分類討論思想分類討論思想1分類討論思想，就是把要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干不同的類別，繞后逐類進(jìn)行研究、求解的一種數(shù)學(xué)解題思想。分類思想的實(shí)質(zhì)是按照數(shù)學(xué)對(duì)象的共同性和差異性，將問題劃分為不同的種類，其作用是克服思維的片面性，防止漏解。分類討論思想，就是把要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干2引起分類討論主要原因：（1）概念本身是分類定義的。如絕對(duì)值、點(diǎn)（直線、圓）與圓的位置關(guān)系和兩圓相切等概念的分類；（2）某些公式、定理、性質(zhì)、法則的條件和范圍是限制的;（3）含有字母系數(shù)的問題，需對(duì)該字母的不同取值范圍進(jìn)行討論；（4）題設(shè)的數(shù)量大小或關(guān)系確定，而圖形的位置或形狀不確定(5)題目條件和結(jié)論的不唯一；引起分類討論主要原因：（1）概念本身是分類定義的。如絕對(duì)值、3解答分類討論型問題的關(guān)鍵是要有分類討論的意識(shí)，克服想當(dāng)然的錯(cuò)誤習(xí)慣，注意分類可能導(dǎo)致問題發(fā)生質(zhì)的變化的各種情況。解答分類討論型問題的一般步驟是：（1）確定分類對(duì)象；（2）進(jìn)行合理分類（理清分類的界限，選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，并做到不重復(fù)、補(bǔ)遺漏）;（3）逐類進(jìn)行討論（4）歸納出結(jié)論解答分類討論型問題的關(guān)鍵是要有分類討論的意識(shí)，克服想當(dāng)然的錯(cuò)4分類討論型問題常與開放探究型問題綜合在一起，不論是在分類中探究，還是在探究中分類，都需要具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和靈活的思維方式，對(duì)問題進(jìn)行全面衡量、統(tǒng)籌兼顧，切忌以偏概全。分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的一種數(shù)學(xué)思想方法，它能考查學(xué)生的綜合的數(shù)學(xué)知識(shí)和靈活的應(yīng)用能力，因此，分類討論型問題也是中考命題的熱點(diǎn)之一，常出現(xiàn)在中考數(shù)學(xué)的壓軸題中。分類討論型問題常與開放探究型問題綜合在一起，不論是在分類中探5問題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的.如|a|的定義分a>0、a＝0、a<0三種情況.這種分類討論題型可以稱為概念型.

問題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的.如|a|的定義分a>6例1：1)已知｜x︱=3，｜y︱=2，且xy﹤0，則x+y的值=

。

1或-12）、若a、b在互為倒數(shù)，b、c互為相反數(shù)，m的絕對(duì)值為1，則的值是______.0或-2例1：1)已知｜x︱=3，｜y︱=2，且xy﹤0，則x+y的73)．若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為500,則其他兩個(gè)內(nèi)角為（）A．500，80oB．650，650C．500，650D．500，800或650，6504)．等腰三角形的一邊長為3cm，周長是13cm，那么這個(gè)等腰三角形的腰長是（）A．5cmB.3cmC．5cm或3cmD．不確定DA等腰三角形的角與邊5）．已知等腰三角形的兩邊長分別為5和6，則這個(gè)三角形的周長是（）A．16B．16或17C.17D．17或18B3)．若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為500,則其他兩個(gè)內(nèi)角為（8

問題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的.如討論一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（k≠0）的增減性，要分k＜0和k＞0兩種情況.這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型問題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者9例2：1）、一次函數(shù)y=kx+b的自變量的取值范圍是-3≤x≤6，，相應(yīng)的函數(shù)值的取值范圍是-5≤y≤-2，則這個(gè)函數(shù)的解析式

。

Y=x-4,或y=-x-3

2）、已知關(guān)于x的方程(k2－1)x2－2(k＋1)x＋1＝0有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍?！竞喗狻勘绢}分方程是一元二次方程和一元一次方程兩種情況討論，答案:k＞－1；例2：1）、一次函數(shù)y=kx+b的自變量的取值范圍是103）在同一坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=-3x與反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè)或2個(gè)B．l個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)A4）、若直線y=－x+b與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2，則b的值為

；2或-2yxoyxo3）在同一坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=-3x與反比例A．0個(gè)或2115）、函數(shù)y=ax2-ax+3x+1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值與交點(diǎn)坐標(biāo)。

當(dāng)a=0時(shí),為一次函數(shù)y=3x+1,交點(diǎn)為（-，0）；當(dāng)a不為0時(shí),為二次函數(shù)y=ax2+(3-a)x+1,△=a2-10a+9=0.解得a=1或a=9,交點(diǎn)為（-1，0）或（，0）5）、函數(shù)y=ax2-ax+3x+1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求a12例3：1.在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,則這個(gè)三角形的外接圓直徑是（）A5B10C5或4D10或8【簡解】本題對(duì)誰是斜邊進(jìn)行討論，選D；2.菱形有一內(nèi)角為120°,有一條對(duì)角線為6cm,則此菱形的邊長為

cm.【簡解】本題分6cm是較短的對(duì)角線和6cm是較長的對(duì)角線兩種情況，答案6cm或2cm；3.五個(gè)正整數(shù)從小到大排列，若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4，唯一眾數(shù)是5，則這五個(gè)正整數(shù)的和為

.【簡解】本題分五個(gè)數(shù)分別為1、2、4、5、5；1、3、4、5、5；2、3、4、5、5三種情況，答案17、18、19；例3：1.在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,則這個(gè)三角134.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°則這個(gè)等腰三角形的頂角

°【簡解】本題分腰上的高在三角形形內(nèi)和腰上的高在三角形形外兩種情況，答案45°和135°；5.若O為△ABC的外心，且∠BOC=600,則∠BAC=

。

【簡解】本題分三角形的外心在三角形形內(nèi)和形外兩種情況，答案30°和150°.4.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°則這個(gè)等腰三角14解含有字母系數(shù)（參數(shù)）的題目時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論.如解不等式ax>2時(shí)分a>0、a＝0和a<0三種情況討論.這稱為含參型.

解含有字母系數(shù)（參數(shù)）的題目時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)15例4、已知A＝a＋2，B＝a2－a＋5，C＝a2＋5a－19，其中a＞2．求證：B－A＞0，并指出A與B的大小關(guān)系；指出A與C哪個(gè)大？說明理由．解:(1)B－A＝（a－1）2+2＞0∴B＞A（2）C－A＝（a＋7）(a－3)∵a＞2，∴a＋7＞0∴當(dāng)2＜a＜3時(shí)，A＞C當(dāng)a＝3時(shí)，A＝C當(dāng)a＞3時(shí)，A＜C例4、已知A＝a＋2，B＝a2－a＋5，解:(1)B16某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性.某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，171、已知⊙O的半徑為5cm，AB、CD是⊙O的弦，且AB=6cm，CD=8cm，AB∥CD，則AB與CD之間的距離為

。7cm或1cm2、在半徑為1的圓O中，弦AB、AC的長分別是、，則∠BAC的度數(shù)是

。150或7503、△ABC是半徑為2cm的圓的內(nèi)接三角形，若BC=2cm,則∠A的度數(shù)是

。600或1200例5

O

O1、已知⊙O的半徑為5cm，AB、CD是⊙O的弦，且AB=6187、矩形一個(gè)角的平分線分矩形一邊為1cm和3cm兩部分，則這個(gè)矩形的面積為

。1133314cm2或12cm25、半徑為3cm、5cm的兩圓相切，則它們的圓心距為

。8cm或2cm4．若⊙O的弦AB所對(duì)的圓心角∠AOB=60°，則弦AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)為

。

6、已知兩圓內(nèi)切，一個(gè)圓的半徑是3，圓心距是2，那么另一個(gè)圓的半徑是________．1或5300或15007、矩形一個(gè)角的平分線分矩形一邊為1cm和3cm兩部分，198、矩形ABCD，AD=3，AB=2，則以矩形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的圓柱的表面積為_____.16π或21π8、矩形ABCD，AD=3，AB=2，則以矩形的一邊所在直20例6：1、如圖，線段OD的一個(gè)端點(diǎn)O在直線a上，以O(shè)D為一邊畫等腰三角形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在直線a上，這樣的等腰三角形能畫多少個(gè)?ＯＤ150°⌒ＣaＥＦＨ例6：1、如圖，線段OD的一個(gè)端點(diǎn)O在直線a上，以O(shè)D為一邊212、在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知A（1，1），在x軸上確定點(diǎn)P，使得△AOP為等腰三角形，則符合條件的P點(diǎn)共有

個(gè)4yoxA(1,1)P1(2,0)P3(,0)P2(-,0)P4(1,0)1-1-112、在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知A（1，1），在x軸221）、對(duì)∠A進(jìn)行討論2）、對(duì)∠B進(jìn)行討論3）、對(duì)∠C進(jìn)行討論CABACB20°20°20°20°CAB50°50°CAB80°80°20°CAB65°65°50°CAB35°35°110°BAC50°110°20°例7、在下圖三角形的邊上找出一點(diǎn)，使得該點(diǎn)與三角形的兩頂點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形！1）、對(duì)∠A進(jìn)行討論2）、對(duì)∠B進(jìn)行討論3）、對(duì)∠C進(jìn)行討論23例8、在Ｒｔ△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4。若以Ｃ為圓心，Ｒ為半徑的圓與斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn)，則R的值為多少？ACBBACCBA分析（1）圓C與斜邊AB相切時(shí)，R=2.4（2）圓C與斜邊AB相交時(shí)，一個(gè)交點(diǎn)在線段AB上，另一個(gè)交點(diǎn)在延長線上。3﹤R≦4例8、在Ｒｔ△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4。若24例9、半徑為R的兩個(gè)等圓外切，則半徑為2R且和這兩個(gè)圓都相切的圓有幾個(gè)？例9、半徑為R的兩個(gè)等圓外切，則半徑為2R且和這兩個(gè)圓都相切25例10、在勞技課上，老師請(qǐng)同學(xué)們?cè)谝粡堥L為17cm，寬為16cm的長方形紙板上，剪下一個(gè)腰長為10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與長方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，其余兩個(gè)頂點(diǎn)在長方形的邊上）請(qǐng)你幫助同學(xué)們計(jì)算剪下的等腰三角形的面積.1716例10、在勞技課上，老師請(qǐng)同學(xué)們?cè)谝粡堥L為17cm，寬為1626(1）若頂角頂點(diǎn)與矩形頂點(diǎn)重合如圖，當(dāng)AE=AF=10時(shí),S△AEF=×10×10=50(cm2)CBDA1716EF(1）若頂角頂點(diǎn)與矩形頂點(diǎn)重合如圖，當(dāng)AE=AF=10時(shí),S27(2）若底角頂點(diǎn)與矩形頂點(diǎn)重合CBDAEF如圖，當(dāng)EA=EF=10時(shí),BE=6,BF==8,S△AEF=×10×8=40(cm2)CBDAEF如圖，當(dāng)EA=EF=10時(shí),DE=7,DF==,S△AEF=×10×=5(cm2)12(2）若底角頂點(diǎn)與矩形頂點(diǎn)重合CBDAEF如圖，當(dāng)EA=EF28CBDA1716EFCBDAEFCBDAEF∴三角形面積是50cm2、40cm2、cm2CBDA1716EFCBDAEFCBDAEF∴三角形面積是529例11：在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D在這個(gè)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸上，若四邊形ABCD是一個(gè)邊長為2且有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形，求此二次函數(shù)的表達(dá)式.分析：本題是數(shù)量（60°的角）不確定，所以要分類討論，同時(shí)，本題中還涉及到軸對(duì)稱，因此有4種情況產(chǎn)生.例11：在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖像與x軸相交30解：設(shè)二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸與軸相交于點(diǎn)E，（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，因?yàn)锳BCD菱形，一邊長為2，所以，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-1），解得，所以

圖①解：圖①31（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，由菱形性質(zhì)知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，），解得所以同理可得：

所以符合條件的二次函數(shù)的表達(dá)式有：圖②（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，由菱形性質(zhì)知點(diǎn)A的32在有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的幾何問題中，由于圖形的不確定性，我們常常需要針對(duì)各種可能出現(xiàn)的圖形對(duì)每一種可能的情形都分別進(jìn)行研究和求解．換句話說，分類思想在動(dòng)態(tài)問題中運(yùn)用最為廣泛．在有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的幾何問題中，由于圖形的不確定性，我們常常需要針對(duì)33CADB例12、如圖,在矩形ABCD中,AB=20厘米,BC=4厘米,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿折線A—B—C—D以4厘米/秒的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CD以1厘米/秒的速度移動(dòng),如果點(diǎn)P和Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）.（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形APQD為矩形；PQ∵AP=4t,CQ=t,∴DQ=20-t,∴t=4(秒)∴當(dāng)t=4秒時(shí)，四邊形APQD為矩形CADB例12、如圖,在矩形ABCD中,AB=20厘米,BC34PCQPQPQ（2）若⊙P和⊙Q半徑都是2厘米,那么當(dāng)t為何值時(shí),⊙P和⊙Q相外切?ADBPQPCQPQPQ（2）若⊙P和⊙Q半徑都是2厘米,那么當(dāng)t為何35PCDBQPQPQPQ當(dāng)t=4秒、秒、秒時(shí)，⊙P和⊙Q相外切APCDBQPQPQPQ當(dāng)t=4秒、秒、秒時(shí)，⊙P和⊙36例13、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A出發(fā)向B以2cm秒的速度移動(dòng);點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向A以1cm/秒的速度移動(dòng)時(shí)，如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t秒表示移動(dòng)的時(shí)間（0＜t＜6）那么：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△QAP為等腰直角三角形？QPADCB解:(1)AP=2t,DQ=t,∴QA=6－ｔ，當(dāng)ＡＱ=AP時(shí)，△QAP為等腰直角三角形，即6－t=2t,解得t=2（秒）

∴當(dāng)t=2秒時(shí)，△QAP為等腰直角三角形。例13、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P37（2）在△QAC中，S=QA·DC=（6－t)·12=36－６ｔ在△APC中，S=AP·BC=·２ｔ·６＝６ｔ

SQAPC的面積=（３６－6t)+6t=36(cm2)由計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過程中，四邊形QAPC的面積始終保持不變。QPADCB在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A出發(fā)向B以2cm秒的速度移動(dòng);點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向A以1cm/秒的速度移動(dòng)時(shí)，如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t秒表示移動(dòng)的時(shí)間（0＜t＜6）那么：（2）求四邊形QAPC的面積,并提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；（2）在△QAC中，S=QA·DC=（6－t)·138QPADCB（3）根據(jù)題意，可分為兩種情況來研究①當(dāng)=時(shí)，△QAP∽△ABC，則=，解得t==1.2（秒）。∴當(dāng)t=1.2秒時(shí)，△QAP∽△ABC。②當(dāng)=時(shí)，△PAQ∽△ABC，則=，解得t=3（秒）?！喈?dāng)t=3秒時(shí)，△PAQ∽△ABC?！喈?dāng)t=1.2秒或t=3秒時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似。在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A出發(fā)向B以2cm秒的速度移動(dòng);點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向A以1cm/秒的速度移動(dòng)時(shí)，如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t秒表示移動(dòng)的時(shí)間（0＜t＜6）那么：（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？QPADCB（3）根據(jù)題意，可分為兩種情況來研究∴當(dāng)t=1.39例14.如圖所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AD=21。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（秒）。（1）設(shè)△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)O，且BO=2AO時(shí)，求（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

的正切值；(4)是否存在時(shí)刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。例14.如圖所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AD40解：（1）如圖1所示，過點(diǎn)P作，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形。（2）如圖2所示，由

得：

ＰＡＤＣＱＢＯ圖１圖２Ｅ解：（1）如圖1所示，過點(diǎn)P作，垂足為M，則四邊形PD41圖1圖142小結(jié)

分類討論的思想方法

實(shí)質(zhì)：是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的共同性和差異性，將其分為不同種類的思想方法；

作用：能把較復(fù)雜的、陌生的問題轉(zhuǎn)化成幾個(gè)較簡單的問題，可考察學(xué)生思維的周密性，克服思維的片面性；

原則：(1)分類按同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；(2)各部分之間相互獨(dú)立；(3)分類討論應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行．小結(jié)分類討論的思想方法43分類討論思想分類討論思想44分類討論思想，就是把要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干不同的類別，繞后逐類進(jìn)行研究、求解的一種數(shù)學(xué)解題思想。分類思想的實(shí)質(zhì)是按照數(shù)學(xué)對(duì)象的共同性和差異性，將問題劃分為不同的種類，其作用是克服思維的片面性，防止漏解。分類討論思想，就是把要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干45引起分類討論主要原因：（1）概念本身是分類定義的。如絕對(duì)值、點(diǎn)（直線、圓）與圓的位置關(guān)系和兩圓相切等概念的分類；（2）某些公式、定理、性質(zhì)、法則的條件和范圍是限制的;（3）含有字母系數(shù)的問題，需對(duì)該字母的不同取值范圍進(jìn)行討論；（4）題設(shè)的數(shù)量大小或關(guān)系確定，而圖形的位置或形狀不確定(5)題目條件和結(jié)論的不唯一；引起分類討論主要原因：（1）概念本身是分類定義的。如絕對(duì)值、46解答分類討論型問題的關(guān)鍵是要有分類討論的意識(shí)，克服想當(dāng)然的錯(cuò)誤習(xí)慣，注意分類可能導(dǎo)致問題發(fā)生質(zhì)的變化的各種情況。解答分類討論型問題的一般步驟是：（1）確定分類對(duì)象；（2）進(jìn)行合理分類（理清分類的界限，選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，并做到不重復(fù)、補(bǔ)遺漏）;（3）逐類進(jìn)行討論（4）歸納出結(jié)論解答分類討論型問題的關(guān)鍵是要有分類討論的意識(shí)，克服想當(dāng)然的錯(cuò)47分類討論型問題常與開放探究型問題綜合在一起，不論是在分類中探究，還是在探究中分類，都需要具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和靈活的思維方式，對(duì)問題進(jìn)行全面衡量、統(tǒng)籌兼顧，切忌以偏概全。分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的一種數(shù)學(xué)思想方法，它能考查學(xué)生的綜合的數(shù)學(xué)知識(shí)和靈活的應(yīng)用能力，因此，分類討論型問題也是中考命題的熱點(diǎn)之一，常出現(xiàn)在中考數(shù)學(xué)的壓軸題中。分類討論型問題常與開放探究型問題綜合在一起，不論是在分類中探48問題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的.如|a|的定義分a>0、a＝0、a<0三種情況.這種分類討論題型可以稱為概念型.

問題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的.如|a|的定義分a>49例1：1)已知｜x︱=3，｜y︱=2，且xy﹤0，則x+y的值=

。

1或-12）、若a、b在互為倒數(shù)，b、c互為相反數(shù)，m的絕對(duì)值為1，則的值是______.0或-2例1：1)已知｜x︱=3，｜y︱=2，且xy﹤0，則x+y的503)．若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為500,則其他兩個(gè)內(nèi)角為（）A．500，80oB．650，650C．500，650D．500，800或650，6504)．等腰三角形的一邊長為3cm，周長是13cm，那么這個(gè)等腰三角形的腰長是（）A．5cmB.3cmC．5cm或3cmD．不確定DA等腰三角形的角與邊5）．已知等腰三角形的兩邊長分別為5和6，則這個(gè)三角形的周長是（）A．16B．16或17C.17D．17或18B3)．若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為500,則其他兩個(gè)內(nèi)角為（51

問題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的.如討論一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（k≠0）的增減性，要分k＜0和k＞0兩種情況.這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型問題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者52例2：1）、一次函數(shù)y=kx+b的自變量的取值范圍是-3≤x≤6，，相應(yīng)的函數(shù)值的取值范圍是-5≤y≤-2，則這個(gè)函數(shù)的解析式

。

Y=x-4,或y=-x-3

2）、已知關(guān)于x的方程(k2－1)x2－2(k＋1)x＋1＝0有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍?！竞喗狻勘绢}分方程是一元二次方程和一元一次方程兩種情況討論，答案:k＞－1；例2：1）、一次函數(shù)y=kx+b的自變量的取值范圍是533）在同一坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=-3x與反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè)或2個(gè)B．l個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)A4）、若直線y=－x+b與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2，則b的值為

；2或-2yxoyxo3）在同一坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=-3x與反比例A．0個(gè)或2545）、函數(shù)y=ax2-ax+3x+1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值與交點(diǎn)坐標(biāo)。

當(dāng)a=0時(shí),為一次函數(shù)y=3x+1,交點(diǎn)為（-，0）；當(dāng)a不為0時(shí),為二次函數(shù)y=ax2+(3-a)x+1,△=a2-10a+9=0.解得a=1或a=9,交點(diǎn)為（-1，0）或（，0）5）、函數(shù)y=ax2-ax+3x+1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求a55例3：1.在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,則這個(gè)三角形的外接圓直徑是（）A5B10C5或4D10或8【簡解】本題對(duì)誰是斜邊進(jìn)行討論，選D；2.菱形有一內(nèi)角為120°,有一條對(duì)角線為6cm,則此菱形的邊長為

cm.【簡解】本題分6cm是較短的對(duì)角線和6cm是較長的對(duì)角線兩種情況，答案6cm或2cm；3.五個(gè)正整數(shù)從小到大排列，若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4，唯一眾數(shù)是5，則這五個(gè)正整數(shù)的和為

.【簡解】本題分五個(gè)數(shù)分別為1、2、4、5、5；1、3、4、5、5；2、3、4、5、5三種情況，答案17、18、19；例3：1.在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,則這個(gè)三角564.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°則這個(gè)等腰三角形的頂角

°【簡解】本題分腰上的高在三角形形內(nèi)和腰上的高在三角形形外兩種情況，答案45°和135°；5.若O為△ABC的外心，且∠BOC=600,則∠BAC=

。

【簡解】本題分三角形的外心在三角形形內(nèi)和形外兩種情況，答案30°和150°.4.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°則這個(gè)等腰三角57解含有字母系數(shù)（參數(shù)）的題目時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論.如解不等式ax>2時(shí)分a>0、a＝0和a<0三種情況討論.這稱為含參型.

解含有字母系數(shù)（參數(shù)）的題目時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)58例4、已知A＝a＋2，B＝a2－a＋5，C＝a2＋5a－19，其中a＞2．求證：B－A＞0，并指出A與B的大小關(guān)系；指出A與C哪個(gè)大？說明理由．解:(1)B－A＝（a－1）2+2＞0∴B＞A（2）C－A＝（a＋7）(a－3)∵a＞2，∴a＋7＞0∴當(dāng)2＜a＜3時(shí)，A＞C當(dāng)a＝3時(shí)，A＝C當(dāng)a＞3時(shí)，A＜C例4、已知A＝a＋2，B＝a2－a＋5，解:(1)B59某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性.某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，601、已知⊙O的半徑為5cm，AB、CD是⊙O的弦，且AB=6cm，CD=8cm，AB∥CD，則AB與CD之間的距離為

。7cm或1cm2、在半徑為1的圓O中，弦AB、AC的長分別是、，則∠BAC的度數(shù)是

。150或7503、△ABC是半徑為2cm的圓的內(nèi)接三角形，若BC=2cm,則∠A的度數(shù)是

。600或1200例5

O

O1、已知⊙O的半徑為5cm，AB、CD是⊙O的弦，且AB=6617、矩形一個(gè)角的平分線分矩形一邊為1cm和3cm兩部分，則這個(gè)矩形的面積為

。1133314cm2或12cm25、半徑為3cm、5cm的兩圓相切，則它們的圓心距為

。8cm或2cm4．若⊙O的弦AB所對(duì)的圓心角∠AOB=60°，則弦AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)為

。

6、已知兩圓內(nèi)切，一個(gè)圓的半徑是3，圓心距是2，那么另一個(gè)圓的半徑是________．1或5300或15007、矩形一個(gè)角的平分線分矩形一邊為1cm和3cm兩部分，628、矩形ABCD，AD=3，AB=2，則以矩形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的圓柱的表面積為_____.16π或21π8、矩形ABCD，AD=3，AB=2，則以矩形的一邊所在直63例6：1、如圖，線段OD的一個(gè)端點(diǎn)O在直線a上，以O(shè)D為一邊畫等腰三角形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在直線a上，這樣的等腰三角形能畫多少個(gè)?ＯＤ150°⌒ＣaＥＦＨ例6：1、如圖，線段OD的一個(gè)端點(diǎn)O在直線a上，以O(shè)D為一邊642、在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知A（1，1），在x軸上確定點(diǎn)P，使得△AOP為等腰三角形，則符合條件的P點(diǎn)共有

個(gè)4yoxA(1,1)P1(2,0)P3(,0)P2(-,0)P4(1,0)1-1-112、在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知A（1，1），在x軸651）、對(duì)∠A進(jìn)行討論2）、對(duì)∠B進(jìn)行討論3）、對(duì)∠C進(jìn)行討論CABACB20°20°20°20°CAB50°50°CAB80°80°20°CAB65°65°50°CAB35°35°110°BAC50°110°20°例7、在下圖三角形的邊上找出一點(diǎn)，使得該點(diǎn)與三角形的兩頂點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形！1）、對(duì)∠A進(jìn)行討論2）、對(duì)∠B進(jìn)行討論3）、對(duì)∠C進(jìn)行討論66例8、在Ｒｔ△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4。若以Ｃ為圓心，Ｒ為半徑的圓與斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn)，則R的值為多少？ACBBACCBA分析（1）圓C與斜邊AB相切時(shí)，R=2.4（2）圓C與斜邊AB相交時(shí)，一個(gè)交點(diǎn)在線段AB上，另一個(gè)交點(diǎn)在延長線上。3﹤R≦4例8、在Ｒｔ△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4。若67例9、半徑為R的兩個(gè)等圓外切，則半徑為2R且和這兩個(gè)圓都相切的圓有幾個(gè)？例9、半徑為R的兩個(gè)等圓外切，則半徑為2R且和這兩個(gè)圓都相切68例10、在勞技課上，老師請(qǐng)同學(xué)們?cè)谝粡堥L為17cm，寬為16cm的長方形紙板上，剪下一個(gè)腰長為10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與長方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，其余兩個(gè)頂點(diǎn)在長方形的邊上）請(qǐng)你幫助同學(xué)們計(jì)算剪下的等腰三角形的面積.1716例10、在勞技課上，老師請(qǐng)同學(xué)們?cè)谝粡堥L為17cm，寬為1669(1）若頂角頂點(diǎn)與矩形頂點(diǎn)重合如圖，當(dāng)AE=AF=10時(shí),S△AEF=×10×10=50(cm2)CBDA1716EF(1）若頂角頂點(diǎn)與矩形頂點(diǎn)重合如圖，當(dāng)AE=AF=10時(shí),S70(2）若底角頂點(diǎn)與矩形頂點(diǎn)重合CBDAEF如圖，當(dāng)EA=EF=10時(shí),BE=6,BF==8,S△AEF=×10×8=40(cm2)CBDAEF如圖，當(dāng)EA=EF=10時(shí),DE=7,DF==,S△AEF=×10×=5(cm2)12(2）若底角頂點(diǎn)與矩形頂點(diǎn)重合CBDAEF如圖，當(dāng)EA=EF71CBDA1716EFCBDAEFCBDAEF∴三角形面積是50cm2、40cm2、cm2CBDA1716EFCBDAEFCBDAEF∴三角形面積是572例11：在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D在這個(gè)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸上，若四邊形ABCD是一個(gè)邊長為2且有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形，求此二次函數(shù)的表達(dá)式.分析：本題是數(shù)量（60°的角）不確定，所以要分類討論，同時(shí)，本題中還涉及到軸對(duì)稱，因此有4種情況產(chǎn)生.例11：在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖像與x軸相交73解：設(shè)二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸與軸相交于點(diǎn)E，（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，因?yàn)锳BCD菱形，一邊長為2，所以，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-1），解得，所以

圖①解：圖①74（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，由菱形性質(zhì)知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，），解得所以同理可得：

所以符合條件的二次函數(shù)的表達(dá)式有：圖②（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，由菱形性質(zhì)知點(diǎn)A的75在有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的幾何問題中，由于圖形的不確定性，我們常常需要針對(duì)各種可能出現(xiàn)的圖形對(duì)每一種可能的情形都分別進(jìn)行研究和求解．換句話說，分類思想在動(dòng)態(tài)問題中運(yùn)用最為廣泛．在有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的幾何問題中，由于圖形的不確定性，我們常常需要針對(duì)76CADB例12、如圖,在矩形ABCD中,AB=20厘米,BC=4厘米,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿折線A—B—C—D以4厘米/秒的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CD以1厘米/秒的速度移動(dòng),如果點(diǎn)P和Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）.（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形APQD為矩形；PQ∵AP=4t,CQ=t,∴DQ=20-t,∴t=4(秒)∴當(dāng)t=4秒時(shí)，四邊形APQD為矩形CADB例12、如圖,在矩形ABCD中,AB=20厘米,BC77PCQPQPQ（2）若⊙P和⊙Q半徑都是2厘米,那么當(dāng)t為何值時(shí),⊙P和⊙Q相外切?ADBPQPCQPQPQ（2）若⊙P和⊙Q半徑都是2厘米,那么當(dāng)t為何78PCDBQPQPQPQ當(dāng)t=4秒、秒、秒時(shí)，⊙P和⊙Q相外切APCDBQPQPQPQ當(dāng)t=4秒、秒、秒時(shí)，⊙P和⊙79例13、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A出發(fā)向B以2cm秒的速度移動(dòng);點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向A以1cm/