＝2n＝2n拓展天地（7）已知如圖，銳角△ABC的兩條高BE，CD訂交于點(diǎn)O，且OB＝OC，求證△ABC是等腰三角形．【分析】由OB＝OC，可得∠OBC＝∠OCB，即∠BCD＝∠CBE，再由BE，CD是高，可發(fā)現(xiàn)題中隱含全等三角形：△BDC≌△CEB，進(jìn)而得∠DBC＝∠ECB，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．【證明】∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.BE，CD是兩條高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB，∴∠DBC＝∠ECB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．拓展天地（8）如圖，C是AB上一點(diǎn)，△ACD，△BCE都是等邊三角形，AE，CD訂交于點(diǎn)M，BD，CE訂交于點(diǎn)N，求證△CMN是等邊三角形．【分析】由已知條件易知，∠MCN＝60°，所以，只要證明△MCN中有兩邊相等，就能夠證明△MCN是等邊三角形．【證明】∵△ACD，△BCE都是等邊三角形，AC＝CD，BC＝CE，∠1＝∠2＝60°，∴∠3＝180°－∠1－∠2＝60°，∴∠ACE＝∠DCB＝120°.在△ACE和△DCB中，AC＝DC，CE＝CB，∠ACE＝∠DCB，∴△ACE≌△DCB，∴∠4＝∠5.在△BCN和△ECM中，∠2＝∠3，BC＝CE，∠5＝∠4，∴△BCN≌△ECM，∴CM＝CN，又∵∠3＝60°，∴△CMN是等邊三角形．拓展天地（9）1如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AB，求證∠A＝30°.【分析】此題是“含30°角的直角三角形性質(zhì)”中將問(wèn)題的結(jié)論與此中一個(gè)條件互換1而得的，對(duì)于BC＝2AB，其辦理方法還是“截半”或“倍長(zhǎng)”．【解】如圖，作

AB

的垂直均分線

DE，交

AB

于點(diǎn)

D，交

AC

于點(diǎn)

E，連結(jié)

EB.∵DE

垂直均分

AB

1，∴BD＝2AB，∠EDB＝90°，AE＝EB，∴∠A＝∠1.11∵BC＝2AB，BD＝