/5【解析】如圖，在由正弦定理，可得所以【解析】如圖，在由正弦定理，可得所以BC.10【答案】5J6海里正弦定理與余弦定理的應用教學重難點教學目標核心素養(yǎng)測量距離、高度、角度問題會利用正、余弦定理解決生產實踐中的有關跑離、高度、角度等問題數學建?！窘虒W過程】-、問題導入利用正、余弦定理可解決哪些實際問題?、新知探究廨究點血1測量距離問題例1海上A,B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60的視角,從B島望C島和A島成75的視角，則B島與C島間的距離是△ABC中， C180BA45,BCABsin60sin455庭海里.［變條件］在本例中，若“從B島望C島和A島成75的視角”改為“A,C兩島相距20海里”，其他條件不變，又如何求B島與C島間的距離呢？解：由已知在4ABC中，AB10,AC20,BAC60,即已知兩邊和兩邊的夾角，利用余弦定理求解即可.2 2 2 2 2 1BCABAC2ABACcos6010 20 21020-300 .故2

BC103.即B,C間的距離為10曲海里組值法國測量距離問題的解題思路求解測量距離問題的方法是：選擇合適的輔助測量點，構造三角形，將問題轉化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解.構造數學模型時，盡量把已知元素放在同一個三角形中.搽究點包| 測量高度問題例2如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30,則此山的高度CDm.【解析】由題意，在4ABC中，BAC30,ABC180 75105,故ACB45.又AB600m,故由正弦定理得-600--B^,sin45sin30解彳#BC300應m.在RtABCD中，CDBCtan3030072—10076m.3【答案】1006互助探究［變問法］在本例條件下，汽車在沿直線AB方向行駛的過程中，若測得觀察山頂D點的最大仰角為，求tan的值.解：如圖，過點C,作CEAB,垂足為E,則DEC,由例題可知，CBE75,BC30072,2 6 l所以CEBCsinCBE300衣sin75300^2-———15015073.4所以tanDC100.6150所以tanDC100.6150150.33;2%3測量高度問題的解題思路高度的測量主要是一些底部不能到達或者無法直接測量的物體的高度問題.常用正弦定理或余弦定理計算出物體的頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉化為解直角三角形的問題.這類物體高度的測量是在與地面垂直的余弦定理解豎直平面內構造三角形或者在空間構造三棱錐，再依據條件利用正、其中的一個或者幾個三角形，從而求出所需測量物體的高度.余弦定理解搽究點用測量角度問題例3島A例3島A觀察站發(fā)現在其東南方向有一艘可疑船只，正以每小時速度向東南方向航行（如圖所示），觀察站即刻通知在島A正南方向海監(jiān)船前往檢查.接到通知后，海監(jiān)船測得可疑船只在其北偏東 7510海里的C處，隨即以每小時1。73海里的速度前往攔截.10海里的B處巡航的方向且相距問.問：海監(jiān)船接到通知時，在距離島A多少海里處？問.問：海監(jiān)船接到通知時，在距離島A多少海里處？假設海監(jiān)船在D處恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的時n.It西一東南【解】n.It西一東南【解】（1）根據題意得BAC45ABC75,BC10,所以ACB18075 45 60在△ABC中，由一sin在△ABC中，由一sinAB_ACBsinBCsinACB得AB-sinBAC10sin60

sin45BC_BAC'10后——2-56.22所以海監(jiān)船接到通知時，在距離島A5>/6海里處.（2）設海監(jiān)船航行時間為t小時，則BD10j3t,CD10t,又因為BCD180ACB180 60 120,所以BD2BC2CD又因為BCD180ACB180 60 120,所以BD2BC2CD2所以300t22100100t22BCCDcos120,121010t一,2所以2t2 t10,解彳4t1或t 1（舍去）.2所以CD10,所以BCCD,1所以CBD—180 120 30,2所以ABD75 30 105.所以海監(jiān)船沿方位角105航行，航行時間為1個小時.（或海監(jiān)船沿南偏東75方向航行，航行時間為1個小時）因值國囹測量角度問題的基本思路（1）測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，在圖形中標出相關的角和距離.（2）根據實際選擇正弦定理或余弦定理解三角形，然后將解得的結果轉化為實際問題的解.【課堂檢測】.若P在Q的北偏東4450方向上，則Q在P的（ ）A.東偏北A.東偏北4510方向上C.南偏西4450方向上解析：選C.如圖所示.B.東偏北4550方向上D.西偏南4550方向上B.5073+1米B.5073+1米D.200米.如圖，D,C,B三點在地面同一直線上，從地面上C,D兩點望山頂A,測得它們的仰角分別為45和30,已知CD200米，點C位于BD上，則山高AB等于（ ）A.100亞米C.10073+1米解析：選C.設ABx米，在RtAACB中，ACB45,

所以BCABx.在RtAABD中，D30,則BD73AB辰.因為BDBCCD,所以邪xx200,解彳導x10031.故選C.3.已知臺風中心位于城市3.已知臺風中心位于城市A東偏北（為銳角）度白150公里處，以v公里/小時沿正西方向快速移動，2.5小時后到達距城市A西偏北（為銳角）度的200公里處，若A.的200公里處，若A.60C.100解析：選2 2 22.5v 20021502sin=4sin.又cos3… 4 — 3sin -,cos -:3)s=-cos,貝(Jv4C.畫出圖像2200150cos3 2-cos,sin4故cos 1225（）B.80D.125如圖所示，由①，由正弦定理得cos2 1,解得sin-0,代入①解得25余弦定理得儂二儂，所以sinsin-,故cos-,5 5v100.4.某巡邏艇在A處發(fā)現在北偏東45距A處8海里處有一走私船，正沿南偏東75的方向以12海里/小時的速度向我岸行駛，巡邏艇立即以12點海里/小時的速度沿直線追擊，問巡邏艇最少需要多長時間才能追到走私船，并指出巡邏艇的航行方向.解：設經過t小時在點C處剛好追上走私船，依題意：AC12j3t,BC12