CH7數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法7.0設(shè)計(jì)過程7.1IIR濾波器設(shè)計(jì)：連續(xù)時間濾波器轉(zhuǎn)換7.2FIR濾波器設(shè)計(jì)：窗函數(shù)法7.3FIR濾波器的最佳逼近17.0設(shè)計(jì)過程由應(yīng)用定指標(biāo)由特性定類型：IIR簡單，F(xiàn)IR有線性相位求滿足指標(biāo)的H(z)設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)所用結(jié)構(gòu)、字長、算法仿真確認(rèn)本章重點(diǎn)討論求H(z)，有現(xiàn)成的軟件(如MATLAB)輔助求解濾波器系數(shù)，關(guān)鍵了解各種算法特性2理想選頻濾波器對不同頻率分量幅度加以改變都統(tǒng)稱濾波器3例：二維圖像的高低通濾波效果4例:二維圖像的帶通帶阻濾波效果原圖頻譜帶阻輸出帶通輸出5常用濾波器指標(biāo)通帶增益通帶紋波δ1通帶截止頻率ωp阻帶衰減阻帶紋波δ2阻帶截止頻率ωs過渡帶寬Δω=ωs-ωp67.1IIR濾波器設(shè)計(jì)：

連續(xù)時間濾波器轉(zhuǎn)換法典型連續(xù)時間模擬濾波器Butterworth：通、阻帶內(nèi)單調(diào)ChebyshevTypeI：通帶等紋波、阻帶單調(diào)

TypeII：通帶單調(diào)、阻帶等紋波橢圓函數(shù)：通、阻帶內(nèi)皆等紋波相同指標(biāo)時，允許紋波將減少階數(shù)，降低系統(tǒng)運(yùn)算復(fù)雜度算法見參考書附錄，可用MATLAB實(shí)現(xiàn)7典型模擬濾波器幅頻特性8例：復(fù)習(xí)巴特沃斯低通設(shè)計(jì)巴特沃斯平方函數(shù)：|Hc(jΩ)|2=1/[1+(Ω/Ωc)2N]特性：單調(diào)，Ωc為半功率點(diǎn)，N加大過渡帶減小算法：利用單調(diào)性，用通帶、阻帶截止頻率處條件可解出二待定因子Ωc、階數(shù)NN必須為整數(shù)9IIR轉(zhuǎn)換法I：脈沖響應(yīng)不變法由應(yīng)用確定H(ejω)指標(biāo)，一般為對|H(ejω)|的要求由Ω=ω/Td得Hc(jΩ)指標(biāo)用模擬濾波器設(shè)計(jì)法求出hc(t)用Td采樣最終得：h[n]=Tdhc(nTd)盡管Td并非真實(shí)采樣周期T，在來回轉(zhuǎn)換過程中作用抵消，可取任意值或1，但hc(t)必須帶限：Hc(jΩ)=0，|Ω|≥π/Td。故該方法不適宜作高通！對實(shí)際非理想帶限，提高帶外衰減指標(biāo)后忽略10對應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)的轉(zhuǎn)換公式拉氏變換系統(tǒng)函數(shù)：Hc(s)=Ak/(s-sk)脈沖響應(yīng)：hc(t)=Akesktu(t)則：h[n]=TdAkesknTdu[n]=TdAk(eskTd)nu[n]H(z)=TdAk/(1-eskTdz-1)對比Hc(s)與H(z)，部分分式項(xiàng)系數(shù)乘TdS平面極點(diǎn)sk對應(yīng)Z平面極點(diǎn)zk=eskTd11例：數(shù)字巴特沃斯LPF給定指標(biāo)：0.89≤|H(ejω)|≤1，0≤|ω|≤0.2π|H(ejω)|≤0.18，0.3≤|ω|≤π令Td=1，由Ω=ω/Td=ω，得連續(xù)時間系統(tǒng)指標(biāo)：0.89≤|Hc(jΩ)|≤1，0≤|Ω|≤0.2π|Hc(jΩ)|≤0.18，0.3π≤|Ω|≤π通帶條件：|Hc(j0.2π)|=0.89阻帶條件：|Hc(j0.3π)|=0.18代入巴特沃斯平方函數(shù)，得：N=5.88，Ωc=0.70512例：數(shù)字巴特沃斯LPF(續(xù))放大N至整數(shù)6，此時通、阻帶指標(biāo)都略有提高注意該LPF非帶限，為減小混疊，提高放給阻帶,用N=6及通帶條件重算，最終得Ωc=0.703為因果穩(wěn)定，S平面|Ω|≤π/T左半對應(yīng)Z平面單位圓內(nèi)|ω|≤π用S平面左半三對極點(diǎn)，可得Hc(s)，進(jìn)而用前述轉(zhuǎn)換關(guān)系求出H(z)13例：數(shù)字LPF(續(xù))6階數(shù)字巴特沃斯LPF對數(shù)幅頻，幅頻與群延遲由于混疊，在|ω|=π處幅頻增加一倍，對數(shù)幅頻增加6dB對|ω|=0.2π、0.3π截止頻率處混疊影響很小，系統(tǒng)滿足給定指標(biāo)14IIR轉(zhuǎn)換法II：雙線性變換法S平面至Z平面非線性變換：jΩ軸，-∞≤Ω≤∞Z平面單位圓，-π≤ω≤π頻率變換關(guān)系：設(shè)z=ejω在單位圓上求值，代入得：s=σ+jΩ=(2/Td)(1-ejω)/(1+ejω)=j(2/Td)tg(ω/2)虛實(shí)部對應(yīng)，得σ=0，證明jΩ軸與單位圓對應(yīng)，且：Ω=(2/Td)tg(ω/2)15雙線性變換中頻率非線性變換頻率軸非線性壓縮，無混疊問題，適應(yīng)分段恒幅，包括非帶限的高通線性相位、幅度(如微分、殘余邊帶)經(jīng)雙線性變換將失去線性，可用脈沖響應(yīng)不變法16S平面與Z平面的轉(zhuǎn)換關(guān)系穩(wěn)定因果，S平面左半空間對應(yīng)Z平面單位圓內(nèi)S平面jΩ軸對應(yīng)Z平面單位圓上ImRejΩjΩσσZSSΩ=(-∞,∞)Ω=(-π/T,π/T)ω=(-π,π)脈沖響應(yīng)不變雙線性變換17截止頻率的預(yù)畸變Ω=(2/Td)tg(ω/2)Ωp

=(2/Td)tg(ωp/2)Ωs

=(2/Td)tg(ωs/2)Td同樣任意可取118例：用雙線性變換法設(shè)計(jì)

數(shù)字巴特沃斯LPF給定指標(biāo)：0.89≤|H(ejω)|≤1，0≤|ω|≤0.2π|H(ejω)|≤0.18，0.3π≤|ω|≤π預(yù)畸變，令Td=1，由Ω=2tg(ω/2)，得模擬系統(tǒng)指標(biāo)：0.89≤|Hc(jΩ)|≤1，0≤|Ω|≤2tg(0.1π)|Hc(jΩ)|≤0.18，2tg(0.3π)≤|Ω|≤∞相似前例求解，先定Ωc與N，再得Hc(s)，得N=6用前述雙線性變換定義求出H(z)19例：(續(xù))用雙線性變換法設(shè)計(jì)的6階數(shù)字巴特沃斯LPF對數(shù)幅頻，幅頻與群延遲由于ω=π對應(yīng)Ω=∞，幅頻真正衰減到0，由對數(shù)幅頻可明顯看出下降更快無混疊問題，N放大取整時提高的指標(biāo)不必照顧阻帶20例：三種連續(xù)時間濾波器比較低通指標(biāo)：|H(ejω)-1|≤0.01，0≤|ω|≤0.4π|H(ejω)|≤0.001，0.6π≤|ω|≤π僅限定幅頻要求，相頻由方法隱含決定都采用雙線性變換法實(shí)現(xiàn)滿足同樣指標(biāo)，允許紋波將減少階數(shù)21例(續(xù)):對數(shù)幅頻,幅頻及群延遲14階巴特沃斯8階切比雪夫I型8階切比雪夫II型6階橢圓22例(續(xù))：零/極點(diǎn)分布14階巴特沃斯8階切比雪夫I型8階切比雪夫II型6階橢圓237.2FIR濾波器設(shè)計(jì)：窗函數(shù)法理想系統(tǒng)：hd[n]FHd(ejω)-∞≤n≤∞窗函數(shù)：w[n]FW(ejω)0≤n≤MFIR系統(tǒng)：h[n]=hd[n]w[n]FHd(ejω)*W(ejω)時域加窗，等效頻域卷積窗系統(tǒng)函數(shù)24FIR實(shí)現(xiàn)的加窗過程時域相乘頻域卷積理想系統(tǒng)窗函數(shù)FIR系統(tǒng)25頻域卷積的影響卷積效果為滑動平均，H(ejω)為Hd(ejω)被窗函數(shù)“模糊”化的結(jié)果26窗函數(shù)選擇要點(diǎn)頻譜能量集中：主瓣寬度窄，減小過渡帶窗盡量短：非零個數(shù)(M+1)要小，減小運(yùn)算量旁瓣?。簻p少震蕩幅度（紋波及阻帶衰減）偶對稱：保持線性相位（相對M/2）27常用窗函數(shù)矩形窗：w[n]=1，0≤n≤M三角窗：w[n]=2n/M0≤n≤M/22–2n/M，M/2<n≤M漢寧窗：w[n]=0.5-0.5cos(2πn/M)，0≤n≤M海明窗：w[n]=0.54-0.46cos(2πn/M)，0≤n≤MBlackman窗：w[n]=0.42-0.5cos(2πn/M)+0.08cos(4πn/M),0≤n≤M各定義之外其它為028常用窗函數(shù)的形狀注意三角、漢寧及Blackman窗實(shí)際為M-1項(xiàng)29常用窗函數(shù)的頻譜(M=50)漢寧窗矩形窗海明窗三角窗Blackman窗30常用窗函數(shù)的性能窗類型最大相對旁瓣幅度近似主瓣寬度最大逼近誤差20lgδ(dB)等效Kaiser窗β等效Kaiser窗過渡帶寬矩形窗-134π/(M+1)-2101.81π/M三角窗-258π/M-251.332.37π/M漢寧窗-318π/M-443.865.01π/M海明窗-418π/M-534.866.27π/MBlackman-5712π/M-747.049.19π/M31常用窗函數(shù)的特點(diǎn)濾波器的紋波大小(逼近誤差)由所選窗類型決定，與M無關(guān)旁瓣幅度↓逼近誤差↓，同時相同M的主瓣寬度↑過渡帶寬↑加大窗長M可減小窗頻譜主瓣寬度，也就同時減小濾波器的過渡帶寬32廣義線性相位的保持各個窗函數(shù)都是相對M/2偶對稱的若hd[n]為相對M/2奇或偶對稱，加窗后得到的h[n]不改變對稱性，群延遲為M/2。即：Hd(ejω)=He(ejω)e-jωM/2W(ejω)=We(ejω)e-jωM/2得：H(ejω)=(1/2π)∫He(ejθ)e-jθM/2We(ej(ω)e-j(ω-θ)M/2dθ=[He(ejω)*We(ejω)]e-jωM/2二實(shí)函數(shù)的卷積依然為實(shí)函數(shù)，線性相位不變33Kaisar窗及濾波器設(shè)計(jì)法定義：w[n]=I0{β[1-(n-α)2/α2]1/2}/I0(β)，0≤n≤M二待定參數(shù)：α=M/2與βI0(x)為第一類零階修正Bessel函數(shù)，正值單調(diào)0α2αn[1-(n-α)2/α2]1/21I0(x)0123x5134Kaisar窗

形狀及頻譜β改變窗陡峭程度,頻譜：β↑旁瓣高↓主瓣寬↑β=0，w[n]≡1，矩形窗M改變窗長度，其頻譜：M↑主瓣寬↓w[0]=w[M]=I0(0)/I0(β)≠0真正M+1項(xiàng)35加窗法濾波器設(shè)計(jì)過程窗頻譜對稱，導(dǎo)致間斷點(diǎn)卷積奇對稱。理想階躍濾波器截止頻率取中：ωc=(ωs+ωp)/2但ωc靠近0或π時有問題過渡帶寬：Δω=ωs

-

ωp通、阻帶紋波以間斷點(diǎn)奇對稱，幅度相同。若給定紋波要求不同，則：δ

=min(δp,δs)36Kaisar窗設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)公式定義對數(shù)紋波(逼近誤差)：A=-20log10δ(dB)0.1102(A-8.7)，A>50β=0.5842(A-21)0.4+0.07886(A-21)，21≤A≤500.0，A<21M=(A-8)/2.285Δω37例：線性相位FIR低通低通指標(biāo)：|H(ejω)-1|≤0.01，0≤|ω|≤0.4π|H(ejω)|≤0.001，0.6π≤|ω|≤πωp=0.4π，ωs=0.6π，δp=0.01，δs=0.001ωc=(ωs+ωp)/2=0.5πΔω=ωs

-

ωp=0.2π

δ=min(δp,δs)=0.001，A=-20log10δ=60(dB)用常用窗時由A查表僅Blackman可滿足要求，由Δω=9.19π/M得：M=46用Kaisar窗時由經(jīng)驗(yàn)公式得：β=5.653，M=37

38例：線性相位FIR低通(續(xù))理想階躍低通頻率響應(yīng)：理想低通脈沖響應(yīng)(IIR)：線性相位FIR：h[n]=hd[n]w[n]39例：FIR低通(續(xù))用Kaisar窗實(shí)現(xiàn)的LPFM=37，奇數(shù)，脈沖響應(yīng)偶對稱，故為第II類線性相位FIR，群延遲=M/2=18.5窗函數(shù)、頻率響應(yīng)都有現(xiàn)成計(jì)算機(jī)軟件可用通、阻帶紋波奇對稱ωs=0.6π處稍欠指標(biāo)，該例放大M=38可解決40例:線性相位FIR

HPF|H(ejω)|≤0.021，|ω|≤0.35π|H(ejω)-1|≤0.021，0.5π≤|ω|≤π高通可理解為直通減低通：Hhp(ejω)=e-jωM/2

-Hlp(ejω)Kaisar窗：β=2.6，M=24第I類線性相位FIR最大誤差在過渡帶兩邊，略欠41例：FIR

HPF(續(xù))放大M=25，成第II類FIR，原理上不適合作高通。

ω=π處必有零點(diǎn)，逼近誤差急劇變大，出問題！加大M減小過渡帶可能減小紋波也可能改變類型該例將M放大至偶數(shù)26便可42分段恒幅

多頻帶濾波器理解為截止頻率由低至高的多個低通的并聯(lián)第三個幅度為負(fù)，實(shí)際就是相減第四個是直通，三、四組合就是高通注意：紋波大小正比于幅頻階躍幅度G1-G2G2-G3G3-G4G4-043例:離散時間微分器理想時間微分器：Hdiff(ejω)=jωe-jωM/2，|ω|≤π線性相位、線性幅頻，非分段恒幅。相位有π/2因子，脈沖響應(yīng)相對M/2奇對稱雖無法預(yù)估β與M，仍可用加窗法，得III或IV類線性相位FIR試探法：Kaisar窗，β=2.4,M=10III類FIR，ω=π有零點(diǎn)，不給力

44例:離散微分器(續(xù))關(guān)鍵微分器有高頻，III類不適合改用IV類線性相位FIRKaisar窗，β=2.4，M=5注意誤差圖的定標(biāo)。M雖減小，性能大改善457.3FIR濾波器的最佳逼近濾波器設(shè)計(jì)目標(biāo)：滿足指標(biāo)，運(yùn)算量最低IIR設(shè)計(jì)中已總結(jié)，允許通阻帶等紋波可降低階數(shù)加窗法臨近過渡帶兩邊紋波最大，非等紋波多項(xiàng)式最佳逼近過程：預(yù)估階數(shù)M，用多項(xiàng)式最佳逼近求限定區(qū)間內(nèi)最小紋波時H(ejω)的多項(xiàng)式表達(dá)。在相同紋波時，階數(shù)可低于加窗法46頻率加權(quán)誤差函數(shù)E(ω)=W(ω)[Hd(ejω)-Ae(ejω)]通、阻帶指標(biāo)可不同，更為合理例：低通時的加權(quán)函數(shù)W(ω)=1/K，0≤ω≤ωp1，ωs≤ω≤πK=δ1/δ2只在通、阻帶有定義，且在定義的閉區(qū)間內(nèi)等誤差47最佳逼近準(zhǔn)則最小均方誤差：ε2=1/2π∫|Hd(ejω)-H(ejω)|2dω矩形窗有此性質(zhì)，但最大紋波較大，并非最佳最大最小準(zhǔn)則：Min(max|E(ω)|)

[he[n]:0≤n≤L]ω∈F最大誤差最小化：限制最大誤差，不管平均誤差48逼近論中的交錯點(diǎn)定理用r次多項(xiàng)式P(x)=akxk

逼近連續(xù)函數(shù)Dp(x)加權(quán)誤差為：Ep(x)=Wp(x)[Dp(x)-P(x)]定理：使P(x)成為滿足最大最小準(zhǔn)則唯一的r次多項(xiàng)式的充要條件為：Ep(x)在定義閉子集區(qū)間至少有(r+2)個交錯點(diǎn)交錯點(diǎn)xi滿足：Ep(xi)=-Ep(xi+1)=±最大誤差49例:交錯點(diǎn)

分析r次多項(xiàng)式交錯點(diǎn)最多個數(shù)：(r-1)個極值點(diǎn)+閉區(qū)間數(shù)X2非交錯5次多項(xiàng)式，2閉區(qū)間，最多8個交錯點(diǎn)相鄰反號最大誤差5交錯點(diǎn)5交錯點(diǎn)8交錯點(diǎn)滿足最大最小準(zhǔn)則50將M階FIR表達(dá)為L次多項(xiàng)式見第5章，I類FIR可表達(dá)為：H(ejω)=Ae(ejω)e-jωM/2=

(a[k]cosωk)e-jωM/2實(shí)偶函數(shù)：Ae(ejω)Fhe[n]=he[-n]為一零相位濾波器(非因果、線性相位)注意：cos(ωk)可表達(dá)為最高k次的cosω之和，故：Ae(ejω)=ak(cosω)k,可表達(dá)為三角L次多項(xiàng)式51將M階FIR表達(dá)為L次多項(xiàng)式(續(xù))相似推導(dǎo)可得II、III、IV類FIR多項(xiàng)式表達(dá)I、II類x=cosω，III、IV類x=sinωI、III類L=M/2，II、IV類L=(M-1)/2不必關(guān)心ak與a[k]或he[n]的關(guān)系，求出Ae(ejω)后，作逆FFT可得he[n]，延時M/2得一般因果系統(tǒng)注意Ae(ejω)為零相位，延時M/2保持了系統(tǒng)線性相位特性52例：最佳I型FIR低通濾波器在0≤ω≤π上做變換，x=cosω，得：多項(xiàng)式：P(cosω)=ak(cosω)k理想低通：Dp(cosω)=1，cosωp≤cosω≤10，-1≤cosω≤cosωs加權(quán)函數(shù)：Wp(cosω)=1/K，cosωp≤cosω≤11，-1≤cosω≤cosωs

逼近誤差：Ep(cosω)=Wp(cosω)[Dp(cosω)-P(cosω)]53例(續(xù))：等紋波最佳I型FIRL=7，有9個交錯點(diǎn)滿足最大最小準(zhǔn)則ω3=ωp,ω4=ωs,ω9=π54例(續(xù))：變換至x=cosω坐標(biāo)ω=[0,π]x=[-1,1]55最佳逼近幅頻響應(yīng)特性可用幅頻響應(yīng)代替誤差曲線檢查交錯點(diǎn)交錯點(diǎn)最多個數(shù)：(L-1)極值點(diǎn)+閉區(qū)間數(shù)X2幅頻響應(yīng)ω=0、π端點(diǎn)斜率為零高、低通(二閉區(qū)間)時：ωp、ωs必為交錯點(diǎn)0、π端點(diǎn)至少一個為交錯點(diǎn)區(qū)間內(nèi)等紋波56例：交錯點(diǎn)的分布L=7，2閉區(qū)間，最多10個交錯點(diǎn)交錯點(diǎn)定理：至少9個交錯點(diǎn)a)10個交錯點(diǎn)，超紋波b)9個交錯點(diǎn)，ω=0不是c)9個交錯點(diǎn)，ω=π不是d)9個交錯點(diǎn)，極值與端點(diǎn)重合最佳唯一，四種圖ωp、ωs必不同10交錯點(diǎn)9交錯點(diǎn)9交錯點(diǎn)9交錯點(diǎn)57例：未達(dá)最佳的多項(xiàng)式逼近L=7，2閉區(qū)間，交錯點(diǎn)定理：至少9個交錯點(diǎn)上圖：ωp、ωs未皆為交錯點(diǎn)下圖：區(qū)間內(nèi)未等紋波8交錯點(diǎn)8交錯點(diǎn)非交錯非交錯58多項(xiàng)式逼近迭代求解原理由(L+2)個交錯點(diǎn)位置xi=cosωi得方程組W(ωi)[Hd(ejωi)-Ae(ejωi)]=(-1)i+1δ，i=1,2…(L+2)若xi已知，便可求出Ae(cosω)L次多項(xiàng)式的L+1個系數(shù)ak與δ。在xi未知時，采用迭代逼近：任選L+2個ωi，注意區(qū)間端點(diǎn)的選擇代入方程組求解檢查極值點(diǎn)，位置不變(或幅度相等=δ，或δ不變)說明已最優(yōu)化。否則ωi用(L-1)個極值點(diǎn)，ωp、ωs及0、π誤差大的一個替換，重新開始迭代循環(huán)。59多項(xiàng)式逼近迭代循環(huán)用x位置替換o位置進(jìn)行下一輪迭代循環(huán)60FIR等紋波逼近的特性低通:K=1，ωs–ωp=0.2π61FIR等紋波逼近的特性(續(xù))低通濾波器通帶截止頻率ωp(橫坐標(biāo))改變時，最佳逼近能獲得的最小紋波(縱坐標(biāo))有起伏M階紋波極小點(diǎn)對應(yīng)超紋波(L+3)個交錯點(diǎn)，一定與M+2階曲線相交，實(shí)際為同一濾波器！此時M+2階的h[n]兩端為0相同特性(同一ωp)，同型FIR(圖中M為奇或偶)，必有M+2階的紋波≤M階的紋波特殊條件下，M階優(yōu)于M+1階也存在62最佳逼近FIR階次M的預(yù)估Kaisar階次預(yù)選公式：M=(-10log10(δ1δ2)-13)/2.324Δω與Kaisar窗法：M=(A-8)/2.285Δω