第15頁湖南歷年文科數(shù)學(xué)高考試卷立體空間幾何部分（06-14年）2006年高考文科數(shù)學(xué)試卷（湖南卷）4．過半徑為12的球O表面上一點A作球O的截面，若OA與該截面所成的角是60°則該截面的面積是（）A．πB.2πC.3πD.14.過三棱柱ABC－A1B1C1的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有條.QQBCPAD圖218.（本小題滿分１4分） 如圖2，已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高都是2，AB=4.(Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD；(Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角；(Ⅲ)求點P到平面QAD的距離.2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖南卷（文）6．如圖1，在正四棱柱中，E、F分別是的中點，則以下結(jié)論中不成立的是（）A．B.C.D.圖1圖115.棱長為1的正方形的8個頂點都在球O的表面上，則球O的表面積是；設(shè)分別是該正方形的棱的中點，則直線被球O截得的線段長為.18.（本小題滿分１4分） 如圖，已知直二面角，直線CA和平面所成的角為.(Ⅰ)證明；(Ⅱ)求二面角的大小.2008高考湖南文科數(shù)學(xué)試題及全解全析5.已知直線m,n和平面滿足,則()或或9．長方體的8個頂點在同一個球面上，且AB=2，AD=，，則頂點A、B間的球面距離是()A．B．C．D．218．如圖所示，四棱錐的底面是邊長為1的菱形，，E是CD的中點，PA底面ABCD，。（I）證明：平面PBE平面PAB；（II）求二面角A—BE—P和的大小。2009年高考湖南文科數(shù)學(xué)試題及全解全析6．平面六面體中，既與共面也與共面的棱的條數(shù)為（）A．3B．4C．5D．618如圖3，在正三棱柱中，AB=4,,點D是BC的中點，點E在AC上，且DEE.（Ⅰ）證明：平面平面;（Ⅱ）求直線AD和平面所成角的正弦值。2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（文史類）解析版13.圖2中的三個直角三角形是一個體積為20cm2的幾何體的三視圖，則h=cm18.（本小題滿分12分）如圖所示，在長方體中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中點（Ⅰ）求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值；（Ⅱ）證明：平面ABM⊥平面A1B1M12011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）文史類3332正視圖側(cè)視圖俯視圖圖1４．設(shè)圖１是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．19．（本題滿分12分）如圖3，在圓錐中，已知的直徑的中點．（I）證明：（II）求直線和平面所成角的正弦值．2012年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文史類(湖南卷)4．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是()19．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．(1)證明：BD⊥PC；(2)若AD＝4，BC＝2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P－ABCD的體積．2013年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文史類(湖南卷)7．(2013湖南，文7)已知正方體的棱長為1，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個面積為的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于()．A．B．1C．D．17．(2013湖南，文17)(本小題滿分12分)如圖，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中點，點E在棱BB1上運動．(1)證明：AD⊥C1E；(2)當(dāng)異面直線AC，C1E所成的角為60°時，求三棱錐C1－A1B1E的體積．2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)數(shù)學(xué)(文)8.一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖2所示，將石材切削、打磨、加工成球，則能得到的最大球的半徑等于（） A.1B.2C.3D.4 （本小題滿分12分）如圖3，已知二面角的大小為，菱形在面內(nèi)，兩點在棱上，，是的中點，面，垂足為.證明：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值.答案2006年高考文科數(shù)學(xué)參考答案（湖南卷）4、A14.618.解法一（Ⅰ）連結(jié)AC、BD，設(shè).由P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.從而P、O、Q三點在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD.（Ⅱ）由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.QBCPADzyxO由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD.故可分別以直線CA、DB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題條件，相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是P（0，0，2），AQBCPADzyxO所以于是.從而異面直線AQ與PB所成的角是.(Ⅲ)由（Ⅱ），點D的坐標(biāo)是（0，－，0），，，設(shè)是平面QAD的一個法向量，由得.取x=1，得.所以點P到平面QAD的距離.解法二（Ⅰ）取AD的中點，連結(jié)PM，QM.因為P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，所以AD⊥PM，AD⊥QM.從而AD⊥平面PQM.又平面PQM，所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.QBCPADOM（Ⅱ）連結(jié)AC、BD設(shè)，由PQ⊥平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在PQ上，從而P、QBCPADOM因為OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC為平行四邊形，AQ∥PC.從而∠BPC（或其補角）是異面直線AQ與PB所成的角.因為，所以.從而異面直線AQ與PB所成的角是.(Ⅲ)連結(jié)OM，則.所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ.由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD.從而PM的長是點P到平面QAD的距離.在直角△PMO中，.即點P到平面QAD的距離是.2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖南卷（文）6【答案】D【解析】連B1C，則B1C交BC1于F且F為BC1中點，三角形B1AC中EF，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，所以；又AC⊥BD，所以，。由EF，AC∥A1C1得EF∥A1C115【答案】，【解析】正方體對角線為球直徑，所以，所以球的表面積為；由已知所求EF是正方體在球中其中一個截面的直徑，d=，所以，所以EF=2r=。18解：（I）在平面內(nèi)過點作于點，連結(jié)．因為，，所以，ABCQPOABCQPOH而，所以，．從而．又，所以平面．因為平面，故．（II）解法一：由（I）知，，又，，，所以．過點作于點，連結(jié)，由三垂線定理知，．故是二面角的平面角．由（I）知，，所以是和平面所成的角，則，不妨設(shè)，則，．在中，，所以，于是在中，．故二面角的大小為．解法二：由（I）知，，，，故可以為原點，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．因為，所以是和平面所成的角，則．不妨設(shè)，則，．ABCQPOABCQPOxyz所以．則相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是所以，．設(shè)是平面的一個法向量，由得取，得．易知是平面的一個法向量．設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，．所以．故二面角的大小為．2008高考湖南文科數(shù)學(xué)試題及全解全析D9【答案】B【解析】設(shè)則故選Ｂ.18解：解法一（I）如圖所示,連結(jié)由是菱形且知，是等邊三角形.因為E是CD的中點，所以又所以又因為PA平面ABCD，平面ABCD，所以而因此平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）由（I）知，平面PAB,平面PAB,所以又所以是二面角的平面角．在中,．故二面角的大小為解法二：如圖所示,以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系．則相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是（I）因為平面PAB的一個法向量是所以和共線.從而平面PAB.又因為平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）易知設(shè)是平面PBE的一個法向量,則由得所以故可取而平面ABE的一個法向量是于是,．故二面角的大小為2009年高考湖南文科數(shù)學(xué)試題及全解全析6解:如圖，用列舉法知合要求的棱為：故選C.18解:（Ⅰ）如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面.又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,所以DE⊥平面.又DE平面，故平面⊥平面.（Ⅱ）解法1:過點A作AF垂直于點,連接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，所以AF平面,故是直線AD和平面所成的角。因為DE，所以DEAC.而ABC是邊長為4的正三角形，于是AD=，AE=4-CE=4-=3.又因為，所以E==4,即直線AD和平面所成角的正弦值為.解法2:如圖所示，設(shè)O是AC的中點，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是A(2,0,0,),(2,0,),D(-1,,0),E(-1,0,0).易知=（-3，，-），=（0，-，0），=（-3，，0）.設(shè)是平面的一個法向量，則解得.故可取.于是由此即知，直線AD和平面所成角的正弦值為.2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（文史類）解析版4182011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）文史類4答案：D解析：有三視圖可知該幾何體是一個長方體和球構(gòu)成的組合體，其體積。19解析：（I）因為又內(nèi)的兩條相交直線，所以（II）由（I）知，又所以平面在平面中，過作則連結(jié)，則是上的射影，所以是直線和平面所成的角．在在2012年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文史類(湖南卷)4．D若為D項，則主視圖如圖所示，故不可能是D項．19．解：(1)證明：因為PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PA⊥BD．又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC內(nèi)的兩條相交直線，所以BD⊥平面PAC，而PC平面PAC，所以BD⊥PC．(2)設(shè)AC和BD相交于點O，連結(jié)PO，由(1)知，BD⊥平面PAC，所以∠DPO是直線PD和平面PAC所成的角，從而∠DPO＝30°.由BD⊥平面PAC，PO平面PAC知，BD⊥PO.在Rt△POD中，由∠DPO＝30°得PD＝2OD．因為四邊形ABCD為等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均為等腰直角三角形，從而梯形ABCD的高為AD＋BC＝×(4＋2)＝3，于是梯形ABCD的面積S＝×(4＋2)×3＝9.在等腰直角三角形AOD中，，所以PD＝2OD＝，.故四棱錐P－ABCD的體積為V＝×S×PA＝×9×4＝12.2013年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文史類(湖南卷)7．答案：D解析：如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的俯視圖為ABCD，側(cè)視圖為BB1D1D，此時滿足其面積為，故該正方體的正視圖應(yīng)為AA1C1C．又因AC＝，故其面積為.17．(1)證明：因為AB＝AC，D是BC的中點，所以AD⊥BC．①又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1