通過(guò)拉普拉斯變換求解線(xiàn)性微分方程的探討摘要：通過(guò)拉普拉斯變換主要用于求解線(xiàn)性微分方程(或積分方程)。經(jīng)過(guò)變換，原來(lái)函數(shù)所遵從的微分(或積分)方程變成了像函數(shù)所遵從的代數(shù)方程，代數(shù)方程比較容易求解，從而化難為易，本論文將介紹通過(guò)”三“步求解線(xiàn)性微分(或)積分方程。關(guān)鍵詞：拉普拉斯變換線(xiàn)性方程原函數(shù)像函數(shù)反演拉普拉斯變換的定義傅里葉積分與傅里葉變換存在的條件是原函數(shù)f3)在任一區(qū)間滿(mǎn)足狄里希利條件，并且在(-8,8)區(qū)間上絕對(duì)可積。這是一個(gè)相當(dāng)強(qiáng)的條件，以致于許多常見(jiàn)的函數(shù)(如多項(xiàng)式，三角函數(shù)等)都不滿(mǎn)足這一條件。因此需要引入一一拉普拉斯變換。拉普拉斯變換常用于初始值問(wèn)題，即已知某個(gè)物理量的初始時(shí)刻t=0的值f(0)，而求解它在初始時(shí)刻之后的變化情況f(t)，至于它在初始時(shí)刻之前的值，我們并不感興趣，不妨置f(t)=0(t<0)為了獲得寬松的變換條件，把f(t)加工為g(t)，g(t)=e-otf(t)這里e-6是收斂因子，就是說(shuō)，正的實(shí)數(shù)。的值選得如此之大，以保證g(t)在區(qū)間(-8,8)上絕對(duì)可積，。于是，可以對(duì)g(t)實(shí)施傅里葉變換G(w)=2；fg(t)e-2=2；ff(t)e-3+s)tdt-80將b+iw記作p，并將G(w)改記作/黑，則2;f(p)=ffte)Mt(1)0其中積分ff(t)e-Ptdt稱(chēng)為拉普拉斯積分，f(p)稱(chēng)為f(t)的拉普拉斯變換函數(shù).(1)代表從f(t)0到f(P)的一種積分變換，稱(chēng)為拉普拉斯變換(簡(jiǎn)稱(chēng)拉式變換)，e-pt稱(chēng)為拉普拉斯變換的核。G(w)的傅里葉逆變換是g(t)=jG(w)e而td可=—jf(b+而)e海td可2兀s…1J,.、，即f(t)=一Jf(b+iw)e(b+w)tdw2兀-s由b+而=p，有血=1dpi1b市8—所以f(t)=.Jf(p)eipdp2丸ib—isf（p）又稱(chēng)為像函數(shù)，而f（t）稱(chēng)為原函數(shù)，它們之間的關(guān)系常用簡(jiǎn)單的符號(hào)寫(xiě)為f(p)=p[f(t)]f(t)"f(p)（二）拉普拉斯變換的基本性質(zhì)線(xiàn)性定理若f(t)f(p)，f(t)f(p)，則1122cf(t)+cf(t)cf(p+cf(p11221122導(dǎo)數(shù)定理f'(t七pf(p-f(0)積分定理jwe）d」-粉版（t）］p0（4）相似性定理1—pf（at）f（一）aa（5）位移定理e-舄f（t）口f（p+人）（6）延遲定理f(t-1)e-Ptof(p)0(7)卷積定理若f(t)f(p)，f(t)f(p)，則1122f(t)*f(t)口f(p)f(p)其中1212f(t)*f(t)三if(T)f(t-T)d12120拉普拉斯變換的反演有理分式反演法如果像函數(shù)是有理分式，只要把有理分式分解成分項(xiàng)分式，然后利用拉普拉斯變換的基本公式，就能得到相應(yīng)的原函數(shù)?！獄、p3+2p2—9p+36例1求f(P)=的原函數(shù)P4—81解；先將這個(gè)有理分式分解成分項(xiàng)分式，匕,、p3+2p2—9p+36J(p)—(p—3)(p+3)(p2+9)=1——1—+H2p—32p+3p2+9=1.工—1.工+旦—工—1.2p—32p+3p2+9p2+93p2+9即得f(t)—1e3t一1e—3t+cos31一-sin3t223查表法許多函數(shù)的拉普拉斯變換都制成了表格，從表上直接查找很方便，對(duì)于一般常見(jiàn)的像函數(shù)，都能查出其原函數(shù)，有些像函數(shù)，雖然不能直接從表中查出其原函數(shù)，但可以利用延遲定理，位移定理和卷積定理，在配合查表而解決其反演問(wèn)題.的原函數(shù)例2求(p+；2+①2和(p+；：'2的原函數(shù)解；先將兩函數(shù)里的p+人位移為p查表得ap口sin①t,口cosatp2+^2口p2+a2口再應(yīng)用位移定理，即得口e-痔sin①t(p+人)2+^2口iiip+人（p+人）2+32（四）用拉普拉斯變換求解微分方程，積分方程用拉普拉斯變換求解微分方程，積分方程的步驟可以歸納為以下”三”步，也就是三步求解線(xiàn)性微分，積分方程。（1）對(duì)方程實(shí)施拉普拉斯變換，這變換把初始條件也一并考慮。（2）從變換后的方程解出像函數(shù).。（3）對(duì)求出的像函數(shù)進(jìn)行反演，原函數(shù)就是原來(lái)方程的解。例1求解交流PL電路的方程<L%j+Rj=E0sin①T,j（0）=0解；第一步對(duì)方程實(shí)施拉普拉斯變換得——CDLpj+Rj=E-0P2+D2第二步從變換后的方程解出像函數(shù)j（t）EdEIaj-Lp+RP2+D2—~L+Rp2+D2pL第三步對(duì)像函數(shù)j（t）進(jìn)行反演。由于D口D口sinDtp2+D2口1-（R）te"r以R□p+p引用卷積定理完成反演，Et,R、，fj（t）=0JeL）（）Sinwt&L0sinwtsinwt—dcosdtR2+D2LE(Rl)sin①t-wcos①tewe-(1Lw2L+B2匕(Rsin①t-①Lcos①t)+—?dú)猗?—e~(l”R2+Lw2R2+L2W2所得結(jié)果的第一部分代表一個(gè)穩(wěn)定的（幅度不變的）振蕩，第二部分則是隨時(shí)間而衰減的，穩(wěn)定的振蕩部分還可以如下改寫(xiě)；E/.、o(Rsin①t一①Lcos①t)R2+Lw2(R?Esinwt—Jr2+a2L"、R2+w2L、:R2—0+w2LE0E(cos0sinwt-sin0coswt)sin(wt-0)，<R2+w2L其中0=arccos一_R=arcsin一"七<R2+w2L、，:R2+w2L電工學(xué)里常用的復(fù)數(shù)主抗法或矢量法只給出這個(gè)形式的穩(wěn)定振蕩，沒(méi)有考慮隨時(shí)間衰減的部分。例2兩個(gè)線(xiàn)圈具有相同的R,L和C.兩線(xiàn)圈之間的互感系數(shù)為M，在初級(jí)線(xiàn)路有直流電源，其電壓為％今接通初級(jí)線(xiàn)路中的電鑰K，問(wèn)次級(jí)電路中的電流槌變化情況如何？解；先寫(xiě)出電路方程Ldj+Rj+1\jdt+Mdj=E(2)dt11C1dt20L『j+Rj+亍Jjdt+M~rj=0(3)dt22C02dt1還有初始條件j](0)=0j2(0)=0第一步對(duì)方程進(jìn)行拉普拉斯變化得到代數(shù)方程-1\Lp+R+右ICP）Ej+Mpj2=節(jié)ri\Lp+R+—ICP）j2+"2=0（5）第二步聯(lián)立（4）（5）求解像函數(shù)j2EMpr4J27V0M2p4-r4J2第三步進(jìn)行反演的把它分解為分項(xiàng)分式，了-E01-122（L+M）p2+Rp+1C（L-M）p2+Rp+1C查表進(jìn)行反演得到J（t）=Ce-^tsin可t+Ce-勺sin可t21其中TOC\o"1-5"\h\z.R_R1=2（L+M）'氣=2（L-M）1R2C（L+M）4（L+M）_,r2a2,C（L—M）4（L-M\C1=2（L+M）rn1C_E2一2（L-M）w2（五）總結(jié)留數(shù)法在拉普拉斯反變換中的應(yīng)用摘要：本文研究了留數(shù)法求解；拉普拉斯反變換的基本原理，分析表明，留數(shù)法用于求解反變換有著歸納詳盡、使用靈活方便等特點(diǎn)，對(duì)實(shí)際因果系統(tǒng)的分析求解有著很高的實(shí)用價(jià)值。關(guān)鍵詞：留數(shù)法；拉普拉斯反變換；像函數(shù)；原函數(shù)引言采用留數(shù)法計(jì)算拉氏反變換(或者Z反變換)是一種很重要的用數(shù)學(xué)方法求解系統(tǒng)變換域問(wèn)題的方法。本文著重介紹了留數(shù)法進(jìn)行拉普拉斯反變換的求解，這不僅可以比較詳盡的分析問(wèn)題，對(duì)于理解和設(shè)計(jì)實(shí)際問(wèn)題也有著借鑒價(jià)值。正文留數(shù)定理《復(fù)變函數(shù)》中，根據(jù)柯西定理，如果被積函數(shù)f(z)在回路l所圍的閉區(qū)域上是解析的，則回路積分等于零。如果l包圍的區(qū)域有f(Z)的奇點(diǎn)，則需要應(yīng)用留數(shù)定理來(lái)求解。根據(jù)重要例題結(jié)論：1[dzJ。,Z不包圍a扁巾7^一[1，/包圍a]j(z-a)"dz=0.n豐12ki\J可以推導(dǎo)出.f(z)dz=2kiEResf(z.)

Resf(z)為函數(shù)的留數(shù)。留數(shù)定理即復(fù)變函數(shù)的回路積分為被積函數(shù)在回路所圍區(qū)域上各奇點(diǎn)的留數(shù)之和k［關(guān)于留數(shù)的具體求法在課程《數(shù)學(xué)物理方iiIs=pj法》中已進(jìn)行過(guò)深入研究與練習(xí)，在此不再贅述。二、留數(shù)法求拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換即由像函數(shù)反求原函數(shù)的過(guò)程。通常有兩種求拉普拉斯反變換的方法，即部分分式展開(kāi)法與圍線(xiàn)積分法。部分分式展開(kāi)法是將像函數(shù)分解為若干簡(jiǎn)單變換式之和，然后逐項(xiàng)反變換求取原函數(shù)，此方法僅限于像函數(shù)是有理數(shù)的情況。圍線(xiàn)積分法是利用復(fù)變函數(shù)中的圍線(xiàn)積分和留數(shù)定理進(jìn)行的，適用范圍較寬。由拉普拉斯反變換的定義知道直接求解這個(gè)積分是十分困難的，但由復(fù)任函柚論知可以將此轉(zhuǎn)換成求F(s)在一個(gè)閉合圍線(xiàn)內(nèi)部全2部留數(shù)的代數(shù)和。在此，F(xiàn)(s)eAst的積分等于圍線(xiàn)C內(nèi)所包圍的所有F(s)eAst的極點(diǎn)的留數(shù)之和.積分圍線(xiàn)C為如圖所示的半徑為無(wú)窮大的圓弧.f(t)=L-i[F(s)]=上卜+頂"(sgds=E[F(s)w的留數(shù)]2兀，5極點(diǎn)_若設(shè)極點(diǎn)s求有處的留數(shù)為拉，則有f(t)=L-i[F(s)]=Ey若pi為一階極點(diǎn)，留數(shù)

若pi為k階極點(diǎn)，在此例舉一具體問(wèn)題F（s）=s-2y.=「［（s-p）kF（s）est］（k-1）s=Pi求s（s+1）3的拉普拉斯反變換。s=Pi=-2s=0=![M2est]''[=-12sy1=[[F(S況]ls=0=[就即]y=—[(s+1)3F=-2s=0=![M2est]''[=-12s2(3-1)!2est=-[t2est-(—)'']TOC\o"1-5"\h\zs4est4test2t2est\o"CurrentDocument"=_[t2est+]s3s2ss=-1=—[3t2e-1+4te-1+4e-1]，3f(t)=y+y=(—12e-1+2te-t+2e-t-2)u(t)由此看以看出，用留數(shù)法求解有理分式的拉普拉斯反變換時(shí)，過(guò)程與結(jié)論形式均與部分分式展開(kāi)法求解拉普拉斯反變換時(shí)相似，結(jié)果相同。但在計(jì)算重根的留數(shù)時(shí)，方法比部分分式展開(kāi)法要簡(jiǎn)單一些。三、留數(shù)法求無(wú)理式的拉普拉斯反變換F（s）=（3s-34）e-s給定一無(wú)理函數(shù)（s+2）2+102，欲求此函數(shù)的原函數(shù)，首先由其是一無(wú)理函數(shù)首先可以考慮運(yùn)用留數(shù)法。F（s）的兩個(gè)極點(diǎn)分別為：P］=-2+j10,P2=-2—j10則：

Res(〃1)=est^+^(-40+j30)e2-ji01e(-2+ji0)t,t>1j20s=-2+j10(-40+j30)e-2Res(〃1)=est^+^(-40+j30)e2-ji01e(-2+ji0)t,t>1j20s=-2+j10(-40+j30)e-2-j101一e(-2-j10)t,t>1s=一2-j10一j20四、小結(jié)拉普拉斯變換是一種積分變換，它是求解線(xiàn)性常微分方程、研究線(xiàn)性系統(tǒng)的一個(gè)重要工具，在物理和工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。利用拉普拉斯變換法求解定解問(wèn)題的方法是.?在原函數(shù)滿(mǎn)足的方程中,通過(guò)拉普拉斯變換，將原函數(shù)變換為像函數(shù)，得到關(guān)于像函數(shù)的方程并進(jìn)行求解。這一過(guò)程相對(duì)容易。而為了得到原函數(shù)必須作拉普拉斯逆變換。在一些書(shū)上，通過(guò)列表的方式給出了一些像函數(shù)所對(duì)應(yīng)的原函數(shù),但是,對(duì)于表中沒(méi)有出現(xiàn)的像函數(shù)怎樣求得原函數(shù)，如果像函數(shù)是有理分式，我們可以通過(guò)部分分式展開(kāi)法將像函數(shù)化作幾個(gè)分解為若干個(gè)表中所有或者容易查到的簡(jiǎn)單變換式之和。但對(duì)于包含有理分式并包括更廣領(lǐng)域的像函數(shù)，運(yùn)用留數(shù)法則更具有一般性。留數(shù)法求解拉普拉斯反變換是《復(fù)變函數(shù)》科目中留數(shù)定理與《信號(hào)與線(xiàn)性系統(tǒng)分析》中研究在變換域中的相應(yīng)的結(jié)合。彰顯了學(xué)術(shù)各領(lǐng)域之間的聯(lián)系與融會(huì)貫通。參考文獻(xiàn)孫國(guó)霞郭予瑾.《信號(hào)與線(xiàn)性系統(tǒng)分析》山東大學(xué)出版社2007梁昆淼.《數(shù)學(xué)物理方法》第三版高等教育出版社2009李高翔《求解拉普拉斯逆變換的一般方法及其應(yīng)用》拉普拉斯變換法在常微分方程（組）中的應(yīng)用摘要本文給出了常微分方程（組）的基本概念性質(zhì)及兩種解法，常數(shù)變易法及拉普拉斯變換法，常微分方程屬于數(shù)學(xué)分析的一支，是數(shù)學(xué)中與應(yīng)用密切相關(guān)的基礎(chǔ)學(xué)科，其自身也在不斷發(fā)展中，學(xué)好常微分方程基本理論與方法對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)理論和實(shí)際應(yīng)用均非常重要.而用常數(shù)變易法解常微分方程及方程組往往是比較繁瑣的，而且必須經(jīng)過(guò)積分運(yùn)算，這無(wú)異于又增加了題目的難度.而拉普拉斯變換是實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換.對(duì)一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來(lái)求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多.本人是將兩種方法進(jìn)行比較分析拉普拉斯變換法在求解常微分方程（組）過(guò)程中的優(yōu)缺點(diǎn).關(guān)鍵詞：常微分方程；常微分方程組；拉普拉斯變換法目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"摘要IAbstract錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。\o"CurrentDocument"引言31常微分方程4\o"CurrentDocument"1.1常微分方程基本概念4\o"CurrentDocument"1.2線(xiàn)性微分方程的相關(guān)定義及性質(zhì)61.2.1引言61.2.2齊次線(xiàn)性微分方程的解的性質(zhì)71.2.3非齊次線(xiàn)性微分方程的定義及性質(zhì)8\o"CurrentDocument"1.3線(xiàn)性微分方程的一般理論91.3.1齊次線(xiàn)性微分方程組91.3.2非齊次線(xiàn)性微分方程組的性質(zhì)定理102拉普拉斯變換10\o"CurrentDocument"2.1拉普拉斯變換的介紹11\o"CurrentDocument"2.2拉普拉斯變換的定義性質(zhì)及部分變換113微分方程的求解12\o"CurrentDocument"3.1用常數(shù)變易法求解常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程12\o"CurrentDocument"3.2用矩陣法求解常系數(shù)線(xiàn)性微分方程組14\o"CurrentDocument"4拉普拉斯變換法在求解常微分方程（組）中的應(yīng)用154.1拉普拉斯變換在常微分方程中的應(yīng)用154.1.1求解過(guò)程說(shuō)明154.1.2對(duì)比兩種方法在常微分方程中的求解174.2對(duì)比兩種方法在常微分方程中的求解174.2.1求解過(guò)程說(shuō)明174.2.2對(duì)比兩種方法在常微分方程組中的求解18\o"CurrentDocument"5探索20\o"CurrentDocument"結(jié)束語(yǔ)24\o"CurrentDocument"參考文獻(xiàn)25謝辭錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。引言常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程穩(wěn)定性的研究等.這些問(wèn)題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問(wèn)題.應(yīng)該說(shuō)，應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它的現(xiàn)有理論也還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿(mǎn)足需要，還有待于進(jìn)一步的發(fā)展，使這門(mén)學(xué)科的理論更加完善.微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過(guò)微分方程的近似解.牛頓在建立微積分的同時(shí)，對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來(lái)求解.后來(lái)瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?貝努利、歐拉、法國(guó)數(shù)學(xué)家克雷洛、大朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論.常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的.數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具.牛頓研究天體力學(xué)和機(jī)械力學(xué)的時(shí)候，利用了微分方程這個(gè)工具，從理論上得到了行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律.后來(lái)，法國(guó)天文學(xué)家勒維烈和英國(guó)天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計(jì)算出那時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置.這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識(shí)自然、改造自然方面的巨大力量.拉普拉斯變換是為簡(jiǎn)化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換.對(duì)一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來(lái)求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多.拉普拉斯變換在工程學(xué)上的應(yīng)用：應(yīng)用拉普拉斯變換法求解齊次微分方程，可以將微分方程化為代數(shù)方程，使問(wèn)題得以解決.在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個(gè)信號(hào)從時(shí)域上，轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域（S域）上來(lái)表示；在線(xiàn)性系統(tǒng)，控制自動(dòng)化上都有廣泛的應(yīng)用.

1常微分方程1.1常微分方程基本概念(1)常微分方程和偏微分方程我們已經(jīng)知道微分方程就是聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式如果在微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，我們稱(chēng)這種微分方程為常微分方程;自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上的微分方程為偏微分方程.方程f糾2Zif)t"dt)dt(1.)f⑵2口ly=0Idt)dt(1.2就是常微分方程的例子，這里y是未知函數(shù)，t是自變量.方程a2Td2Td2Tc++=0dx2dy2az2(1.3a2T,aT=4ax2ax(1.4就是偏微分方程的例子，這里T是未知函數(shù)，x,y,z,t都是自變量.方程(1.3)含有三個(gè)自變量，而方程(1.4)含有兩個(gè)自變量.微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱(chēng)為微分方程的階數(shù).例如，方程是二階常微分方程，而方程與都是二階偏微分方程.一般的n階常微分方程具有形式(1.5這里Ffx,y,牛,?…字］是x,y,空,?…也的已知函數(shù)，而且一定含有蛀；y是pdxdxnJdxdxndxn未知函數(shù)，x是自變量.我們學(xué)習(xí)的這門(mén)課程是常微分方程.今后，我們把常微分方程簡(jiǎn)稱(chēng)為“微分方程”，有時(shí)更簡(jiǎn)稱(chēng)為“方程”.(2)線(xiàn)性和非線(xiàn)性如果方程(1.5)的左端為y及dy,?,dny的一次有理整式，則稱(chēng)(1.5)為n階dxdxn線(xiàn)性微分方程.例如，方程(1.1)是二階線(xiàn)性微分方程.一般階線(xiàn)性微分方程具有形式企+。(x)、+..牛a(x)空+ay=f(x)dxn1dxn-1n~1dxn(1.6這里。］(x),?…a(x),f(x)是x的已知函數(shù).不是線(xiàn)性微分方程的方程稱(chēng)為非線(xiàn)性微分方程.例如，方程d叩+gsin^=0是二階非線(xiàn)性微分方程，而方程(1.2)是一階非線(xiàn)性微分方程.dt2l(5)微分方程組用兩個(gè)及兩個(gè)以上的關(guān)系式表示的微分方程稱(chēng)為微分方程組.習(xí)慣將一階常微分方程寫(xiě)成最高階導(dǎo)數(shù)的形式z(n)=gC,zz,…血1))(1.9)其中z(n)=^L,z'=竺,?…zGt)=^~^.如果把z,Z',?…z(nT),Z(n)都理解為未知函數(shù)，dtndtdtn-1

取變換y1=z,y2=z',.…y=z(口)取變換則n階方程(1.9)可以用一階方程組令=y2dyF=yn華=g(t;y,?…y)Idt1n代替，即可以將高階微分方程或高階微分方程組變換為一般的一階微分方程組當(dāng)=f(t;y,...,y),i=1,2,...,n

dti1n或更簡(jiǎn)單的寫(xiě)成向量形式其中前面提到的線(xiàn)性和非線(xiàn)性，等概念同樣適合微分方程組.前面提到的線(xiàn)性和非線(xiàn)性，等概念同樣適合微分方程組.F1y,f(t；y)=LyJnJ=f(t;y，…,y)n1n-f(t;y,-,y)11〃f(t;y，…,y)21n1.2線(xiàn)性微分方程的相關(guān)定義及性質(zhì)1.2.1引言我們討論如下的階線(xiàn)性微分方程dnxdn-1xdx~t——Fa(t)F...+a(t/^-+a(t)x=f(t),(1.10)其中a^(t)(i=1,2,…,n)及f(t)都是區(qū)間a<t<b上的連續(xù)函數(shù).如果f(t)三0，則方程(1.10)變?yōu)?/p>

dnxdn-1xdxd—+avt)+...+a\t)^^+avt)x=0(1.11)我們稱(chēng)它為n階齊次線(xiàn)性微分方程，簡(jiǎn)稱(chēng)其次線(xiàn)性微分方程，而稱(chēng)一般的方程(1.10)為n階非齊次線(xiàn)性微分方程，簡(jiǎn)稱(chēng)非齊次線(xiàn)性微分方程，并且通常把(1.11)叫做對(duì)應(yīng)于方程(1.10)的齊次線(xiàn)性微分方程.定理1[1]如果a,(t)(i=1,2,...,n)及f(t)都是區(qū)間a<t<b上的連續(xù)函數(shù)，TOC\o"1-5"\h\z則對(duì)于任一te[a,b]及任意的x,x(1),...,x(n-1)，方程(1.10)存在唯一解x=中(t)，0000定義于區(qū)間a<t<b上，且滿(mǎn)足初值條件M)=x,竺史=x(1),...,Q2=x(n-1)

00dt0dtn-10(1.12)1.2.2齊次線(xiàn)性微分方程的解的性質(zhì)首先討論齊次線(xiàn)性微分方程dnxdn-1xdxdt—+a(t)+...+a(t)―^+a(t)x=0(1.1)1定理2[1](疊加原理)如果x(t),x(t),...,x(t)是方程(1.11)的k個(gè)解，則12k它們的線(xiàn)性組合ex(t)+ex(t)+...+ex(t)也是的解，這里c,c，…,c是任意常1122kk12k數(shù).特別地，當(dāng)k=n時(shí)，即方程(1.11)有解(t(t)+cx12(t)+...+ckxk(t)(1.13)它含有n個(gè)任意常數(shù).定理3⑵若函數(shù)工(t),工(t),...,工(t)在區(qū)間a<t<b上線(xiàn)性相關(guān)，則[a,b]在TOC\o"1-5"\h\z12k上它們的朗斯基行列式W(t)三0.定理4[3]如果方程(1.11)的解工(t),工(t),...,工(t)在區(qū)間a<t<b上線(xiàn)性無(wú)12n關(guān)，則工(t),工(t),...,工(t)在這個(gè)區(qū)間的任何點(diǎn)上都不等于零，即W豐0(a<t<b).12n定理5[4]n階齊次線(xiàn)性微分方程(1.11)一定存在個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解.定理6[6](通解結(jié)構(gòu)定理)如果工(t),工(t),...,工(t)是方程(1.11)的n個(gè)\o"CurrentDocument"12n線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，則方程(1.11)的通解可表為工=cx(t)+cx(t)+...+cx(t)nn1122nn(1.14)其中c,c，…,c是任意常數(shù).且通解(1.14)包括了方程(1.11)的所有解.12n推論[5]方程(1.11)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)解得最大個(gè)數(shù)等于n,因此可得結(jié)論：n階齊次線(xiàn)性微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè)n維線(xiàn)性空間.方程(1.11)的一組n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解稱(chēng)為方程的一個(gè)基本解組.顯然，基本解組不是唯一的.特別地，當(dāng)w(t0)=1時(shí)稱(chēng)其為標(biāo)準(zhǔn)基本解組.1.2.3非齊次線(xiàn)性微分方程的定義及性質(zhì)考慮n階非齊次線(xiàn)性微分方程dnxdn」xdxd—+a(t)+...+a(t)-d-+a(t)x=f(t)，(1.10)易見(jiàn)方程是它的特殊情形.性質(zhì)1[10]如果x(t)是方程(1.10)的解，而是方程(1.11)的解，則x(t)+x(t)也是方程(1.10)的解.性質(zhì)2[5]方程(1.10)的任意兩個(gè)解之差必為方程(1.11)的解.定理7[9]設(shè)工(t),工(t),...,工(t)為方程(1.11)的基本解組，而X(t)是方程12n(1.10)的某一解，則方程(1.10)的通解可表示為X=cx(t)+cX(t)+...+cX(t)+X(t)1121nn(1.15)其中c,c，…,c為任意常數(shù).12n1.3線(xiàn)性微分方程的一般理論定義[4]線(xiàn)性微分方程組X=婦t+X()f,t(1.16)的一般理論，主要是研究它的解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題.如果f(t)o0，則(1.16)稱(chēng)為非齊次線(xiàn)性的.如果f(t)=0，則方程的形式為X'=A)t，X(1.17)(1.17)稱(chēng)為齊次線(xiàn)性的.通常(1.17)稱(chēng)為對(duì)應(yīng)于(1.16)的齊次線(xiàn)性微分方程組.齊次線(xiàn)性微分方程組定理8[7](疊加原理)如果u(t)和v(t)是(1.17)的解，則它們的線(xiàn)性組合au(t)+Pv(t)也是(1.17)的解，這里以,P是任意常數(shù).定理9[9]如果向量函數(shù)X](t),X](t),...,x(t)在區(qū)間上a<t<b線(xiàn)性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式W(t)=0(a<t<b).定理10[5]如果(1.17)的解氣(t),氣(t),...,Xn(t)線(xiàn)性無(wú)關(guān)，那么，它們的朗斯基行列式W(t)=0(a<t<b).定理11[5]齊次線(xiàn)性微分方程組(1.17)一定存在n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解尤(t),尤(t),...,尤(t).TOC\o"1-5"\h\z11n定理12[9]如果氣(t),氣(t),...,工(t)是(1.17)的n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，則(1.17)的任一解工(t)均可表為x(t)=cx(t)+cx(t)+...+cx(t)這里c,c，…,c是相應(yīng)1121nn12的確定常數(shù).非齊次線(xiàn)性微分方程組的性質(zhì)定理非齊次線(xiàn)性微分方程\o"CurrentDocument"x，=A(t)x+f(t),(1.16)的解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，這里A(t)是區(qū)間a<t<b上的已知nxn連續(xù)矩陣，f(t)是區(qū)間a<t<b上的已知n維連續(xù)列向量.向量f(t)通常稱(chēng)為強(qiáng)迫項(xiàng)，因?yàn)槿绻?1.16)描述一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)，f(t)就代表外力.性質(zhì)1[7]如果甲(t)是(1.16)的解，w(t)是(1.16)對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性微分方程組(1.17)的解.則甲(t)+w(t)是(1.16)的解.性質(zhì)2[9]如果甲(t)和6(t)是(1.16)的兩個(gè)解，則0(t)一甲(t)是(1.16)的解.定理13[10]設(shè)①(t)是(1.17)的基解矩陣，吊(t)是(1.16)的某一解，則(1.16)的任一解甲(t)都可表為甲(t)=e(t)c+p(t),(1.18)這里c是確定的常數(shù)列向量.2拉普拉斯變換2.1拉普拉斯變換的介紹拉普拉斯變換法主要是借助于拉普拉斯變換把常系數(shù)線(xiàn)性微分方程(組)轉(zhuǎn)換成復(fù)變數(shù)s的代數(shù)方程(組).通過(guò)一些代數(shù)運(yùn)算，一般地再利用拉普拉斯變換表，即可求出微分方程(組)的解.方法十分簡(jiǎn)單方便，為工程技術(shù)工作者所普遍采用.當(dāng)然，方法本身也有一定局限性，他要求所考察的微分方程的右端函數(shù)必須是原函數(shù)，否則方法就不是用了.2.2拉普拉斯變換的定義性質(zhì)及部分變換定義［1］由積分F(5)=f+-f(t)dt所定義的確定于復(fù)平面(ReS>如上的復(fù)0函數(shù)s的函數(shù)F(5)，稱(chēng)為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換，其中f(t)于t>0有定義，且滿(mǎn)足不等式|f(t)|<Mg，這里M，Q為某兩個(gè)正常數(shù).我們將稱(chēng)f(t)為原函數(shù)，而F(5)稱(chēng)為像函數(shù).定理1［7］如果對(duì)向量函數(shù)f(t)，存在常數(shù)M>0及a>0使不等式If(t)懷Ma對(duì)所有充分大的t成立，則初值問(wèn)題尤=北+f(t),工(0)=門(mén)的解中(t)及其導(dǎo)數(shù)中'(t)均像f(t)一樣滿(mǎn)足類(lèi)似的不等式||f(t)<Meat，從而它們的拉普拉斯變換都存在.拉普拉斯部分變換表：序號(hào)原函數(shù)f(t)像函數(shù)F(s)=J*”e-stf(t)dtF(s)的定義域111Res>02t52Res>03tnn!Sn+1Res>04eztRes>Rez5tezt1(s-Z)2Res>Rez6tneztn!(s-z)n+1Res>Rez3微分方程的求解3.1用常數(shù)變易法求解常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程定義[1]n階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程?。萑龢s+a旦+...+a空+ax=f(t)

dtn1dtn-1n-1dtn(3.1)對(duì)應(yīng)的n階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程為L(zhǎng)口三些+a±1X+...+a旺+ax=0

dtn1dtn-1n-1dtn(3.2)其中a「%,...,a為常數(shù)，f(t)為連續(xù)函數(shù).基本解組設(shè)人為(3.2)的特征根，可以為實(shí)數(shù)，也可以為復(fù)數(shù).對(duì)方稱(chēng)(3.2)變形：了「1dngdn-1e入tde聶(^)—心、LeXt=+a+...+a+aext=VAn+a人n-1+....+a人+a)ext=F(A)extL」dtn1dtn-1n-1dtn1n-1n其中F(x)三An+a1Xn-1+...+aX+a=0,(3.3)為方程(3.2)的特征方程.當(dāng)特征根X是單根時(shí)，設(shè)％,%,...,七是特征方程(3.3)的個(gè)彼此不相等的根，則相應(yīng)地方程(3.2)的基本解組為：e%t,e^，…,e*?若X(i=1,2,...,n)為實(shí)數(shù)，則(3.2)的通解表示為x=cex1t+cex2t+...+ce*.i12n若Xi(i=1,2,,n)為復(fù)根，則(3.2)的兩個(gè)實(shí)值解為eatcosPt,eatsinPt.當(dāng)特征根人有重根時(shí)：有k重根時(shí)，方程(3.2)的基本解組為:e\t,tggeZ，…,以-吃財(cái)；有2k重根時(shí)，方程(3.2)的基本解組為：eatcospt,teatcospt,12e〃cospt,...,tk-ieatcospteatsinpt,teatsinpt,t"sinpt,...,tk-esinpt定理1[1]給出方程：dnxdn-1xdx+a\t)+...+a\t)+a\t)x=0dtn1dtn-1n-1dtn(3.4)竺+a(心+...+a(tdtn1dtn-1n-1+a(t)x=f(t)n(3.5)設(shè)x(t),x(t),...,x((3.4)竺+a(心+...+a(tdtn1dtn-1n-112n貝^方程(3.5)的通解可表示為x=cx(t)+cx(t)+...+cx(t)+X(t)，1122nn其中c,c，…,c為任意常數(shù).12n對(duì)任一n階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程(3.1)都可以由上述方法求出對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性微分(3.2)的基本解組，再應(yīng)用常數(shù)變易法求得(3.1)的一個(gè)特解，這樣，根據(jù)定理一即可寫(xiě)出方程(3.1)的通解表達(dá)式.例1：求方程x'+x=1的通解.cost解：對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性微分方程為x'+x=0.特征方程入2+X=0的根為X=X=i.???原方程對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的基本解組為cost,sint應(yīng)用常數(shù)變易法，令x=c(t)cost+c(t)sint將它代入方程，則可得決定c■(t)和c2(t)的兩個(gè)方程.c(t)cost+c(t)sint=0及一sintc'(t)+costc，(t)=上1212cost解得：c(t)=—sin‘，c'(t)=1.積分得：c(t)=lncost+y,c(t)=t+y1cost21122于是原方程的通解為：工=c(t)=ycost+ysint+costIn|cost+1sint其中Y1，匕為任意常數(shù).3.2用矩陣法求解常系數(shù)線(xiàn)性微分方程組定理2[10]如果矩陣A具有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量<弓,...,可，它們對(duì)應(yīng)的特征值分別為七,%,...,七(不必各不相同)，那么矩陣中(t)=[e\tv,。勺任,…,e^ntV],一8<t<+8,

12n是常系數(shù)線(xiàn)性微分方程組x=AX+了(t)(3.6的一個(gè)基解矩陣.類(lèi)似于常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程通解的求解方法：我們先給出非齊次線(xiàn)性微分方程組x=AX+了(t)(3.7)的常數(shù)變易公式，這里A是nxn常數(shù)矩陣，f(t)是已知的連續(xù)向量函數(shù).因?yàn)閷?duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性微分方程組(3.6)的基解矩陣為①(t)=expAt,這時(shí)我們有①-1(s)=exp(一sA),①-1(s)=exp[(t—s)A],若初值條件是①?)=門(mén),則氣(t)=expt-01]A，(3.7)的解就是中(t)=exp|"(t—t)A^n+jtexp「(t—s)A]f(s)dsl0」L」t0(3.8)…(35\-、(e-t\i、、,、例2:設(shè)A=,f(t)=試求方程x'=Ax+jC)滿(mǎn)足初值條件1一53J"0)中(0)=的解①（D.解：求得expAt=(e(3+5)tJe(3+5)te(expAt=(e(3+5)tJe(3+5)te(—i)5)-1(e(+珈5—"ie(+3t5ie(-汨淋1e(-i)t3Jk-i代入公式（3.8）,得到（利用t0=0）中(t)=e3t(cos5t^-sin5t(e頊wt(e=e3t(cost5廠sint5sitn5

co^s5+jte3(t-s)(cos5(t-s)sin5(t-s))(k-sin5(t-s)cos5(t-s)>j'k0ds我們計(jì)算上面的積分如下:中(t)中(t)=e3t+e3(t-s)j*e-4s0(cos51cos5s+sin5ssin51)

*—sin51cos5s+cos51sin5s/ds利用公式或者分部積分法，得到j(luò)te-4scos5sds=】；'25(-4cos5s+5sin5s)jte-4ssin5sds=—(-4sin5s-5cos5s)016+25最后我們得到中(t)=1e3t41(4cos5t+46sin5t-4e-4t'^46cos5t一4sin5t一5e-中(t)=1e3t41設(shè)給定微分方程dnxdn-1x\~d—+a~d+...+ax=f(t)(4.1)及初始條件x(0)=x,x'(0)=x，,...,x-1(雇晶-1)其中a,a，…,a是常數(shù)，而0000012nf(t)連續(xù)且滿(mǎn)足原函數(shù)的條件。注意，如果x(。是方程(4.1)的任意解，則x(D及其各階導(dǎo)數(shù)xk(t)(k=1,2,3,...,n)均是原函數(shù).記F(s)=L[f(t)_=J*"e-stf()dtX(s)=L[時(shí)三那么，按原函數(shù)微分性質(zhì)有Lx(n)(t)心e-stx(t)dt0x'(t)]=sX(s)-x，=SnX(S)-Sn-1x一Sn-2x'一...一x(n-1)，于是，對(duì)方程(4.1)兩端施行拉普拉斯變換，并利用線(xiàn)性性質(zhì)就得到snX(S)-sn-1x-sn-2x'-...-sx(n-2)(s)-sn-2x-sn-3x'-...-x00+...+a「sX(S)-x+asn-1X—x(n-1)(n-2)

0-n-1L0-+aX(s)=F(s),(sn+asn-1+...+as+a)X(s)=F(S)+(sn-1+asn-2+...+a)x+(sn-2+asn-3+...+a)x'+...+xn-11n-101n-200A()乂XF)s(B,s其中A(s),B(s)和F(s)都是已知多項(xiàng)式，由此X(s)=F(°;B)，這就是方程A(s)(4.1)的滿(mǎn)足所給初始條件的解x(t)的像函數(shù).而x(t)可直接查拉普拉斯變換表或由反變換公式求得.

4.1.2對(duì)比兩種方法在常微分方程中的求解例1：求方程竺-x=紂滿(mǎn)足初始條件x(0)=0的解.dt解：對(duì)方程兩端施行拉普拉斯變換，得到方程的解的像函數(shù)所滿(mǎn)足的方程1sX(s)-x(0)-X(s)=—s一2由此，注意到x(0)=0,得X(s)=r—v—.=上-L.直接查拉普拉斯變(s-1)(s-2)s-2s-一，一…1一1…一….，一.，一換表，可得和的原函數(shù)分力別為e2t和et.s—2s—1因此，利用線(xiàn)性性質(zhì)，就求得X(s)的原函數(shù)為x(t)=e2t-et.這就是所要求的解．例2：求方程x”+x=上的通解.cost解：對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性微分方程為x''+x=0，特征方程人2+人=0的根為七=氣=，.所以原方程對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的基本解組為cost,sint，應(yīng)用常數(shù)變易法，令x=c(t)cost+c(t)sint將它代入方程，則可得決定c1'(t)和；(t)的兩個(gè)方程.變易法，令costc'(t)+sintc'(t)=0及-sintc'(t)+costc'(t)=—1212cost解得：c'(t)=-必,c'(t)=1.積分得：c(t)=Incost|+Y,c(t)=t+Y，于是原方程1cost21122原方程的通解為：x=ycost+ysint+costIn|cost|+1sint，其中y,y為任意常數(shù).通過(guò)上面的例題我們發(fā)現(xiàn)用常數(shù)變易法求解往往是比較繁瑣的，而且必須經(jīng)過(guò)積分運(yùn)算，這無(wú)異于又增加了題目的難度。而拉普拉斯變換法把常系數(shù)線(xiàn)性微分方程轉(zhuǎn)換成復(fù)數(shù)s的代數(shù)方程，再通過(guò)代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，方法十分簡(jiǎn)單方便.4.2拉普拉斯變換法在常微分方程組中的應(yīng)用4.2.1求解過(guò)程說(shuō)明首先將拉普拉斯變換推廣到向量函數(shù)的情形.

定義[1]L[f（t）]=j+8e-stf（td0這里f（t）是n維向量函數(shù)，要求它的每一個(gè)分量都存在拉普拉斯變換.對(duì)比兩種方法在常微分方程組中的求解35、\例3:設(shè)A=，f(t)=試求方程x'=Ax+f(t)滿(mǎn)足初值條件53J0J中(0)=解：求得e(3+5i)te(3+5i)t+e(3-5i)ti((3+5i)t—e(3-5i)t)ki)t-e(3-5i)t)e(3-5i)t+e(3-5i)tJ-i)(cos51=e3t1J"-sin5tsin5t)

cos5tJie(3-5i>'(1i)-1_1e(3+5i)tie(3-5i)t(1-i)e(3-5i)t/ki1J=2kie(3+5i)te(3-5i)t/L1Je(3+5，'>expAt="ie(3+5i)t代入公式（3.8）,得到（利用t0=0）中(t)=(cos5中(t)=(cos5te3t［一sin5tsin5t)(0'

cos51八1/+jte3(t-s)0(cos5(t-s)k-sin5(t-s)sin5(t-s)'

cos5(t-s)>ds我們計(jì)算上面的積分如下:中(t)中(t)=e3t(sin51)

kcos5tJ+e3(t-s)jte-4s0(cos51cos5s+sin5ssin51)dsk-sin51cos5s+cos51sin5sJ利用公式或者分部積分法，得到j(luò)te-4scos5sds=—(-4cos5s+5sin5s)016+25jte-4ssin5sds=—(-4sin5s-5cos5s)016+25最后我們得到中(t)=1e3t41(4cos5t+46sin5t-4e-4t'k46cos5t-4sin5t-5e中(t)=1e3t41解：將方程組寫(xiě)成分量形式，即x'=3x+5x+e-1x'——5x+3x,①.（0）=0,①2（0）=1令X（s）=L「①（t）］,X（s）—L「①（t）］,，以x（t）=①（t）,x（t）2（t）=代入方1*-1」2*-2」1122程組后，對(duì)方程組施行拉普拉斯變換（依據(jù)定理3,這是可能的）得到sX1(s)=3X1(s)+5X2(s)+土

sX2(s)-1=—5X1(s)+3X2(s)(s—3)X(s)-5X(s)=上即由此得到<12s+即由此得到5X1(s)+(s-3)X2(s)=11

s+11

s+1TOC\o"1-5"\h\zs—3+5「s+111

s+11

s+1s—(s—3》+52F(s—3》+52+(s—3》+5q5「s—3—TCX(s)=——占1——46——+4—————5(s—3)2+5241(s—3)2+52(s—3)2+52取反變換或查拉普拉斯變換表即得中(t)=41e3t(4cos5t+46sin5t—4e-4t)

中(t)=￡e3t(46cos5t-4sin5t-5e-4t)所得結(jié)果跟例3一致.通過(guò)上述例題可以看到構(gòu)造基解矩陣必須是某些特殊的情形，要具體計(jì)算矩陣中的積分也是不容易的.而應(yīng)用拉普拉斯變換求解常系數(shù)線(xiàn)性微分方程（組）的初值問(wèn)題是比較快捷的.應(yīng)用拉普拉斯變換還可以直接去解高階的常系數(shù)線(xiàn)性微分方程組，而不必先化為一階的常系數(shù)線(xiàn)性微分方程組.例5.試求方程組

x"+2x'—x'+2x=0<1122[x'—2x+x'—-2e-t12(t)],,對(duì)方程組去拉普拉斯變換，我2sX1(s)-sX(s)+X(s)=0-2X&)+sX(12(t)],,對(duì)方程組去拉普拉斯變換，我2sX1(s)-sX(s)+X(s)=0-2X&)+sX(s)=弓[氣(t)],X2(s)=L[①(s)-3s-2]-2「sX(s)-3]1們得到整理后得到解：令X(s)=L(2-2s)X(s)-(s-2)X(s)=3s-4(s-2)X(s)+sX(s)=土1I12s+1解上面方程組即有v()3s2-4s-1111XH=(s+1)(s-1)(s-2)=0^1),可y()—2—1_12以=(s+1)(s-1)_可在取反變換就得到解①][氣(t)],X2(s)=L[①(s)-3s-2]-2「sX(s)-3]1們得到整理后得到解上面方程組拉普拉斯變換可以提供另一種尋求常系數(shù)線(xiàn)性微分方程組T—

x'=Ax（5.1）的基解矩陣的方法.設(shè)①（t）是（5.1）滿(mǎn)足初始條件①（0）=門(mén)的解，我們令X（s）=L[①（t）].對(duì)（5.1）兩邊取拉普拉斯變換并利用初始條件，得到sX（s）-n—AX（s）因此

(sE-A)X(s)=門(mén)(5.2)方程組(5.2)是以X(s)的n個(gè)分量X1(s),X2(s),…,X(s)為未知量得n階線(xiàn)性代數(shù)方程組.顯然，如果s不等于A的特征值，那么det(sE-A)o0.這時(shí)，根據(jù)克萊姆法則，從方程組(5.2)中可以唯一地解出X(s).因?yàn)閐et(sE-A)是s的n次多項(xiàng)式，所以X(s)的每一個(gè)分量都是s的有理函數(shù)，而且關(guān)于門(mén)的分量氣，的,…，七都是線(xiàn)性的.因此，X(s)的每一個(gè)分量都可以展為部分分式(分母是(s-七)的整數(shù)幕，這里七是A的特征值).這樣一來(lái)，取X(s)的反變換就能求得對(duì)應(yīng)于任何初始向量門(mén)的解①(D，依次令n=「1一0,n=「0-1，…,n=「0一01…2…n…001就求得解中(t)&(t),…&(t).以中(t)&(t),…&(t)作為列向量就構(gòu)成(5.1)的12n12n一個(gè)基解矩陣中(t)，且中(0)=E.例1：試構(gòu)造方程組云=Ax的一個(gè)基解矩陣，其中J3-111A=201"1-12)解：對(duì)方程組兩邊取拉普拉斯變換，得到sX(s)—門(mén)=AX(s)即(sE-A)X(s)=n由A的具體元素代入，得到方程組-2s-1)-1s-2)X(s)X(s)X2(s)nL3」

按第一行將det(sE-A)展開(kāi)，得到de(sE-A=(-)-2s-1)-1s-2)X(s)X(s)X2(s)nL3」=s3-5s2+8s-4=(s-1)(s-2)2根據(jù)克萊姆法則，有1Il1-11七s-1頃1s-2J(s3-1)(s-2)1TOC\o"1-5"\h\zn「s(s-2)+1]-n(s-2+1)+門(mén)(一1+s)門(mén)(s-1)-門(mén)+門(mén)='(s-1)(s-2)23=1(s-2)223(s-3n-11-2n2-12[-1ns-2J2(s-1)(3s-2)2n(2s-3)-nJ2-5+>5+n(-+1s)="(；-1)(s-2)~~3X3(s)=X3(s)=/s-3-2-1I1;11

2nJ(s-1)(s-2)2n(s-2)-n(s-2)+n(s2-3s+2)n-nn"23=(s-1)(s一2)+5(s-1)(s-2)首先，令n1=1,n2=0n3=0我們得到x(s)=^-^=A+-1(s-2)2s-2(s-2)2從(s-1)=A(s—2)+B得到A=1,B=1.因此

工(工(t)=e2t+te2ti=(1+t)e2t同時(shí)，又得X2(s)=(s-^2)^-2)2=GCr)+db)+(^從2s-3=C(s-2)2+D(s-1)(s-2)+F(s-1)得到C=-1,D=1,F=1，因此v()-111x2(s)=G一1)+E+5七(t)=(t+1)e2t-et同樣，可計(jì)算得到X3(s)=(s-1)(s-2)=土-s-1x(t)=e2t-et3這樣一來(lái)，中(t)=1<1+中(t)=1(1+1)e2t-ete2t一et其次，令氣=0,叫=1，叫其次，令氣=0,叫=1，叫=O，我們得到X1(s)=-1(^，工(t)=-te2ts2-5s+5X2(s)=(s-1)(s-2)=A+g+土s-1s-2(s-1)2從s2-5s+5=A](s-2》+B](s-1)(s-2)+q(s-1)得A=1,B=A=1,B=0C=-.1因此X(s)=12x(t)=et-te2t這樣一來(lái)，—111(s-1)(s-2)=G—1)一B，x3(t這樣一來(lái)，—111(s-1)(s-2)=G—1)一B，x3(t)=et-te2t最后，令門(mén)=0,門(mén)=0,門(mén)=1,我們得到23x1G)=土x(tx1G)=土x(t)=te2tx(t)=te2t工(t)=e2t這樣一來(lái)，te2tte2te2t綜合上面的結(jié)果，得到基解矩陣(1+t)e，中(t)=「里(t),中(t),中(1+t)e，中(t)=「里(t),中(t),中(t)]=(1+t)-123」*e2t—et—te2tte2tet—te2tte2tet—e2te2te2t—et本文給出了常微分方程的了兩種解法，一種是用常數(shù)變易法求解常微分方程，另外介紹了用矩陣法求解常微分方程組，另一種是用拉普拉斯變換法求解常微分方程及常微分方程組.兩種方法相比較而言用通常的解法解常微分方程及方程組往往是比較繁瑣的，而且必須經(jīng)過(guò)積分運(yùn)算，這無(wú)異于又增加了題目的難度.而拉普拉斯變換則可以把微分方程及微分方程組轉(zhuǎn)化為容易求解的代數(shù)方程來(lái)處理，從而使計(jì)算簡(jiǎn)化.拉普拉斯變換法主要是借助于拉普拉斯變換把常系數(shù)線(xiàn)性微分方程（組）轉(zhuǎn)換成功復(fù)變數(shù)s的代數(shù)方程（組）.通過(guò)一些代數(shù)運(yùn)算，即可求出常系數(shù)微分方程（組）的解.但他卻有一定的局限性，在微分方程中它要求所考察的微分方程的右端函數(shù)必須是原函數(shù)，否則方法就不是用了.在微分方程組中，它對(duì)方程中強(qiáng)迫項(xiàng)的性質(zhì)要求比較高.因此并非任何常系數(shù)線(xiàn)性微分方程（組）都能用拉普拉斯變換法進(jìn)行求解.這就需要更多的研究者對(duì)常微分方程（組）的求解問(wèn)題在日后加以探討.參考文獻(xiàn)王柔懷，伍卓群.常微分方程講義[M].北京:人民教育出版社,1979.王高雄，周之銘,宋思銘，等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1983.施皮格爾MR.高等數(shù)學(xué)的理論和習(xí)題[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社，1978.蔡燧林.常微分方程（第二版）.武漢：武漢大學(xué)出版社，2003.JAGERMANDL.Aninveresiontechniqueforthelaplacetransform[J].BSTJ，1992.胡健偉，湯懷民.微分方程數(shù)值方法[M].北京:科學(xué)出版社,2001.劉林平，常系數(shù)線(xiàn)性微分方程的拉普拉斯變換法[期刊論文]-內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)報(bào).2006.錢(qián)偉長(zhǎng).微分方程的理論及其解法（第一版）.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1992.復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.微分方程及其數(shù)值解[M].上海:上海人民出版社，1975.王高雄.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2003.快速傅里葉變換的原理及其應(yīng)用

摘要快速傅氏變換（FFT），是離散傅氏變換的快速算法，它是根據(jù)離散傅氏變換的奇、偶、虛、實(shí)等特性，對(duì)離散傅立葉變換的算法進(jìn)行改進(jìn)獲得的。它對(duì)傅氏變換的理論并沒(méi)有新的發(fā)現(xiàn)，但是對(duì)于在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)或者說(shuō)數(shù)字系統(tǒng)中應(yīng)用離散傅立葉變換，可以說(shuō)是進(jìn)了一大步。傅里葉變換的理論與方法在“數(shù)理方程”、“線(xiàn)性系統(tǒng)分析”、“信號(hào)處理、仿真”等很多學(xué)科領(lǐng)域都有著廣泛應(yīng)用，由于計(jì)算機(jī)只能處理有限長(zhǎng)度的離散的序列，所以真正在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算的是一種離散傅里葉變換.雖然傅里葉運(yùn)算在各方面計(jì)算中有著重要的作用，但是它的計(jì)算過(guò)于復(fù)雜，大量的計(jì)算對(duì)于系統(tǒng)的運(yùn)算負(fù)擔(dān)過(guò)于龐大，使得一些對(duì)于耗電量少，運(yùn)算速度慢的系統(tǒng)對(duì)其敬而遠(yuǎn)之，然而，快速傅里葉變換的產(chǎn)生，使得傅里葉變換大為簡(jiǎn)化，在不犧牲耗電量的條件下提高了系統(tǒng)的運(yùn)算速度，增強(qiáng)了系統(tǒng)的綜合能力，提高了運(yùn)算速度，因此快速傅里葉變換在生產(chǎn)和生活中都有著非常重要的作用，對(duì)于學(xué)習(xí)掌握都有著非常大的意義。關(guān)鍵詞快速傅氏變換；快速算法；簡(jiǎn)化；廣泛應(yīng)用AbstractFastFourierTransform(FFT),isadiscretefastFouriertransformalgorithm,whichisbasedontheDiscreteFourierTransformofoddandeven,false,false,andothercharacteristicsoftheDiscreteFourierTransformalgorithmsimprovementsobtained.ItsFouriertransformtheoryhasnotfoundanew,butinthecomputersystemortheapplicationofdigitalsystemsDiscreteFourierTransformcanbesaidtobeabigstepinto.Fouriertransformtheoryandmethodsinthe"mathematicalequation"and"linearsystemsanalysis"and"signalprocessing,simulation,"andmanyotherareashaveawiderangeofapplications,asthecomputercanonlyhandlealimitedlengthofthesequenceofdiscrete,sotrueOnthecomputer'soperationisadiscreteFouriertransform.FourierAlthoughallaspectsofcomputinginthecalculationhasanimportantrole,butitscalculationwastoocomplicated,alotofcomputingsystemforcalculatingtheburdenistoolargeforsomeLesspowerconsumption,theslowspeedofoperationofitssystematarm'slength,however,havethefastFouriertransform,Fouriertransformgreatlysimplifyingthemaking,notinpowerattheexpenseoftheconditionstoincreasethespeedofcomputingsystems,andenhancethesystemThecomprehensiveabilitytoimprovethespeedofoperation,theFastFourierTransformintheproductionandlifehaveaveryimportantroleinlearningtomasterallhavegreatsignificance.KeywordsFastFourierTransform;fastalgorithm;simplified;widelyused目錄TOC\o"1-5"\h\z摘要1\o"CurrentDocument"ABSTRACT2\o"CurrentDocument"緒論4\o"CurrentDocument"快速傅里葉變換原理5快速傅里葉的實(shí)際應(yīng)用71快速傅里葉變換在喇曼光譜信號(hào)噪聲平滑中的應(yīng)用7引言7實(shí)驗(yàn)原理及結(jié)果8結(jié)論92采用異步實(shí)現(xiàn)的快速傅里葉變換處理器9引言9實(shí)驗(yàn)原理及結(jié)果10結(jié)論103快速傅里葉算法在哈特曼夏克傳感器波前重構(gòu)算法中的應(yīng)用11引言11實(shí)驗(yàn)原理及結(jié)果11結(jié)論12\o"CurrentDocument"參考文獻(xiàn)13緒論傅立葉變換在生產(chǎn)生活中的重要性非常突出，它將原來(lái)難以處理的時(shí)域信號(hào)相對(duì)比較容易地轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(hào)，可以利用一些工具對(duì)這些頻域信號(hào)進(jìn)行處理、加工，把信號(hào)轉(zhuǎn)化為可以對(duì)其進(jìn)行各種數(shù)學(xué)變化的數(shù)學(xué)公式，對(duì)其進(jìn)行處理。最后還可以.利用傅立葉反變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號(hào)，它是一種特殊的積分變換。它能將滿(mǎn)足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線(xiàn)性組合或者積分。然爾，它在運(yùn)算上過(guò)于復(fù)雜，過(guò)于宏大的運(yùn)算過(guò)程，對(duì)于一些相對(duì)簡(jiǎn)單的低功耗處理器來(lái)說(shuō)，難以自如應(yīng)對(duì)，因此，快速傅里葉變換則顯出了它的優(yōu)越性?？焖俑凳献儞Q（FFT），是離散傅氏變換的快速算法，它是根據(jù)離散傅氏變換的奇、偶、虛、實(shí)等特性，對(duì)離散傅立葉變換的算法進(jìn)行改進(jìn)獲得的。對(duì)于計(jì)算機(jī)處理信號(hào)方面上是一大進(jìn)步。系統(tǒng)的速度不但取決于本身的速度，而且還在相當(dāng)大的程度上取決于算法，算法運(yùn)算量的大小直接影響著對(duì)設(shè)備的控制質(zhì)量。通過(guò)傅立葉變換（DFT），運(yùn)用測(cè)試軟件進(jìn)行檢測(cè)，可以看出快速傅里葉變換大大的提高了運(yùn)算速度，它為各系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了簡(jiǎn)單算法，有著十分重要的意義。I.快速傅里葉變換原理數(shù)字信號(hào)的傅里葉變換，通常采用離散傅里葉變換(DFT)方法°DFT存在的不足是計(jì)算量太大，很難進(jìn)行實(shí)時(shí)處理。計(jì)算一個(gè)N點(diǎn)的DFT,一般需要N2次復(fù)數(shù)乘法和N(N-1)次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算.因此，當(dāng)N較大或要求對(duì)信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)處理時(shí)，往往難以實(shí)現(xiàn)所需的運(yùn)算速度。1965年，J.W.Cooly和J.W,Tukey發(fā)現(xiàn)了DFT的一種快速算法，經(jīng)其他學(xué)者進(jìn)一步改進(jìn)，很快形成了一套高效運(yùn)算方法,這就是現(xiàn)在通用的快速傅里葉變換，簡(jiǎn)稱(chēng)FFT(TheFastFourierTransform)?？焖俑道锶~變換的實(shí)質(zhì)是利用式(1)中的權(quán)函數(shù)WN的對(duì)稱(chēng)性和周期性，把N點(diǎn)DFT進(jìn)行一系列分解和組合,使整個(gè)DFT的計(jì)算過(guò)程變成一系列疊代運(yùn)算過(guò)程，使DFT的運(yùn)算量大大簡(jiǎn)化,為DFT及數(shù)字信號(hào)的實(shí)時(shí)處理和應(yīng)用創(chuàng)造了良好的條件?？焖俑道锶~變換算法如下：X(n)=Lk=cxon=O.M-N-1(1)由(1)式可知，對(duì)每一個(gè)n,計(jì)算X(n)須作N次復(fù)數(shù)乘法及N-1次復(fù)數(shù)加法，要完成這組變換共需子次乘法及N(N-1)次復(fù)數(shù)加法。但以下介紹的快速傅里葉變換的算法，可大大減少運(yùn)算次數(shù)，提高工作效率。當(dāng)N=2,時(shí)，n和k可用二進(jìn)制數(shù)表示：n-2r-in+2r-2n++n-nnn■■■.■_r-1r-20r-1r-20,一k=2r-ik+2r-2k++k=kkkr-1r-20r-1r-20又記W=e丁，則（1）式可改寫(xiě)為X(nnr-1X(nnr-1r-2n)=Z1110k0=°k1=°11kr-1=0k^)Wp（2）TOC\o"1-5"\h\z式中：P=nk=(2r-1k+2r-2k，++k)X(2r-1'n'+2r-2n+r-1r-20r-1r-2Wp=W(2r-1n+2r-2n++n)2一1kW(2一1n+2一2n++n)2一2kr-1r-20r-1r-1r-20r-2WK0(2r-1nr-1+2r-2nr-2++n0)因?yàn)閃2r=W2r=[eN]n=1所以(2)可改成X(nnr-1r-2k)n)11X(nnr-1r-2k)0k0=0k1=0kr-1=00r-1r-2（4）⑸W(2r-1n+2r-2n++n)2一1kW(2-1n+2-2n++n)2一2kWk(2一1n+2-2n++n（4）⑸r-1r-20Jr-1r-1r-20/r-20、r-1r-20/x(nnkk)=Z1x(nkk)W(2n1+%)2r-2k2201r-30k2000r-20一X（nn,?n）=x（nnn）***r-1r-20r01r-1則式（5）..即為式（4）..的分解形式。將初始數(shù)據(jù)代入式（5）的第一個(gè)等式，可得每一組計(jì)算數(shù)據(jù)，一般將梅L-1組計(jì)算數(shù)據(jù)代入式（5）的第L個(gè)等式，計(jì)算后可得第L組計(jì)算數(shù)據(jù)（L=l,2,…，y）,計(jì)算公式也可表示為x(nkk)=Z1x(kkk)W(2r-1nr1+bnr2++n0)k0=TOC\o"1-5"\h\z10r-20k.0r-1r-20...x(nn.??〃0kkk)+x'(nnn0kkk)Wp(6)l-101r-2r-1r-20l-101r-2r-1r-20式中P=2r-1n+2r-2n??++2r-1n……(7)根據(jù)式(6)，第L??個(gè)數(shù)組中每個(gè)x(k)=x(nnnkkk)llr-1r-20r-1r-20的計(jì)算只依賴(lài)于上一個(gè)數(shù)組的兩個(gè)數(shù)據(jù)這兩個(gè)數(shù)據(jù)的標(biāo)號(hào)相差?2」1=N/2「，即j=i+n/2l,而且這兩個(gè)數(shù)據(jù)只用于計(jì)算第L個(gè)數(shù)組中標(biāo)號(hào)的數(shù)據(jù)（等號(hào)右端為二進(jìn)制數(shù)）。當(dāng)n分別取0和1時(shí)，分別有k=i,k=j=i+n/2l。因此，用上一l1組的兩個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算所得的兩個(gè)新數(shù)據(jù)仍可儲(chǔ)存在原來(lái)位置，計(jì)算過(guò)程中只需要N個(gè)存儲(chǔ)器。將￡（i）與I,（i+n/2l）稱(chēng)為第L個(gè)數(shù)組中的對(duì)偶結(jié)點(diǎn)對(duì)。計(jì)算每個(gè)對(duì)偶結(jié)點(diǎn)對(duì)只需一次乘法，事實(shí)上由式（6）可得Nx(i)=x(i)+[i+—]Wp1TOC\o"1-5"\h\z,N、，、「Nx(I+)—x(I)+x[i+——]Wp2i2ii-1i-12iP—2r-2n+...+2r-inP—2r-i+2r-2n+...+2r-inn式中：1l-20；2l-20力別為式(7)中i-1取0，1時(shí)對(duì)應(yīng)的P值。因P2=P1+2*-1=P1+N/2，于是對(duì)偶結(jié)點(diǎn)的WP有如下關(guān)系：DN-P?！窷Wp2=W"2=kN]1*2—-Wp1,因此式(6)可表示為T(mén)OC\o"1-5"\h\z，、，、「N、x(i)=x(i)+x[i+—]Wpii-1i-12iNNx(i+一)=x(i)+x[i+—]Wpi2/i-1i-12ix(i)nn...nk...k—毛夕r_P的求法：在/7中，1與成一進(jìn)制數(shù)01i-1r-i-10石移ri位，就成為0...0nn...np=n...nn0...0(i=1,2,...,r)—o1i-1顛倒位序侍"i-110*'*'式(5)呂，刖面的Y個(gè)等式，每個(gè)等式均對(duì)應(yīng)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，每組數(shù)據(jù)都有N/2對(duì)結(jié)點(diǎn)，根據(jù)式(9),每對(duì)結(jié)點(diǎn)只需作1次乘法和2次加法，因此，每組數(shù)據(jù)只需N/2次乘法和N次加法，因而完成Y組數(shù)據(jù)的計(jì)算共需Ny/2次乘法和Ny次加法。II.快速傅里葉的實(shí)際應(yīng)用：一.快速傅里葉變換在喇曼光譜信號(hào)噪聲平滑中的應(yīng)用1.引言電探測(cè)系統(tǒng)是光信號(hào)的轉(zhuǎn)換、傳輸及處理的系統(tǒng).系統(tǒng)的各個(gè)部分在工作時(shí)

總會(huì)受到一些無(wú)用信號(hào)的干擾,給光譜峰的檢測(cè)判別及進(jìn)一步的數(shù)據(jù)處理帶來(lái)了不利因素.對(duì)光譜信號(hào)進(jìn)行數(shù)字濾波，以獲得更真實(shí)的光譜信息，顯得格外重要.目前最為通用和有效的信號(hào)濾波處理方法是快速傅立葉變換方法.純水是一種較弱的喇曼散射介質(zhì)，需要專(zhuān)用的喇曼散射光譜儀器才能獲得高信噪比的喇曼光譜.我們以增強(qiáng)型的CCD探頭為探測(cè)器，結(jié)合普通的分光單色儀，在YAG激光器532nm激光線(xiàn)的激勵(lì)下獲得低信噪比的純水的喇曼光譜.信噪比較差的喇曼光譜經(jīng)過(guò)FFT變換后,，用FFT的逆變換將濾除噪聲后的頻譜信號(hào)轉(zhuǎn)換成為光譜信號(hào)，最終獲得信噪比較高的純水的喇曼光譜.2.實(shí)驗(yàn)原理及結(jié)果傅里葉變換的基本表達(dá)式為x(k)=尸x(n)Wnk,(k=0,1...N-1)n=0(1)(2)Wnk=exp[-&"]式(1)中的x(n)(n=0,2,...N-1)是列長(zhǎng)為N的輸入序列，即實(shí)驗(yàn)采集到的時(shí)域上的切片數(shù)據(jù);x(k)(=0,1,...N-1)是列長(zhǎng)為N的輸出序列，即經(jīng)過(guò)傅里葉變換后的頻域上的數(shù)據(jù)。(2)對(duì)數(shù)字化后的光譜信號(hào)而言，x(n)是一組離散的實(shí)數(shù)信號(hào)；而X(k)分為實(shí)部x(v)和虛部y(v)2部分。x(v)和y(v)又可組成振幅譜A(v)和相位譜P(v)：(3)A(V)=%'x2(們+y2(們(3),、y(v)p(v)=arctanx(v)(4)通過(guò)對(duì)式(3)和式(4)性能的考察，發(fā)現(xiàn)A(v)和P(v)中既含有目標(biāo)信號(hào)的信息，也含有噪聲的信息，如果二者所在的區(qū)域不同，則可以通過(guò)傅里葉變換分析出噪聲信息，將之從捕獲的信號(hào)中去除，從而達(dá)到噪聲平滑的目的，獲得高信噪比的目標(biāo)信號(hào).純水普通喇曼散射的信號(hào)很弱,我們?cè)?32nm脈沖激光泵浦液滴的條件下獲得其散射光譜.由于樣品信號(hào)極其微弱，在將CCD的增益調(diào)至最大時(shí)，獲得如圖1所示的純水的喇曼光譜.光譜的信噪比值用如下方式估算：設(shè)x(X,n)為含噪聲圖像y(X,n)為消除噪聲后的圖像，圖像的均方根誤差為我x我x(X,n)-y(X,n))2土(5)信噪比定義為除噪聲后的信號(hào)與均方根誤差之比[丈[丈Y(X,N)]/NSNR=6)計(jì)算出642.86?643.62nm光譜區(qū)的信噪比為多通道光譜分析儀采集的含有噪聲的純水普通喇曼散射信號(hào)頻率/Hn(。<菖<傅里葉變換后的頻譜圖(。<菖<對(duì)圖2幅度譜縱軸取對(duì)數(shù)得圖噪聲幅度門(mén)限值低于2X105,經(jīng)門(mén)限濾波處理，在頻譜圖中將幅度譜低于該門(mén)限值的頻率成分去除，獲得的頻譜用FFT的逆變換返回得到門(mén)限濾波曲線(xiàn)如圖5所示.計(jì)算出642.86?643.62nm光譜區(qū)的信噪比為SNR^484.與圖1相比，光譜的信噪比有了極大的改善.3結(jié)論在光譜信號(hào)受到光子噪聲調(diào)制的條件下，如果光譜信號(hào)的變化頻率低于高頻光子噪聲的變化頻率,則可以通過(guò)快速傅里葉變換，獲得目標(biāo)信號(hào)和噪聲信號(hào)的頻譜,進(jìn)行低通濾波和門(mén)限濾波后，分別將具有高頻和不同振幅的噪聲信號(hào)去除，實(shí)現(xiàn)對(duì)弱光譜信號(hào)干擾噪聲的抑制,得到高信噪比的光譜信號(hào)。快速傅里葉變換在效果上，減輕了噪聲的干擾，同時(shí)計(jì)算也不會(huì)帶來(lái)過(guò)于復(fù)雜的計(jì)算。11?采用異步實(shí)現(xiàn)的快速傅里葉變換處理器引言快速傅里葉變換(FFT)是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一個(gè)重要的分析工具，廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、通訊、圖像處理、聲納和生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域。已經(jīng)開(kāi)發(fā)出多種專(zhuān)用快速傅里葉變換處理器，大大提高了快速傅里葉變換的運(yùn)算速度。異步集成電路具有功率效率高、電磁兼容性(EMC)好、功耗低和沒(méi)有時(shí)鐘歪斜(Skew)的特性，同時(shí)又具有潛在的高性能，以及便于系統(tǒng)模塊化設(shè)計(jì)的優(yōu)勢(shì)［1］。異步集成電路運(yùn)