函數(shù)的單調(diào)性1、通過已學(xué)過的函數(shù)模型，特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性2、掌握單調(diào)性的判斷方法，并能簡單應(yīng)用；一、函數(shù)單調(diào)性的定義1、圖形描述：對于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上，若其圖像為從左到右的一條上升的曲線,我們就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為單調(diào)遞增函數(shù)；若其圖像為從左到右的一條下降的曲線,我們就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為單調(diào)遞減函數(shù)。2、定量描述對于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x,x，12若當(dāng)x<x時(shí)，都有f(x)<f(x)，則說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；1212若當(dāng)x<x時(shí)，都有f(x)>f(x)，則說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。12123、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間若函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。此時(shí)也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)。在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。特別提醒：1、函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，是對定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的。有的函數(shù)在一些區(qū)間上

是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上不是增函數(shù).例如函數(shù)y二x2(圖1),當(dāng)xG[0,+8)時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)xe(-8,0]時(shí)是減函數(shù)。而有的函數(shù)在整個(gè)定義域上都是單調(diào)的。2、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集；3、x,x應(yīng)是該區(qū)間內(nèi)任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)，忽略需要任意取值這個(gè)12條件，就不能保證函數(shù)是增函數(shù)(或減函數(shù))。二、用定義證明函數(shù)的單調(diào)性：定義法證明函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增(減)函數(shù)是最基本方法其步驟是：1、取量定大?。杭丛O(shè)x,x是區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x<x；12122、作差定符號：即f(x)-f(x)，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利12于判斷差的符號的方向變形；3、判斷定結(jié)論：即根據(jù)定義得出結(jié)論。三、判斷較復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性的幾條有用的結(jié)論1、函數(shù)y=-f(x)與函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性相反2、當(dāng)f2、當(dāng)f(x)恒為正或恒為負(fù)時(shí)，函數(shù)y=1f(x)與函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性相反3、在公共區(qū)間內(nèi)，增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)。四、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷對于函數(shù)y=f(u)和u=g(x)，如果u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是具有單調(diào)性，當(dāng)xe(a,b)時(shí)，ue(m,n)，且y=f(u)在區(qū)間(m,n)上也具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))在區(qū)間(a,b)具有單調(diào)性的規(guī)律見下表：y=f(u)ue(m,n)增/減'u=g(x)xe(a,b)增/減'增/減'

y二f(g(x))xe(a,b)增/減'減'增/以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同增異減”址典例講練〕類型一用定義證明函數(shù)的單調(diào)性例1：證明：函數(shù)f(x)=2x2+4x在(一8,—1］上是減函數(shù).解析：設(shè)X］〈X2W—1,則Ax=X2—X］〉0,Ay=f(x)—f(x)=(2x+4x)—(2x+4x)2121=2(x—x)+4(x—x)21=2(x—x)(x+x+2).2112Tx〈xW—1,x+x+2〈0,.：Ay〈0.1212.?.f(x)在(一8,—1］上是減函數(shù).答案：見解析練習(xí)1：證明函數(shù)f(x)=—-Jx在定義域上是減函數(shù)答案：設(shè)X］、X2是［0,+^)內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且X］〈X2，則Ax=X2—X］〉0,???12—+1x+121類型二證明含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性1-x2=-Ax〈0,12—+1x+121類型二證明含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性??.f(x)=—ijx在［0,+^)上是減函數(shù).練習(xí)2：(寧夏育才中學(xué)中學(xué)高一上學(xué)期月考)設(shè)函數(shù)f(x)蟲乂,用單調(diào)性定義證明在(-1,X+1+8)上是減函數(shù)。答案：設(shè)任意X1G(—1,+^),X2W(—1,+b),且X］〈X2.f(xf(x)—f(x)=x+22X+1x+2X+11X—X12121例2：已知函數(shù)f(x)axX2—1(a為常數(shù)且aMO),試判斷函數(shù)玖對在(一1,1)上的單調(diào)性.解析任取X］、X2，使得一1〈X］〈X2〈1,貝Ax=x—x>0.21aAy=aAy=f(x2)—f(x1)=-xx+1X2—11X—X1—X2—12,*.xx+1>0,X2—1<0,X2—1<0,1212TOC\o"1-5"\h\zXx+1X—X???—I11〈O,X2—1X2—112.?.當(dāng)a>0時(shí)，f(x)—f(x)<0,21故此時(shí)函數(shù)f(x)在(一1,1)上是減函數(shù),當(dāng)a<0時(shí)，f(x)—f(x)〉O,21故此時(shí)f(x)在(一1,1)上是增函數(shù).綜上所述，當(dāng)a〉0時(shí)，f(x)在(一1,1)上為減函數(shù),當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在(一1,1)上為增函數(shù).答案：增函數(shù).O練習(xí)1：判斷函數(shù)f(x)=x(a為常數(shù)且aMO)在(0,+^)上的單調(diào)性.X答案：當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0,+b)上是減函數(shù)，當(dāng)a〈0時(shí)，f(x)在(0,+b)上是增函數(shù).練習(xí)2：判斷函數(shù)f(x)=一疋+a(a>0)在(—8,0)上的單調(diào)性x答案：單調(diào)遞減函數(shù)類型三證明抽象函數(shù)的單調(diào)性例3：已知函數(shù)y=f(x)在(0,+◎上為增函數(shù)，且f(x)〈O(x〉O),試判斷F(x)=^丄fX在(0,+-)上的單調(diào)性，并證明.解析：F(x)在(0,+^)上為減函數(shù).下面給出證明:任取x1、x2G(0,+^),且Ax=x2—x1〉0.Ay=F(x2)—F(x1)=ffx—fx=1Lfxfx，21又y=f(x)在(0,+^)上為增函數(shù)，且Ax=x—x〉O,21/.Ay=f(x)—f(x)>0,即f(x)>f(x),2121/.f(x)—f(x)<0.12而f(x)<0,f(x)〈0,/.f(x)f(x)〉0,1212/.F(x)—F(x)<0,21/.F(x)在(0,+^)上為減函數(shù).答案：減函數(shù)練習(xí)1：已知函數(shù)y=f(x)在(0,+-)上為減函數(shù)，且f(x)〈0(x〉0),試判斷F(x)=f2(x)在(0,+^)上的單調(diào)性，并證明答案：增函數(shù)練習(xí)2：(江蘇泰州三中高一上學(xué)期期中測試)函數(shù)f(x)=x2+2x+3在［—1,+^)的單調(diào)性為—答案：增函數(shù)。類型四求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例4：求函數(shù)y=x+t，xe(0,+-)的單調(diào)區(qū)間，并畫出函數(shù)的大致圖象.x解析：設(shè)X］、X2是任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，且X］〈X2，則Ax=X2—X］〉0,11X——xxX——1Ay=f(x)—f(x)=(x+_)—(x+_)=(x—x)+^2=(x—x)~^2/X/2x1X2/XX2/XX211212由于0<x<x，則x—x=Ax>0,xx>0,122112當(dāng)X、XG(0,1］時(shí)，有XX—1<0,此時(shí)Ay<0；1212當(dāng)X、xG(1,+b)時(shí)，有XX—1>0,此時(shí)Ay>0,1212即函數(shù)y=x+X，xG(0,+b)的單調(diào)減區(qū)間(0,1］,單調(diào)增區(qū)間是(1,+s).X答案：單調(diào)減區(qū)間（0,1］，單調(diào)增區(qū)間是（1,+兀）。練習(xí)1：求函數(shù)f（x）=±的單調(diào)區(qū)間.答案：單調(diào)遞增區(qū)間為(一g,1)和(1,+g).x(2-x)練習(xí)2：函數(shù)y—-的單調(diào)遞減區(qū)間是x-1-1答案：［1,2)和(2,+8)。類型五利用單調(diào)性解不等式例5：已知y=f(x)在定義域(一1,1)上是減函數(shù)，且f(1—a)〈f(a2—1),求a的取值范圍.一1<1一a〈1,①解析：由題意可得’一1〈a2—1〈1,②、1一a>a2一1,③由①得0〈a〈2,由②得0〈a2〈2,???0〈|a|〈\S,???一-72〈a〈\/2，且aMO.由③得a2+a—2<0,即(a—1)(a+2)〈0,但一1〉0但一1〈0?{或^,a+2〈0a+2〉0一2〈a〈1.綜上可知O〈a〈1,???a的取值范圍是O〈a〈1.答案：O〈a〈1.練習(xí)1：已知f(x)是定義在［—1,1］上的增函數(shù)，且f(x—2)〈f(1—x)，求x的取值范圍.f31答案：x的取值范圍為<x|1Wx〈2>.練習(xí)2：函數(shù)f(x)在(—g,+g)上是減函數(shù)，且a為實(shí)數(shù)，則有()f(a)〈f(2a)B.f(a2)〈f(a)C.f(a2+1)〈f(a)D.f(a2—a)〈f(a)答案：C，類型六用單調(diào)性求最值例6:求f(x)=x+px—1的最小值.解析：f(x)=x+px—1的定義域?yàn)椋?,+^),

任取X、xW[1,+b),且x〈x,Ax=x—x〉o,121221貝yAy=f(X)—f(X)=(X^i'X—1)一(X]+\；X]—1)=(x—x)+⑴x—1—“Jx—1)x—x—x二1=(X—X)+'21X2_1+\'X]—1(X—X)?1+21\1](X—X)?1+21\AX=X2—X1〉°'1+：F〉°,"12.?.f(x)—f(x)>0.21.?.f(xx)在[1,+^)上為增函數(shù)，..f(x)=f(1)=1.min答案：1練習(xí)1:(山東濟(jì)寧市兗州區(qū)高一上學(xué)期期中測試)已知f(x)=x—1，XG[2,6],求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.答案：f(x)=f(2)=1,f(x)=f(6)=5?maxmin5練習(xí)2:函數(shù)y=|x+1|在[-2,2]上的最大值與最小值分別為.答案：y二3,y二0maxmin1、證明函數(shù)1、證明函數(shù)f(x)=x3(xGR)是增函數(shù)。答案：證明：設(shè)X1，X2是R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)’且X1<x2321-x2=(x-x)(x2+xx+x2)3212121122又Vx2+xx+x2=(x+土)2+隹>0,1122124???f(xi丿-f(x2)<0即f(xi丿<f(x2)???f(x)=x3在R上是增函數(shù)。2、求函數(shù)f(x)=+a(a>0)的單調(diào)區(qū)間。x答案：(-8,0)和(0,+8)。3、求函數(shù)y=px2—2004x的單調(diào)遞增區(qū)間.答案：〔2004,+8).4、如果函數(shù)f(x)=X2+bx+c，對任意實(shí)數(shù)t都有f(2+1)=f(2—t)，比較f(1),f(2),f(4)的大小。答案：f(2)<f(1)<f(4)5、已知f(x)=x2一2(1一a)x+2在(一8,4］上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。答案：a<—3基礎(chǔ)鞏固下列函數(shù)中，在(一8,0)上為減函數(shù)的是()1A.y=B.y=X3x2C.y=X0D.y=X2答案：D設(shè)函數(shù)f(x)=(2a—l)x+b是R上的增函數(shù)，貝惰(A.a#aW*A.a#D.a〈D.a〈1答案：A

如果函數(shù)f(x)在［a,b］上是增函數(shù)，對于任意的X］、X2W［a,切團(tuán)工x?)，貝V下列結(jié)論中不正確的是()fx——fxA.12_>0B.(x——x)［f(x)——f(x)］〉Ox—x121212x——xC.f(a)<f(x)<f(x)<f(b)D.f>012fxfx12答案：C(武漢二中、龍泉中學(xué)高一上學(xué)期期中測試)函數(shù)f(x)=—X2+2ax+3在區(qū)間(——^,4)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a<4B.aW4C.a>4C.a>4答案：D若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b］上是增函數(shù)，在區(qū)間(b,c)上也是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,c)±()A.必是增函數(shù)B.必是減函數(shù)C.是增函數(shù)或是減函數(shù)D.無法確定單調(diào)性答案：D(四川德陽五中高一上學(xué)期月考)下列函數(shù)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是()A.y=|x|B.y=3——2xC.y=C.y=12+xD.y=X2——4x+3答案：A???函數(shù)y=|x|在(0,1)上是增函數(shù).佇夏育才中學(xué)高一上學(xué)期月考)函數(shù)y=x2+bx+c在區(qū)間(一a,1)上是減函數(shù)時(shí),b的取值范圍是()B.b三——2D.B.b三——2D.b<——2C.b〉一2答案：A能力提升x&(四川德陽五中高一上學(xué)期月考)已知函數(shù)f(x)=2X^1，證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，+^)上是減函數(shù).答案：設(shè)任意xW(1,+b),xW(1,+b),且x〈x.1212XXf(x)-f(x)^-^-—-^72i2x—12x—1212xx—x—2xx+x1221212x—12x—121x—x=122x—12x—121Vx<x，?:x—x<0.1212又Vx>1,x>1,12.??2x—1〉0,2x—1>0,12x—x…2x—12x—1<0，21/.f(x)<f(x).21故函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+^)上是減函數(shù).9.求函數(shù)y=Jx—1—x的最小值.x答案：-110.已知函數(shù)f(x)對任意x、yWR，總有f(x)+f(y)=f(x+y)，且當(dāng)x>0時(shí),f(x)〈O,2f⑴=—3?(1)求證：f(x)是只上的單調(diào)遞減函數(shù);⑵求f(x)在［—3,3］上的最小值.答案：⑴證明：設(shè)X]、X2是任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)，且X