淺談數(shù)學(xué)聯(lián)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用淺談數(shù)學(xué)聯(lián)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用PAGEPAGE7淺談數(shù)學(xué)聯(lián)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用PAGE更多資料請接見：教育百科

淺談數(shù)學(xué)聯(lián)合思想在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

王儀

〔大綱〕：本文首要闡述怎樣用數(shù)與形聯(lián)合的方式來解答高中的一些題目。眾所周知，數(shù)指的是數(shù)據(jù)和式子，形指的是我們所學(xué)過的幾何圖形（到高中階段為止）。怎樣把它們有機(jī)地聯(lián)合起來是本文闡述的重點(diǎn)。

數(shù)形聯(lián)合，是求解數(shù)學(xué)識(shí)題的一種經(jīng)常使用的思想方式，在教育中應(yīng)當(dāng)指點(diǎn)學(xué)生創(chuàng)辦數(shù)形聯(lián)合的情況，使學(xué)生發(fā)生由形思數(shù)、由數(shù)想形相互浸透的思想，把代數(shù)式的正確刻劃與幾何圖形的直觀描述有機(jī)聯(lián)合起

來，進(jìn)而開拓學(xué)生的解題思路，發(fā)展形象思想本領(lǐng)。本文試舉例說明數(shù)形聯(lián)合思想在辦理數(shù)學(xué)識(shí)題中的功能。

一、“由數(shù)化形”

依據(jù)題設(shè)條件正確繪制相映的圖形，使圖形能充分反應(yīng)出它們相映的數(shù)量關(guān)系，提示出數(shù)與式的本色特質(zhì)。

例1．不等式x23x4Y

y的解集是__________________.

yx23x

解：辯解畫出函數(shù)yx23xy4與y4的圖象（圖1），從圖象可以看出知足不等式x23x4-1O334x的解集是：x1或x4。2（圖1)〔評(píng)注〕：用數(shù)形聯(lián)合法顯得

直觀、簡捷，若用代數(shù)法解，把不等式x23x4化為x23x4更多資料請接見：教育百科

或x23x-4來求解，則較為抽象煩雜。

例2.直線y=2x+m與曲線y9x2y

恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值限制是___,

恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，m的取值限制是___。6

解：辯解作出直線y=2x+m與曲線

y92的圖象（圖4），由圖象xx可知，-3<x≤3或直線與圓相切時(shí)-6恰有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)-6≤m<6或-3O3m35；恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，（圖4）6≤m35。

〔評(píng)注〕：“動(dòng)”是絕對(duì)的，“靜”

是相對(duì)的，這是自然規(guī)律，也是一條

重要的數(shù)學(xué)思想。經(jīng)過平移直線，運(yùn)

用點(diǎn)到直線的間隔公式，就得出所求的值。

例3：求函數(shù)y=x21x24x8最小值

剖析：由題意可知，函數(shù)的界說域?yàn)镽，若從代數(shù)角度考慮，確

實(shí)比較錯(cuò)雜；若借助兩點(diǎn)間的間隔公式，改變?yōu)閹缀螁栴}，則特別容

易辦理

解：yx21x24x8x02012x22022YB(2,2)令A(yù)(0,1)，B(2,2)，P(X,0)A(0,1)更多資料請接見：教育百科

則問題化為:在X軸求一點(diǎn)P(X,0)使得

XPAPB取最小值

Ａ對(duì)于Ｘ軸的對(duì)稱點(diǎn)為Ａ′（０，－１）A′(0,-1)

PAPBmin＝AB＝20221213注：本題也可這樣問：當(dāng)x取何值時(shí)y=x21x24x8的值最小，X的取值是直線A′B與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)。

總結(jié)議論：代數(shù)問題幾何化，問題變得簡單辦理。

二、“由形化數(shù)”

所謂形向數(shù)改變的問題就是假如用幾何的角度來解或證明較為

困難時(shí)且題目中的條件又簡單改變?yōu)榇鷶?shù)問題，因此便用代數(shù)法來求解?，F(xiàn)舉例說明。

例1．在平行四邊形ABCD中，∠A是銳角，且AC2BD2AB4AD4，

求證：A45

剖析：這個(gè)題目從幾何角度來證明難度很大，由于題中條件有限：

∠A是銳角，且AC2BD2AB4AD4，而、、、又不可以在同ACBDABAD一三角形中有機(jī)的聯(lián)合起來，這就給證明帶來困難，但借助代數(shù)法中

根與系數(shù)的關(guān)系和余弦定理，本題即可較快的解答了，現(xiàn)解答以下：

證明：如圖10，設(shè)AB=a,

AD=b,AC=m,BD=n,則∠A是銳角，

且m2n22(a2b2),DCmm2n2a4b4bnABa（圖10）更多資料請接見：教育百科

由根與系數(shù)關(guān)系可知：

m2、n2是方程

x22(a2b2)xa4b40

的兩根，xa2b22ab，又∠A是銳角，n<m,n2a2b22ab,由余弦定理，得n2a2b22abcosA，進(jìn)而獲得cosA=2,A452〔評(píng)注〕：代數(shù)法的引入大大簡化題中隱含的難度“系數(shù)”。

三、“數(shù)形改正”

依據(jù)“數(shù)”與“形”既對(duì)峙，又一致的特質(zhì)，察看圖形的形狀，剖析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，惹起聯(lián)想，當(dāng)令將它們相互改正，化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關(guān)系。例1：函數(shù)ysinx2的值域。cosx2剖析：本題可以把函數(shù)化為對(duì)于x的三角函數(shù)，此后利用其有界

性求值域，但其運(yùn)算量大，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算本領(lǐng)有較高要求，有必定難

度。本題可看作過兩點(diǎn)M（cosx,sinx）,P(2,2)發(fā)生直線的斜率的范

圍，又M（cosx,sinx）在一個(gè)單位圓上，故可結(jié)構(gòu)圖象求此函數(shù)值域。

解：ysinx2的模式近似于斜率公式ky2y1cosx2x2x1ysinx2表示過兩點(diǎn)M（cosx,sinx）,P(2,2)發(fā)生直線的斜率cosx2由于點(diǎn)M在單位圓x2y21上，如圖，M顯然kPAykPB，設(shè)過P的圓的切線方程為y2k(x更多資料請接見：教育百科

則有2k21，解得k47，即kPA47，k2133474747kPA3∴y33∴函數(shù)值域?yàn)閇47，47]33

評(píng)注：本題察看了三角函數(shù)值域與直線斜率之間的內(nèi)在聯(lián)系，察看學(xué)

生的數(shù)形聯(lián)合的本領(lǐng)。在辦理三角函數(shù)的有關(guān)問題時(shí)，若把三角函數(shù)

的性質(zhì)、化簡的模式經(jīng)過結(jié)構(gòu)思想融于函數(shù)的圖象中間，將數(shù)（量）

與圖形聯(lián)合起來進(jìn)行剖析、研究，使抽象錯(cuò)雜的數(shù)量關(guān)系經(jīng)過幾何圖

形直觀地表現(xiàn)出來，這是辦理三角函數(shù)問題的一種思想計(jì)謀。

{x|2xa}{y|y2x3,xA}，C={z|z2,xA}，例2設(shè)A=，B=x若CB，求實(shí)數(shù)a的取值限制。

剖析：辦理本題的重點(diǎn)是依靠二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法判斷聚攏

C，進(jìn)而用不等式將CB這一聚攏語言加以改變。解：∵y2x3在[2,a]上是增函數(shù)，∴B=y2a3}。{y|1作出函數(shù)zx2的圖象，其界說域右端點(diǎn)xa有三種不同樣樣的地址關(guān)系：

①當(dāng)2a0時(shí)，如圖1，a2z4，即｛z|a2z4｝。更多資料請接見：教育百科

要使CB，必要且只需2a34，解得a1，與2a0矛盾。2②當(dāng)0a2時(shí)，如圖2，0z4，即｛z|0z4｝.要使CB，必要且只需2a34，解得1a2。0a22③當(dāng)a2時(shí)，如圖3，0za2，即｛z|0za2｝。要使CB，必要且只需a22a3，解得2a3。a2④當(dāng)a2時(shí)，A=，此時(shí)B=C=，CB建立。綜上所述，a的取值限制是(,2)[1,3]。2評(píng)注：辦理聚攏問題開始要看清元素終究是什么，此后再把聚攏語言“翻譯”為數(shù)學(xué)語言，進(jìn)而剖析條件與結(jié)論的特質(zhì)，再將其改變?yōu)閳D形語言，利用數(shù)形聯(lián)合的思想來辦理。

對(duì)于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，應(yīng)抓住對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)地址關(guān)系，借助圖象的直觀形象，到達(dá)辦理問題的目標(biāo)。

數(shù)形聯(lián)合是數(shù)學(xué)中格外重要的思想方式，其基本點(diǎn)在于把問題中波及到的數(shù)與形聯(lián)合起來綜合察看。依據(jù)不同樣樣問題的不同樣樣特質(zhì)，也許把數(shù)量關(guān)系問題改變?yōu)閿?shù)量關(guān)系問題來研究。也許把數(shù)量關(guān)系問題改變?yōu)閳D形性譴責(zé)題來研究，進(jìn)而把錯(cuò)雜問題簡單化，抽象問題詳盡