自 動(dòng) 控制 原 理綜合 訓(xùn)練項(xiàng) 目題目：關(guān)于 MSD系統(tǒng)控制的設(shè)計(jì)目 錄1設(shè)計(jì)任務(wù)及要求分析 2初始條件 2要求完成的任務(wù) 2任務(wù)分析 32系統(tǒng)分析及傳遞函數(shù)求解 3系統(tǒng)受力分析 3傳遞函數(shù)求解 8系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的求解 83.用MATLAB對系統(tǒng)作開環(huán)頻域分析 9開環(huán)系統(tǒng)波特圖 9開環(huán)系統(tǒng)奈奎斯特圖及穩(wěn)定性判斷 104.系統(tǒng)開環(huán)頻率特性各項(xiàng)指標(biāo)的計(jì)算 11總結(jié) 13參考文獻(xiàn)..........................................................13彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)建模與頻率特性分析設(shè)計(jì)任務(wù)及要求分析初始條件已知機(jī)械系統(tǒng)如圖。k1 yk2mx圖機(jī)械系統(tǒng)圖要求完成的任務(wù)1）推導(dǎo)傳遞函數(shù)Y(s)/X(s)，X(s)/P(s)，（2）給定m 0.2g,b2 0.6N?s/m,k1 8N/m,k2 5N/m，以p為輸入u(t)3）用Matlab畫出開環(huán)系統(tǒng)的波特圖和奈奎斯特圖，并用奈奎斯特判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。4）求出開環(huán)系統(tǒng)的截止頻率、相角裕度和幅值裕度。（5）對上述任務(wù)寫出完整的課程設(shè)計(jì)說明書，說明書中必須進(jìn)行原理分析，寫清楚分析計(jì)算的過程及其比較分析的結(jié)果，并包含 Matlab源程序或Simulink仿真模型，說明書的格式按照教務(wù)處標(biāo)準(zhǔn)書寫。任務(wù)分析由初始條件和要求完成的主要任務(wù)，首先對給出的機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行受力分析，列出相關(guān)的微分方程，對微分方程做拉普拉斯變換，將初始條件中給定的數(shù)據(jù)代入，即可得出Y(s)/X(s)，X(s)/P(s)兩個(gè)傳遞函數(shù)。由于本系統(tǒng)是一個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)，故求出的傳遞函數(shù)即為開環(huán)傳函。后在 MATLAB中畫出開環(huán)波特圖和奈奎斯特圖，由波特圖分析系統(tǒng)的頻率特性，并根據(jù)奈奎斯特判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)位于右半平面的極點(diǎn)數(shù)，由此可以分析出系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后再計(jì)算出系統(tǒng)的截止頻率、相角裕度和幅值裕度，并進(jìn)一步分析其穩(wěn)定性能。系統(tǒng)分析及傳遞函數(shù)求解系統(tǒng)受力分析單自由度有阻尼振系的力學(xué)模型如圖2-1所示，包括彈簧、質(zhì)量及阻尼器。以物體的平衡位置0為原點(diǎn)，建立圖示坐標(biāo)軸x。則物體運(yùn)動(dòng)微分方程為mx＝－cx－kx （2-1）式中： cx為阻尼力，負(fù)號表示阻尼力方向與速度方向相反。圖2-1將上式寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，為mx cx kx 0 (2-2 ）令 p2=k, 2n c,則上式可簡化為m mx 2nx p2 0 (2-3)這就是有阻尼自由振動(dòng)微分方程。它的解可取 x est，其中s是待定常數(shù)。代入（2-1）式得(s22nsp2)est0，要使所有時(shí)間內(nèi)上式都能滿足，必須s2220，此即微分方程的特征方程，其解為nsps1,2 n n2 p2 （2-4）于是微分方程（2-1）的通解為2 2 2 2x c1es1t c2es2t ent(c1en pt c2e n pt) （2-5）式中待定常數(shù)c1與c2決定與振動(dòng)的初始條件。振動(dòng)系統(tǒng)的性質(zhì)決定于根式 n2 p2是實(shí)數(shù)、零、還是虛數(shù)。對應(yīng)的根 s1與s2可以是不相等的負(fù)實(shí)根、相等的負(fù)實(shí)根或復(fù)根。若s1與s2為等根時(shí)，此時(shí)的阻尼系數(shù)值稱之為臨界阻尼系數(shù)，記為 cc，即cc＝2mp。引進(jìn)一個(gè)無量綱的量 ，稱為相對阻尼系數(shù)或阻尼比。n/p c/2mp c/cc （2-6）當(dāng)n>p或 >1,根式 n2 p2是實(shí)數(shù)，稱為過阻尼狀態(tài)，當(dāng)n<p或 <1，根式 n2 p2是虛數(shù)，稱為弱阻尼狀態(tài)，當(dāng) n＝p，即 ＝1，稱為臨界阻尼狀態(tài)?，F(xiàn)分別討論三種狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)特性。1.過阻尼狀態(tài)此時(shí)>1，即n2p2，（）式中s1及s2均為負(fù)值，<nb則es1t及es2t是兩根下降的指數(shù)曲線，故（2-2）式所表示的是兩條指數(shù)曲線之和，仍按指數(shù)衰減，不是振動(dòng)。圖3-2所示為c1>c2,c1<0時(shí)的情況。圖2-2臨界阻尼狀態(tài)此時(shí) ＝1，（b）式中s1＝s2＝－n＝－p，特征方程的根是重根，方程（ 2-1）的另一解將為te－pt，故微分方程（2-1）的通解為x＝（c＋ct）e－pt（2-7）12式中等號右邊第一項(xiàng) c1e－pt是一根下降的指數(shù)曲線，第二項(xiàng)則可應(yīng)用麥克勞林級數(shù)展開成以下形式：c2teptc2c2pntn（2-8）ept/t1/tpp2t/2!p3t2/3!/n!從上式看出，當(dāng)時(shí)間t增長時(shí)，第二項(xiàng)c2te－pt也趨近于零。因此（c）式表示的運(yùn)動(dòng)也不是振動(dòng)，也是一個(gè)逐漸回到平衡位置的非周期運(yùn)動(dòng)。弱阻尼狀態(tài)此時(shí)p>n,或 <1。利用歐拉公式e n2 p2t e p2 n2t cos p2 n2t isin p2 n2t（2-9）可將（2-2）式改寫為x ent(C1eip2n2t C2eip2n2t) ent(D1cos p2 n2t D2sin p2 n2t)（2-10）或x Aentsin( p2 n2t ) （1-11）令pd p2 n2，則xAentsin(pdt)（2-12）式中A與 為待定常數(shù)，決定于初始條件。設(shè) t＝0時(shí)，x＝x0，x x0，則可求得Ax02(x0nx0)2,tg1x0pd（2-13）pdx0nx0將A與 代入（2-4）式，即可求得系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)，由式（ 2-13）可知，系統(tǒng)振動(dòng)已不再是等幅的簡諧振動(dòng)，而是振幅被限制在曲線 Aent之內(nèi)隨時(shí)間不斷衰減的衰減振動(dòng)。如圖3-3所示。圖2-3這種衰減振動(dòng)的固有圓頻率、固有頻率和周期分別為PdP2n2P12（2-14）fdP2n2P1222

2f 1221Td

T

（2-15）1P2n2P12

21式中P、f、T是無阻尼自由振動(dòng)的固有圓頻率、固有頻率和周期。由上可見，阻尼對自由振動(dòng)的影響有兩個(gè)方面：一方面是阻尼使自由振動(dòng)的周期增大、頻率減小，但在一般工程問題中 n都比P小得多，屬于小阻尼的情況。例 =n/p=時(shí)，fd=，Td=；而在 =時(shí)，fd=，Td=，所以在阻尼比較小時(shí)，阻尼對系統(tǒng)的固有頻率和周期的影響可以略去不計(jì)，即可以近似地認(rèn)為有阻尼自由振動(dòng)的頻率和周期與無阻尼自由振動(dòng)的頻率和周期相等。另一方面，阻尼對于系統(tǒng)振動(dòng)振幅的影響非常顯著，阻尼使振幅隨著時(shí)間不斷衰減，其順次各個(gè)振幅是：t=t1時(shí)，A1=Ae-nt1；t=t1+Td時(shí)，A2=Aen(t1Td)；t=t1+2Td時(shí)，A3=Aen(t12Td)，?..。而相鄰兩振幅之比是個(gè)常數(shù)。即Aj/Aj1enTd（2-16）式中η稱為減幅系數(shù)或振幅衰減率， n稱為衰減系數(shù)，n越大表示阻尼越大，振幅衰減也越快。當(dāng)＝時(shí)，η＝，A2=A1/=，每一個(gè)周期內(nèi)振幅減少27％，振幅按幾何級數(shù)衰減，經(jīng)過10次振動(dòng)后，振幅將減小到初值的％?？梢姡p是非常顯著的。在工程上，通常?。?-6）式的自然對數(shù)以避免取指數(shù)的不便，即Ln(Aj/Aj1)nTd（2-17）式中δ稱為對數(shù)減幅或?qū)?shù)衰減率。將Td 2 / p2 n2代入，得2n/p2n22/12（2-18）當(dāng)<<1時(shí)，δ≈2π（2-19）因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)相鄰的振幅之比是一個(gè)常數(shù) enTd，即故有因此對數(shù)減幅δ也可表達(dá)為1A1（2-20）LnA(j1)此外，根據(jù)（3-6）式，可以用實(shí)測法來求得系統(tǒng)的阻尼系數(shù)。因?yàn)锳jnTd1Ajc1AjLnnLn2mTdLnAj1TdAj1Aj1故2mAjcLn（2-21）TdAj1所以只要實(shí)測得出衰減振動(dòng)的周期 Td及相鄰兩次振幅 Aj和Aj+1，即可計(jì)算出系統(tǒng)的阻尼系數(shù)C。根據(jù)彈簧和阻尼器的特性可得以下關(guān)系式：Fk1(t)=k1x(t)， F k2(t)=k 2[x(t) －y(t)] ， F b2(t)=b 2dy(t)/dt設(shè)不加p(t)時(shí)，質(zhì)量塊處于平衡狀態(tài)，此時(shí) x=0，y=0，即x(0)=0，y(0)=0，根據(jù)受力平衡方程，在不計(jì)重力時(shí)，可得出以下方程：k2[x(t)-y(t)]=b 2dy(t)/dt (2-22)又根據(jù)牛頓第二定律，有方程：22=p(t)－Fk1(t)－Fk2(t)－Fb2(t)(2-23)mdx(t)/dt傳遞函數(shù)求解1）求Y(s)/X(s)：對式(2-1)進(jìn)行拉普拉斯變換，得： k2X(s)－k2Y(s)=b2*sY(s)，化簡得傳遞函數(shù)：Y(s)/X(s)=k 2/(b 2s+k2) (2-24)2）求X(s)/P(s)：對式(2-2)進(jìn)行拉普拉斯變換，得：ms2X(s)=P(s)－k1X(s)－2k2[X(s)－Y(s)]，并將式(2-3)代入可解得傳遞函數(shù)：X(s)/P(s)=(b2s+k2)/[mb2s3+mk2s2+b2(k1+2k2)s+k1k2](2-25)已知條件為：給定 m 0.2g,b2 0.6N?s/m,k1 8N/m,k2 5N/m，設(shè)p(t)是輸入u(t)的階躍力。將所給參數(shù)代入傳遞函數(shù)式 (2-3)和式(2-4)中，可求得具體的傳遞函數(shù)如下：Y(s)/X(s)=5/+5)（2-26）X(s)/P(s)=+5)/ （*10^-4s3+10^-3s2++40）（2-27）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的求解（1）對于Y(s)/X(s) ：由微分方程Y(s)/X(s)=5/+5) 可畫出單位負(fù)反饋系統(tǒng)方框結(jié)構(gòu)圖如下：X （s） Y （s）5/+5)故開環(huán)傳遞函數(shù)為：G（S）=5/+5)2）對于X(s)/P(s)：由微分方程ms2X(s)=P(s)－k1X(s)－2k2[X(s)－Y(s)]及Y(s)/X(s)=k2/(b2s+k2) 可畫出系統(tǒng)方框結(jié)構(gòu)圖如下：0.6s+5P(s)1.2?10-4s3+10-3s2+10.8s+40X(s)故開環(huán)傳遞G(s)=(0.6s+5)/(1.2?10-4s3+10-3s2+10.8s+40)用MATLAB對系統(tǒng)作開環(huán)頻域分析開環(huán)系統(tǒng)波特圖1）對于Y(s)/X(s)：G（s)=5/(0.6s+5)畫波特圖時(shí)采用的 MATLAB語句如下:>>num=[5];den=([,5]);>>margin(num,den) % 畫系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻、相頻特性運(yùn)行結(jié)果如圖3-1圖3-1Y(s)/X(s) 的開環(huán)波特圖2）對于X(s)/P(s):G(s)=(0.6s+5)/(1.2?10-4s3+10-3s2+10.8s+40)畫波特圖時(shí)采用的 MATLAB語句如下:>>num=[,5];den=([ 1.2?10-4,10-3,10.8,40]);>>margin(num,den) % 畫系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻、相頻特性運(yùn)行結(jié)果如圖3-2所示:圖3-2X(s)/P(s) 的開環(huán)波特圖開環(huán)系統(tǒng)奈奎斯特圖及穩(wěn)定性判斷1）對于Y(s)/X(s)畫奈奎斯特圖時(shí) MATLAB語句如下：num=[5];den=[,5];nyquist(num,den)運(yùn)行結(jié)果如圖3-3所示：圖3-3Y（s）/X（s）開環(huán)奈奎斯特圖開環(huán)傳函G（S）=5/(0.6s+5),由于系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)不存在右半平面的極點(diǎn)，故 P=0，ω從0變到+∞時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線不能包圍（-1，j0）點(diǎn)周數(shù)N=0，則系統(tǒng)位于右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)為:Z=P-2N=0,故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2）對于X(s)/P(s)畫奈奎斯特圖時(shí) MATLAB語句如下：num=[,5];den=[1.2?10-4,10-3,10.8,40];nyquist(num,den)運(yùn)行結(jié)果如圖3-4所示：圖3-4X（s）/P（s）開環(huán)奈奎斯特圖開環(huán)傳函 G(s)=(0.6s+5)/(1.2?10-4s3+10-3s2+10.8s+40)，由于系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)不存在右半平面的極點(diǎn)，故P=0，ω從0變到+∞時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線不能包圍（-1，j0）點(diǎn)周數(shù)N=0，則系統(tǒng)位于右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)為:Z=P-2N=0,故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)開環(huán)頻率特性各項(xiàng)指標(biāo)的計(jì)算1）對于Y(s)/X(s)：G（S）=5/(0.6s+5)計(jì)算各項(xiàng)頻率指標(biāo)時(shí)采用的 MATLAB語句如下:num=[5];den=([,5]);margin(num,den);[gm,pm,wcg,wcp]=margin(num,den)計(jì)算幅值裕度 gm(γ0)、相位裕度pm（h0）、穿越頻率wcg(ωr0)、截止頻率wcp(ωc0)。運(yùn)行結(jié)果gm=Infpm=180wcg=NaNwcp=0由結(jié)果可知該系統(tǒng)幅值裕度為無窮，截止頻率為0，相位裕度為180是正值，故系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）對于X(s)/P(s):G(s)= (0.6s+5)/(1.2?10-4s3+10-3s2+10.8s+40)計(jì)算各項(xiàng)頻率指標(biāo)時(shí)采用的 MATLAB語句如下:num=[,5];den=([*10^-4,10^-3,,40])margin(num,den);[gm,pm,wcg,wcp]=margin(num,den)計(jì)算幅值裕度 gm(γ0)、相位裕度pm（h0）、穿越頻率wcg(ωr0)、截止頻率wcp(ωc0)。運(yùn)行結(jié)果gm=Infpm=wcg=Infwcp=由結(jié)果可知該系統(tǒng)幅值裕度為無窮，截止頻率為 308rad/s，相位裕度為是正值，故系統(tǒng)穩(wěn)定?？偨Y(jié)本次課設(shè)是對一個(gè)彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)建模并進(jìn)行頻率特性分析。首先根據(jù)這個(gè)實(shí)際的機(jī)械系統(tǒng)的受力分析得出它的受力微分方程，對其進(jìn)行拉普拉斯變換，可以得出傳遞函數(shù)。