2019新導(dǎo)學(xué)同步人教A版高中數(shù)學(xué)必修二練習(xí)：第4章圓與方程4.1.2Word版含2019新導(dǎo)學(xué)同步人教A版高中數(shù)學(xué)必修二練習(xí)：第4章圓與方程4.1.2Word版含12/12羈PAGE12袆肁羅膅薃蚈肈膈芇莂蒃2019新導(dǎo)學(xué)同步人教A版高中數(shù)學(xué)必修二練習(xí)：第4章圓與方程4.1.2Word版含2019-2020年新導(dǎo)學(xué)同步人教A版高中數(shù)學(xué)必修二練習(xí)：第4章+圓與方程+4.1.2+Word版含解析

圓的一般方程

知識(shí)導(dǎo)圖

學(xué)法指導(dǎo)

1.正確掌握?qǐng)A的一般方程的結(jié)構(gòu)形式，理解各個(gè)字母的意義；掌握?qǐng)A的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化；領(lǐng)悟待定系數(shù)法求圓的一般方程

的步驟．

2．明確求動(dòng)點(diǎn)的軌跡及軌跡方程的步驟，弄清楚軌跡與軌跡方

程的差異．

高考導(dǎo)航

1.圓心坐標(biāo)及半徑長(zhǎng)的確定或與直線方程的綜合是觀察的熱點(diǎn)，

多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，分值5分．2．觀察動(dòng)點(diǎn)的軌跡(方程)，各種題型均有可能出現(xiàn)，分值4～6分.知識(shí)點(diǎn)一圓的一般方程

1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，該方程叫作圓的一般方程．

2．圓的一般方程下的圓心和半徑：

圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的圓的圓心為－D，－E，半徑長(zhǎng)為D2＋E2－4F.222知識(shí)點(diǎn)二求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的方法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，就是依照題意建立動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)所滿足的關(guān)系式，并把這個(gè)方程化成最簡(jiǎn)形式，若是題目中沒(méi)有坐標(biāo)系，那么就要先建立適合的直角坐標(biāo)系．1/122019-2020年新導(dǎo)學(xué)同步人教A版高中數(shù)學(xué)必修二練習(xí)：第4章+圓與方程+4.1.2+Word版含解析

求軌跡方程的一般步驟為：

圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)結(jié)構(gòu)形式，其方程是一種特其他二元二次方程，圓心和半徑長(zhǎng)需要代數(shù)運(yùn)算才能得出，且圓的一般方

程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F(xiàn)為常數(shù))擁有以下特點(diǎn)：

(1)x2，y2項(xiàng)的系數(shù)均為1；

(2)沒(méi)有xy項(xiàng)；

(3)D2＋E2－4F>0.

[小試身手]

1．判斷以下命題可否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)

(1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圓．()(2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圓．()

答案：(1)×(2)√

2．圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是()

A．(2,3)B．(－2,3)

C．(－2，－3)D．(2，－3)

解析：D＝－4，E＝6，則圓心坐標(biāo)為(2，－3)．

答案：D

3．已知三點(diǎn)A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，則△ABC外接圓的

圓心到原點(diǎn)的距離為()

521A.3B.3254C.3D.3

解析：設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

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1＋D＋F＝0，D＝－2，則3＋3E＋F＝0，解得E＝－43，37＋2D＋3E＋F＝0，F(xiàn)＝1.∴△ABC外接圓的圓心為，23，故△ABC外接圓的圓心到原13223221點(diǎn)的距離為1＋3＝3.答案：B4．若方程x2＋y2＋ax＋ay＋a＝0表示圓，則a的取值范圍是________________．解析：由題意得2a2－，∴2－2a>0，∴a<0或a>2.4a>0a答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)

種類一圓的一般方程的看法辨析

例1以下方程可否表示圓？若能表示圓，求出圓心和半徑．

(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；

(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；

(4)2x2＋2y2－4x＝0.

【解析】二元二次方程只有能轉(zhuǎn)變成x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

且D2＋E2－4F>0才表示圓．

(1)由于x2與y2項(xiàng)的系數(shù)不相等，因此不能夠表示圓．

(2)由于方程中含有xy項(xiàng)，因此不能夠表示圓．

(3)由于(－2)2＋(－4)2－4×10<0，因此不能夠表示圓．

(4)2x2＋2y2－4x＝0可化為(x－1)2＋y2＝1，

故方程表示以點(diǎn)(1,0)為圓心，1為半徑的圓.

判斷二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0可否表示圓可按以下步驟進(jìn)行：①判斷A，C可否相等且不等于0，B可否等于0；②若滿足A＝C≠0，B＝0，則判斷D2＋E2－4F可否大于0，或?qū)⒎匠套蠖伺浞?，爾后與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行比較，作出判斷．

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方法歸納

形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判斷其可否表示

圓時(shí)可有以下兩種方法：

①由圓的一般方程的定義令D2＋E2－4F>0，建立則表示圓，否

則不表示圓；②將方程配方后，依照?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)求解．應(yīng)用這兩種方法時(shí)，要注意所給方程可否是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0這種

標(biāo)準(zhǔn)形式，若不是，則要化為這種形式再求解．

追蹤訓(xùn)練1以下方程各表示什么圖形？若表示圓，求其圓心和半徑．

x2＋y2＋x＋1＝0；

x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．

解析：(1)∵D＝1，E＝0，F(xiàn)＝1，∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0，

∴方程(1)不表示任何圖形．

(2)∵D＝2a，E＝0，F(xiàn)＝a2，∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，∴方

程表示點(diǎn)(－a,0)．

(3)兩邊同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F(xiàn)＝0，

∴D2＋E2－4F＝2a2>0，aa122∴該方程表示圓，它的圓心為－2，2，半徑r＝2D＋E－4F2＝2|a|.判斷二元二次方程與圓的關(guān)系時(shí)，一般先看這個(gè)方程可否具備圓的一般方程的特點(diǎn)，當(dāng)它具備圓的一般方程的特點(diǎn)時(shí)，再看它可否表示圓．此時(shí)有兩種路子：一是看D2＋E2－4F可否大于零；二是直接配方變形，看方程等號(hào)右端可否是大于零的常數(shù)．

種類二待定系數(shù)法求圓的方程

例2已知△ABC的三個(gè)極點(diǎn)分別為A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求其外接圓P的方程．

【解析】方法一設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝

0(D2＋E2－4F>0)，

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－D＋5E＋F＋26＝0，D＝－4，

由題意可得－2D－2E＋F＋8＝0，解得E＝－2，

5D＋5E＋F＋50＝0，F(xiàn)＝－20.

故所求外接圓P的方程為x2＋y2－4x－2y－20＝0.

方法二由題意可得弦AC的中垂線方程為x＝2，BC的中垂線

方程為x＋y－3＝0，

x＝2，x＝2，

由解得x＋y－3＝0，y＝1.

因此圓心P的坐標(biāo)為(2,1)．外接圓的半徑長(zhǎng)r＝|AP|＝

2＋12＋1－52＝5，

故所求外接圓P的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝25.

方法一是待定系數(shù)法，應(yīng)用起來(lái)很方便，計(jì)算略微復(fù)雜，方法二是依照?qǐng)A的幾何性質(zhì)解題，需要認(rèn)真解析，技巧性較強(qiáng)．求圓的方程常常用的幾何性質(zhì)有：

①圓的弦的垂直均分線過(guò)圓心；②圓的半徑r，半弦長(zhǎng)h，弦心

距d滿足r2＝h2＋d2.

方法歸納

待定系數(shù)法求圓的一般方程的步驟用待定系數(shù)法求圓的一般方程的步驟以下：

追蹤訓(xùn)練2求過(guò)三點(diǎn)O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo)．

解析：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

∵所求圓過(guò)點(diǎn)O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)，

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F＝0，D＝－8，∴D＋E＋F＋2＝0，解得E＝6，4D＋2E＋F＋20＝0，F(xiàn)＝0.∴所求圓的方程為x2＋y2－8x＋6y＝0，∴－D＝4，－E22＝－3，圓心為(4，－3)，半徑r＝1D2＋E2－4F＝5.2設(shè)出外接圓的一般方程，分別把A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解

出D，E，F(xiàn)即可得所求方程；或依照幾何性質(zhì)求出圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)，即可得圓的方程．

種類三軌跡問(wèn)題

例3已知A(2,0)為圓x2＋y2＝4上必然點(diǎn)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．【解析】(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2,2y)．

由于P點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上，因此(2x－2)2＋(2y)2＝4，整理得(x

1)2＋y2＝1，

故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.

(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，OP，BN，則ON⊥PQ，因此|OP|2

|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

因此x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.整理得x2＋y2－x－y－1＝0，故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.

求點(diǎn)的軌跡方程就先設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)，爾后運(yùn)用已知條件代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式進(jìn)行求解．

方法歸納

1．一般地，求軌跡方程就是求等式，就是找等量關(guān)系，把等量

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關(guān)系用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，再進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，就會(huì)獲取相應(yīng)的軌跡

方程，因此找等量關(guān)系是解決問(wèn)題的要點(diǎn)．

2．求曲線的軌跡方程要注意的三點(diǎn)

(1)依照題目條件，采納適合的求軌跡方程的方法．

(2)看準(zhǔn)是求軌跡，還是求軌跡方程，軌跡是軌跡方程所表示的

曲線(圖形)．

(3)檢查軌跡上可否有應(yīng)去掉的點(diǎn)或遺漏的點(diǎn)．

追蹤訓(xùn)練3已知圓O的方程為x2＋y2＝9，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)的圓的弦的中點(diǎn)P的軌跡．

解析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)．

當(dāng)AP垂直于x軸或點(diǎn)A與點(diǎn)P重合時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為(1,0)，

(1,2)，吻合題意，

此時(shí)x＝1；

當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)，或AP垂直于y軸時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)或

(0,2)時(shí)，也吻合題意，此時(shí)x＝0；當(dāng)x≠0，且x≠1時(shí)，依照題意可知AP⊥OP，即kAP·kOP＝－1，∵k＝y(tǒng)－2yy－2y，即22－－＝≠，，＝，∴·＝－x＋yxx－1xx－1且x≠1)．

經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)(1,0)，(1,2)，(0,0)，(0,2)也適合上式．

15綜上所述，點(diǎn)P的軌跡是以2，1為圓心，2為半徑長(zhǎng)的圓.

畫(huà)出圖形，結(jié)合圓的弦的中點(diǎn)的性質(zhì)，由AP⊥OP建立關(guān)系求

解．解題時(shí)，注意對(duì)點(diǎn)P的特別地址的談?wù)摚?/p>

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[基礎(chǔ)牢固](25分鐘，60分)

一、選擇題(每題5分，共25分)

1．若是x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圓的方程，則實(shí)數(shù)k的取值范圍

是()5A．(－∞，5)B.－∞，4C.－∞，3D.3，＋∞22解析：由(－2)2＋12－4k>0，得k<54.

答案：B

2．經(jīng)過(guò)圓x2＋2x＋y2＝0的圓心C，且與直線x＋y＝0垂直的直

線方程是()

A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0

C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0

解析：x2＋2x＋y2＝0可化為(x＋1)2＋y2＝1，

∴圓心為C(－1,0)．

又所求直線與直線x＋y＝0垂直，

∴所求直線的斜率為1，

故所求直線的方程為y＝x＋1，

即x－y＋1＝0.

答案：A

3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的圖形是()

A．兩個(gè)點(diǎn)B．四個(gè)點(diǎn)

C．兩條直線D．四條直線

解析：方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0，

x2－4＝0，x2＝4，則即y2－4＝0，y2＝4，

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x＝2，x＝－2，x＝2，x＝－2，解得y＝2或y＝2或或y＝－2y＝－2.因此方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的圖形是(2,2)，(－2,2)，(2，－2)，(－2，－2)四個(gè)點(diǎn)．答案：B：2＋y2＋mx－4＝0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x－y＋34．已知圓Cx＝0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的值為()A．8B．－4C．6D．無(wú)法確定解析：圓上存在關(guān)于直線x－y＋3＝0對(duì)稱的兩點(diǎn)，則直線x－y＋＝m，即－m，∴＝6.302230m答案：C5．若圓x2＋y2－2x－4y＝0的圓心到直線x－y＋a＝0的距離為22，則a的值為()13A．－2或2B.2或2C．2或0D．－2或0解析：配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5，圓心為(1,2)，圓心到直線的|1－2＋a|2距離d＝2＝2，因此a＝2或0，應(yīng)選C.答案：C二、填空題(每題5分，共15分)6．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為_(kāi)_______________．解析：本題主要觀察圓的方程．易知以(0,0)，(1,1)，(2,0)為極點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，其外接圓的圓心為(1,0)，半徑為1，所以所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝1.答案：(x－1)2＋y2＝17．若l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－和圓2＋y2＋4x－2y＋3＝0的圓心的直1,0)x線，則l在y軸上的截距是________．解析：圓心C(－2,1)，則直線l的斜率k＝1－0＝－1，因此直－2＋19/122019-2020年新導(dǎo)學(xué)同步人教A版高中數(shù)學(xué)必修二練習(xí)：第4章+圓與方程+4.1.2+Word版含解析

線l的方程是y－0＝－(x＋1)，即y＝－x－1，因此l在y軸上的截距

是－1.

答案：－1

8．過(guò)圓x2＋y2－6x＋4y－3＝0的圓心，且平行于直線x＋2y＋11

0的直線的方程是________________________．

解析：由題意知圓心為(3，－2)，設(shè)所求直線的方程為x＋2y＋m＝0(m≠11)，將圓心(3，－2)代入，得3－4＋m＝0，∴m＝1，故所求直線的方程為x＋2y＋1＝0.

答案：x＋2y＋1＝0

三、解答題(每題10分，共20分)

9．求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6,5)，B(0,1)，且圓心在直線3x＋10y＋9＝0上的

圓的方程．

解析：設(shè)圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則其圓心坐標(biāo)為

E2，－2，依題意有

62＋52＋6D＋5E＋F＝0，

02＋12＋0×D＋1×E＋F＝0，

DE3·－2＋10·－2＋9＝0，

6D＋5E＋F＝－61，D＝－14，

即E＋F＝－1，解得E＝6，

3D＋10E＝18，F(xiàn)＝－7.

因此圓的方程是x2＋y2－14x＋6y－7＝0.

10．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓，求：

(1)實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)圓心坐標(biāo)和半徑．

解析：(1)據(jù)題意知

D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，221即4m＋4－4m－20m>0，解得m<5，1故m的取值范圍為－∞，5.

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(2)將方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋m)2

(y－1)2＝1－5m，

故圓心坐標(biāo)為(－m,1)，半徑r＝1－5m.

[能力提升](20分鐘，40分)

．·北京市綜合能力測(cè)試]已知圓：－a)2＋(y－b)2＝111[2019C(x過(guò)點(diǎn)A(1,0)，則圓C的圓心的軌跡是()A．點(diǎn)B．直線C．線段D．圓解析：∵圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1過(guò)點(diǎn)A(1,0)，

(1－a)2＋(0－b)2＝1，即(a－1)2＋b2＝1，

圓C的圓心的軌跡是以(1,0)為圓