第三屆數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)

賽報(bào)名號(hào)#1102

第三屆“ScienceWord杯”數(shù)學(xué)中國(guó)

數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)

賽

承

諾書

仔細(xì)閱讀了第三屆“ScienceWord杯”數(shù)學(xué)中國(guó)數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)

競(jìng)賽規(guī)則。

賽的

完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括

、電子郵

件、網(wǎng)上

等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、 與賽題有關(guān)的問

題。

知道，

別人的成果是

競(jìng)賽規(guī)則的,如果

別人的成果或其他

公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正

文

處和參考文獻(xiàn)中明確列出。

鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。

競(jìng)賽規(guī)則的行為，

受到嚴(yán)肅處理。

允許數(shù)學(xué)中

站( )

，以供網(wǎng)友之間學(xué)習(xí)交流，

數(shù)學(xué)中 站以非商業(yè)目的的

交流不需要提前取得

的同意。

的參賽報(bào)名號(hào)為：1102參賽隊(duì)員 (簽名)：

隊(duì)員1：

隊(duì)員2：

隊(duì)員3：

參賽隊(duì)

員(簽名)：

參賽隊(duì)伍組別：大學(xué)組

第三屆數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)

賽報(bào)名號(hào)#1102

第三屆“ScienceWord杯”數(shù)學(xué)中國(guó)

數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)

賽

頁

參賽隊(duì)伍的參賽號(hào)碼：1102

競(jìng)賽

（由競(jìng)賽

送至評(píng)委團(tuán)前

）：

競(jìng)賽評(píng)閱

（由競(jìng)賽評(píng)委團(tuán)評(píng)閱前進(jìn)行

）：

第三屆數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)

賽報(bào)名號(hào)#1102

2010年第三屆“ScienceWord杯”數(shù)學(xué)中國(guó)

數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)

賽

目 道路交通中Braess悖論的建模和評(píng)價(jià)

Braess悖論P(yáng)arto最優(yōu)解Nash平衡GPS

題

摘

要：

本模型研究了城市交通中的Braess悖論問題，并對(duì)其中的一種可能的解決方法——GPS導(dǎo)航的有效性進(jìn)行了探討。

本文主要對(duì)城市交通的一種典型情況——

二環(huán)路以內(nèi)的路網(wǎng)的交通情

況進(jìn)行了

，利用

市

局

交通管理局和

Map提供的實(shí)時(shí)路

況信息作為參考，的解決方法。

Braess悖論對(duì)道路擁堵情況的貢獻(xiàn)程度，并提出可能

問題1、首先建立一個(gè)“日”字形的簡(jiǎn)單有向線段模型來模擬路網(wǎng)，運(yùn)用

Nash平衡（NashEquilibrium）、Pareto最優(yōu)解（ParetoOptimality）和古典

功利主義這三個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)上的原理來衡量Braess悖論的作用和

，并且考慮市二環(huán)以內(nèi)擁

到實(shí)際數(shù)據(jù)和情況的限制，得到了綜合評(píng)價(jià)體系。然后

從

堵較為嚴(yán)重的路段提取出了一個(gè)“日”字形的實(shí)際道路，并且把前面得到評(píng)價(jià)體系運(yùn)用到其中，得出了結(jié)論：Braess悖論的確是造成交通擁堵的原因之一，至少在消除某些路段（即限制某些路段的流量為零）的情況下反而能夠緩解交通擁堵。

問題2、選取一個(gè)“日”字型的道路網(wǎng)絡(luò)模型，通過C++編程模擬

在配

備GPS導(dǎo)航系統(tǒng)和沒有GPS導(dǎo)航系統(tǒng)兩種情況下對(duì)行駛路線的決策。通過對(duì)系統(tǒng)

穩(wěn)定狀態(tài)下每輛車通過該系統(tǒng)的平均時(shí)間的比較，

可以看到，在裝備GPS的可以得出結(jié)論：GPS導(dǎo)航

系統(tǒng)中，

通過系統(tǒng)的時(shí)間有明顯的減少。所以

系統(tǒng)可以顯著減輕道路中的擁堵情況。

參賽隊(duì)號(hào)1102

所選題目B題：Braess悖論

參賽

填寫）

（由

第三屆數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)

賽報(bào)名號(hào)#1102

Abstract

Thism

discusstheBraessParadoxofitsrole

hetranspor ionofurbanarea,

andevaluatetheeffectivenessofone

siblesolution—GPSnavigation.

Thisarticleusesthetranspor ionnetworkinsidetheSecondRingRoadofBeijingcityastheresearchobject,whichisatypicalsituation.Utilizingthes isticsfromthe

TrafficAdministrationofPublicSecurityDepartment(Traffic

Headquarters)

andthe

Map,weinvestigatetheeffectoftheBraessParadoxonthe

congestionofthetraffic,andputforththe

sibilitiestosolvethisproblem.

Problem1:

weconstructthesimpledirectedsegmentm

hestyleof“日”

tosimulatethetransporionnetwork.UndertheprincipleoftheNashEquilibrium,ParetoOptimalityandtheClassicalUtilitarianism,weestablishthesynthesisevaluationsystemtodemonstratetheinfluenceofBraessParadox,takingthelimited

availabilityoftheactualdata

oconsideration.Then

xtracttherealroad

he

sh of“日”insidetheSecondRingRoadwithheavycircumstanceofcongestion,yzingitwiththeevaluationsystemmentionedabove.Therefore,wecanconclude

ttheBraessParadoxsurelyisoneofthereasonsleadingtothetrafficjam.

east

whensomeroadsareeliminated,whicongestioncanbere ved.

eanstorestrictthetraffictobezero,the

Problem2:Weconstructthem

hestyleof“日”tosimulatethetranspor ion

networkandsimulatethedifferentstrategiesadoptedbydriverswithGPSanddrivers

withoutGPS.TheresultshowsnotuseGPS.Wecanreachtheoftrafficjam.

tdriverwithGPSuselesstime

nthosewhodo

tGPScansignificantlyreducetherisk

1、問題重述

DietrichBraess在1968年的一篇文章中提出了道路交通體系當(dāng)中的Braess悖論。它的含義是：有時(shí)在一個(gè)交通網(wǎng)絡(luò)上增加一條路段，或者提高某個(gè)路段的局部通行能力，反而使所有出行者的出行時(shí)間都增加了，這種為了改善通行能力的投入不但沒有減少交通延誤，反而降低了整個(gè)交通網(wǎng)絡(luò)的服務(wù)水平。請(qǐng)你通過合理的模型來研究和解決城市交通中的Braess悖論。

(1)通過分析實(shí)際的城市道路交通情況（自行查詢的數(shù)據(jù)需給出

來源），建

立合理的模型，判斷在 市二環(huán)路以內(nèi)的路網(wǎng)中（包括二環(huán)路）出現(xiàn)的交通擁堵，是否來源于Braess悖論所描述的情況。

(2)請(qǐng)你建立模型以分析：如果

廣泛使用可以反映當(dāng)前交通擁堵情況的GPS

導(dǎo)航系統(tǒng)，是否會(huì)緩解交通堵塞，并請(qǐng)估計(jì)其效果。

2、符號(hào)說明及模型假設(shè)

2.1符號(hào)說明

tk——通過第ｋ條路徑所用的時(shí)間

k——第ｋ條路徑

流（即沒有交通阻塞）時(shí)的出行時(shí)間

k——第ｋ條路徑的延遲參數(shù)

fk——第ｋ條路徑的車流量

Ｑ——通過所有路徑的總車流量

２.２模型假設(shè)

（1）所有的道路均為單向道路

（2）局部道

所有車輛的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)都相同

（3）

（4）

都是自私的，只尋找對(duì)自己的最佳線路而不管是否損害了他人的利益出發(fā)前就通過對(duì)道路情況的分析決定了出行線路

所有車輛的長(zhǎng)度都相同

所有車輛的行駛速度僅與路況和汽車的流量有關(guān)，與其本身性能無關(guān)

（7）所有車輛都嚴(yán)格遵守道路交通安全

行駛

（8）車輛通過道路所需的時(shí)間與當(dāng)前道路的流量為簡(jiǎn)單的線性關(guān)系

3、模型建立及求解

3.1問題1的模型建立與求解

首先通過一個(gè)簡(jiǎn)單的“日”字形路網(wǎng)模型，主要運(yùn)用Nash平衡、Pareto最優(yōu)解和古典功利主義這三個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)上的原理構(gòu)建出形成Braess悖論的指標(biāo)系

統(tǒng)。然后，利用

市

局

交通管理局和

Map提供的實(shí)時(shí)路況信

息，對(duì)交通擁堵的典型情況：

二環(huán)路以內(nèi)的路網(wǎng)的交通情況進(jìn)行了

，并

第-1-頁

運(yùn)用之前

指標(biāo)系統(tǒng)對(duì)其典型情況進(jìn)行分析，評(píng)判Braess悖論是否是形成

擁堵的一個(gè)原因。

3.1.1簡(jiǎn)單模型

交通網(wǎng)絡(luò)中各路段的容量，以及

所擁有的選取不同道路到達(dá)目的地的可

能性的數(shù)目直接影響到交通流在網(wǎng)絡(luò)上的分布格局。為了分析這個(gè)問題，

須從每一個(gè)

的心理的角度出發(fā)來考慮。1952年英國(guó)道路

的Wardrop

提出了“用戶均衡原則”[1]這個(gè)概念，即任意一個(gè)O（Origin）--D(Destination)對(duì)之間所有被使用的路徑上的時(shí)間都是相等的，它不大于任何未被使用的路徑的

時(shí)間。Braess悖論的根源就是由于

從個(gè)人利益出發(fā),選擇出行成本最小的

路徑,致使系統(tǒng)達(dá)到均衡狀態(tài)時(shí)的總出行成本增加。

下面

就建立一個(gè)簡(jiǎn)單的路網(wǎng)模型來說明這個(gè)問題。這個(gè)路網(wǎng)模型共有7

條有向邊形成了一個(gè)“日”字形，代表了7條單向行駛的線路。先考慮一種最簡(jiǎn)單的情況來說明Braess悖論。

f

1000

No.2:

No.3:45min

O

No.1

45min

No.5

0min

D

f

1000

No.4:

圖1、Braess悖論說明

各條路徑所需要的行駛時(shí)間如圖1所示。在沒有路徑5的情況下，因?yàn)閮蓷l

路是對(duì)稱的，所以走1、4和2、3的

人數(shù)都是相同的。假設(shè)在道

的總?cè)?/p>

數(shù)Q=4000，則每個(gè) 所需要的時(shí)間均為：45200065min。

100

現(xiàn)在產(chǎn)生了道路5，仍然假設(shè)Q=4000。則在判斷走1還是走2時(shí)，因?yàn)榧词?/p>

每個(gè)

都選擇No.2，所需時(shí)間仍然只有40min，小于No.1的45min。然后仍

然是相同的判斷，每個(gè)

都會(huì)走No.4，仍然需要40min。這樣，每個(gè)

的時(shí)

間反而會(huì)增加到：40+40=80min。

下面

考慮一種更廣泛的情況，如圖2所示。

No.1

1

No.2

1、

2

No.5

、

No.4

1

No.3

、

1

2

圖2、拓展的簡(jiǎn)單模型

[1]]WardropJG.Sometheoreticalaspectsofroadtrafficresearch

第-2-頁

定義No.1、No.2為路徑一，No.3、No.4為路徑二，No.1、No.5、No.4為路

徑三。

假設(shè)，通過一條路徑的時(shí)間與當(dāng)前該路徑的流量成線性關(guān)系，其具體

的表達(dá)式為：

kkfk

tk

其中，k為第ｋ條路徑

ｋ條路徑的延遲參數(shù)。

流（即沒有交通阻塞）時(shí)的出行時(shí)間，k為第

假設(shè)走下層路徑的車流量為f1，上層路徑

當(dāng)中間的那條路徑不存在時(shí)，

為Qf1。則 ：

1(12)f1

2(12)(Qf1)

t1

t2

圖3、四條道路時(shí)每條路徑上的時(shí)間情況

圖

3顯示了路徑一所需要的時(shí)間和路徑二所需要的時(shí)間隨路徑一車流量的

變化。這里 使用的參數(shù)是ArnottandSmall’s[2]在1994年做的實(shí)驗(yàn)的參數(shù)，如表一所示。

為了分析這個(gè)圖，

在這里需要首先引出幾個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)原理的概念，并制定

出評(píng)價(jià)Braess悖論貢獻(xiàn)程度的標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)。

[2]Arnott,R.andSmall,K.(1994)Theeconomicsoftrafficcongestion

第-3-頁

1

1

1

1

Q

15

7

.001

0

1000

3.1.2評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的建立

首先是Nash平衡，其概念就是某情況下無一參與者可以獨(dú)自行動(dòng)而增加收益[3]。在實(shí)際的道路交通的情況中，如圖3所示，如果路徑一的車流量不在兩條直線的交點(diǎn)處，總有一條路徑的花費(fèi)時(shí)間比另一條花費(fèi)時(shí)間短，這種情況就不是Nash平衡。它造成的結(jié)果就是未來的駕駛員更加傾向于向花費(fèi)時(shí)間少的路段走，使得車流量朝向圖3中兩條直線的相交點(diǎn)邁進(jìn)。經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間和大量汽車的行為，總是會(huì)達(dá)到Nash平衡。在此情況下，任何一個(gè)駕駛員改變方向，向另外一條路

行駛，一定會(huì)造成他自己的花費(fèi)時(shí)間增大。這里

假設(shè)每個(gè)駕駛員都是“自私”

的，即一定不會(huì)損害自己的利益，因此最終的實(shí)際道路交通情況一定會(huì)穩(wěn)定在Nash平衡點(diǎn)之上。這就要求任意一條路徑的花費(fèi)時(shí)間都相同。

其次是Pareto最優(yōu)情況，其定義是指[3]：在不使其他人境況變?cè)愕那闆r下，

而不可能再使另一部分人的處境變好。如果一種

能夠使沒有任何人處境變壞

的情況下，至少有一個(gè)人處境變得更好，

就把這個(gè)變化稱為Pareto改進(jìn)。

一般地說，如果一個(gè)社會(huì)的現(xiàn)狀不是處在Pareto最優(yōu)狀態(tài)，就存在著Pareto改進(jìn)的可能。相應(yīng)地，如果沒有任何Pareto改進(jìn)余地，就意味著現(xiàn)狀已經(jīng)達(dá)到了Pareto最優(yōu)的狀態(tài)。Pareto最優(yōu)解是合作博弈論的產(chǎn)物，在這樣的情況下一些人群的改善必定導(dǎo)致另外一些人群的損失，這也是實(shí)際生活中不可能發(fā)生的，因?yàn)橥ǔＨ藗冎魂P(guān)注自己的利益而忽視對(duì)他人的損害，因此一定會(huì)竭力避免Pareto

最優(yōu)情況的發(fā)生。這種最優(yōu)情況是一種理想的情況，也被很多研究

用作評(píng)判

的標(biāo)準(zhǔn)[4]。然而，這種最優(yōu)情況也會(huì)導(dǎo)致很多問題，如貧富差距過大，而且并不

Pareto改進(jìn)原則。如

有10000元，并把這些錢發(fā)給了富人。這是Pareto

改進(jìn)，但是沒有關(guān)注公平性。因此

不認(rèn)為把Pareto最優(yōu)情況作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

是最能夠反映道路交通管理部門的目標(biāo)。而且在圖3中

發(fā)現(xiàn)，坐標(biāo)中兩條直

線的任何一點(diǎn)都能夠滿足Pareto最優(yōu)情況，因此用它作標(biāo)準(zhǔn)是模糊的。這就要求 找出另外一種評(píng)價(jià)體系：古典功利最優(yōu)條件。

古典功利最優(yōu)情況是指總體情況達(dá)到最優(yōu)。拿本題為例，就是指所有當(dāng)前在路網(wǎng)中的車輛的總的通行時(shí)間達(dá)到最優(yōu)，也就是交通管理部門所希望達(dá)到的情

況。這樣必然會(huì)導(dǎo)致某些人的雛形時(shí)間變長(zhǎng)。但是當(dāng)

考慮到：通過路網(wǎng)的司

機(jī)都會(huì)在他的一生中通過無數(shù)次相同的路網(wǎng)，每一次他都會(huì)按照交管部門的指示或者個(gè)人“自私”的原則走不同的路線來滿足體系的最優(yōu)情況。因此，從長(zhǎng)期的統(tǒng)計(jì)學(xué)角度來說，這3條路線他都是有一定概率通過的。如果簡(jiǎn)化這個(gè)條件為3條路線均等概通過，則他一生在這條路網(wǎng)上消耗的時(shí)間為：

3

T1

ti

3

i1

由此可見，尋找T的最小值不僅可以使交通管理部門的目的即實(shí)現(xiàn)整個(gè)社會(huì)通行時(shí)

間最短，對(duì)于個(gè)人來說，從長(zhǎng)期大量的統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律來說他也會(huì)最終受益。

通過以上

，

可以設(shè)定出

Braess悖論的評(píng)價(jià)體系：即Nash

平衡點(diǎn)與古典功利最優(yōu)點(diǎn)不重合，導(dǎo)致增加了一條路，或者拓展了道路容量會(huì)導(dǎo)致整個(gè)通行時(shí)間的增加。

[3]

[4]

百科http 2010年4月25日

,

非合作交通網(wǎng)絡(luò)中的Braess悖論及其避免

第-4-頁

3.1.3簡(jiǎn)單模型的Braess悖論分析

有了評(píng)價(jià)體系以后，

先考慮圖2中路徑一、二的最優(yōu)解情況，因?yàn)樗?/p>

一種特殊的兩條路徑對(duì)稱的情況，對(duì)

解決接下來

很有幫助。

通過3.1.1節(jié)的分析，

T[1(12)

直接給出通行總時(shí)間的公式:

1)

由此繪制出總時(shí)間隨路徑一流量變化的函數(shù)圖像，如圖4所示:

圖4、兩條對(duì)稱路徑時(shí)行駛的總時(shí)間

從這

可以看出，兩條路徑對(duì)稱時(shí)，功利最優(yōu)解等于Nash平衡解，

即此時(shí)道路的情況為最佳，甚至不需要

部門的

，駕駛員會(huì)自動(dòng)根據(jù)市場(chǎng)

的需求來調(diào)整至最佳狀態(tài)，其最佳的總時(shí)間為：

T(12)

2

就考慮圖2中加入No.5以后的道路交通情況，分析它是否會(huì)因?yàn)?/p>

下面

Braess悖論而導(dǎo)致情況變壞。

假設(shè)走路徑一、二的車流量為f1和f2。那么根據(jù)圖2所示的參數(shù)：

()f(Qff)

t1

t2

t3

1

1

2

1 1

1 2

()f(Qff)

1

1

2

2 1

1 2

(

)

2

1

2

通過

對(duì)兩條對(duì)稱路徑情況的

可知對(duì)稱路徑流量相等，為Nash

平衡解與功利最優(yōu)解相同的理想最優(yōu)情況。而增加了No.5后，路徑一與路徑二仍然是對(duì)稱的，且路徑三對(duì)它們的影響程度也是相同的。因此，為了簡(jiǎn)化求解并

第-5-頁

定義f1f2。于是上式變?yōu)椋?/p>

且不損失正確性，

t2()f(Q2f)

1 1 2 1

t1

t3

2f(2)(Q2f)

2

繪出圖像：

1

1

2

圖5、三條路徑時(shí)每條花費(fèi)的時(shí)間

下面

繪出總時(shí)間，并計(jì)算出古典功利最優(yōu)解：

圖6、三條路徑所有車花費(fèi)的總時(shí)間

第-6-頁

以上的圖均根據(jù)表一所示的數(shù)據(jù)進(jìn)行繪制。

從中

可以看出Nash平衡解發(fā)生在f=126處，而古典功利最優(yōu)解發(fā)生在

f=431處。由于古典功利最優(yōu)解與用戶均衡解不相等，此時(shí)，必定會(huì)發(fā)生Braess

悖論。驗(yàn)證如下：

路網(wǎng)僅有兩條路徑時(shí)，不管走哪條路徑， 所用的時(shí)間為：

T=20min（兩條路的流量均為500）。

路網(wǎng)擴(kuò)展為三條路徑時(shí)，不管走哪條路徑，

T=23.75min（路徑一、二的流量均為126）。

所用的時(shí)間為：

下面

計(jì)算參數(shù)情況下的Nash平衡解和古典功利最優(yōu)解。由Nash平衡解

的定義，三條路徑所用的時(shí)間均相等，即t1t2t3。故得：

21Q(12)

ff

1

2

3

1

2

122Q2

f Qf

3

1

3

1

2

)[21Q(12)]

t2t3Q(

t1

1

1 2 1

3

1

2

則總的時(shí)間為：

)[21Q(12)]}

T

(

1 2 1

3

1

2

古典功利最優(yōu)解要求總的時(shí)間最短，因此：

T2f[1(12)f1(Q2f)](Q2f)

[1221f(212)(Q2f)]

這是一個(gè)二次方程，得到最小值時(shí)：

1()Q()

2 1

132

1 2

2

f

對(duì)比Nash平衡解中的f1， 可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)12時(shí)，Nash平衡解與古典功

利最優(yōu)解不相等，因此就會(huì)產(chǎn)生Braess悖論。

第-7-頁

3.1.4簡(jiǎn)單模型的Braess悖論分析

接下來

針對(duì)

二環(huán)以內(nèi)的某一具體路段進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和研究。

圖7是2010年4月24日20:08在況信息截圖。

市

局

交通管理局

上的路

二環(huán)道路狀況圖[5]

圖7

圖中紅色表示路段車輛嚴(yán)重?fù)矶?，時(shí)速在15km以下，黃色表示路段車輛行駛緩慢，時(shí)速大于15km小于40km，綠色表示路段車輛行駛暢通，時(shí)速40公里以上。

根據(jù)圖7中的路網(wǎng)結(jié)構(gòu)以及前文所述的“日”字路網(wǎng)模型，

市崇文門大街附近的道路情況抽象成數(shù)學(xué)模型如圖2所示。

可以把

圖8實(shí)際道路的數(shù)學(xué)抽象模型

其中圖8中各個(gè)街道的參數(shù)見表2所示：

[5]

市

局

交通管理局

http://w /

2010年4月24日

第-8-頁

表二、街道的情況

表二中，街道的長(zhǎng)度是根據(jù)

中的比例尺計(jì)算得出的。 速度Vf為街

道中無時(shí)速限制以及安全隱患時(shí)車輛 流的速度。該數(shù)據(jù)是根據(jù)

市

局

交通管理局

出的。該組數(shù)據(jù)根據(jù)

道路情況說明以及

查詢的每個(gè)道路保養(yǎng)狀況而估計(jì)

所在城市類似道路的無阻礙速度、城市道路的限速，以

L

Vf

的同學(xué)得出。此時(shí) 流情況下出行時(shí)間可由公式

及

了

在

直接得出。車速V是根據(jù)實(shí)時(shí)路況信息中的顯示而得出，前文已經(jīng)說明，即：紅色表示路段車輛嚴(yán)重?fù)矶拢瑫r(shí)速在15km以下，黃色表示路段車輛行駛緩慢，時(shí)速大于15km小于40km，綠色表示路段車輛行駛暢通，時(shí)速40公里以上。通過

街道的時(shí)間可以表示為tL。根據(jù)

市

局

交通管理局對(duì)于街道平均

V

車速的

以及安全駕駛時(shí)的跟車距離限制（如表3所示），

可以衡量出街

道的流量，進(jìn)而得出延時(shí)參數(shù)。

表3、交管局規(guī)定的安全車距

得到道路的具體參數(shù)之后，見4.2節(jié)附錄。

可以用

進(jìn)行編程仿真。編程代碼參

首先應(yīng)該假設(shè)整個(gè)路網(wǎng)中的總流量Q。考慮到計(jì)算時(shí)間的復(fù)雜性以及避免失

去真實(shí)性這對(duì)

，再分析了實(shí)際的數(shù)據(jù)之后

選取總流量為4000。車輛的

起始地點(diǎn)為圖8中的A，終止點(diǎn)為圖8中的F。從圖中可以看出一共有三條路徑：Path1:A----->B----->D >F

Path2:A----->C----->E >F

Path3:A----->C----->D >F

1.根據(jù)Wardrop的用戶均衡原理，所有路徑的出行時(shí)間達(dá)到相等時(shí)的狀態(tài)即

達(dá)到了現(xiàn)實(shí)中的均衡。根據(jù)出行時(shí)間總和為722762。

的仿真結(jié)果可以得出：達(dá)到均衡時(shí)所有車輛

2.從總體最優(yōu)角度或者古典功利主義的角度出發(fā)，當(dāng)所有車輛的出行時(shí)間達(dá)

到所有情況的最小值時(shí)即為該段路網(wǎng)的最優(yōu)解。根據(jù)達(dá)到系統(tǒng)最優(yōu)時(shí)所有車輛出行時(shí)間總和為722505。

的仿真結(jié)果得出：

3.由此可知該路網(wǎng)在實(shí)際使用情況中并未達(dá)到最高的效率。根據(jù)

所查，

圖表2中的7條街道是同時(shí)修建的，

不能完全依照Braess悖論的情況來解

釋。但是

可以根據(jù)最優(yōu)解中的計(jì)算數(shù)據(jù)得出其中哪些道路的利用率最低，甚

第-9-頁

車速（km/h）

40

50

12

30

25

35

25

車距(m)

25.1

32.8

8

14.8

12

20.8

12

街道1

街道2

街道3

街道4

街道5

街道6

街道7

長(zhǎng)度L(m)

781

751

533

805

548

758

793

速度

Vf(m/s)

34.8

37.2

38.1

28.7

29．1

37.5

33.2

至是帶來

了的影響。

根據(jù)最優(yōu)解模擬的結(jié)果，三條路徑的通行流量分別為：

表

古典功利最優(yōu)解時(shí)流量分布

從表4中

可以看出達(dá)到古典功利最優(yōu)情況時(shí)街道7中的車流量只有12，

幾乎可以忽略不計(jì)。因此整體路網(wǎng)利用率的下降。

有足夠的理由相信是因?yàn)榻值?途徑的存在導(dǎo)致了

4.下面

街道7從路網(wǎng)中刪除，然后再仿真計(jì)算此時(shí)路網(wǎng)中達(dá)到用戶均

衡解。得出實(shí)際均衡時(shí)所有車輛出行時(shí)間總和為722749，要比刪除7街道之前路網(wǎng)的實(shí)際使用效率更高。

因此，通過上面的仿真結(jié)果，

實(shí)存在因?yàn)锽raess悖論而產(chǎn)生的交通

我可以看出

市二環(huán)路內(nèi)的該路網(wǎng)中確

效率下降甚至造成擁堵的情況。

3.1.5模型的優(yōu)缺點(diǎn)：

模型優(yōu)點(diǎn)

（1）模型采用

編程，很好的模擬了二環(huán)路內(nèi)某一時(shí)刻路網(wǎng)中各街道的

使用情況以及車流量的分配情況。

（2）經(jīng)過合理推斷假設(shè)，可以解釋造成擁堵善措施。

街道，并且提出了可能的改

（3）該模型提出了路網(wǎng)中的Pareto最優(yōu)解，可以應(yīng)用于交通分配策略，實(shí)現(xiàn)道路資源利用率的最大化。

模型的缺點(diǎn)

對(duì)于路徑花費(fèi)時(shí)間的建模不夠準(zhǔn)確，如果道路的情況極為復(fù)雜，采用簡(jiǎn)單的線性關(guān)系將會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，限制了本模型的應(yīng)用范圍。

未能考慮經(jīng)過該路網(wǎng)車輛造成的影響。

3.1.6模型的推廣

可以將本模型中的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜化，使其能夠普遍適用于真是情況中的各種道路模型。另外，如果能夠獲得充分多的數(shù)據(jù)，可以分別分析不同天氣情況下道路資源的使用情況及車流量分配，對(duì)于交通管理和城市規(guī)劃建設(shè)都有重要的意義。

第-10-頁

Path1

Path2

Path3

流量

3.2問題2的模型建立與求解

選取一個(gè)“日”字型的道路網(wǎng)絡(luò)模型，通過C++編程模擬

在配備GPS導(dǎo)

航系統(tǒng)和沒有GPS導(dǎo)航系統(tǒng)兩種情況下對(duì)行駛路線的決策。通過對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)

下每輛車通過該系統(tǒng)的平均時(shí)間的比較，通過系統(tǒng)的時(shí)間有明顯的減少。

可以看到，在裝備GPS的系統(tǒng)中，

3.2.1附加假設(shè)

（1）在沒有GPS系統(tǒng)的情況下，

會(huì)在進(jìn)入系統(tǒng)前對(duì)道路系統(tǒng)中的情況進(jìn)行

，根據(jù)行駛時(shí)間期望最小的原則選取最佳路線，并且在行駛的過程中一直保持這個(gè)路線。

（2）在有GPS系統(tǒng)的情況下，

在每一個(gè)分岔口都會(huì)進(jìn)行路線的

，根據(jù)

行駛時(shí)間期望最小的原則選取最佳的路線。

3.2.1模型建立：

如前所述，一個(gè)“日”字型的道路網(wǎng)絡(luò)模型可以表示成以下的拓?fù)湫问剑?/p>

2

NO.4

NO.1

NO.5

1

4

NO.2

NO.3

3

圖9道路模型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖中，1,2,3,4分別表示道路系統(tǒng)的4個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中1為起點(diǎn)，4為終點(diǎn)。

沒有配備GPS導(dǎo)航系統(tǒng)

在沒有配備GPS系統(tǒng)的情況下，

在進(jìn)入道路系統(tǒng)前（1號(hào)節(jié)點(diǎn)）會(huì)進(jìn)行

，確定其在系統(tǒng)的中的行駛路線。此時(shí)可供

1-2-3-4和1-3-4。其行駛時(shí)間期望分別為：

選擇的路線有3條：1-2-4、

當(dāng)

且

時(shí)，

將會(huì)選取路線1-2-4；當(dāng)

且

時(shí)，

將會(huì)選取路線1-2-3-4；當(dāng)

第-11-頁

且

時(shí)，

將會(huì)選取路線1-3-4。

配備GPS導(dǎo)航系統(tǒng)

在配備GPS系統(tǒng)的情況下，

在進(jìn)入道路系統(tǒng)前（1號(hào)節(jié)點(diǎn)）和道路分岔

處（2號(hào)節(jié)點(diǎn)）會(huì)

，確定其下一步的行駛方向。在1號(hào)節(jié)點(diǎn)可供

選

擇的路線有3條：1-2-4、1-2-3-4和1-3-4。其行駛時(shí)間期望分別為：

當(dāng)

且

時(shí)，

將會(huì)選擇路線1-2-4，進(jìn)入

1號(hào)公路；當(dāng)

且

時(shí)

將會(huì)選擇線路1-2-3-4

同樣會(huì)進(jìn)入1號(hào)公路；當(dāng)

且

時(shí)，

將會(huì)選擇

路線1-3-4進(jìn)入2號(hào)公路。

在2號(hào)節(jié)點(diǎn)可供別為：

選擇的路線有2條：2-4和2-3-4。其行駛時(shí)間期望分

當(dāng)

時(shí)，在1號(hào)節(jié)點(diǎn)選擇路線1-2-3-4的

將會(huì)改變其原來的

行駛方案，選擇路線2-4，而原先選擇路線1-2-4的

將不會(huì)改變其原來的行

駛方案；當(dāng)

時(shí)，在1號(hào)節(jié)點(diǎn)選擇路線1-2-4的

將會(huì)改變其原來

的行駛方案，選擇路線2-3-4，而原先選擇1-2-3-4的案。

將不會(huì)改變其行駛方

3.2.2模型檢驗(yàn)

用C++進(jìn)行仿真，取如下：

處的車流量為30輛/秒。道路網(wǎng)絡(luò)的其他參數(shù)取值

道路名稱

道路1

0.0245

25.689

道路2

0.0292

34.4559

道路3

0.0433

21.3134

第-12-頁

道路4

0.0315

42.6566

道路5

0.0078

13.981

表5道路網(wǎng)絡(luò)參數(shù)表[4]

當(dāng)進(jìn)

時(shí)間內(nèi)進(jìn)入系統(tǒng)的車輛數(shù)與離開系統(tǒng)的車輛數(shù)大致相等時(shí)，認(rèn)為當(dāng)

前系統(tǒng)處于相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)。對(duì)此時(shí)系統(tǒng)中車輛數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，計(jì)算出每輛車在

系統(tǒng)中的平均時(shí)間進(jìn)行比較。平均時(shí)間

的計(jì)算公式如下：

用C++進(jìn)行仿真得到輸出如下：

圖10沒有配備GPS系統(tǒng)的仿真輸出

圖11配備有GPS系統(tǒng)的仿真輸出

通過仿真比較，可以看到使用了GPS系統(tǒng)以后每輛車在系統(tǒng)中所花費(fèi)的時(shí)間明顯減少，從而證明了GPS系統(tǒng)可以有效地減少道路的擁堵狀況。

[4]

,

非合作交通網(wǎng)絡(luò)中的Braess悖論及其避免

第-13-頁

3.2.3模型的優(yōu)缺點(diǎn)：

模型優(yōu)點(diǎn)

（1）本模型較為

體現(xiàn)了實(shí)際中道路的使用情況，

模擬了實(shí)際駕駛

中

所做的決策。

（2）本模型可以使用C++仿真實(shí)現(xiàn)，將參數(shù)進(jìn)行量化計(jì)算，使結(jié)論更加直觀。

（3）本模型在交通部門對(duì)道路使用情況的研究和城市規(guī)劃部門規(guī)劃城市道路的規(guī)劃有較大的利用價(jià)值。

模型的缺點(diǎn)

（1）模型所取的道路模型相對(duì)簡(jiǎn)單，沒有體現(xiàn)更加復(fù)雜的道路網(wǎng)絡(luò)情況。

（2）沒有體現(xiàn)不同車輛對(duì)道路交通影響。

3.2.4模型的推廣

對(duì)本模型中的道路系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)加以復(fù)雜化，并且考慮不同道路中不同車輛的不同參數(shù)特性，可以使本模型更加精確地體現(xiàn)一般道路的交通情況，從而更加準(zhǔn)確地體現(xiàn)GPS導(dǎo)航系統(tǒng)的使用對(duì)道路擁堵情況的改善。通過根據(jù)不同地段的具體情況對(duì)模型中具體參數(shù)進(jìn)行修正，可以將本模型運(yùn)用于交通研究，城市規(guī)劃等領(lǐng)域中

第-14-頁

4、附錄

4.1參考文獻(xiàn)

WardropJG.Sometheoreticalaspectsofroadtrafficresearch.[A].In:ProceedingsoftheInstitutionofCivilEngineersⅡ(1)[C].1952.325-378.

Arnott,R.andSmall,K.(1994)Theeconomicsoftrafficcongestion.

AmericanScientist82,446-455.

[3]

[4]

百科

,

非合作交通網(wǎng)絡(luò)中的Braess悖論及其避免JOURNALOF

HIGHWAYANDTRANSPOR05O0092O04

IONRESEARCHANDDEVELOPMENT,1002O0268(2004)

[5]

市

局 交通管理局

http://w

/

4.2問題1程序代碼

1、用戶均衡解代碼：

function[f1,f2,f3,t,T]=bal

Q=4000;

a=[22.4425,20.1881,13.9895,28.0292,18.8965,20.4864,23.8855];

b=[0.015012144,0.011113896,0.048636833,0.016914119,0.014403708,0.017079542,0.02167355];

symsx1x2x3t

f1=a(1)+b(1)*x1+a(2)+b(2)*x1+a(3)+b(3)*(x1+x3)-t;

f2=a(6)+b(6)*(x2+x3)+a(5)+b(5)*x2+a(4)+b(4)*x2-t;

f3=a(6)+b(6)*(x2+x3)+a(7)+b(7)*x3+a(3)+b(3)*(x1+x3)-t;f4=x1+x2+x3-Q;

S=solve(f1,f2,f3,f4);f1=S.x1;f2=S.x2;f3=S.x3;t=S.t;

T=Q*t;

2、帕累托最優(yōu)解代碼：

function[x1,x2,x3,t1,t2,t3,Tmin]=optimal

a=[22.4425,20.1881,13.9895,28.0292,18.8965,20.4864,23.8855];b=[0.015012144,0.011113896,0.048636833,0.016914119,0.014403708,0.017079542,0.0

2167355];

q=4000;

第-15-頁

x1=0;x2=0;x3=q;

Tmin=(a(6)+b(6)*q+a(7)+b(7)*q+a(3)+b(3)*q)*q;

fori=0:q

forj=0:q-i

t1=a(1)+b(1)*i+a(2)+b(2)*i+a(3)+b(3)*(q-j);

t2=a(6)+b(6)*(q-i)+a(5)+b(5)*j+a(4)+b(4)*j;t3=a(6)+b(6)*(q-i)+a(7)+b(7)*(q-i-j)+a(3)+b(3)*(q-j);temp=t1*i+t2*j+t3*(q-i-j);

if(temp<=Tmin)

x1=i;x2=j;x3=q-i-j;

Tm

emp;

end

end

end

t1=a(1)+b(1)*x1+a(2)+b(2)*x1+a(3)+b(3)*(x1+x3);

t2=a(6)+b(6)*(x2+x3)+a(5)+b(5)*x2+a(4)+b(4)*x2;

t3=a(6)+b(6)*(x2+x3)+a(7)+b(7)*x3+a(3)+b(3)*(x1+x3);

4.2問題2程序代碼

1、沒有GPS導(dǎo)航系統(tǒng)的情況：#include<iostream>#include"road.h"

#include<cmath>

usingnamespa

td;

main()

{

number=4000;innumber=30;complete=0;etime=0;

doublesum=0;doubleave=0;road*way0;road*way1;road*way2;road*way3;road*way4;road*end;

way0=newroad;

第-16-頁

way1=newroad;way2=newroad;way3=newroad;way4=newroad;end=newroad;way0->number=1;way1->number=2;way2->number=3;way3->number=4;way4->number=5;

for( i=1;i<=number;i++)

{

car*temp;temp=newcar;doubletime1=0;doubletime2=0;doubletemptime1;doubletemptime2;

temptime1=way0->size*0.0245+25.689+way3->size*0.0315+42.6566;

temptime2=way0->size*0.0245+25.689+way4->size*0.0078+13.9831+way2->size*0.

0433+21.3134;

if(temptime1<=temptime2)

{

time1=temptime1;temp->routine=1;

}

else

{

time1=temptime2;temp->routine=2;

}

time2=way1->size*0.0292+34.4559;temp->no=i;

if(time1<=time2)

{

way0->roadenter(temp);

}

else

{

way1->roadenter(temp);temp->routine=3;

}

第-17-頁

}

while(complete!=1)

{

doubletime1=0;doubletime2=0;road*way3c=way3;road*way4c=way4;road*way0c=way0;road*way1c=way1;road*way2c=way2;

oldsize=end->size;

for( i=0;i<innumber;i++)

{

car*temp;temp=newcar;doubletemptime1;doubletemptime2;

temptime1=way0->size*0.0245+25.689+way3->size*0.0315+42.6566;

temptime2=way0->size*0.0245+25.689+way4->size*0.0078+13.9831+way2->size*0.

0433+21.3134;

if(temptime1<=temptime2)

{

time1=temptime1;temp->routine=1;

}

else

{

time1=temptime2;temp->routine=2;

}

time2=way1->size*0.0292+34.4559+way2->size*0.0433+21.3134;temp->no=i;

if(time1<=time2)

{

way0->roadenter(temp);

}

else

{

way1->roadenter(temp);temp->routine=3;

}

}

第-18-頁

car*out0;

out0=way0c->roadtime();if(out0!=NULL)

{

car*temp;

car*

temp;

temp=out0;while(temp!=NULL)

{

temp=temp->next;temp->next=NULL;if(temp->routine==1)

{

way3->roadenter(temp);

}

else

{

way4->roadenter(temp);

}

temp=

temp;

}

}

way2->roadenter(way1c->roadtime());way2->roadenter(way4c->roadtime());end->roadenter(way3c->roadtime());

end->roadenter(way2c->roadtime());

if(abs(end->size-oldsize)<innumber+6&&abs(end->size-oldsize)>innumber-6)

{

complete=1;

}

else

{

etime=0;

}

if(complete==1&&etime<10)

{

etime++;complete=0;

}

}

way0->pr ();

way1->pr ();

第-19-頁

way2->pr

way3->prway4->pr

();

();

();

sum=way0->size*(way0->size*0.0245+25.689)+(way1->size*0.0292+34.4559)*way1->size+(way2->size*0.0433+21.3134)*way2->size+(way3->size*0.0315+42.6566)*way3->size

+(way4->size*0.0078+13.9831)*way4->size;

ave=sum/(way0->size+way1->size+way2->size+way3->size+way4->size);cout<<"thetotaltimeis"<<sum<<"\n";

cout<<"thetimepercaron

return0;

hesystemis"<<ave<<"\n";

}

2、有GPS導(dǎo)航系統(tǒng)的情況：#include<iostream>#include"road.h"

#include<cmath>

usingnamespamain()

{

td;

number=4000;innumber=30;complete=0;etime=0;

doublesum=0;doubleave=0;road*way0;road*way1;road*way2;road*way3;road*way4;road*end;way0=newroad;way1=newroad;way2=newroad;way3=newroad;way4=newroad;end=newroad;

way0->number=1;way1->number=2;way2->number=3;way3->number=4;way4->number=5;

for( i=1;i<=number;i++)

{

car*temp;

第-20-頁

doubletime1=0;doubletime2=0;doubletemptime1;doubletemptime2;

temptime1=way0->size*0.0245+25.689+way3->size*0.0315+42.6566;temptime2=way