要點(diǎn)梳理1.根式（1）根式的概念如果一個(gè)數(shù)的n次方等于a（n＞1且n∈N*），那么這個(gè)數(shù)叫做a的n次方根.也就是，若xn=a，則x叫做

___________,其中n＞1且n∈N*.式子叫做_____,

這里n叫做_________，a叫做___________.§2.4指數(shù)與指數(shù)函數(shù)a的n次方根根式根指數(shù)被開(kāi)方數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)（2）根式的性質(zhì)①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的

n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)，a的n次方根用符號(hào)____

表示.②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù),這時(shí)，正數(shù)的正的n次方根用符號(hào)____表示,

負(fù)的n次方根用符號(hào)________表示.正負(fù)兩個(gè)n次方根可以合寫(xiě)為_(kāi)_______（a＞0）.③=______.a④當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，=____;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，=_______________.⑤負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根.2.有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念①正整數(shù)指數(shù)冪：

（n∈N*）；②零指數(shù)冪：a0=____（a≠0）；③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a-p=_____（a≠0，p∈N*）；a1④正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：=_______（a>0，m、n∈N*，且n>1）；⑤負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：==(a>0,m、n

∈N*,且n>1).⑥0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于______，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

_____________.（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①aras=

______(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=

______(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=

_______(a>0,b>0,r∈Q).ar+sarsarbr0沒(méi)有意義3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=axa>10<a<1圖象定義域___值域___________性質(zhì)(1)過(guò)定點(diǎn)_________(2)當(dāng)x>0時(shí),_____;x<0時(shí),_______(2)當(dāng)x>0時(shí),_______;x<0時(shí),_____(3)在(-∞，+∞)上是_______(3)在(-∞，+∞)上是________R(0,+∞)(0,1)y>1y>10<y<10<y<1減函數(shù)增函數(shù)基礎(chǔ)自測(cè)1.已知a<則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）

A.B.C.D.

解析C2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=x3B.y=-x2+1

C.y=|x|+1D.y=2-|x|

解析因?yàn)閥=x3是奇函數(shù)，從而可排除A，因?yàn)楹瘮?shù)

y=-x2+1及y=2-|x|在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以排除B、D.C3.右圖是指數(shù)函數(shù)（1）y=ax，（2）y=bx,（3）y=cx,（4）y=dx

的圖象,則a，b，c，d與1的大小關(guān)系是()

A.a<b<1<c<d

B.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<d

D.a<b<1<d<c

解析

方法一當(dāng)指數(shù)函數(shù)底數(shù)大于1時(shí)，圖象上升，且當(dāng)?shù)讛?shù)越大時(shí)，在第一象限內(nèi)，圖象越靠近y軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于0且小于1時(shí),圖象下降,且在第一象限內(nèi),底數(shù)越小，圖象越靠近x軸.故可知b<a<1<d<c,選B.方法二令x=1,由圖象知c1>d1>a1>b1,∴b<a<1<d<c，故選B.答案

B

4.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,則f(2a)等于（）

A.5B.7C.9D.11

解析∵f（x）=2x+2-x，f（a）=3，∴2a+2-a=3，

f（2a）=22a+2-2a=4a+4-a=（2a+2-a）2-2=9-2=7.

B5.若函數(shù)y=(a2-3a+3)·ax為指數(shù)函數(shù)，則有（）

A.a=1或2B.a=1

C.a=2D.a>0且a≠1

解析∴a=2.C題型一指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值【例1】計(jì)算下列各式：題型分類深度剖析解

根式運(yùn)算或根式與指數(shù)式混合運(yùn)算時(shí),將根式化為指數(shù)式計(jì)算較為方便，對(duì)于計(jì)算的結(jié)果，不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來(lái)表示，如果有特殊要求，要根據(jù)要求寫(xiě)出結(jié)果.但結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).探究提高知能遷移1

解題型二指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【例2】(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=為奇函數(shù).

求：（1）實(shí)數(shù)a的值；（2）用定義法判斷f（x）在其定義域上的單調(diào)性.

由f（-x）=-f（x）恒成立可解得a的值;

第(2)問(wèn)按定義法判斷單調(diào)性的步驟進(jìn)行求解即可.思維啟迪解(1)方法一依題意，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），2分∴2(a-1)(2x+1)=0，∴a=1.6分方法二∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(0)=0，即∴a=1.6分（2）由(1)知，設(shè)x1<x2且x1,x2∈R，8分

10分∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在R上是增函數(shù).12分

(1)若f(x)在x=0處有定義,且f(x)是奇函數(shù),則有f(0)=0,即可求得a=1.（2）由x1<x2推得實(shí)質(zhì)上應(yīng)用了函數(shù)

f（x）=2x在R上是單調(diào)遞增這一性質(zhì).探究提高知能遷移2

設(shè)是定義在R上的函數(shù).（1）f（x）可能是奇函數(shù)嗎？（2）若f（x）是偶函數(shù)，試研究其單調(diào)性.

解

(1)方法一假設(shè)f(x)是奇函數(shù),由于定義域?yàn)镽,∴f（-x）=-f（x）,即整理得即即a2+1=0,顯然無(wú)解.∴f（x）不可能是奇函數(shù).

方法二若f(x)是R上的奇函數(shù)，則f(0)=0,即∴f(x)不可能是奇函數(shù).(2)因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x),即整理得又∵對(duì)任意x∈R都成立，∴有得a=±1.當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=e-x+ex,以下討論其單調(diào)性，任取x1,x2∈R且x1<x2,當(dāng)f(x1)<f(x2),f(x)為增函數(shù),此時(shí)需要x1+x2>0，即增區(qū)間為[0,+∞),反之(-∞,0]為減區(qū)間.當(dāng)a=-1時(shí)，同理可得f(x)在（-∞，0］上是增函數(shù)，在［0，+∞）上是減函數(shù).題型三指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例3】已知函數(shù)

(1)作出圖象；

(2)由圖象指出其單調(diào)區(qū)間；

(3)由圖象指出當(dāng)x取什么值時(shí)函數(shù)有最值.

解（1）由已知可得其圖象由兩部分組成：一部分是：另一部分是：y=3x(x<0)y=3x+1(x<-1).向左平移1個(gè)單位向左平移1個(gè)單位圖象如圖：(2)由圖象知函數(shù)在（-∞，-1］上是增函數(shù)，在（-1，+∞）上是減函數(shù).(3)由圖象知當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)有最大值1,無(wú)最小值.

在作函數(shù)圖象時(shí),首先要研究函數(shù)與某一基本函數(shù)的關(guān)系.然后通過(guò)平移或伸縮來(lái)完成.探究提高知能遷移3若直線y=2a與函數(shù)y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),則a的取值范圍是______.

解析數(shù)形結(jié)合.

當(dāng)a>1時(shí)，如圖①,只有一個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意.

當(dāng)0<a<1時(shí)，如圖②,由圖象知0<2a<1,1.單調(diào)性是指數(shù)函數(shù)的重要性質(zhì)，特別是函數(shù)圖象的無(wú)限伸展性，x軸是函數(shù)圖象的漸近線.當(dāng)0<a<1，

x→+∞時(shí)，y→0；當(dāng)a>1，x→-∞時(shí),y→0;當(dāng)a>1時(shí)，

a的值越大，圖象越靠近y軸，遞增的速度越快；當(dāng)0<a<1時(shí)，a的值越小，圖象越靠近y軸，遞減的速度越快.2.畫(huà)指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象,應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(1,a)、

(0,1)、(-1,).方法與技巧思想方法感悟提高3.在