2014/2/28

Friday1定義(法向量):與平面垂直方向的非零向量稱為這個(gè)平面的法向量，記為n

(A,B,C).§2

平面和直線一、平面的點(diǎn)法式方程幾何知識告訴，給定了與平面垂直的方向和平面上的任意一點(diǎn)，就可以唯一確定這個(gè)平面。2xyoP0Pn設(shè)P0

(x0

,y0

,z0)為平面上的一個(gè)點(diǎn)，zn(A,B,C)為平面的法向量。平面上任一點(diǎn)

P(x,y,z)，0則P

P

n即nP

P

00即

A(

x

x0

)

B(

y

y0

)

C(z

z0

)

0

＊為平面的點(diǎn)法式方程。

(Ax0

By0

Cz0

)*

式變形為Ax

By

Cz

0D為平面的一般式（普通）方程。3說明：若A,B,C

有一個(gè)或兩個(gè)為零，即此法向量

n

在相應(yīng)的一個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為零，則法向量n

(A,B,C)垂直于相對應(yīng)的一個(gè)或兩個(gè)坐標(biāo)軸。4i

j

k例1、求過點(diǎn)

M0(2,-1,4)和y軸的平面方程。解：10

建立所求平面的點(diǎn)法式方程取所求平面上的兩個(gè)向量分別為j

(0,

1,

0)

,

OM0

(2,

1,

4),則此平面的一個(gè)法向量為

n

j

OM0

0

1

0

4i

2k2

1

4∴由點(diǎn)法式方程得所求平面為n

M

0

M

4(

x

2)

0(

y

1)

2(z

4)

0即2x

z

0520

建立平面的一般方程∵所求平面通過y

軸，即它的法向量垂直于

y

軸，∴法向量在y

軸上的投影為零，即B

=0

，又平面通過y軸，即必通過原點(diǎn)，∴D

=0.∴平面的一般方程中

B

=0,D

=0,可設(shè)這平面的方程為Ax

Cz

0又∵這個(gè)平面通過點(diǎn)(2,-1,4),

2

A

4C

0即A

2C

,代人Ax

Cz

0,得：2Cx

Cz

0

,

即

C

0∴2x

–z

=0

為所求平面。6n

P0P2

,二、確定平面的另一類條件不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)唯一確定一張平面。設(shè)平面所過的三個(gè)點(diǎn)為：P0

(

x0

,

y0

,

z0

),

P1(

x1

,

y1,

z1

),

P2(

x2

,

y2

,

z2

)

,∴該平面的法向量

n

，n

P0P1

,0

1 0

2

n

P

P

P

P假設(shè)P(x,y,z)為平面上任一點(diǎn)，則由點(diǎn)法式得n

P0

P

(

P0

P1

P0

P2

)

P0

P

0稱為平面的三點(diǎn)式方程。12014/2/28

Friday71

0x

x0y

y0

0由混合積的定義、性質(zhì)得四點(diǎn)共面的條件：y1

y0z1

z0x

x

x2

x0

y2

y0

z2

z0z

z0展開后為Ax

By

Cz

D

0說明：在實(shí)際計(jì)算時(shí)，可將已知點(diǎn)P0,P1

,P2

的坐標(biāo)代入平面的一般方程，用待定系數(shù)法解出方程，比用三點(diǎn)式方程計(jì)算簡便。82B

3C

D

0

A

3B

2C

D

0例2、求過點(diǎn)A

(2,-1,4),B(-1,3,-2),C(0,2,3)的平面方程。解：10

將三點(diǎn)的坐標(biāo)代入平面的一般式方程得

2

A

B

4C

D

0由解線性方程組得A

14,

B

9,

C

1,

D

15

.∴所求平面方程為

14x

9

y

z

15

0.920AB

{

3,

4,

6}

,

AC

{2,

3,

1}

,取n

AB

AC

{14,9,1}∴所求平面方程為14(

x

2)

9(

y

1)

(z

4)

0化簡得14x

9

y

z

15

010cC

D

0bB

D

0yo0xP1PP2特殊情況:當(dāng)平面所過的三個(gè)點(diǎn)分別來自于三個(gè)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，設(shè)為P0(a,0,0),P1(0,b,0),P2(0,0,c),z代入平面的一般式方程為a

b

caA

D

01）當(dāng)a

,b

,c

均不為零時(shí)，平面方程為：平面截距式方程x

y

z

111yox

P0(a,0,

0)21P

(0,b,

0)zP2

(0,

0,

c)2）當(dāng)a

,b,c中只有一個(gè)為零時(shí)，所確定的平面為坐標(biāo)平面當(dāng)a

=0

零時(shí)，Oyz

平面x

=0

，當(dāng)

b=0零時(shí)，Oxz

平面y=0

，當(dāng)c

=0

零時(shí)，Oxy

平面z

=0.12三、直線方程的幾種形式確定空間中的一條直線主要條件有兩類1、確定直線的方向和直線上的一個(gè)點(diǎn)2、確定直線上的兩個(gè)點(diǎn)2014/2/28

Friday13xyzol

P

P01、設(shè)直線的方向向量為

l

(l,m,n),直線所過的點(diǎn)為P0

(x0

,y0

,z0),∴直線上任何一點(diǎn)

P(x,y,z),l

m

n顯然P0

P∥l

即P0

P

l

0x

x0

y

y0

z

z0即稱為直線的對稱式方程，或點(diǎn)向式方程。m

n說明：若l,m,n

中有等于零的，如x

x

y

y

z

z0

0

0m

n則將上述方程改寫為

y

y

0

0

z

z

x

x0

00如0

0

nx

x

y

y

z

z0

0

0則改寫為0

y

y0

0

x

x

0142、若給定了直線上的兩個(gè)點(diǎn)

P0

(x0

,y0

,z0

),P1(x1

,y1

,z1)則P0

P1

的方向就是直線l

的方向向量，∴由直線的對稱式方程得

x

x0

y

y0

z

z0x1

x0

y1

y0

z1

z0為直線的兩點(diǎn)式方程。3、直線的參數(shù)方程l

m

n直線的對稱式方程中，記

x

x0

y

y0

z

z0

t

0

x

x0

tl0

y

y

tm

t(,

)直線的一組方向數(shù)

z

z

tn

為直線的參數(shù)方程。15例3、求直線

L

:

x

2

y

3

z

4

與1

1

2平面

:2x

y

z

6

0

的交點(diǎn)。解：求其交點(diǎn)，即求其方程組的解，繁！用直線的參數(shù)方程求解簡便、易求，x

2

y

3

z

4由直線

L

,

令

t

x

2

t即

y

3

t1

1

2t

是參數(shù)，代入平面

，z

4

2t得2(2

t)

(3

t)

(4

2t)

6

0即t

1,再代入其L的參數(shù)方程，得到其交點(diǎn)(1,2,2).164、空間直線

L

可以看做是兩張互不平行的平面

A2

x

B2

y

C2

z

D2

0

A

x

B

y

C

z

D

0即應(yīng)滿足方程組1

1

1

1*反過來，如果點(diǎn)M不在直線L上，那么它不可能同時(shí)在平面1

和平面

2

上，即它不滿足＊式。1

1

1

1

1

:

A

x

B

y

C

z

D

0與2

:

A2x

B2

y

C2z

D2

0相交成的直線，∴空間直線L上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿足這兩個(gè)平面的方程，17xyo12L1

1

1

1

n(

A

,

B

,

C

)2

2

2

2n

(

A

,

B

,

C

)平面1

的法向量平面2

的法向量直線L

的方向向量l

n1

,l

n2即l

∥(n1

n

2

)∴可取

l

n1

n2∴直線

L

可用方程組＊即聯(lián)立方程組表示，

A1

x

B1

y

C1

z

D1

0

A2

x

B2

y

C2

z

D2

0稱為空間直線的一般（普通）方程。z182x

y

3z

4

0L

x

y

z

1

01

(n1

)

2

(n2

)1i

j

k

例4、用對稱式方程及參數(shù)方程來表示直線解：先找出直線

L

的方向向量l

(l,m,n)∵兩平面的交線L與兩平面的法向量

n1

(1,1,1),21

2n

(2,

1,3)都垂直，即l∥(n3

n

)

,

∴取

l

n1

n2

1

1

4i

j

3k2

1

3再找出直線L

上的一點(diǎn)P0(x

0,y0,z0

)可取x0

=1

代入直線L

的方程得2014/2/28

Friday19

y

3z

6

0

0z

2

y

z

2

0

y0

04

1

3y

tz

2

3t

x

1

4t

P0(1,

0,

2)在直線L

上，該直線L

的對稱式方程為

x

1

y

z

24

1

3x

1

y z

2令

t即得該直線L

的參數(shù)方程

20MA

(1,

2,

1)

,2

i

j

k

n

l

MA

2

1

1

3i

3

j

3k例5、一直線

l

通過點(diǎn)A

(1,2,1),且垂直于直線213

2

1

2l

:

x

1

y

z

1

又與直線l

:

x

y

z

相交，求該直線l

方程。解：10設(shè)所求直線

l

的方向向量為

l

,則l

l1

(3,

2,

1)∵l

在點(diǎn)A

和直線l

2

所作的平面

(n)內(nèi)，l

n

,l

l1

n

,l2

(2,

1,

1),取l

2

上的一點(diǎn)M(0,0,0),

3

3

3i

j

k

1

2

1

l

l1

n

3

2 1

3(3i

2

j

5k

)210873(2t

1)

2(t

2)

1(t

1)

0

t

7

7

7∴所求直線l

的方程為x

1

y

2

z

1

20