倍角三角形模型基本結(jié)論及其輔助線構(gòu)造法倍角三角形模型基本結(jié)論及其輔助線構(gòu)造法倍角三角形模型基本結(jié)論及其輔助線構(gòu)造法xxx公司倍角三角形模型基本結(jié)論及其輔助線構(gòu)造法文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度倍角三角形模型基本結(jié)論及其輔助線構(gòu)造法如果一個三角形的內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，那么這樣的三角形為“倍角三角形”。倍角三角形的輔助線一般構(gòu)造等腰三角形或作倍角的角平分線?！纠?】如圖1，△ABC中，∠C=α，∠B=2α，AB=c，BC=a，AC=b，且（a＞b＞c）。求證：b2-c2=ac。【解析】如圖1-1，作∠B的角平分線BD，交AC于點(diǎn)D，根據(jù)角平分線定理（詳見角平分線在三角形中的比例關(guān)系），a∶c=CD∶DA，∴（a+c）∶c=（CD+DA）∶DA=b∶DA，∴DA·（a+c）=bc；……①∵∠ABD=α，∠C=α，∴△ABD∽△ACB，∴c2=DA·b，∴DA=c2/b，代入①式：（a+c）c2/b=bc，整理，得：b2-c2=ac。我們注意到在【例1】沒有限制∠A和∠B的數(shù)量關(guān)系，所以當(dāng)∠A=n∠B（n≥2）時(shí)，總有b2-c2=ac成立?！纠?】如圖2，△ABC中，∠C=α，∠B=2α，∠A=4α，AB=c，BC=a，AC=b，且（a＞b＞c）?！窘馕觥坑伞纠?】可知，倍角（2α）對邊與原角（α）對邊的平方差等于第三條邊與原角（α）對邊的乘積，可知（1）、（2）是正確的；對于（3），如圖2-1，作∠BAD=α，則∠CAD=∠CDA=3α，∴CD=b；∴△BAD∽△BCA，∴c2=BD·a；∵BD=a-b，∴c2=a（a-b），化簡，得：a2-c2=ab；對于（4），將（1）、（2）結(jié)論中得兩式相加，得：a2-c2=(a+b)c，由（3）：a2-c2=ab，∴(a+b)c=ab，如果【例2】跳過（1）、（2）、（3），直接證明（4）的結(jié)論，也可以這樣證明：如圖2-2，作∠BAC的平分線AD，作∠ABF=α，BF交DA延長線于點(diǎn)F；延長CB至點(diǎn)E，使得∠AEC=α，連接AE。則△ABC∽△ACD，c∶AD=a∶b，∠DBF=3α，∠BDF=3α，∴FD=FB；易知，△ABF≌△BEA，∴FB=AE=b，∴FD=b，AF=c，∴AD=b-c，∴c∶（b-c）=a∶b，化簡，得：??【例3】如圖3，△ABC中，∠C=α，∠B=2α，∠A=6α，AB=c，BC=a，AC=b，且（a＞b＞c），試探討a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系?！窘馕觥坑伞纠?】，因?yàn)椤螧=2∠C，所以滿足b2-c2=ac；除此之外，我們再來探求其他的關(guān)系。顯然可求得α=20o，3α=60o，如圖3-1，在BC上找出兩點(diǎn)D、E，滿足∠CAD=2α，∠DAE=3α，則∠ADE=3α，∴△ADE為等邊三角形；且△CAD∽△CBA∽△ABE，∴c2=a·BE……①，b2=a·CD……②，AD∶c=b∶a，∴AD=bc/a；①+②：b2+c2=a（BE+CD）=a（a-DE）,∵DE